湖南省娄底地区高二上学期期末数学试卷(理科)

第 1 页 共 13 页 湖南省娄底地区高二上学期期末数学试卷（理科）

姓名:________ 班级:________ 成绩:________

一、

选择题 (共12题；共24分)

1.

（2分）

已知直线y=kx+m与抛物线y2=2x交于A，B两点，且|（其中O为坐标原点），若OM⊥AB于M ， 则点M的轨迹方程为 （ ）

A . x2+y2=2

B . (x-1)2+y2=1

C . x2+（y-1)2=1

D . (x-1)2+y2=4

2. （2分）

已知圆，直线l:x+y=1，则圆C内任意一点到直线的距离小于的概率为（ ）

A .

B .

C .

D .

3. （2分） (2015高二上·海林期末) 命题“∀x∈R，都有log2x＞0成立”的否定为（ ）

A . ∃x0∈R，使log2x0≤0成立

B . ∃x0∈R，使log2x＞0成立

C . ∀x∈R，都有log2x≥0成立

D . ∀x∈R，都有log2x＞0成立

4. （2分） (2015高二上·海林期末) 阅读程序框图，则该程序运行后输出的k的值是（ ） 第 2 页 共 13 页

A . 3

B . 4

C . 5

D . 6

5. （2分） (2015高二上·海林期末)

如图是某电视台综艺节目举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（ ）

A . 84，4.84

B . 84，1.6

C . 85，4

D . 85，1.6

6. （2分） (2015高二上·海林期末) 国家物价部门在2015年11月11日那天，对某商品在网上五大购物平台的一天销售量及其价格进行调查，5大购物平台的售价x元和销售量y件之间的一组数据如表所示：

价格x 9 9.5 10 10.5 11

销售量y 11 10 8 6 5

由散点图可知，销售量y与价格x之间有明显的线性相关关系，已知其线性回归直线方程是：y=﹣3.2x+a，则 第 3 页 共 13 页 a=（ ）

A . 24

B . 35.6

C . 40

D . 40.5

7. （2分） (2015高二上·海林期末) 已知椭圆与双曲线 共同焦点，它们的离心率之和为 ，则此椭圆方程为（ ）

A .

B .

C .

D .

8. （2分） (2015高二上·海林期末) 某科技研究所对一批新研发的产品长度进行检测（单位：mm），如图是检测结果的频率分布直方图，据此估计这批产品的中位数为（ ）

A . 20

B . 22.5

C . 22.75

D . 25

9. （2分） (2015高二上·海林期末) 从 （m，n∈{﹣1，2，3}）所表示的圆锥曲线（椭圆、双 第 4 页 共 13 页 曲线）方程中任取一个，则此方程是焦点在x轴上的双曲线方程的概率是（

）

A .

B .

C .

D .

10. （2分） (2015高二上·海林期末) 已知P是抛物线y2=4x上的一个动点，则点P到直线l1：3x﹣4y+12=0和l2：x+2=0的距离之和的最小值是（ ）

A . 1

B . 2

C . 3

D . 4

11. （2分） (2015高二上·海林期末) 已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1 ， 则AC与平面BDC1所成角的余弦值为（ ）

A .

B .

C .

D .

12. （2分） (2015高二上·海林期末) 若点O（0，0）和点 分别是双曲线 ﹣y2=1（a＞0）的中心和右焦点，A为右顶点，点M为双曲线右支上的任意一点，则 的取值范围为（ ）

A . [﹣1，+∞）

B . （0，+∞） 第 5 页 共 13 页 C . [﹣2，+∞）

D . [0，+∞）

二、 填空题 (共4题；共4分)

13. （1分） 命题 ，命题 ，若 是 的充分不必要条件，则 的取值范围是________.

14. （1分） 从1，2，3，4，9这五个数中任取两个数分别作为对数的底数和真数，则可以得到________种不同的对数值．

15. （1分） (2015高二上·海林期末) 直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠BAC=90°，2AB=2AC=AA1 ， 则异面直线BA1与B1C所成的角的余弦值等于________．

16. （1分） (2015高二上·海林期末) 如图，已知F1 ， F2是椭圆C： （a＞b＞0）的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF2与圆x2+y2=b2相切于点Q，且点Q为线段PF2的中点，则椭圆C的离心率为________．

三、 解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． (共6题；共75分)

17. （10分） (2016高一下·上栗期中) 已知{an}是等差数列，满足a1=3，a5=15，数列{bn}满足b1=4，b4=20，且{bn﹣an}（n∈N+）是等比数列．

（1） 求数列{an}和{bn}的通项公式；

（2） 求数列{bn}的前n项和．

18. （15分） (2020·桂林模拟) 某学生为了测试煤气灶烧水如何节省煤气的问题设计了一个实验，并获得了煤气开关旋钮旋转的弧度数x与烧开一壶水所用时间y的一组数据，且作了一定的数据处理（如表），得到了散点图（如图）. 第 6 页 共 13 页

表中

，

.

附：对于一组数据 ， ， ，…， ，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 ， .

（1） 根据散点图判断， 与 哪一个更适宜作烧水时间y关于开关旋钮旋转的弧度数x的回归方程类型？（不必说明理由）

（2） 根据判断结果和表中数据，建立y关于x的回归方程；

（3） 若旋转的弧度数x与单位时间内煤气输出量t成正比，那么x为多少时，烧开一壶水最省煤气？

19. （10分） 某冷饮店只出售一种饮品，该饮品每一杯的成本价为3元，售价为8元，每天售出的第20杯及之后的饮品半价出售．该店统计了近10天的饮品销量，如图所示： 第 7 页 共 13 页

设x为每天饮品的销量，y为该店每天的利润．

（1） 求y关于x的表达式；

（2） 从日利润不少于96元的几天里任选2天，求选出的这2天日利润都是97元的概率．

20. （15分） (2015高二上·海林期末) 如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AD，点M是PD的中点，作ME⊥PC，交PC于点E．

（1） 求证：PB∥平面MAC；

（2） 求证：PC⊥平面AEM；

（3） 求二面角A﹣PC﹣D的大小．

21. （15分） (2015高二上·海林期末) 如图，已知直线l与抛物线y2=2x相交于A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）两点，与x轴相交于点M，若y1y2=﹣4， 第 8 页 共 13 页

（1）

求：M点的坐标；

（2） 求证：OA⊥OB；

（3） 求△AOB的面积的最小值．

22. （10分） (2015高二上·海林期末) 椭圆 的左右焦点分别为F1 ， F2 ， 离心率为 ，过点F1且垂直于x轴的直线被椭圆截得的弦长为 ，直线l：y=kx+m与椭圆交于不同的A，B两点．

（1） 求椭圆C的方程；

（2） 若在椭圆C上存在点Q满足： （O为坐标原点）．求实数λ的取值范围． 第 9 页 共 13 页 参考答案

一、

选择题 (共12题；共24分)

1-1、

2-1、

3-1、

4-1、

5-1、

6-1、

7-1、

8-1、

9-1、

10-1、

11-1、

12-1、

二、 填空题 (共4题；共4分)

13-1、

14-1、

15-1、 第 10 页 共 13 页 16-1、

三、

解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． (共6题；共75分)

17-1、

17-2、

18-1、

18-2、

18-3、

19-1、

19-2、 第 11 页 共 13 页

20-1、

20-2、 第 12 页 共 13 页 20-3、

21-1、

21-2、

21-3、

22-1、 第 13 页 共 13 页 22-2、