3.3等比数列

数列的有关知识点总结一、数列的基本概念1.1 数列的定义数列是指按照一定的顺序排列的一组数，这组数称为数列的项。

数列通常用符号{an}或(an)表示，其中an表示第n个数列的项。

例如，{1, 2, 3, 4, 5, ...}就是一个常见的数列，其第n 个项表示为an=n。

1.2 数列的分类根据数列的性质和规律，可以将数列分为不同的类型。

常见的数列包括等差数列、等比数列、等差数列、递减数列、递增数列等。

不同类型的数列具有不同的性质和规律，需要根据具体情况选择适当的方法进行研究和分析。

1.3 数列的通项公式对于某些特定的数列，可以通过观察数列的规律和性质，得到其通项公式。

通项公式可以表示数列的第n个项与n之间的关系，通常用公式an=f(n)表示，其中f(n)为关于n的函数。

通过通项公式，可以方便地计算数列的任意项，从而更好地理解数列的规律和性质。

1.4 数列的性质数列具有许多重要的性质，包括有界性、单调性、敛散性等。

这些性质对于研究数列的规律和性质具有重要的意义，可以帮助我们更好地理解和分析数列的特点。

二、等差数列2.1 等差数列的定义等差数列是指数列的相邻两项之差是一个常数的数列，这个常数称为公差。

例如，{1, 3, 5, 7, 9, ...}就是一个等差数列，公差为2。

2.2 等差数列的通项公式对于等差数列an=a1+(n-1)d，其中a1为等差数列的首项，d为公差，n为项数。

通过这个通项公式，可以方便地计算等差数列的任意项。

2.3 等差数列的性质等差数列具有许多重要的性质，包括有界性、单调性、求和性质等。

这些性质对于研究等差数列的规律和性质具有重要的意义，可以帮助我们更好地理解和分析等差数列。

2.4 等差数列的求和公式对于等差数列，有求和公式Sn=n/2(a1+an)，其中Sn表示前n项和，a1表示首项，an表示第n项。

通过这个求和公式，可以方便地计算等差数列的前n项和。

三、等比数列3.1 等比数列的定义等比数列是指数列的相邻两项之比是一个常数的数列，这个常数称为公比。

【即时应用】
(1)思考:G2=ab是a，G，b成等比数列的什么条件？G= ab 呢？ 并说明理由.
提示:G2=ab是必要不充分条件；
G= ab 既不是充分条件也不是必要条件. 因为若G=0，a=0，则有G2=ab，G= ab ，而a，G，b不是等比数 列；若a，G，b成等比数列，则 G b ，
【规范解答】(1)设公比为q,则由5S2=S4知q≠1, 又a1=1,∴5(1+q)= 1 q4 ,
1 q
∴q2=4,又q＞0,
∴q=2.
∴a5=a1q4=1×24=16. 答案：16
(2)设{an}的公比为q，由题意得
a1q 6a1
6 a1q2

， 30
解得 aq123 或 aq132,
aG
所以G2=ab，不能推出G= ab .
(2)思考:若a，b存在等比中项，则a，b应满足什么条件？ 提示:a，b同号(a·b＞0)时，a，b存在等比中项，即a，b同为 正或同为负时，a，b存在等比中项.
(3)若等比数列{an}的前三项依次为a-1,a+1,a+4，则它的第5 项为______.
aa11qq52
2 16
解得
a1

1 2，
q 2
∴an= 1 ×2n-1=2n-2.
2
答案：(1) 2 (2)an=2n-2
8
3.等比中项 如果在a与b中间插入一个数G，使a,G,b成等比数列，则G叫做 a与b的等比中项，且_G_2_=_a_b_，即G=___a_b_.
【解析】(1)不是.等比数列中的项不能为0. (2)第二项与第一项的比值不等于常数2,故不是等比数列. (3)当a=0时,不满足等比数列的概念,故不一定是等比数列. (4)是等比数列. 答案：(1)否 (2)否 (3)否 (4)是

等比数列的判断和证明进阶洋葱数学1. 引言1.1 等比数列的概念等比数列是数学中常见的一种数列，指的是一个数列中每一项与它的前一项成等比例关系的数列。

换句话说，等比数列中任意相邻两项的比值都是恒定的，这个恒定比值称为公比，通常用字母q表示。

1，2，4，8，16就是一个公比为2的等比数列。

在等比数列中，首项表示数列中的第一个数，通常用字母a表示。

数列中第n项的表示一般为an=a*q^(n-1)，其中n为项数。

等比数列的通项公式为an=a*q^(n-1)，其中n为项数。

等比数列的前n项和公式为Sn=a*((q^n)-1)/(q-1)。

等比数列具有明显的规律性和对称性，能够通过一些性质和公式来描述和推导等比数列的特点和性质。

在接下来的文章中，我们将进一步讨论等比数列的判断方法、首项和公比的关系、等比中项的性质、等比数列的特点和应用以及如何进行等比数列的证明方法。

通过深入研究，我们可以更加全面地了解等比数列在数学中的重要性和应用价值。

1.2 等比数列的性质等比数列的性质包括等比数列的负项、任意项和等比中项的性质。

我们来看等比数列的负项。

如果一个数列是等比数列，那么它的任意一项和它的相反数都可以构成一个等比数列。

这是因为对于任意一项a，其相反数-b也是等比数列的一项，且它们的比值相同，即-b/a等于公比q。

等比数列的性质之一是每一项和其相反数构成一个等比数列。

等比数列的任意项也具有一定的性质。

假设一个等比数列的首项为a，公比为q，则它的第n项可以表示为a*q^(n-1)。

这个公式可以帮助我们快速计算等比数列任意一项的值，从而更好地理解等比数列的规律。

等比数列的等比中项也有着特殊的性质。

等比数列的等比中项是指两个相邻项的平方根，即等比数列中第n项与第n+1项的平方根。

这个性质有利于我们在不知道等比数列具体项的情况下，通过已知项求解中间项的值。

等比数列的性质包括每一项与其负项构成等比数列、任意项的计算公式以及等比中项的特殊性质。

2009届高考一轮复习3.3等比数列及其性质基础训练题（理科）注意：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

满分100分，考试时间45分钟。

第Ⅰ卷（选择题部分 共36分）一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 下列四个命题中：①公比1q >的等比数列是递增的数列； ②公比1q 0<<的等比数列是递增的数列； ③常数列是公比为1的等比数列；④公比0q <的等比数列是递减的数列。

其中正确命题的个数是（ ） （A ）0（B ）1（C ）2（D ）32. 已知数列{}n a 是等比数列，且每一项都是正数，若482a ,a 是06x 7x 22=+-的两个根，则49482521a ·a ·a ·a ·a 的值为（ ）（A ）221（B ）39 （C ）39±（D ）533.若递增等比数列{}n a 满足641a ·a ·a ,87a a a 321321==++，则此数列的公比=q （ ）（A ）21 （B ）221或 （C ）2 （D ）223或 4.（2007·陕西高考）各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若14S ,2S n 3n ==，则n 4S 等于（ ）（A ）80（B ）30（C ）26（D ）165. 首项为2，公比为3的等比数列，从第n 项到第N 项的和为720，则n ，N 的值分别为（ ）（A ）6N ,2n ==（B ）6N ,3n == （C ）7N ,2n ==（D ）7N ,3n ==6. 已知数列{}n a 的前n 项和为常数），k *N n (k 3S n n ∈+=，那么下面结论正确的是（ ）（A ）k 为任意实数时，{}n a 是等比数列（B ）1k -=时，{}n a 是等比数列 （C ）0k =时，{}n a 是等比数列 （D ）{}n a 不可能是等比数列第Ⅱ卷（非选择题部分 共64分）二、填空题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。