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数列的概念及等差数列-高考数学专题复习

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数列的概念与等差数列

知识精要

数列基础知识定义项，通项数列表示法数列分类等差数列等比数列定义通项公式前n项和公式性质特殊数列其他特殊数列求和数列

⒈ 数列的概念：按一定次序排列的一列数叫做数列.

注意：

（1）数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；

（2）定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.

⒉ 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，….

⒊数列的一般形式：,,,,,321naaaa，或简记为na，其中na是数列的第n项

4. 数列与函数的关系

数列可以看成以正整数集N*（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）为定义域的函数()nafn，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n｝）的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。

5．数列的分类：

（1）根据数列项数的多少分：

有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6。是有穷数列 无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6…是无穷数列

（2）根据数列项的大小分：

递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列。

递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列。

常数数列：各项相等的数列。

摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列

6.数列的表示方法

（1） 数列的通项公式：如果数列na的第n项na与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.

注意：

① 并不是所有数列都能写出其通项公式

② 一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，…它的通项公式可以是2)1(11nna，也可以是|21cos|nan.

③ 数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.

如数列 的通项公式为 *1()nannN；

...的通项公式为

； 的通项公式为 ；

（2）图象法

仿照函数图象的画法画数列的图形．具体方法是以项数 为横坐标，相应的项 为纵坐标，即以 为坐标在平面直角坐标系中做出点（以数列 为例，做出一个数列的图象），所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在 轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数．从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势．

（3）递推公式法

递推公式：如果已知数列na的第1项（或前几项），且任一项na与它的前一项1na（或前n项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式

递推公式也是给出数列的一种方法。

（4）列表法

7.数列}{na的前n项和nS与通项na的关系：

设数列}{na的前n项和为nS，即nnaaaS21，那么nS与na有如下关系：

)2()1(11nSSnSannn

8、等差数列 1nnaa=d (n错误!未找到引用源。)

9、等差数列的通项公式 na=1a+（n-1）d

10、等差数列性质：

（1）等差中项：2错误!未找到引用源。

（2）()nmaanmd 错误!未找到引用源。

（3）若m+n=p+q，m,n,p,q错误!未找到引用源。,则nmpqaaaa

11、等差数列的前n和的求和公式：11()(1)22nnnaannSnad

热身练习

1、某数列{an}的前四项为0，2，0，2，则以下各式：① an＝22[1＋(－1)n] ② an＝n)(11 ③ an＝ )(0)(2为奇数为偶数nn其中可作为{an}的通项公式的是 （ D ）A．① B．①② C．②③ D．①②③2、已知数列{an}的前n项的和Sn满足关系式lg(Sn－1)＝n，(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为 ．解：,110101)1lg(nnnnnSSnS当n＝1时，a1＝S1＝11；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝10n－10n－1＝9·10 n－1．故an＝)2(109)1(111nnn

3、在等差数列{an}中，a5＝3，a6＝－2，则a4＋a5＋…＋a10＝ ．

解：∵d＝a6－a5＝－5，

∴a4＋a5＋…＋a10＝49)2(72)(75104daaa 4、两等差数列{an}、{bn}的前n项和的比'5327nnSnSn，则55ab的值是 （ ）

A．2817 B．4825 C．5327 D．2315

解：B 解析：19559559199()24829252()2aaaaSbbSbb。

5、nnn212lim 0 .

6、同学们都知道，在一次考试后，如果按顺序去掉一些高分，那么班级的平均分将降低；

反之，如果按顺序去掉一些低分，那么班级的平均分将提高. 这两个事实可以用数学语言描述为：若有限数列naaa,,,21 满足naaa21，则 （结论用数学式子表示）.

)1(2121nmnaaamaaanm和

)1(2121nmnaaamnaaannmm

7、1lim33nCnn＝ ；

解：33223333321(1)(2)321limlimlimlim161(1)3!(1)3!(1)3!nnnnnCnnnnnnnnnnnn；

精解名题

例1、根据下面各数列的前n项的值，写出数列的一个通项公式．⑴ －312，534，－758，9716…；⑵ 1，2，6，13，23，36，…；⑶ 1，1，2，2，3，3，解： ⑴ an＝(－1)n)12)(12(12nnn⑵ an＝)673(212nn（提示：a2－a1＝1，a3－a2＝4，a4－a3＝7，a5－a4＝10，…，an－an－1＝1＋3(n－2)=3n－5．各式相加得)673(21)43)(1(211)]53(10741[12nnnnnan⑶ 将1，1，2，2，3，3，…变形为,213,202,211,,206,215,204∴4)1(1222)1(111nnnnna例2、已知数列{an}的前n项和Sn，求通项．⑴ Sn＝3n－2⑵ Sn＝n2＋3n＋1解 ⑴ an＝Sn－Sn－1 (n≥2) a1＝S1 解得：an＝)1(1)2(321nnn ⑵ an＝)2(22)1(5nnn例3、 根据下面数列{an}的首项和递推关系，探求其通项公式．⑴ a1＝1，an＝2an－1＋1 (n≥2)⑵ a1＝1，an＝113nna (n≥2)⑶ a1＝1，an＝11nann (n≥2)解：⑴ an＝2an－1＋1(an＋1)＝2(an－1＋1)(n≥2)，a1＋1＝2．故：a1＋1＝2n，∴an＝2n－1．⑵an＝（an－an－1）＋（an－1－an－2）＋…＋（a3－a2）＋（a2－a1）＋a1＝3n－1＋3n－2＋…＋33＋3＋1＝)13(21n．(3)∵nnaann11∴an＝12111232211nnnnaaaaaaaaannnnnnnnn112123

例4、已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝22nnaa(n∈N*)，求该数列的通项公式．解：方法一：由an＋1＝22nnaa得21111nnaa，∴{na1}是以111a为首项，21为公差的等差数列．∴na1＝1＋(n－1)·21,即an＝12n方法二：求出前5项，归纳猜想出an＝12n，然后用数学归纳证明．备选例题

例1、已知函数)(xf＝2x－2－x，数列{an}满足)(log2naf＝－2n，求数列{an}通项公式．解：nafnanan222)(log2log2log2naann21得nnan12例2、在等差数列{an}中，

(1)已知a15＝10，a45＝90，求a60；

(2)已知S12＝84，S20＝460，求S28；

(3)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S8．

解：(1)方法一：38382904410141145115dadaadaa

∴a60＝a1＋59d＝130．

方法二：3815451545aamnaadmn，由an＝am＋(n－m)da60＝a45＋(60－45)d＝90＋15×38＝130．

(2)不妨设Sn＝An2＋Bn，

∴172460202084121222BABABA

∴Sn＝2n2－17n

∴S28＝2×282－17×28＝1092

(3)∵S6＝S5＋a6＝5＋10＝15，

又S6＝2)10(62)(6161aaa

∴15＝2)10(61a即a1＝－5

而d＝31616aa

∴a8＝a6＋2 d＝16 S8＝442)(881aa

例3、已知数列{an}满足a1＝2a，an＝2a－12naa（n≥2）．其中a是不为0的常数，令bn＝aan1．

⑴ 求证：数列{bn}是等差数列．

⑵ 求数列{an}的通项公式．

解：∵ ⑴ an＝2a－12naa (n≥2)

∴ bn＝)(111112aaaaaaaaannnn (n≥2)

∴ bn－bn－1＝aaaaaaannn11)(111 (n≥2)

∴ 数列{bn}是公差为a1的等差数列．

⑵ ∵ b1＝aa11＝a1

故由⑴得：bn＝a1＋(n－1)×a1＝an

即：aan1＝an 得：an＝a(1＋n1)

例4、已知公比为3的等比数列nb与数列na满足*,3Nnbnan，且11a，

（1）判断na是何种数列，并给出证明；

（2）若11nnnaaC，求数列nC的前n项和

解：1）1111333,13nnnnaaannnanbaab，即 na为等差数列。

（2）11111111111,11nnnnnnnnnCSnaaaaaaa。

例5、已知{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，Tn为数列{nSn}前n项和。求Tn．

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高考知识点归纳总结数列

高考知识点归纳总结数列

高考知识点归纳总结数列

高考知识点归纳总结：数列

数列作为高中数学中重要的一部分知识点，无论是在数学的学习中还是在高考中都占据着重要的地位。在高考中，数列是一个既出现频率较高，又考查内容较为广泛的知识点，因此对数列的归纳总结对于高考的备考至关重要。

数列可以简单地理解为由一系列按照一定规则排列组合而成的数字。高中数学中常见的数列有等差数列和等比数列两种类型。等差数列是指由相等的等差差值逐项相加或相减而得到的数列，而等比数列则是由相等的等比比值逐项相乘或相除而得到的数列。

对于等差数列的学习，我们首先需要掌握等差数列的通项公式和求和公式。对于首项为$a_1$，公差为$d$的等差数列，其通项公式为$a_n = a_1 + (n-1)d$，其中$a_n$表示第$n$项的值。而等差数列的求和公式为$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$，其中$S_n$表示前$n$项的和。掌握这两个公式可以方便我们求等差数列的任意项和。

在高考中，等差数列常常与等差数列的性质和题型相结合，考察我们对数列的理解和应用能力。通过研究和总结历年高考真题，可以发现等差数列的题目主要包括找规律、给定条件求解、等差数列与数列和的关系以及应用题等方面。因此，我们在备考过程中需要重点掌握这些题型的解题方法和技巧。 与等差数列类似，等比数列也是高考数学中常见的一个重要知识点。对于等比数列的学习，我们首先需要了解等比数列的通项公式和求和公式。对于首项为$a_1$，公比为$r$的等比数列，其通项公式为$a_n =

a_1 \cdot r^{n-1}$。而等比数列的求和公式为$S_n = \frac{a_1 (1-r^n)}{1-r}$，其中$S_n$表示前$n$项的和。也同样需要掌握这两个公式才能应对等比数列的各种考查。

与等差数列类似，等比数列在高考中的考察内容也是多方面的，包括求解、应用、特殊项等方面。通过熟练掌握等比数列的性质和解题技巧，我们能够更好地应对高考中与等比数列相关的题目。

(完整版)高考数学专题《数列》超经典

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高考复习序列-----

高中数学

数列

2

一、数列的通项公式与前n项的和的关系

①11,1,2nnnsnassn （注：该公式对任意数列都适用）

②1(2)nnnSSan （注：该公式对任意数列都适用）

③12nnSaaaL （注：该公式对任意数列都适用）

④sn+1−sn−1=an+1+an （注：该公式对任意数列都适用）

二、等差与等比数列的基本知识

1、等差数列

⑴ 通项公式与公差：

定义式：daann1

一般式：qpnadnaann11

推广形式： ()nmaanmdmnaadmn；

mnmSnSdnmn2项和与公差的关系：前；

⑵ 前n项和与通项na的关系：

前n项和公式：1()2nnnaas1(1)2nnnad211()22dnadn.

前n项和公式的一般式： daBdABnAnSn21,2,12其中

应用：若已知nnnf22，即可判断nf为某个等差数列na的前n项和，并可求出首项及公差的值。

na与nS的关系：1(2)nnnaSSn（注：该公式对任意数列都适用）

例：等差数列12nSn，1nnaa （直接利用通项公式作差求解）

⑶ 常用性质：

①若m+n=p+q ，则有 mnpqaaaa ；特别地：若,mnpaaa是的等差中项，则有2mnpaaan、m、p成等差数列；

②等差数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”（如123,aaa456,aaa789aaa，）仍是等差数列；

③na为公差为d等差数列，nS为其前．n．项和．．，则232,,mmmmmSSSSS，43mmSS，．．．也成等差数列,

A、 构成的新数列公差为D=m2d，即m2d=(S2m-Sm)- Sm；

高考数列的知识点总结

高考数列的知识点总结

高考数列的知识点总结

数列作为高中数学中的重要内容，在高考中被广泛考察。掌握数列的基本概念、性质和解题方法，对于考生来说是非常重要的。本文将从数列的定义、常见数列类别和解题方法三个方面进行总结。

一、数列的定义与基本概念

数列是一组按照一定规律排列的数的集合。通常表示为{an}或者(an)，其中n表示项数，an表示第n项。数列可分为有限数列和无限数列两种。

数列的通项公式是指根据数列的规律，将第n项的值用n的函数表示出来。通项公式在解题中起到了至关重要的作用。在求解通项公式时，可以通过观察数列的差值、比值等关系，运用数学归纳法、代数方法或递推关系式等进行推导。

二、常见数列类别

1.等差数列

等差数列是指数列中的相邻两项之间的差值恒定的数列。通常用a1表示首项，d表示公差，an表示第n项，则等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d。在解题中，需要掌握等差数列的性质和求和公式。

2.等比数列

等比数列是指数列中的相邻两项之间的比值恒定的数列。通常用a1表示首项，q表示公比，an表示第n项，则等比数列的通项公式为an=a1*q^(n-1)。在解题时，需要注意公比的绝对值必须小于1，以避免出现无穷大或无穷小的情况。

3.等差-等比混合数列

等差-等比混合数列是指数列中的相邻两项既是等差数列又是等比数列的情况。通过观察数列的特点，可以分别求得等差数列和等比数列的通项公式，然后结合起来求解。解题时需要注意两个公式的条件以及合理运用。

4.斐波那契数列

斐波那契数列是一个特殊的数列，其前两项分别为1和1，之后的每一项都是前两项的和。斐波那契数列的通项公式为an=F(n)，其中F(n)表示第n项。在解题时，可以通过递推关系式或矩阵的形式求解。

三、数列的解题方法

1.求和

求和是数列考察的重点之一。对于等差数列，可以根据首项、末项和项数利用求和公式来求解；对于等比数列，则需要利用首项、公比和项数来求解。同时，需要掌握求和时的一些常用技巧，如化简等。

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数学数列部分知识点梳理

一数列的概念

1）数列的前n项和与通项的公式①nnaaaS21；

)2()1(11nSSnSannn

2）数列的分类：①递增数列:对于任何Nn,均有nnaa1.②递减数列:对于任何Nn,均有nnaa1.③摆动数列:例如: .,1,1,1,1,1④常数数列:例如:6,6,6,6,…….⑤有界数列:存在正数M使NnMan,.⑥无界数列:对于任何正数M,总有项na使得Man.

一、等差数列

1）通项公式dnaan)1(1，1a为首项，d为公差。前n项和公式2)(1nnaanS或dnnnaSn)1(211.

2）等差中项：baA2。

3）等差数列的判定方法：⑴定义法：daann1（Nn，d是常数）na是等差数列；⑵中项法：212nnnaaa(Nn)na是等差数列.

4）等差数列的性质：

⑴数列na是等差数列，则数列pan、npa（p是常数）都是等差数列；

⑵在等差数列na中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即,,,,32knknknnaaaa为等差数列，公差为kd.

⑶dmnaamn)(；banan(a,b是常数)；bnanSn2(a,b是常数，0a)

⑷若),,,(Nqpnmqpnm，则qpnmaaaa；

⑸若等差数列na的前n项和nS，则nSn是等差数列；

⑹当项数为)(2Nnn，则nnaaSSndSS1,奇偶奇偶；

当项数为)(12Nnn，则nnSSaSSn1,奇偶偶奇.

(7)设是等差数列，则（是常数）是公差为的等差数列；