高考数学复习：等差数列与等比数列

等差数列与等比数列的证明方法

高考题中，有关证明、判断数列是等差（等比）数列的题型比比皆是，如何 处理这些题目呢?

证明或判断等差（等比）数列的方法常有四种：定义法、等差或等比中项法、

数学归纳法、反证法。

一、定义法

10.证明数列是等差数列的充要条件的方法：

an 4 - an = d （常数）=「是等差数列

a2n .2 一 a2n = d （常数）=〔a2n ?是等差数列 a3n .3 - a?. = d （常数）=【a3“是等差数列

20.证明数列是等差数列的充分条件的方法：

an-anj = d（n - 2）=「即是等差数列

an .1 - a.二a. - an/n - 2）=心話是等差数列

30.证明数列是等比数列的充要条件的方法:

40.证明数列是等比数列的充要条件的方法:

（n>2, q为常数且工0） = N ｛为等比数列

注意事项：用定义法时常米用的两个式子 an-an」二d和anj-an^d有差别，前者

必须加上“n > 2 ”否则n=1时a。无意义，等比中一样有：n > 2时，有旦=|l|=q an J

例1.设数列ai,a2」l（,an,川中的每一项都不为0。

证明：玄［为等差数列的充分必要条件是：对任何 n N，都有

Sia2 a2a3 anan '1 a1an 1

证明：先证必要性

设｛an｝为等差数列，公差为d,则 an 1

an 二q（q =0且为常数, ai =0）：=「an ［为等比数列

an -=q

an 4

②n・N ”时，有也"l"q

an （常数=0）. a1 an - a2 a n 4 =a 3 + an -2

当d=0时，显然命题成立

当d工0时，

1 1 ‘1 丄、

anan + d(4 an -1 j

证：=)若｛an｝为等差数列，则再证充分性:

1

3l 32 32 曰3 93 日4 1

3n 1 n

3] 3n 1 ①

'•a〔 a? a? 83 93 日4 an an 1

1 专题复习：等差数列与等比数列

辛集市第一中学 王庆旺

一、教材分析：

数列知识是历年高考的重点内容，是必考的热点。数列考查的重点是等差、等比数列的定义、通项公式、前几项和公式、等差（比）中项及等比等差数列的性质的灵活运用。这一部分主要考查学生的运算能力，逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力，其中考查思维能力是支柱，运算能力是主体，应用是归宿．在选择题、填空题中突出了“小、巧、活”的三大特点，在解答题中以中等难度以上的综合题为主，涉及函数、方程、不等式等重要内容，试题中往往体现了函数与方程，等价转化，分类讨论等重要的数学思想。

二、复习目的：

1．熟练掌握等差、等比数列的定义、通项公式、前n项和公式、等差（比）中项及等差（比）数列的相关性质．

2. 灵活运用等差（比）数列的相关性质解决相应问题.在解决数列综合性问题时，灌输方程思想、化归思想及分类讨论思想。培养学生运算能力、逻辑思维能力、分析问题以及解决问题的能力.

三、重点、难点：

重点：等差、等比数列的定义、通项公式、前几项和公式、等差（比）中项及等差（比）数列的相关性质．

难点：灵活运用差（比）数列的相关性质结合函数思想、方程思想探求解题思路，分析问题、解决问题．

四、过程：

（一）知识要点回顾：

1、重要公式：

（1）数列通项公式na与前n项和公式nS之间的关系：1n1 n1S n2nnSaS.

（2）等差数列：

①定义：1{}(nnnaaad为等差数列常数）.

②通项公式：1(1)naand ， ()nmaanmd .

③前n项和公式：11()(1)22nnnaannSnad .

④等差中项:112nnnaaa .

2 (3)等比数列:

①定义：1{}(0.nnnnaaqqaa为等比数列，为常数）,

②通项公式：11nnaaq nmnmaaq .

1 / 7 课题名称 等差数列与等比数列

一、等差数列及其前n项和

1、等差数列的定义

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，通常用d表示，

其符号语言为：1nnaad（2n≥，d为常数）

2、等差数列的通项公式

若等差数列na的首项为1a，公差是d，则其通项公式为11naand．

注：已知等差数列na的第m项为ma，公差为d，

则其第n项na可以表示为：nmaanmd．

3、等差中项

如果三个数a，A，b成等差数列，则A叫做a和b的等差中项，且有2abA．

4、等差数列的前n项和公式：11122nnnaannSnad

（一）等差数列的基本运算

1．等差数列运算问题的通法

等差数列运算问题的一般求法是设出首项1a和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程（组）求解．

2．等差数列前n项和公式的应用方法

等差数列前n项和公式有两个，如果已知项数n、首项1a和第n项na，则利用12nnnaaS，该公式经常和等差数列的性质结合应用．如果已知项数n、首项1a和公差d，则利用112nnndSna，在求解等差数列的基本运算问题时，有时会和通项公式结合使用．

例1、已知数列nx的首项13x，通项2nnxpnq（n*N，且p、q为常数），且1x，4x，5x成等差数列．求：

（1）p、q的值；

2 / 7 （2）数列nx的前n项和nS的公式．

（二）等差数列的判定

相关链接

1、等差数列的判定通常有两种方法：

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2020版高三数学二轮复习（全国理）讲义：专题四

第一讲等差数列、等比数列

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第一讲 等差数列、等比数列

高考考点 考点解读

等差(比)数列的基本运算 1.在等差(比)数列中.a1.an.Sn.n.d(q)这五个量中已知其中的三个量.求另外两个量

2．考查等差(比)数列的通项公式.前n项和公式.考查方程的思想以及运算能力

等差(比)数列的判断与证明 1.以递推数列为载体.考查等差(比)数列的定义或等差(比)中项

2．以递堆数列为命题背景考查等差(比)数列的证明方法

等差(比)数列的性质 1.等差(比)数列项或和的一些简单性质的应用

2．常与数列的项或前n项和结合考查等差(比)数列的性质

备考策略

本部分内容在备考时应注意以下几个方面：

(1)加强对等差(比)数列概念的理解.掌握等差(比)数列的判定与证明方法．

(2)掌握等差(比)数列的通项公式、前n项和公式.并会应用．

3 / 21 (3)掌握等差(比)数列的简单性质并会应用．

预测2020年命题热点为：

(1)在解答题中.涉及等差、等比数列有关量的计算、求解．

(2)已知数列满足的关系式.判定或证明该数列为等差(比)数列．

(3)给出等差(比)数列某些项或项与项之间的关系或某些项的和.求某一项或某些项的和．

Z知识整合hi shi zheng he

1．重要公式

(1)等差数列通项公式：an＝a1＋(n－1)d.

(2)等差数列前n项和公式：Sn＝na1＋an2＝na1＋nn－12d.

(3)等比数列通项公式：an＝a1qn－1.

(4)等比数列前n项和公式：

Sn＝ na1q＝1a11－qn1－q＝a1－anq1－qq≠1.

(5)等差中项公式：2an＝an－1＋an＋1(n∈N*.n≥2).