高考数学复习专题五解析几何第三讲第二课时圆锥曲线的定点、定值、存在性问题课后训练文

高考数学复习：圆锥曲线的定点、定值、定直线【热点聚焦】纵观近几年的高考试题，圆锥曲线的定点、定值、定直线问题是热点之一.从命题的类型看，主要是大题.一般说来，考查直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系问题，综合性较强，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长、面积、参数、几何量为定值，或定点在某直线上、定直线过某点等.难度往往大些.【重点知识回眸】（一）定值问题1.定义：定值问题是指虽然圆锥曲线中的某些要素（通常可通过变量进行体现）有所变化，但在变化过程中，某个量的值保持不变即为定值.2.圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值：依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值；(2)求点到直线的距离为定值：利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得；(3)求某线段长度为定值：利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．3.常见定值问题的处理方法：（1）确定一个（或两个）变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示（2）将所求表达式用核心变量进行表示（有的甚至就是核心变量），然后进行化简，看能否得到一个常数.4.定值问题的处理技巧：（1）对于较为复杂的问题，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直线等）求出定值，进而给后面一般情况的处理提供一个方向.（2）在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢（3）巧妙利用变量间关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算（二）定点问题1.求解圆锥曲线中的定点问题的两种思路：(1)特殊推理法：先从特殊情况入手，求出定点，再证明定点与变量无关.(2)直接推理法：①选择一个参数建立直线系方程，一般将题目中给出的曲线方程(包含直线方程)中的常量当成变量，将变量x，y当成常量，将原方程转化为kf(x，y)＋g(x，y)＝0的形式(k是原方程中的常量)；②根据直线过定点时与参数没有关系(即直线系方程对任意参数都成立)，得到方程组()0g()0f x y x y =⎧⎨=⎩，，；③以②中方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点，若定点具备一定的限制条件，则可以特殊解决.2.求解圆锥曲线中的定点问题的方法（1）确定题目中的核心变量（此处设为k ）（2）利用条件找到k 与过定点的曲线(),0F x y =的联系，得到有关k 与,x y 的等式（3）所谓定点，是指存在一个特殊的点()00,x y ，使得无论k 的值如何变化，等式恒成立.此时要将关于k 与,x y 的等式进行变形，直至易于找到00,x y .常见的变形方向如下：①若等式的形式为整式，则考虑将含k 的项归在一组，变形为“()k ⋅”的形式，从而00,x y 只需要先让括号内的部分为零即可②若等式为含k 的分式，00,x y 的取值一方面可以考虑使其分子为0，从而分式与分母的取值无关；或者考虑让分子分母消去k 的式子变成常数（这两方面本质上可以通过分离常数进行相互转化，但通常选择容易观察到的形式）3.一些技巧与注意事项：（1）面对复杂问题时，可从特殊情况入手，以确定可能的定点（或定直线）.然后再验证该点（或该直线）对一般情况是否符合.属于“先猜再证”.（2）有些题目所求与定值无关，但是在条件中会隐藏定点，且该定点通常是解题的关键条件.所以当遇到含参数的方程时，要清楚该方程为一类曲线（或直线），从而观察这一类曲线是否过定点.尤其在含参数的直线方程中，要能够找到定点，抓住关键条件.例如：直线:1l y kx k =+-，就应该能够意识到()11y k x =+-，进而直线绕定点()1,1--旋转.（三）定直线问题探求圆锥曲线中的定直线问题的两种方法：方法一是参数法，即先利用题设条件探求出动点T 的坐标(包含参数)，再消去参数，即得动点T 在定直线上；方法二是相关点法，即先设出动点T 的坐标为(x，y)，根据题设条件得到已知曲线上的动点R 的坐标，再将动点R 的坐标代入已知的曲线方程，即得动点T 在定直线上．【典型考题解析】热点一定值问题【典例1】已知抛物线C ：2y =2px 经过点P （1，2）．过点Q （0，1）的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ．（Ⅰ）求直线l 的斜率的取值范围；（Ⅱ）设O 为原点，QM QO λ= ，QN QO μ= ，求证：11λμ+为定值．【典例2】如图，已知抛物线2:4C x y =，过点(0,2)M 任作一直线与C 相交于,A B 两点，过点B 作y 轴的平行线与直线AO 相交于点D （O 为坐标原点）.(1)证明：动点D 在定直线上；(2)作C 的任意一条切线l （不含x 轴）与直线2y =相交于点1N ，与（1）中的定直线相交于点2N ，证明：2221||MN MN -为定值，并求此定值.【典例3】已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，过F 且斜率为43的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，B 在x 轴的上方，且点B 的横坐标为4.（1）求抛物线C 的标准方程；（2）设点P 为抛物线C 上异于A ，B 的点，直线PA 与PB 分别交抛物线C 的准线于E ，G 两点，x 轴与准线的交点为H ，求证：HG HE ⋅为定值，并求出定值.【典例4】已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过()30,2,,12A B ⎛--⎫ ⎪⎝⎭两点．(1)求E 的方程；(2)设过点()1,2P -的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT TH = ．证明：直线HN 过定点．【典例5】已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅= ，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．（1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点.【典例6】已知抛物线C ：x 2=−2py 经过点（2，−1）．（Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =−1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B .求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．【总结提升】动直线l 过定点问题的常见思路设动直线方程(斜率存在)为y ＝kx ＋t ，由题设条件将t 用k 表示为t ＝mk ，得y ＝k(x ＋m)，故动直线过定点(－m,0)．【典例7】设椭圆的焦点在x 轴上（Ⅰ）若椭圆的焦距为1，求椭圆的方程；（Ⅱ）设分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上第一象限内的点，直线交轴与点，并且，证明：当变化时，点在某定直线上.【典例8】已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是()11,0F -，()21,0F ，点()0,A b ，若12AF F △的内切圆的半径与外接圆的半径的比是1:2．(1)求椭圆C 的方程；(2)过C 的左焦点1F 作弦DE ，MN ，这两条弦的中点分别为P ，Q ，若0DE MN ⋅= ，证明：直线PQ 过定点．【典例9】设12,F F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左､右两个焦点，O 为坐标原点，若点P 在双曲线C 的右支上，且1122,OP OF PF F == 的面积为3.(1)求双曲线C 的渐近线方程；(2)若双曲线C 的两顶点分别为()()12,0,,0A a A a -，过点2F 的直线l 与双曲线C 交于M ，N 两点，试探究直线1A M 与直线2A N 的交点Q 是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；若不在，请说明理由.1．已知椭圆2222:1x y C a b+=的右焦点为(1,0)，且经过点(0,1)A .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，直线:(1)l y kx t t =+≠±与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，若|OM |·|ON |=2，求证：直线l 经过定点.2．在平面直角坐标系中，动点(),M x y 与定点()5,0F 的距离和M 到定直线16:5l x =的距离的比是常数54，设动点M 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)设()2,0P ，垂直于x 轴的直线与曲线C 相交于,A B 两点，直线AP 和曲线C 交于另一点D ，求证：直线BD 过定点.3．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的离心率为32，右焦点F.(1)求双曲线C 的方程；(2)若12,A A 分别是C 的左､右顶点，过F 的直线与C 交于,M N 两点（不同于12,A A ）.记直线12,A M A N 的斜率分别为12,k k ，请问12k k 是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由.4．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左焦点为()11,0F -，上、下顶点分别为A ，B ，190AF B ∠=︒．(1)求椭圆C 的方程；(2)若椭圆上有三点P ，Q ，M 满足OM OP OQ =+uuu r uu u r uuu r ，证明：四边形OPMQ 的面积为定值．5．已知动圆M 过定点()2,0A ，且在y 轴上截得的弦长为4，圆心M 的轨迹为曲线L ．(1)求L 的方程；(2)已知点()3,2B --，()2,1C ，P 是L 上的一个动点，设直线PB ，PC 与L 的另一交点分别为E ，F ，求证：当P 点在L 上运动时，直线EF 恒过一个定点，并求出这个定点的坐标．6．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，一个焦点1F 与抛物线2y =-的焦点重合．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线:l y kx m =+交C 于,A B 两点，直线1F A 与1F B 关于x 轴对称，证明：直线l 恒过一定点．7．在直角坐标系xOy 中，已知定点(0,1)F ，定直线:3l y =-，动点M 到直线l 的距离比动点M 到点F 的距离大2．记动点M 的轨迹为曲线C ．(1)求C 的方程，并说明C 是什么曲线？(2)设0(2,)P y 在C 上，不过点P 的动直线1l 与C 交于A ，B 两点，若90APB ∠=︒，证明：直线1l 恒过定点．8．椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设F 为椭圆C 的左焦点，M 为直线3x =-上任意一点，过F 作MF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q ．证明：OM 经过线段PQ 的中点N ．（其中O 为坐标原点）9．已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为2，短轴长为2.(1)求E 的方程；(2)过点()4,0M -且斜率不为0的直线l 与E 自左向右依次交于点B ，C ，点N 在线段BC 上，且MB NBMC NC =，P 为线段BC 的中点，记直线OP ，ON 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k 为定值.10．已知椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>的右焦点为F ，过点F 作一条直线交C 于R ，S 两点，线段RS，C的离心率为2．(1)求C 的标准方程；(2)斜率不为0的直线l 与C 相交于A ，B 两点，(2,0)P ，且总存在实数R λ∈，使得PA PB PF PA PB λ⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎝⎭ ，问：l 是否过一定点？若过定点，求出该定点的坐标11．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F ，圆O ：222x y a +=，过F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 和圆O.(1)求C 的方程；(2)过圆O 上一点P （不在坐标轴上）作C 的两条切线1l ，2l ，记1l ，2l 的斜率分别为1k ，2k ，直线OP 的斜率为3k ，证明：()123k k k +为定值.12.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，且过点()2,1A ．（1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM AN ⊥，AD MN ⊥，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得DQ 为定值．。

[限时规范训练] 单独成册A 组——高考热点强化练1.已知动点P 到直线l :x ＝－1的距离等于它到圆C :x 2＋y 2－4x ＋1＝0的切线长(P 到切点的距离).记动点P 的轨迹为曲线E . (1)求曲线E 的方程.(2)点Q 是直线l 上的动点,过圆心C 作QC 的垂线交曲线E 于A ,B 两点,问:是否存在常数λ,使得|AC |·|BC |＝λ|QC |2？若存在,求λ的值;若不存在,说明理由.【试题解析】:(1)由已知得圆心为C (2,0),半径r ＝ 3.设P (x ,y ),依题意可得|x ＋1|＝(x －2)2＋y 2－3,整理得y 2＝6x . 故曲线E 的方程为y 2＝6x . (2)设直线AB 的方程为my ＝x －2,则直线CQ 的方程为y ＝－m (x －2),可得Q (－1,3m ). 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).将my ＝x －2代入y 2＝6x 并整理得y 2－6my －12＝0,那么y 1y 2＝－12,则|AC |·|BC |＝(1＋m 2)|y 1y 2|＝12(1＋m 2),|QC |2＝9(1＋m 2),即|AC |·|BC |＝43|QC |2,所以λ＝43.2.(2017·高考北京卷)已知抛物线C :y 2＝2px 过点P (1,1).过点⎝⎛⎭⎫0，12作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ,N ,过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ,ON 交于点A ,B ,其中O 为原点. (1)求抛物线C 的方程,并求其焦点坐标和准线方程; (2)求证:A 为线段BM 的中点.【试题解析】:(1)由抛物线C :y 2＝2px 过点P (1,1),得p ＝12,所以抛物线C 的方程为y 2＝x .抛物线C 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫14，0,准线方程为x ＝－14. (2)证明:由题意,设直线l 的方程为y ＝kx ＋12(k ≠0),l 与抛物线C 的交点为M (x 1,y 1),N (x 2,y 2).由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋12，y 2＝x ，得4k 2x 2＋(4k －4)x ＋1＝0, 则x 1＋x 2＝1－k k 2,x 1x 2＝14k2.因为点P 的坐标为(1,1),所以直线OP 的方程为y ＝x ,点A 的坐标为(x 1,x 1). 直线ON 的方程为y ＝y 2x 2x ,点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫x 1，y 2x 1x 2.因为y 1＋y 2x 1x 2－2x 1＝y 1x 2＋y 2x 1－2x 1x 2x 2＝⎝⎛⎭⎫kx 1＋12x 2＋⎝⎛⎭⎫kx 2＋12x 1－2x 1x 2x 2＝(2k －2)x 1x 2＋12(x 2＋x 1)x 2＝(2k －2)×14k 2＋1－k2k2x 2＝0,所以y 1＋y 2x 1x 2＝2x 1,故A 为线段BM 的中点.3.如图所示,已知椭圆C 的中心在原点,焦点在x 轴上,离心率等于32,它的一个顶点恰好在抛物线x 2＝8y 的准线上.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)点P (2,3),Q (2,－3)在椭圆上,A ,B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的动点,当A ,B 运动时,满足∠APQ ＝∠BPQ ,试问:直线AB 的斜率是否为定值,请说明理由. 【试题解析】:(1)设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0).∵椭圆的一个顶点恰好在抛物线x 2＝8y 的准线y ＝－2上, ∴－b ＝－2,解得b ＝2. 又c a ＝32,a 2＝b 2＋c 2, ∴a ＝4,c ＝2 3.可得椭圆C 的标准方程为x 216＋y 24＝1.(2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),∵∠APQ ＝∠BPQ ,则P A ,PB 的斜率互为相反数, 可设直线P A 的斜率为k ,则PB 的斜率为－k , 直线P A 的方程为:y －3＝k (x －2),联立⎩⎨⎧y －3＝k (x －2)，x 2＋4y 2＝16，化为(1＋4k 2)x 2＋8k (3－2k )x ＋4(3－2k )2－16＝0, ∴x 1＋2＝8k (2k －3)1＋4k 2.同理可得:x 2＋2＝－8k (－2k －3)1＋4k 2＝8k (2k ＋3)1＋4k 2,∴x 1＋x 2＝16k 2－41＋4k 2,x 1－x 2＝－163k1＋4k 2, k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝k (x 1＋x 2)－4k x 1－x 2＝36.∴直线AB 的斜率为定值36. 4.如图,设P 是抛物线C 1:x 2＝y 上的动点,过点P 作圆C 2:x 2＋(y ＋3)2＝1的两条切线,交直线l :y ＝－3于A ,B 两点.(1)求圆C 2的圆心M 到抛物线C 1准线的距离.(2)是否存在点P ,使线段AB 被抛物线C 1在点P 处的切线平分？若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.【试题解析】:(1)因为抛物线C 1的准线方程为y ＝－14,所以圆心M 到抛物线C 1准线的距离为⎪⎪⎪⎪－14－(－3)＝114. (2)设存在满足题意的点P ,其坐标为(x 0,x 20),抛物线C 1在点P 处的切线交直线l 于点D . 再设A ,B ,D 的横坐标分别为x A ,x B ,x D , 过点P (x 0,x 20)的抛物线C 1的切线方程为 y －x 20＝2x 0(x －x 0).①当x 0＝1时,过点P (1,1)的圆C 2的切线P A 为 y －1＝158(x －1),可得x A ＝－1715,x B ＝1,x D ＝－1,x A ＋x B ≠2x D .当x 0＝－1时,过点P (－1,1)的圆C 2的切线PB 为 y －1＝－158(x ＋1),可得x A ＝－1,x B ＝1715,x D ＝1,x A ＋x B ≠2x D .所以x 20－1≠0,设切线P A ,PB 的斜率分别为k 1,k 2,则 P A :y －x 20＝k 1(x －x 0),②PB :y －x 20＝k 2(x －x 0).③ 将y ＝－3分别代入①②③得x D ＝x 20－32x 0(x 0≠0);x A ＝x 0－x 20＋3k 1;x B ＝x 0－x 20＋3k 2(k 1,k 2≠0).从而x A ＋x B ＝2x 0－(x 20＋3)⎝⎛⎭⎫1k 1＋1k 2, 又|－x 0k 1＋x 20＋3|k 21＋1＝1, 即(x 20－1)k 21－2(x 20＋3)x 0k 1＋(x 20＋3)2－1＝0, 同理,(x 20－1)k 22－2(x 20＋3)x 0k 2＋(x 20＋3)2－1＝0.所以k 1,k 2是方程(x 20－1)k 2－2(x 20＋3)x 0k ＋(x 20＋3)2－1＝0的两个不相等的根,从而k 1＋k 2＝2(3＋x 20)x 0x 20－1,k 1·k 2＝(3＋x 20)2－1x 20－1. 因为x A ＋x B ＝2x D , 所以2x 0－(3＋x 20)⎝⎛⎭⎫1k 1＋1k 2＝x 20－3x 0,即1k 1＋1k 2＝1x 0.从而2(3＋x 20)x 0(x 20＋3)2－1＝1x 0,进而得x 40＝8,x 0＝±48.综上所述,存在点P 满足题意,点P 的坐标为(±48,22).B 组——高考能力提速练1.(2017·高考北京卷)已知椭圆C 的两个顶点分别为A (－2,0),B (2,0),焦点在x 轴上,离心率为32. (1)求椭圆C 的方程;(2)点D 为x 轴上一点,过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M ,N ,过D 作AM 的垂线交BN 于点E .求证:△BDE 与△BDN 的面积之比为4∶5. 【试题解析】:(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0),由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝32，解得c ＝3,所以b 2＝a 2－c 2＝1, 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明:设M (m ,n ),则D (m,0),N (m ,－n ), 由题设知m ≠±2,且n ≠0. 直线AM 的斜率k AM ＝nm ＋2, 故直线DE 的斜率k DE ＝－m ＋2n ,所以直线DE 的方程为y ＝－m ＋2n(x －m ), 直线BN 的方程为y ＝n2－m(x －2).联立⎩⎨⎧y ＝－m ＋2n(x －m )，y ＝n2－m (x －2)，解得点E 的纵坐标y E ＝－n (4－m 2)4－m 2＋n 2.由点M 在椭圆C 上,得4－m 2＝4n 2,所以y E ＝－45n .又S △BDE ＝12|BD |·|y E |＝25|BD |·|n |,S △BDN ＝12|BD |·|n |,所以△BDE 与△BDN 的面积之比为4∶5.2.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝63,过点A (0,－b )和B (a,0)的直线与原点的距离为32. (1)求椭圆的方程;(2)已知定点E (－1,0),若直线y ＝kx ＋2(k ≠0)与椭圆交于C 、D 两点.问:是否存在k 的值,使以CD 为直径的圆过E 点？请说明理由.【试题解析】:(1)直线AB 的方程为bx －ay －ab ＝0.依题意⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝63，ab a 2＋b2＝32，a 2＝b 2＋c2解得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝1，∴椭圆方程为x 23＋y 2＝1.(2)假若存在这样的k 值,由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 2＋3y 2－3＝0得(1＋3k 2)x 2＋12kx ＋9＝0, ∴Δ＝(12k )2－36(1＋3k 2)>0. ①设C (x 1,y 1),D (x 2,y 2),则⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－12k 1＋3k 2，x 1·x 2＝91＋3k2， ②而y 1·y 2＝(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝k 2x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4.要使以CD 为直径的圆过点E (－1,0),当且仅当CE ⊥DE 时,则y 1x 1＋1·y 2x 2＋1＝－1,即y 1y 2＋(x 1＋1)(x 2＋1)＝0, ∴(k 2＋1)x 1x 2＋(2k ＋1)(x 1＋x 2)＋5＝0, ③将②代入③整理解得k ＝76,经验证k ＝76,此时①成立.综上可知,存在k ＝76,使得以CD 为直径的圆过点E .3.椭圆C :x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的上顶点为A ,P ⎝⎛⎭⎫43，b 3是C 上的一点,以AP 为直径的圆经过椭圆C 的右焦点F . (1)求椭圆C 的方程.(2)动直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点,问:在x 轴上是否存在两个定点,它们到直线l 的距离之积等于1？如果存在,求出这两个定点的坐标;如果不存在,请说明理由.【试题解析】:(1)F (c,0),A (0,b ),由题设可知F A →·FP →＝0,∴c 2－43c ＋b 23＝0. ①又点P 在椭圆C 上,∴169a 2＋b 29b 2＝1,∴a 2＝2. ②又b 2＋c 2＝a 2＝2, ③ 联立①③,解得c ＝1,b 2＝1, 故所求椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)当直线l 的斜率存在时,设其方程为y ＝kx ＋m ,代入椭圆方程,消去y 整理得(2k 2＋1)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0,(*) 方程(*)有且只有一个实根,又2k 2＋1>0, 所以Δ＝0,得m 2＝2k 2＋1,假设存在M 1(λ1,0),M 2(λ2,0)满足题设, 则d 1·d 2＝|(λ1k ＋m )(λ2k ＋m )|k 2＋1＝|λ1λ2k 2＋(λ1＋λ2)km ＋2k 2＋1|k 2＋1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪(λ1λ2＋2)k 2＋(λ1＋λ2)km ＋1k 2＋1＝1对任意的实数k 恒成立.所以⎩⎪⎨⎪⎧ λ1λ2＝－1，λ1＋λ2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ1＝1，λ2＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝－1，λ2＝1.当直线l 的斜率不存在时,经检验符合题意.综上所述,存在两个定点M 1(1,0),M 2(－1,0),使它们到直线l 的距离之积等于1.4.(2017·黄冈模拟)如图,已知点F 1,F 2是椭圆C 1:x 22＋y 2＝1的两个焦点,椭圆C 2:x 22＋y 2＝λ经过点F 1,F 2,点P 是椭圆C 2上异于F 1,F 2的任意一点,直线PF 1和PF 2与椭圆C 1的交点分别是A ,B 和C ,D .设AB ,CD 的斜率分别为k ,k ′.(1)求证:k ·k ′为定值; (2)求|AB |·|CD |的最大值.【试题解析】:(1)证明:因为点F 1,F 2是椭圆C 1的两个焦点,故F 1,F 2的坐标是F 1(－1,0),F 2(1,0). 而点F 1,F 2是椭圆C 2上的点,将F 1,F 2的坐标代入C 2的方程得,λ＝12.设点P 的坐标是(x 0,y 0),∵直线PF 1和PF 2的斜率分别是k ,k ′(k ≠0,k ′≠0) ∴kk ′＝y 0x 0＋1·y 0x 0－1＝y 20x 20－1,①又点P 是椭圆C 2上的点,故x 202＋y 20＝12,② 联立①②两式可得kk ′＝－12,即k ·k ′为定值.(2)直线PF 1的方程可表示为y ＝k (x ＋1)(k ≠0), 与椭圆C 1的方程联立, 得到方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 22＋y 2＝1，由方程组得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1＋x 2＝－4k 21＋2k 2,x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2.|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝22(1＋k 2)1＋2k 2.同理可求得|CD |＝2(1＋4k 2)1＋2k 2,则|AB |·|CD |＝4(4k 4＋5k 2＋1)(1＋2k 2)2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋11k 2＋4k 2＋4≤92, 当且仅当k ＝±22时等号成立.故|AB |·|CD |的最大值等于92.。

圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题1．(2017·衡水中学模拟)已知焦距为23的椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1、上顶点为D ，直线DF 1与椭圆C 的另一个交点为H ，且|DF 1|＝7|F 1H |.(1)求椭圆的方程；(2)点A 是椭圆C 的右顶点，过点B (1,0)且斜率为k (k ≠0)的直线l 与椭圆C 相交于E ，F 两点，直线AE ，A F 分别交直线x ＝3于M ，N 两点，线段MN 的中点为P .记直线PB 的斜率为k ′，求证：k ·k ′为定值．解：(1)∵椭圆C 的焦距为23，∴F 1(－3，0)，又D (0，b )，|DF 1|＝7|F 1H |，∴点H 的坐标为⎝⎛⎭⎫－837，－b 7，则64×349a2＋149＝1，解得a 2＝4，则b 2＝a 2－3＝1， ∴椭圆C 的方程为x24＋y 2＝1.(2)证明：根据已知可设直线l 的方程为y ＝k (x －1)． 由错误!得(4k 2＋1)x 2－8k 2x ＋4k 2－4＝0. 设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8k24k2＋1，x 1x 2＝4k2－44k2＋1.直线AE ，AF 的方程分别为：y ＝y1x1－2(x －2)，y ＝y2x2－2(x －2)， 令x ＝3，则M ⎝⎛⎭⎫3，y1x1－2，N ⎝⎛⎭⎫3，y2x2－2，∴P ⎝⎛⎭⎫3，12⎝⎛⎭⎫y1x1－2＋y2x2－2.∴k ·k ′＝k 4×错误!＝k24×错误! ＝k24×8k2－8－24k2＋16k2＋44k2＋14k2－4－16k2＋16k2＋44k2＋1＝k24×－44k2＝－14(定值)． 2．(2016·合肥模拟)已知椭圆E ：x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)经过点(22，2)，且离心率为22，F 1，F 2是椭圆E 的左，右焦点． (1)求椭圆E 的方程；(2)若A ，B 是椭圆E 上关于y 轴对称的两点(A ，B 不是长轴的端点)，点P 是椭圆E 上异于A ，B 的一点，且直线PA ，PB 分别交y 轴于点M ，N ，求证：直线MF 1与直线NF 2的交点G 在定圆上．解：(1)由题意知⎩⎨⎧8a2＋4b2＝1，ca ＝22，a2＝b2＋c2，解得⎩⎨⎧a ＝4，b ＝22，c ＝22，故椭圆E 的方程为x216＋y28＝1.(2)证明：设B (x 0，y 0)，P (x 1，y 1)，则A (－x 0，y 0)． 直线PA 的方程为y －y 1＝y1－y0x1＋x0(x －x 1)， 令x ＝0，得y ＝x1y0＋x0y1x1＋x0，故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，x1y0＋x0y1x1＋x0.同理可得N ⎝⎛⎭⎪⎫0，x1y0－x0y1x1－x0. 所以F1M ―→―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，x1y0＋x0y1x1＋x0，F2N ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，x1y0－x0y1x1－x0，所以F1M ―→·F2N ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，x1y0＋x0y1x1＋x0·⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，x1y0－x0y1x1－x0＝－8＋x21y20－x20y21x21－x20＝－8＋x21×8⎝⎛⎭⎫1－x2016－x20×8⎝⎛⎭⎫1－x2116x21－x20＝－8＋8＝0，所以F 1M ⊥F 2N ，所以直线MF 1与直线NF 2的交点G 在以F 1F 2为直径的圆上． 3．(2016·洛阳统考)已知椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)的离心率为12，一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 相交于A ，B 两点．(1)求椭圆C 的标准方程； (2)设O 为坐标原点，k OA ·k OB ＝－b2a2，判断△AOB 的面积是否为定值？若是，求出定值，若不是，说明理由．解：(1)由题意得c ＝1，又e ＝c a ＝12，所以a ＝2，从而b 2＝a 2－c 2＝3. 所以椭圆C 的标准方程为x24＋y23＝1.(2)设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x24＋y23＝1，y ＝kx ＋m ，得(3＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4(m 2－3)＝0， 由Δ＝(8mk )2－16(3＋4k 2)(m 2－3)>0得m 2<3＋4k 2. x 1＋x 2＝－8mk 3＋4k2，x 1x 2＝错误!，所以y 1y 2＝(kx 1＋m )·(kx 2＋m ) ＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2＝错误!. 由k OA ·k OB ＝－b2a2＝－34得y 1y 2＝－34x 1x 2，即错误!＝－错误!·错误!， 化简得2m 2－4k 2＝3，满足Δ>0. 由弦长公式得|AB |＝1＋k2|x 1－x 2| ＝1＋k2·错误!＝错误!.又点O 到直线l ：y ＝kx ＋m 的距离d ＝|m|1＋k2， 所以S △AOB ＝12·d ·|AB |＝12错误!·错误!＝1224m23＋4k2＝3×2m23＋4k2＝错误!＝错误!，故△AOB 的面积为定值 3. 4．(2017·兰州双基过关考试)已知椭圆C 1：x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)的离心率为e ＝63，过C 1的左焦点F 1的直线l ：x －y ＋2＝0被圆C 2：(x －3)2＋(y －3)2＝r 2(r >0)截得的弦长为2 2.(1)求椭圆C 1的方程；(2)设C 1的右焦点为F 2，在圆C 2上是否存在点P ，满足|PF 1|＝a2b2|PF 2|？若存在，指出有几个这样的点(不必求出点的坐标)；若不存在，说明理由．解：(1)∵直线l 的方程为x －y ＋2＝0， 令y ＝0，得x ＝－2，即F 1(－2,0)，∴c ＝2，又e ＝c a ＝63，∴a 2＝6，b 2＝a 2－c 2＝2，∴椭圆C 1的方程为x26＋y22＝1.(2)∵圆心C 2(3,3)到直线l ：x －y ＋2＝0的距离d ＝|3－3＋2|2＝2， 又直线l ：x －y ＋2＝0被圆C 2：(x －3)2＋(y －3)2＝r 2(r >0)截得的弦长为22，∴r ＝d2＋⎝⎛⎭⎫2222＝2＋2＝2， 故圆C 2的方程为(x －3)2＋(y －3)2＝4. 设圆C 2上存在点P (x ，y )，满足|PF 1|＝a2b2|PF 2|， 即|PF 1|＝3|PF 2|，且F 1，F 2的坐标分别为F 1(－2,0)，F 2(2,0)， 则错误!＝3错误!， 整理得⎝⎛⎭⎫x －522＋y 2＝94， 它表示圆心是C ⎝⎛⎭⎫52，0，半径是32的圆． ∵|CC 2|＝ 错误!＝错误!， 故有2－32<|CC 2|<2＋32，故圆C 与圆C 2相交，有两个公共点．∴圆C 2上存在两个不同的点P ，满足|PF 1|＝a2b2|PF 2|.5．(2016·九江统考)已知椭圆C 的中心在坐标原点，右焦点为F (1,0)，A ，B 分别是椭圆C 的左、右顶点，D 是椭圆C 上异于A ，B 的动点，且△ADB 面积的最大值为 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在一定点E (x 0,0)(0<x 0<2)，使得当过点E 的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点时，1|EM―→|2＋1|EN|2―→为定值？若存在，求出定点和定值；若不存在，请说明理由．解：(1)设椭圆的方程为x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)，由已知可得(S △ADB )max ＝12·2a ·b ＝ab ＝ 2. ①∵F (1,0)为椭圆的右焦点，∴a 2＝b 2＋1. ② 由①②可得a ＝2，b ＝1， ∴椭圆C 的方程为x22＋y 2＝1.(2)过点E 取两条分别垂直于x 轴和y 轴的弦M 1N 1，M 2N 2， 则1|EM1―→|2＋1|EN1―→|2＝1|EM2―→|2＋1|EN2―→|2，即21－x202＝错误!＋错误!，解得x 0＝错误!， ∴E 若存在，必为⎝⎛⎭⎫63，0，定值为3，下证⎝⎛⎭⎫63，0满足题意． 设过点E⎝⎛⎭⎫63，0的直线方程为x ＝ty ＋63，代入椭圆C 的方程得(t 2＋2)y 2＋263ty －43＝0， 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－263t t2＋2＝－错误!，y 1y 2＝－错误!，1|EM―→|2＋1|EN―→|2＝错误!＋错误!＝11＋t2·⎝⎛⎭⎫1y21＋1y22＝11＋t2·错误! ＝11＋t2·错误!＝3. 综上得定点为E ⎝⎛⎭⎫63，0，定值为3. 6．(2016·合肥三模)设A ，B 为抛物线y 2＝x 上相异两点，其纵坐标分别为1，－2，分别以A ，B 为切点作抛物线的切线l 1，l 2，设l 1，l 2相交于点P .(1)求点P 的坐标；(2)M 为A ，B 间抛物线段上任意一点，设PM ―→＝λPA ―→＋μPB ―→，试判断λ＋μ是否为定值？如果为定值，求出该定值，如果不是定值，请说明理由．解：(1)由题知A (1,1)，B (4，－2)，设点P 的坐标为(x P ，y P )， 切线l 1：y －1＝k (x －1)，联立错误! 由抛物线与直线l 1相切，解得k ＝12，即l 1：y ＝12x ＋12，同理，l 2：y ＝－14x －1.联立l 1，l 2的方程，可解得⎩⎪⎨⎪⎧xP ＝－2，yP ＝－12， 即点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－2，－12. (2)设M (y 20，y 0)，且－2≤y 0≤1.由PM ―→＝λPA ―→＋μPB ―→，得⎝⎛⎭⎫y20＋2，y0＋12＝λ⎝⎛⎭⎫3，32＋μ⎝⎛⎭⎫6，－32， 即错误! 解得错误!则λ＋μ＝y0＋23＋1－y03＝1，即λ＋μ为定值1.。

专题复习：圆锥曲线中的定点、定值问题一、方法指导圆锥曲线是高考数学中的重点和难点，其中定点问题更是难点中的难点。

通过对近几年高考数学试卷的分析，可以发现圆锥曲线定点问题一直是高频考点，且题目难度较大，对学生的数学思维和解题能力要求较高。

因此，在高三二轮复习中，学生需要加强对圆锥曲线定点问题的复习，掌握其解题方法和技巧。

二、知识梳理圆锥曲线的定义和性质直线与圆锥曲线的位置关系圆锥曲线的定点问题及其解法三、方法总结直接法：通过联立直线和圆锥曲线的方程，消元后得到一元二次方程，再利用根与系数的关系进行求解。

这种方法适用于直线过定点但不与x轴平行的情况。

参数法：引入参数来表示直线的斜率或截距，再通过参数的取值范围来确定定点。

这种方法适用于直线过定点且与x轴平行或重合的情况。

反证法：假设定点不是坐标原点，则过该定点的直线与圆锥曲线有两个交点。

根据韦达定理，这两个交点的横坐标之和等于两倍的定点横坐标，这与题意矛盾。

因此，定点必须是坐标原点。

这种方法适用于直线过定点且与x轴垂直的情况。

由特殊到一般法如果要解决的问题是一个定值（定点）问题，而题设条件又没有给出这个定值（定点），那么我们可以这样思考：由于这个定值（定点）对符合要求的一些特殊情况必然成立，那么我们根据特殊情况先找到这个定值（定点），明确了解决问题的目标，然后进行一般情况下的推理证明.3.利用推论解题推论1过圆锥曲线上的任意一点P（x0，y0）作互相垂直的直线交圆锥曲线于点A，B，则直线AB必过一定点（等轴双曲线除外）.推论2过圆锥曲线的准线上任意一点P作圆锥曲线上的两条切线，切点分别为点A，B，则直线AB必过焦点.推论3过圆锥曲线外一点P作圆锥曲线上的两条切线，切点分别为点A，B，则直线AB已知且必过定点.推论4过圆锥曲线上的任意一点P（x0，y0）作斜率和为0的两条直线交圆锥曲线于A，B两点，则k AB为定值.推论5设点A，B是椭圆x 2a2+y2b2=1（a>b>0）上关于原点对称的两点，点P是该椭圆上不同于A，B两点的任意一点，直线PA，PB的斜率分别是k1，k2，则k1·k2=-b 2a2推论6过圆锥曲线的焦点F的直线（斜率存在）交圆锥曲线于P，Q两点，PQ的中垂线交x轴于点M，则MFPQ=e2，e为圆锥曲线的离心率.推论7过圆锥曲线的焦点F的直线交圆锥曲线于A，B两点，过点A，B分别作较近准线l 的垂线AA1，BB1，垂足分别为点A1，B1，设准线l与焦点所在轴交于点P，M为PF中点，则（1）AA1与BB1过点M;（2）A1F+B1F为定值.一、动直线过定点1、齐次式：例1、椭圆C :x 24+y 2=1，C (0，1)，设直线l 不过点P ，且与C 交于A 、B 两点，若k PA +k PB =−1，证明：直线l 过定点.2、参数法：例2、（2021·湖北襄阳市高三期末）已知A ，B 分别为椭圆()222:11x C y a a+=>的左､右顶点，P 为C 的上顶点，8AP PB ⋅=. （1）求椭圆C 的方程；（2）过点()6,0作关于x 轴对称的两条不同直线1l ，2l 分别交椭圆于()11,M x y 与()22,N x y ，且12x x ≠，证明：直线MN 过定点，并求出该定点坐标.3、特殊到一般例2、（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过()30,2,,12A B ⎛--⎫⎪⎝⎭两点．(1)求E 的方程；(2)设过点()1,2P -的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT TH =．证明：直线HN 过定点．4、待定系数法例3、椭圆C ：22143x y +=左右顶点分别为A 、B ，k ≠0的直线与C 交于M 、N 两点，K BM =2K AN ，证明：直线过定点，并求出该定点.解：A (−2，0) B (2，0)设直线：y =kx +b (k ≠0) M (x 1，y 1) N (x 2，y 2) 直线与曲线联立得：(3+4k 2)x 2+8kbx +4b 2−120 则x 1x 2=4b 2−123+4k 2x 1+x 2=−8kb3+4k 2K BM =2K AN 所以y 1x1−2= 2y 2x 2−2x 2y 1+2y 1=2x 1y 2−4y 2即k x 1x 2−(4k +b )x 2+2(b −k )x 1−6b =0代入得：−12b 2k −8k 2b −12k −18b −(6k +8k 3+9b +12k 2b )x 2=0待定系数有：{−12b 2k −8k 2b −12k −18b =06k +8k 3+9b +12k 2b =0得(2k −b )(2k +3b ) =0若b =2k ,则过定点(−2，0)，不成立； 若−3b =2k ,则过定点(23，0)，成立.5、y 1−y 2或x 1−x 2型例4、已知双曲线C ：x 23−y 2=1,过(3，0)的直线l 交C 于P 、Q 两点，过P 作直线x =1的垂线，垂足为A ，证明：AQ 过定点解：当l 斜率不存在时P (3，√2) Q (3，−√2) 或P (3，−√2) Q (3，√2)过P 作x =1垂线：A (1，√2)或A(1，−√2)此时AQ ：y =√2x −2√2或y = −√2x +2√2 过定点(2，0) 当l 斜率存在时 l ：y =k (x −3) P (x 1，y 1) Q (x 2，y 2) 与双曲线联立得：(1−3k 2)x 2+18k 2x −27k 2−3=0 有x 1x 2=−27k 2−31−3k 2x 1+x 2=−18k 21−3k 2AQ :y =y 1+y 2x 2−1x −x 2(y 2−y 1)x 2−1+y 2令y =0 x =y 2−x 2y 1y 2−y 1= −kx 1x 2+4kx 2−3k2−x 1)=−x 1x 2+4x 2−3x 2−x 1= 27k 2=31−3k 2−3+4x 2−(x 1+x 2−2x 2)= 36k 21−3k 2+4x 218k 21−3k 2+2x 2=2过定点（2，0）二、动点在定直线上的问题例3、（2021·山东威海市高三期末）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为1,,2A B 分别是它的左、右顶点，F 是它的右焦点，过点F 作直线与C 交于,P Q (异于,A B )两点，当PQ x ⊥轴时，APQ ∆的面积为92.（1）求C 的标准方程;（2）设直线AP 与直线BQ 交于点M ，求证:点M 在定直线上.解:（1）由题意知12c a =，所以2a c =，又222a b c =+， 所以3b c =当PQ x ⊥轴时，APQ 的面积为92， 所以()212922b ac a +⋅=解得21,c =所以224,3a b ==，所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）由（1）知()1,0F ，设直线PQ 的方程为1x my =+，与椭圆22143x y +=联立，得()2234690m y my ++-=.显然0∆>恒成立. 设1122(,),(,)P x y Q x y ， 所以有12122269,3434m y y y y m m +=-=-++ ()* 直线AP 的方程为()112+2y y x x =+，直线BO 的方程为()2222y y x x =--， 联立两方程可得，所以()()121222+22y y x x x x +=-- ()()121212212121213232221my y x y my y y x x y x y my my y y ++++=⋅==---- 由()*式可得()121232y y y y m=+， 代入上式可得()()1212121221339222233322232y y y y x y y x y y y y +++==-+-=++， 解得4,x = 故点M 在定直线4x =上.三、其他曲线过定点例4、（2021·湖北武汉市高三月考）设P 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>上异于长轴顶点A 1，A 2的任意一点，过P 作C 的切线与分别过A 1，A 2的切线交于B 1，B 2两点，已知|A 1A 2|=4，椭圆C 的离心率为12. （1）求椭圆C 的方程；（2）以B 1B 2为直径的圆是否过x 轴上的定点？如果过定点，请予以证明，并求出定点；如果不过定点，说明理由.解：（1）由题可知122412A A a c e a ⎧==⎪⎨==⎪⎩，解得2,1a c ==，由222a b c =+得23b =， 椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）设00(,)P x y ，由于P 是异于长轴顶点12,A A 的任意一点，故切线斜率存在.设过P 的椭圆的切线为y kx b =+，联立方程22143y kx bx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(34)84120k x kbx b +++-=，222(8)4(34)(412)0kb k b ∆=-+-=，得2234b k =+，由002200143y kx bx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 所以()220034y kx k -=+，则()22200004230x k y x k y --+-=，即222000016290y k y x k x ++=所以()200430y k x +=，则034x k y =-解得过P 点的切线方程为()000034x y y x x y -=--，即000334x x y y y =-+ 由于分别过12,A A 的切线分别为2,2x x =-=， 解得12,B B 的坐标为0012006363(2,),(2,)22x x B B y y +--.在x 轴上取点(),0M t ，则010632,2x MB t y ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭，020632,2x MB t y ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭， 所以2220122369414x MB MB t t y -⋅=-+=-. 当1t =±时，120MB MB ⋅=.所以，以12B B 为直径的圆过x 轴上的定点为12(1,0),(1,0)F F -.二、例题讲解例1A ，B 是抛物线y 2＝2px (p >0)上的两点，且OA ⊥OB (O 为坐标原点)，求证： (1)A ，B 两点的横坐标之积，纵坐标之积分别都是定值； (2)直线AB 经过一定点．例2如图，直线y ＝12x 与抛物线y ＝18x 2－4交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与直线y ＝－5交于Q 点． (1)求点Q 的坐标；(2)当P 为抛物线上位于线段AB 下方(含A ，B )的动点时，求△OPQ 面积的最大值．例3如图，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)是抛物线y 2＝2px (p >0)上的相异两点，Q ，P 到y 轴的距离的积为4，且OP →·OQ →＝0. (1)求该抛物线的标准方程；(2)过Q 的直线与抛物线的另一交点为R ，与x 轴的交点为T ，且Q 为线段RT 的中点，试求弦PR 长度的最小值．三、课时练习1．已知λ∈R ，则不论λ取何值，曲线C ：λx 2－x －λy ＋1＝0恒过定点( ) A ．(0，1) B ．(－1，1) C ．(1，0) D ．(1，1)2．若AB 是过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)中心的一条弦，M 是椭圆上任意一点，且AM 、BM 与两坐标轴均不平行，k AM 、k BM 分别表示直线AM 、BM 的斜率，则k AM ·k BM ＝( )A ．－c 2a 2B ．－b 2a 2C ．－c 2b 2D ．－a 2b23．直线y ＝kx －1与椭圆x 24＋y 2a＝1相切，则k ，a 的取值范围分别是( )A ．a ∈(0，1)，k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12B ．a ∈(0，1]，k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12 C ．a ∈(0，1)，k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 D ．a ∈(0，1]，k ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，12 4．已知点P 是抛物线y 2＝4x 上的点，设点P 到抛物线的准线的距离为d 1，到圆(x ＋3)2＋(y－3)2＝1上一动点Q 的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．32＋15．抛物线y 2＝12x 与直线3x －y ＋5＝0的最近距离为______．6．已知动点P (x ，y )在椭圆x 225＋y 216＝1上，若A 点坐标为(3，0)，|AM →|＝1，且PM →·AM →＝0，则|PM →|的最小值是____．7．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，左顶点为A ，若|F 1F 2|＝2，椭圆的离心率为e ＝12.(1)求椭圆的标准方程；(2)若P 是椭圆上的任意一点，求PF 1→·PA →的取值范围；(3)直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆相交于不同的两点M ，N (均不是长轴的顶点)，AH ⊥MN ，垂足为H ，且AH →2＝MH →·HN →，求证：直线l 恒过定点．。

地地道道的达到 第三讲 圆锥曲线的综合应用 第二课时圆锥曲线的定点、定值、存在性问题251．(2018 ·云南师大附中质检 ) 已知椭圆 C 的焦点在 x 轴上，离心率等于5 ，且过点2 51，.5(1) 求椭圆 C 的标准方程；→ →(2) 过椭圆 C 的右焦点 F 作直线 l 交椭圆 C 于 A ，B 两点，交 y 轴于 M 点，若 MA ＝ λ 1AF ，→→MB ＝ λ 2BF ，求证： λ 1＋ λ 2 为定值．分析： (1) 设椭圆 C 的方程为x 2 y 2a 2＋b 2＝1(a ＞b ＞0)，c 2 5 a＝5， 则2 5 152a 2＋b 2＝ 1，∴ a 2＝ 5，b 2＝ 1，x 22∴椭圆 C 的标准方程为5 ＋y ＝ 1.(2) 证明：设 A ( x 1，y 1) ， B ( x 2， y 2) ， M (0 ，y 0) ，又易知 F 点的坐标为 (2,0) ．明显直线 l 存在斜率，设直线 l 的斜率为 k ，则直线 l 的方程是 y ＝k ( x － 2) ，将直线 l 的方程代入椭圆C 的方程中，消去 y 并整理得(1 ＋ 5k 2) x 2－20k 2x ＋ 20k 2－ 5＝ 0，20k 220k 2－ 5∴ x 1＋ x 2＝1＋ 5k 2， x 1x 2＝ 1＋ 5k 2 .→1→ →2→1x 12＝ x 2 又∵ MA ＝λ AF ， M ＝λ BF ，将各点坐标代入得λ ＝2－ x 1 ，λ，2－ x 2x 1x 212＝2－ x 1＋2－x 2∴ λ ＋ λ121 2＝ x ＋ x－ 2x x4－ x 1＋ x 2 ＋ x 1x 220k 220k 2－521＋5k 2－1＋5k 2＝20k 220k 2－ 5＝－ 10，4－2·1＋ 5k 2＋ 1＋ 5k 2即 λ 1＋ λ 2 为定值．2．(2018 ·贵阳一模 ) 过抛物线 C ：y 2＝ 4x 的焦点 F 且斜率为 k 的直线 l 交抛物线 C 于 A ，B 两点，且 | AB | ＝ 8.(1) 求 l 的方程；(2) 若 A 对于 x 轴的对称点为 D ，求证：直线 BD 恒过定点，并求出该点的坐标．分析： (1) 易知点 F 的坐标为 (1,0) ，则直线l 的方程为 y ＝ k ( x － 1) ，代入抛物线方程y 2＝4x 得 k 2x 2－ (2 k 2＋ 4) x ＋k 2＝0，由题意知 k ≠0，且 [ － (2 k 2＋ 4)] 2－ 4k 2·k 2＝ 16( k 2＋1) ＞ 0，2k 2＋ 4设 A ( x 1，y 1) ， B ( x 2，y 2) ，∴ x 1＋ x 2＝ k 2 ， x 1x 2＝ 1，由抛物线的定义知 | AB | ＝x 1＋ x 2＋ 2＝ 8， 2k 2＋ 42∴ k 2 ＝ 6，∴ k ＝1，即 k ＝± 1，∴直线 l 的方程为 y ＝±(x － 1) ．(2) 由抛物线的对称性知，y 2＋ y 1 y 2＋ y 1D 点的坐标为 ( x 1，－ y 1) ，直线 BD 的斜率 k BD ＝ x ＝ 2 2x2 1 y2y－14－4＝ 4，y 2－y 1∴直线 BD 的方程为 y ＋ y 1＝4( x － x 1) ，y 2－ y1即 ( y 2－ 1) ＋2 1－ 2x －4 1，1＝ 4y y y yyx2 ＝ 4x2＝1，∴ ( y y ) 2∵ y1 ，y ＝ 4x ， x x＝16x x ＝ 16，12 2 1 21 21 2即 y 1y 2＝－ 4( y 1， y 2 异号 ) ，∴直线 的方程为 4( x ＋1) ＋( y 1－ 2) y ＝ 0，BD y 恒过点 ( － 1,0) ．21 t .3．(2018 ·南宁模拟 ) 已知抛物线 C ：y ＝ ax ( a ＞ 0) 上一点 P ( t ， ) 到焦点 F 的距离为 22(1) 求抛物线 C 的方程；(2) 抛物线 C 上一点 A 的纵坐标为 1，过点 Q (3 ，－ 1) 的直线与抛物线 C 交于 M ，N 两个 不一样的点 ( 均与点 A 不重合 ) ，设直线 ， 的斜率分别为 k 1， 2，求证： 1 2 为定值．AM ANk k k分析： (1) 由抛物线的定义可知 || ＝ at ，则＝ 4 t ，＋ ＝ 2PF t 4 a由点 P ( t ， 1) 在抛物线上，得 at ＝1， 2 4∴ a ×a ＝ 1，则 a 2＝1， 4 4由 a ＞0，得 a ＝1，∴抛物线C 的方程为 y 2＝ x .(2) ∵点 A 在抛物线 C 上，且 y A ＝ 1， ∴ x A ＝ 1.∴ (1,1) ，设过点 (3 ，－ 1) 的直线的方程为 x －3＝ ( ＋1) ，A Q m y即 x ＝my ＋ m ＋ 3，代入 y 2＝x 得 y 2－ my － m － 3＝0.设 M ( x 1，y 1) ， N ( x 2，y 2) ，则 y 1＋ y 2＝m ， y 1y 2＝－ m － 3，y 1 －1 y 2－ 1 ∴ k 1k 2＝·x 1 －1 x 2－ 1y y － y ＋y2＋ 1＝212＋1 21＋ ＋＋1＋ 22my ym my ym1＝－ 2，∴ k 1k 2 为定值．x 2 y 24．(2018 ·福州四校联考 ) 已知椭圆 C ： a 2＋ b 2＝ 1( a ＞ b ＞ 0) 的两个焦点分别为 F 1， F 2， 短轴的一个端点为，△1 2内切圆的半径为 b，设过点2的直线 l 被椭圆 C 截得的线段为PPFF F3RS ，当 l ⊥x 轴时， | RS | ＝ 3.(1) 求椭圆 C 的标准方程；(2) 在 x 轴上能否存在一点 T ，使适当 l 变化时，总有 TS 与 TR 所在直线对于 x 轴对称？若存在，恳求出点 T 的坐标；若不存在，请说明原因．1×2 ×1＋ 2 c b c1分析： (1) 由内切圆的性质，得＝ ×(2 )× ，得 a ＝ .2 c b 2a 3 2 x 2 y 2b 22b 2将 x ＝c 代入 a 2＋ b 2 ＝1，得 y ＝± a ，因此 a ＝ 3.又 a 2＝ b 2＋c 2，因此 a ＝ 2， b ＝ 3，x 2 y 2故椭圆 C 的标准方程为 4 ＋ 3 ＝1.(2) 当直线 l 垂直于 x 轴时，明显x 轴上随意一点 T 都知足 TS 与 TR 所在直线对于 x 轴对称．当直线 l 不垂直于 x 轴时，假定存在 T ( t, 0) 知足条件，设 l 的方程为 y ＝ k ( x － 1) ，R ( x 1，y 1) ，S ( x 2， y 2) ．联立方程，得 y ＝ k x －，得 (3 ＋ 4k 2) x 2－ 8k 2 x ＋ 4k 2－ 12＝ 0，3x 2＋ 4y 2－ 12＝ 0，8k 2x 1＋ x 2＝ 3＋ 4 2，由根与系数的关系得k①，此中＞ 0 恒建立，4k 2－ 12x 1x 2 ＝ 3＋ 4k 2由与所在直线对于x 轴对称，得kTS＋ TR ＝ 0( 明显， 的斜率存在 ) ，TS TRkTS TRyy21即x 1－ t ＋x 2－ t ＝② .由于 R ， S 两点在直线 y ＝k ( x － 1) 上，因此 y 1＝k ( x 1－ 1) ，y 2＝ k ( x 2－ 1) ，代入②得k x 1－x 2－ t ＋ k x 2 －x 1－ tk [2 x 1x 2－ t ＋x 1＋ x 2 ＋ 2t ]1－t 2－ t＝12＝ 0，x xx － t x － t即 2x 1x 2－ ( t ＋ 1)( x 1＋ x 2) ＋ 2t ＝ 0 ③，8k 2－24－ t ＋k 2＋ 2t＋ 4k 26t － 24将①代入③得 3＋ 4k 2＝ 3＋ 4k 2 ＝ 0 ④，则 t ＝4，综上所述，存在(4,0) ，使适当 l 变化时，总有 TS 与 TR 所在直线对于 x 轴对称．T。

第2课时 圆锥曲线的定点、定值、存在性问题1．(2019·某某某某模拟)已知动点C 到点F (1,0)的距离比到直线x ＝－2的距离小1，动点C 的轨迹为E .(1)求曲线E 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m (km <0)与曲线E 相交于A ，B 两个不同点，且OA →·OB →＝5，证明：直线l 经过一个定点．解析：(1)由题意可得动点C 到点F (1,0)的距离等于到直线x ＝－1的距离，∴曲线E 是以点(1,0)为焦点，直线x ＝－1为准线的抛物线．设其方程为y 2＝2px (p >0)，∴p 2＝1，∴p ＝2，∴曲线E 的方程为y 2＝4x .(2)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋m ，y 2＝4x 得k 2x 2＋(2km －4)x ＋m 2＝0，∴x 1＋x 2＝4－2km k 2，x 1x 2＝m 2k 2，Δ＝(2km －4)2－4m 2k 2＝16(1－km )>0.∵OA →·OB →＝5，∴x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝m 2＋4km k 2＝5， ∴m 2＋4km －5k 2＝0，∴m ＝k 或m ＝－5k .∵km <0，则m ＝k 舍去，∴m ＝－5k ，满足Δ＝16(1－km )>0，∴直线l 的方程为y ＝k (x －5)，∴直线l 必经过定点(5,0)． 2．(2019·某某模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的短轴长为42，离心率为13. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)设椭圆C 的左，右焦点分别为F 1，F 2，左，右顶点分别为A ，B ，点M ，N 为椭圆C 上位于x 轴上方的两点，且F 1M ∥F 2N ，直线F 1M 的斜率为26，记直线AM ，BN 的斜率分别为k 1，k 2，求3k 1＋2k 2的值．解析：(1)由题意，得2b ＝42，c a ＝13， 又a 2－c 2＝b 2，∴a ＝3，b ＝22，c ＝1.∴椭圆方程为：x 29＋y 28＝1. (2)由(1)，可知A (－3,0)，B (3,0)，F 1(－1,0)，据题意，F 1M 的方程为y ＝26(x ＋1)．记直线F 1M 与椭圆的另一交点为M ′，设M (x 1，y 1)(y 1>0)，M ′(x 2，y 2)，∵F 1M ∥F 2N ，根据对称性，得N (－x 2，－y 2)， 联立⎩⎨⎧ 8x 2＋9y 2＝72，y ＝26(x ＋1)，消去y ，得14x 2＋27x ＋9＝0.∵x 1>x 2，∴x 1＝－37，x 2＝－32， ∵k 1＝y 1x 1＋3＝26(x 1＋1)x 1＋3＝469， k 2＝－y 2－x 2－3＝26(x 2＋1)x 2＋3＝－263. ∴3k 1＋2k 2＝3×469＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－263＝0， 即3k 1＋2k 2的值为0.3．(2019·某某某某模拟)已知抛物线E ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，点M 是直线y ＝x 与抛物线E 在第一象限内的交点，且|MF |＝5.(1)求抛物线E 的方程；(2)如图，不过原点的直线l 与抛物线E 相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点Q ，过点A ，B 分别作抛物线E 的切线，与x 轴分别相交于C ，D 两点．判断直线QC 与直线BD 是否平行？直线QC 与直线QD 是否垂直？并说明理由．解析：(1)依题意，设点M (t ，t )(t >0)．由|MF |＝5，得t ＋p 2＝5.① 又点M 在抛物线E 上，则t 2＝2pt (t >0)，即t ＝2p ，②联立①②，解得p ＝2，所以抛物线E 的方程为x 2＝4y .(2)由(1)知抛物线E ：x 2＝4y ，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (b ≠0)，则Q (0，b )，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋b ，x 2＝4y ，得x 2－4kx －4b ＝0，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4b . 由x 2＝4y 得y ＝14x 2，从而y ′＝12x ， 所以过点A (x 1，y 1)的切线方程为y －14x 21＝x 12(x －x 1)， 令y ＝0，得C ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 12，0，同理可得D ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22，0， 所以k QC ＝b －00－x 12＝－2b x 1＝－－x 1x 22x 1＝x 22， k BD ＝y 2x 2－x 22＝14x 22x 22＝x 22，所以QC ∥BD .若QC ⊥QD ， 则QC →·QD →＝x 12·x 22＋(－b )·(－b )＝x 1x 24＋b 2＝b 2－b ＝0， 解得b ＝1(b ＝0舍去)，所以当Q 为焦点F 时，b ＝1，此时QC ⊥QD ；当Q 不为焦点F 时，QC 与QD 不垂直．4．(2019·某某模拟)已知抛物线方程y 2＝4x ，F 为焦点，P 为抛物线准线上一点，Q 为线段PF 与抛物线的交点，定义：d (P )＝|PF ||FQ |. (1)当P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－83时，求d (P )； (2)证明：存在常数a ，使得2d (P )＝|PF |＋a ；(3)P 1，P 2，P 3为抛物线准线上三点，且|P 1P 2|＝|P 2P 3|，判断d (P 1)＋d (P 3)与2d (P 2)的关系．解析：(1)抛物线方程y 2＝4x 的焦点F (1,0)，P ⎝⎛⎭⎪⎫－1，－83，k PF ＝832＝43，PF 的方程为y ＝43(x －1)，代入抛物线的方程，解得x Q ＝14， 抛物线的准线方程为x ＝－1，可得|PF |＝22＋649＝103， |QF |＝14＋1＝54，d (P )＝|PF ||QF |＝83. (2)证明：当P (－1,0)时，a ＝2d (P )－|PF |＝2×2－2＝2，设P (－1，y P )，不妨设y P >0，PF ：x ＝my ＋1，则my P ＝－2，联立x ＝my ＋1和y 2＝4x ，可得y 2－4my －4＝0，y Q ＝4m ＋16m 2＋162＝2m ＋21＋m 2， 2d (P )－|PF |＝2y P y Q －1＋m 2y P ＝2·－2m (2m ＋21＋m 2)＋21＋m 2m ＝－2·1＋m 2－m m ＋21＋m 2m＝2， 则存在常数a ，使得2d (P )＝|PF |＋a .(3)设P 1(－1，y 1)，P 2(－1，y 2)，P 3(－1，y 3)，则2[d (P 1)＋d (P 3)]－4d (P 2)＝|P 1F |＋|P 3F |－2|P 2F |＝4＋y 21＋4＋y 23－24＋y 22＝4＋y 21＋4＋y 23－2⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1＋y 322＋4＝4＋y 21＋4＋y 23－(y 1＋y 3)2＋16， 由(4＋y 21＋4＋y 23)2－[(y 1＋y 3)2＋16]＝24＋y 214＋y 23－2y 1y 3－8，(4＋y 21)(4＋y 23)－(y 1y 3＋4)2＝4(y 21＋y 23)－8y 1y 3＝4(y 1－y 3)2>0，则d (P 1)＋d (P 3)>2d (P 2)．。

第3讲 圆锥曲线中的定值、定点及证明问题[做真题](2019·高考全国卷Ⅲ节选)已知曲线C ：y ＝x 22，D 为直线y ＝－12上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .证明：直线AB 过定点．证明：设D ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，－12，A (x 1，y 1)，则x 21＝2y 1.由于y ′＝x ，所以切线DA 的斜率为x 1，故y 1＋12x 1－t＝x 1.整理得2tx 1－2y 1＋1＝0.设B (x 2，y 2)，同理可得2tx 2－2y 2＋1＝0. 故直线AB 的方程为2tx －2y ＋1＝0.所以直线AB 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. [明考情]圆锥曲线中的定点、定值问题是高考命题的热点，无论是选择题、填空题，还是解答题，只要考查与曲线有关的运动变化，都可能涉及探究定点或定值，因而这类问题考查范围广泛，命题形式新颖．定值问题1．直接消参求定值：常见定值问题的处理方法：(1)确定一个(或两个)变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示：(2)将所求表达式用核心变量进行表示(有的甚至就是核心变量)，然后进行化简，看能否得到一个常数．2．从特殊到一般求定值：常见处理技巧：(1)在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢；(2)巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算．(2019·贵阳市第一学期检测)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M 为短轴的上端点，MF 1→·MF 2→＝0，过F 2垂直于x 轴的直线交椭圆C 于A ，B 两点，且|AB |＝2.(1)求椭圆C 的方程；(2)设经过点(2，－1)且不经过点M 的直线l 与椭圆C 相交于G ，H 两点．若k 1，k 2分别是直线MG ，MH 的斜率，证明：k 1＋k 2为定值．【解】 (1)由MF 1→·MF 2→＝0，得b ＝c ，因为过F 2垂直于x 轴的直线交椭圆C 于A ，B 两点， 且|AB |＝2，所以b 2a ＝22，⎩⎪⎨⎪⎧b ＝c b 2a ＝22a 2＝b 2＋c2⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2b 2＝1. 故椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明：由椭圆C 的方程x 22＋y 2＝1与点(2，－1)，设直线l 的方程为y ＋1＝k (x －2)，即y ＝kx －2k －1，将y ＝kx －2k －1代入x 22＋y 2＝1中，得(1＋2k 2)x 2－4k (2k ＋1)x ＋8k 2＋8k ＝0，由题意知Δ＝－16k (k ＋2)>0，得－2<k <0，设G (x 1，y 1)，H (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k （2k ＋1）1＋2k 2，x 1x 2＝8k 2＋8k1＋2k2，k 1＋k 2＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝kx 1－2k －2x 1＋kx 2－2k －2x 2＝2k －（2k ＋2）×4k （2k ＋1）1＋2k 28k 2＋8k1＋2k 2＝2k －(2k ＋1)＝－1，所以k 1＋k 2＝－1(定值)．圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值．依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值．(2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得．(3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．[对点训练]已知椭圆方程为x 24＋y 23＝1，点F 为右焦点，若直线l 与椭圆C 相切，过点F 作FQ ⊥l ，垂足为Q ，求证：|OQ |为定值(其中O 为坐标原点)．证明：当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x ＝±2，点Q 的坐标为(－2，0)或(2，0)，此时|OQ |＝2；当直线l 的斜率为0时，l 的方程为y ＝±3，点Q 的坐标为(1，－3)或(1，3)，此时|OQ |＝2；当直线l 的斜率存在且不为0时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)． 因为FQ ⊥l ，所以直线FQ 的方程为y ＝－1k(x －1)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23＝1消去y ，可得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0.因为直线l 与椭圆C 相切，所以Δ＝(8km )2－4(3＋4k 2)(4m 2－12)＝0， 整理得m 2＝4k 2＋3. (*)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，y ＝－1k （x －1）得Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－km k 2＋1，k ＋m k 2＋1，所以|OQ |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－km k 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋m k 2＋12＝1＋k 2m 2＋k 2＋m2（k 2＋1）2(**)， 将(*)式代入(**)式，得|OQ|＝4（k 4＋2k 2＋1）（k 2＋1）2＝2. 综上所述，|OQ |为定值，且定值为2.定点问题1．参数法：参数法解决定点问题的思路：(1)引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中的核心变量(此处设为k )；(2)利用条件找到k 与过定点的曲线F (x ，y )＝0之间的关系，得到关于k 与x ，y 的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，找到定点．探索出定点，再证明该定点与变量无关．[典型例题](2019·安徽省考试试题)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的上顶点为P ，右顶点为Q ，直线PQ 与圆x 2＋y 2＝45相切于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫25，45.(1)求椭圆C 的方程；(2)若不经过点P 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且PA →·PB →＝0，求证：直线l 过定点． 【解】 (1)由已知得直线OM (O 为坐标原点)的斜率k OM ＝2，则直线PQ 的斜率k PQ ＝－1k OM＝－12， 所以直线PQ 的方程为y －45＝－12(x －25)，即x ＋2y ＝2.可求得P (0，1)，Q (2，0)，故a ＝2，b ＝1， 故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明：当直线l 的斜率不存在时，显然不满足条件． 当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y ＝kx ＋n (n ≠1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1y ＝kx ＋n，消去y 整理得(4k 2＋1)x 2＋8knx ＋4(n 2－1)＝0，Δ＝(8kn )2－4×4(4k 2＋1)(n 2－1)＝16(4k 2＋1－n 2)>0，得4k 2＋1>n 2.① 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8kn 4k 2＋1，x 1x 2＝4（n 2－1）4k 2＋1.② 由PA →·PB →＝0，得(x 1，y 1－1)·(x 2，y 2－1)＝0，又y 1＝kx 1＋n ，y 2＝kx 2＋n ，所以(k 2＋1)x 1x 2＋k (n －1)(x 1＋x 2)＋(n －1)2＝0，③由②③得n ＝1(舍)，或n ＝－35，满足①.此时l 的方程为y ＝kx －35，故直线l 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－35.圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化的量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关． [提醒] (1)直线过定点，常令参数的系数等于0即可．如直线y ＝kx ＋b ，若b 为常量，则直线恒过点(0，b )；若bk为常量，则直线恒过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－b k，0.(2)一般曲线过定点，把曲线方程变为f 1(x ，y )＋λf 2(x ，y )＝0(λ为参数)．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧f 1（x ，y ）＝0，f 2（x ，y ）＝0，即得定点坐标． [对点训练](2019·开封市定位考试)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为M ，△MF 1F 2为等腰直角三角形，且其面积为1.(1)求椭圆C 的方程；(2)过点M 分别作直线MA ，MB 交椭圆C 于A ，B 两点，设这两条直线的斜率分别为k 1，k 2，且k 1＋k 2＝2，证明：直线AB 过定点．解：(1)由题意得12a 2＝1，所以a ＝2，又b ＝c ，a 2＝b 2＋c 2，所以b ＝1，所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由(1)得M (0，1)．当直线AB 的斜率不存在时，设A (x 0，y 0)，则B (x 0，－y 0)，由k 1＋k 2＝2得y 0－1x 0＋－y 0－1x 0＝2，得x 0＝－1，此时直线AB 的方程为x ＝－1； 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1y ＝kx ＋m，可得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0，则Δ＝8(2k 2－m 2＋1)>0， x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1·x 2＝2m 2－21＋2k 2.由k 1＋k 2＝2，得y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝2， 即（kx 2＋m －1）x 1＋（kx 1＋m －1）x 2x 1x 2＝2，(2－2k )x 1x 2＝(m －1)(x 1＋x 2)，(2－2k )(2m 2－2)＝(m －1)(－4km )， 由m ≠1，得(1－k )(m ＋1)＝－km ，所以m ＝k －1， 即y ＝kx ＋m ＝kx ＋k －1＝k (x ＋1)－1， 故直线AB 过定点(－1，－1)，经检验，当k >0或k <－2时，直线AB 与椭圆C 有两个交点，满足题意． 综上所述，直线AB 过定点(－1，－1)．证明问题代数转化法：圆锥曲线中的证明问题多涉及几何量的证明，比如涉及线段或角相等以及位置关系等等(注意一些常用的结论，如等腰三角形两底角相等，两直线斜率之和为0等)．证明时，常把几何量用坐标表示，建立某个变量的函数，用代数方法证明，常将斜率利用整体法求解．[典型例题](2019·湖南省五市十校联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，右焦点为F ，以原点O 为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线x －y ＋2＝0相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)如图，过定点P (2，0)的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，连接AF 并延长交椭圆C 于点M ，求证：∠PFM ＝∠PFB .【解】 (1)依题意可设圆O 的方程为x 2＋y 2＝b 2， 因为圆O 与直线x －y ＋2＝0相切， 所以b ＝|2|12＋12＝1，所以a 2－c 2＝1， 又ca ＝22，所以a ＝2， 所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明：依题意可知直线l 的斜率存在，设l 的方程为y ＝k (x －2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －2）x 22＋y 2＝1得(1＋2k 2)x 2－8k 2x ＋8k 2－2＝0， 因为l 与椭圆有两个交点，所以Δ>0，即2k 2－1<0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AF ，BF 的斜率分别为k 1，k 2， 则x 1＋x 2＝8k 21＋2k 2，x 1x 2＝8k 2－21＋2k 2.因为F (1，0)，所以k 1＋k 2＝y 1x 1－1＋y 2x 2－1＝k （x 1－2）x 1－1＋k （x 2－2）x 2－1＝2k －k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1＋1x 2－1＝2k －k ×x 1＋x 2－2x 1x 2－（x 1＋x 2）＋1＝2k －k ×8k21＋2k 2－28k 2－21＋2k 2－8k 21＋2k2＋1＝2k －k ×4k 2－22k 2－1＝0， 即∠PFM ＝∠PFB .圆锥曲线证明问题的类型及求解策略(1)圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：①证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如：某点在某直线上、某直线经过某点、某两条直线平行或垂直等；②证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等)．(2)解决证明问题时，主要根据直线与圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相关性质的应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明．[对点训练](2019·合肥市第一次质量检测)设椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若椭圆E 的离心率为22，△ABF 2的周长为4 6. (1)求椭圆E 的方程；(2)设不经过椭圆的中心而平行于弦AB 的直线交椭圆E 于点C ，D ，设弦AB ，CD 的中点分别为M ，N ，证明：O ，M ，N 三点共线．解：(1)由题意知，4a ＝46，a ＝ 6. 又e ＝22，所以c ＝3，b ＝3， 所以椭圆E 的方程为x 26＋y 23＝1.(2)证明：当直线AB ，CD 的斜率不存在时，由椭圆的对称性知，中点M ，N 在x 轴上，O ，M ，N 三点共线；当直线AB ，CD 斜率存在时，设其斜率为k ，且设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 216＋y 213＝1x 226＋y223＝1，两式相减，得x 216＋y 213－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 226＋y 223＝0，所以x 21－x 226＝－y 21－y 223，（x 1－x 2）（x 1＋x 2）6＝－（y 1－y 2）（y 1＋y 2）3，所以y 1－y 2x 1－x 2·y 1＋y 2x 1＋x 2＝－36，y 1－y 2x 1－x 2·y 0x 0＝－36，即k ·k OM ＝－12，所以k OM ＝－12k. 同理可得k ON ＝－12k，所以k OM ＝k ON ，所以O ，M ，N 三点共线．1．(2019·贵阳市第一学期监测)已知圆M ：x 2＋(y －2)2＝1，直线l ：y ＝－1，动圆P 与圆M 相外切，且与直线l 相切，设动圆圆心P 的轨迹为E .(1)求E 的方程；(2)若点A ，B 是E 上的两个动点，O 为坐标原点，且OA →·OB →＝－16，求证：直线AB 恒过定点．解：(1)由题意动圆P 与直线l ：y ＝－1相切，且与定圆M ：x 2＋(y －2)2＝1外切，所以动点P 到圆M 的圆心M (0，2)的距离与到直线y ＝－2的距离相等，由抛物线的定义知，点P 的轨迹是以M (0，2)为焦点，直线y ＝－2为准线的抛物线．故所求P 的轨迹E 的方程为x 2＝8y .(2)证明：设直线AB ：y ＝kx ＋b ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将直线AB 的方程代入x 2＝8y 中得x 2－8kx －8b ＝0， 所以x 1＋x 2＝8k ，x 1x 2＝－8b ，又OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋x 21x 2264＝－8b ＋b 2＝－16，所以b ＝4，所以直线AB 恒过定点(0，4)．2．(2019·江西七校第一次联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点M ⎝⎛⎭⎪⎫1，22，其离心率为22，设直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 相交于A ，B 两点． (1)求椭圆C 的方程；(2)已知直线l 与圆x 2＋y 2＝23相切，求证：OA ⊥OB (O 为坐标原点)．解：(1)因为e ＝c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2， 所以a 2＝2b 2，所以椭圆C 的方程为x 22b 2＋y 2b2＝1.因为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22在椭圆上， 所以12b 2＋12b 2＝1，b 2＝1，a 2＝2，所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明：因为直线l 与圆x 2＋y 2＝23相切，所以|m |1＋k 2＝63， 即3m 2－2k 2－2＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m x 2＋2y 2＝2，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0，Δ＝16k 2m 2－4(1＋2k 2)(2m 2－2)>0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－21＋2k2，所以y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝m 2－2k 21＋2k2，所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝2m 2－21＋2k 2＋m 2－2k 21＋2k 2＝3m 2－2k 2－21＋2k 2＝0， 所以OA ⊥OB .3．(2019·长沙市统一模拟考试)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为13，左、右焦点分别为F 1，F 2，A 为椭圆C 上一点，AF 2⊥F 1F 2，且|AF 2|＝83.(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆C 的左、右顶点分别为A 1，A 2，过A 1，A 2分别作x 轴的垂线l 1，l 2，椭圆C 的一条切线l ：y ＝kx ＋m 与l 1，l 2分别交于M ，N 两点，求证：∠MF 1N 为定值．解：(1)由AF 2⊥F 1F 2，|AF 2|＝83，得b 2a ＝83.又e ＝c a ＝13，a 2＝b 2＋c 2，所以a 2＝9，b 2＝8，故椭圆C 的标准方程为x 29＋y 28＝1.(2)证明：由题意可知，l 1的方程为x ＝－3，l 2的方程为x ＝3.直线l 分别与直线l 1，l 2的方程联立得M (－3，－3k ＋m )，N (3，3k ＋m )，所以F 1M →＝(－2，－3k ＋m )，F 1N →＝(4，3k ＋m )， 所以F 1M →·F 1N →＝－8＋m 2－9k 2.联立⎩⎪⎨⎪⎧x 29＋y 28＝1y ＝kx ＋m，得(9k 2＋8)x 2＋18kmx ＋9m 2－72＝0.因为直线l 与椭圆C 相切，所以Δ＝(18km )2－4(9k 2＋8)(9m 2－72)＝0， 化简得m 2＝9k 2＋8.所以F 1M →·F 1N →＝－8＋m 2－9k 2＝0， 所以F 1M →⊥F 1N →， 故∠MF 1N 为定值π2.4．(2019·高考北京卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1的右焦点为(1，0)，且经过点A (0，1)．(1)求椭圆C 的方程；(2)设O 为原点，直线l ：y ＝kx ＋t (t ≠±1)与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N .若|OM |·|ON |＝2，求证：直线l 经过定点．解：(1)由题意，得b 2＝1，c ＝1， 所以a 2＝b 2＋c 2＝2.所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明：设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 则直线AP 的方程为y ＝y 1－1x 1x ＋1. 令y ＝0，得点M 的横坐标x M ＝－x 1y 1－1.又y 1＝kx 1＋t ， 从而|OM |＝|x M |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1kx 1＋t －1.同理，|ON |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2kx 2＋t －1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t ，x 22＋y 2＝1得(1＋2k 2)x 2＋4ktx ＋2t 2－2＝0， 则x 1＋x 2＝－4kt 1＋2k 2，x 1x 2＝2t 2－21＋2k2.所以|OM |·|ON |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1kx 1＋t －1·⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2kx 2＋t －1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1x 2k 2x 1x 2＋k （t －1）（x 1＋x 2）＋（t －1）2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2t 2－21＋2k2k 2·2t 2－21＋2k 2＋k （t －1）·⎝ ⎛⎭⎪⎫－4kt 1＋2k 2＋（t －1）2＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋t 1－t .又|OM |·|ON |＝2， 所以2⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋t 1－t ＝2.解得t ＝0，所以直线l 经过定点(0，0)．。

第4讲 圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题(大题)热点一 定点问题解决圆锥曲线中的定点问题应注意(1)分清问题中哪些是定的，哪些是变动的；(2)注意“设而不求”思想的应用，引入参变量，最后看能否把变量消去；(3)“先猜后证”，也就是先利用特殊情况确定定点，然后验证，这样在整理式子时就有了明确的方向.例1 已知P (0,2)是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点，C 的离心率e ＝33. (1)求椭圆的方程；(2)过点P 的两条直线l 1，l 2分别与C 相交于不同于点P 的A ，B 两点，若l 1与l 2的斜率之和为－4，则直线AB 是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.解 (1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝2，c a ＝33，a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝6，b ＝2，c ＝2，∴椭圆的方程为x 26＋y 24＝1. (2)当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t ，x 26＋y 24＝1，消去y 并整理， 可得(3k 2＋2)x 2＋6ktx ＋3t 2－12＝0，∴Δ＝36(kt )2－4×(3k 2＋2)(3t 2－12)>0，即24(6k 2－t 2＋4)>0，则x 1＋x 2＝－6kt 3k 2＋2，x 1x 2＝3t 2－123k 2＋2， 由l 1与l 2的斜率之和为－4，可得y 1－2x 1＋y 2－2x 2＝－4， 又y 1＝kx 1＋t ，y 2＝kx 2＋t ，∴y 1－2x 1＋y 2－2x 2＝kx 1＋t －2x 1＋kx 2＋t －2x 2＝2k ＋(t －2)(x 1＋x 2)x 1x 2＝2k ＋(t －2)·－6kt 3k 2＋23t 2－123k 2＋2＝－4， 化简可得t ＝－k －2，∴y ＝kx －k －2＝k (x －1)－2，∴直线AB 经过定点(1，－2).当直线AB 的斜率不存在时，设直线AB 的方程为x ＝m ，A (m ，y 1)，B (m ，y 2)，y 1－2m ＋y 2－2m ＝y 1＋y 2－4m， 又点A ，B 均在椭圆上，∴A ，B 关于x 轴对称，∴y 1＋y 2＝0，∴m ＝1，故直线AB 的方程为x ＝1，也过点(1，－2)，综上直线AB 经过定点，定点为(1，－2).跟踪演练1 (2019·攀枝花模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上一点P (4，t )(t >0)到焦点F 的距离等于5.(1)求抛物线C 的方程和实数t 的值；(2)若过F 的直线交抛物线C 于不同的两点A ，B (均与P 不重合)，直线P A ，PB 分别交抛物线的准线l 于点M ，N .试判断以MN 为直径的圆是否过点F ，并说明理由.解 (1)由抛物线定义可知|PF |＝4－⎝⎛⎭⎫－p 2＝5，解得p ＝2，故抛物线C 的方程为y 2＝4x ，将P (4，t )(t >0)代入抛物线方程解得t ＝4.(2)以MN 为直径的圆一定过点F ，理由如下：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，设直线AB 的方程为x ＝my ＋1(m ∈R )，代入抛物线C ：y 2＝4x ，化简整理得y 2－4my －4＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧ y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4，由(1)知P (4,4)，所以直线P A 的方程为y －4＝y 1－4x 1－4(x －4)＝y 1－4my 1－3(x －4)，令x ＝－1得y ＝(4m －5)y 1＋8my 1－3，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，(4m －5)y 1＋8my 1－3，同理可得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，(4m －5)y 2＋8my 2－3，∴k MF ·k NF ＝(4m －5)y 1＋82(my 1－3)·(4m －5)y 2＋82(my 2－3)＝⎝⎛⎭⎫2m －522y 1y 2＋(8m －10)(y 1＋y 2)＋16m 2y 1y 2－3m (y 1＋y 2)＋9＝－4⎝⎛⎭⎫2m －522＋4m (8m －10)＋16－4m 2－3m ·4m ＋9＝16m 2－9－16m 2＋9＝－1，∴MF ⊥NF ，故以MN 为直径的圆过点F .(也可用MF →·NF →＝0).热点二 定值问题求定值问题常见的方法有两种(1)从特殊情况入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关；(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.例2 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点(0，3)，离心率为12，左、右焦点分别为F 1(－c ,0)，F 2(c ,0).(1)求椭圆C 的方程；(2)P ，N 是C 上异于M 的两点，若直线PM 与直线PN 的斜率之积为－34，证明：M ，N 两点的横坐标之和为常数.(1)解 因为椭圆经过点(0，3)，所以b ＝3，又因为e ＝12，所以c a ＝12， 又c 2＝a 2－b 2，解得a ＝2，b ＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)证明 设P ，M ，N 三点坐标分别为(x P ，y P )，(x M ，y M )，(x N ，y N )，设直线PM ，PN 斜率分别为k 1，k 2，则直线PM 方程为y －y P ＝k 1(x －x P )，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y －y P ＝k 1(x －x P )消去y ，得 (3＋4k 21)x 2－8k 1(k 1x P －y P )x ＋4k 21x 2P －8k 1x P y P ＋4y 2P －12＝0， 由根与系数的关系可得x M ＋x P ＝8k 1(k 1x P －y P )3＋4k 21， 故x M ＝8k 1(k 1x P －y P )3＋4k 21－x P ＝4k 21x P －8k 1y P －3x P 3＋4k 21，同理可得x N ＋x P ＝8k 2(k 2x P －y P )3＋4k 22， 又k 1·k 2＝－34， 故x N ＋x P ＝8k 2(k 2x P －y P )3＋4k 22＝8⎝⎛⎭⎫－34k 1⎝⎛⎭⎫－34k 1x P －y P 3＋4⎝⎛⎭⎫－34k 12＝6x P ＋8k 1y P 4k 21＋3， 则x N ＝6x P ＋8k 1y P 3＋4k 21－x P ＝－4k 21x P －8k 1y P －3x P 3＋4k 21＝－x M ，从而x N ＋x M ＝0，即M ，N 两点的横坐标之和为常数0.跟踪演练2 (2019·四川百校冲刺卷)已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P (m ，n )在椭圆C 上.(1)设点P 到直线l ：x ＝4的距离为d ，证明：d |PF 2|为定值； (2)若0＜m ＜2，A ，B 是椭圆C 上的两个动点(都不与点P 重合)，且直线P A ，PB 的斜率互为相反数，求直线AB 的斜率(结果用n 表示).(1)证明 由已知，得a 2＝4，b 2＝3，∴c 2＝a 2－b 2＝1，即F 1(－1,0)，F 2(1,0).∵点P (m ，n )在椭圆C ：x 24＋y 23＝1上， ∴m 24＋n 23＝1，即n 2＝3⎝⎛⎭⎫1－m 24. 又|PF 2|＝(m －1)2＋n 2＝(m －1)2＋3⎝⎛⎭⎫1－m 24＝14m 2－2m ＋4＝12|m －4|， ∴d |PF 2|＝|m －4|12|m －4|＝2为定值. (2)解 当0＜m ＜2时，则n ≠0，直线P A ，PB 的斜率一定存在.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线P A 的斜率为k ，则直线P A 的方程为y －n ＝k (x －m )，即y ＝kx －km ＋n ，与椭圆C 的方程3x 2＋4y 2＝12， 联立组成方程组，消去y ，整理得，(3＋4k 2)x 2－8k (km －n )x ＋4(km －n )2－12＝0.由根与系数的关系，得m ·x 1＝4(km －n )2－123＋4k 2，于是x 1＝4(km －n )2－12(3＋4k 2)m ，y 1＝kx 1－km ＋n .根据直线PB 的斜率为－k ，将上式中的k 用－k 代替，得x 2＝4(－km －n )2－12[3＋4(－k )2]m ＝4(km ＋n )2－12(3＋4k 2)m ，y 2＝－kx 2＋km ＋n .于是y 1－y 2＝(kx 1－km ＋n )－(－kx 2＋km ＋n )＝k (x 1＋x 2)－2km＝k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4(km －n )2－12(3＋4k 2)m ＋4(km ＋n )2－12(3＋4k 2)m －2km＝k ·8(k 2m 2＋n 2)－24－2m 2(3＋4k 2)(3＋4k 2)m＝8n 2－24－6m 2(3＋4k 2)m ·k ，x 1－x 2＝4(km －n )2－12(3＋4k 2)m －4(km ＋n )2－12(3＋4k 2)m＝4[](km －n )2－(km ＋n )2(3＋4k 2)m ＝－16kmn(3＋4k 2)m .注意到3m 2＋4n 2＝12，得12－4n 2＝3m 2，于是m ＝239－3n 2，因此，直线AB 的斜率为k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝(8n 2－24－6m 2)k －16kmn＝3m 2－4n 2＋128mn ＝6m 28mn ＝3m 4n ＝9－3n 22n . 热点三 存在性问题存在性问题的求解策略(1)若给出问题的一些特殊关系，要探索一般规律，并证明所得规律的正确性，通常要对已知关系进行观察、比较、分析，然后概括一般规律；(2)若只给出条件，求“不存在”“是否存在”等语句表述问题时，一般先对结论给出肯定存在的假设，然后由假设出发，结合已知条件进行推理，从而得出结论.例3 (2019·乐山、峨眉山联考)已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点A ⎝⎛⎭⎫1，63和点B (0，－1). (1)求椭圆G 的方程；(2)设直线y ＝x ＋m 与椭圆G 相交于不同的两点M ，N ，记线段MN 的中点为P ，是否存在实数m ，使得|BM |＝|BN |？若存在，求出实数m ；若不存在，请说明理由.解 (1)椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点A ⎝⎛⎭⎫1，63和点B (0，－1)， ∴b ＝1，由1a 2＋⎝⎛⎭⎫6321＝1，解得a 2＝3， ∴椭圆G ：x 23＋y 2＝1. (2)假设存在实数m 满足题意， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 23＋y 2＝1，得4x 2＋6mx ＋3(m 2－1)＝0， ∵直线与椭圆有两个交点，∴Δ＝36m 2－48(m 2－1)＞0，即m 2＜4，设MN 的中点为P (x P ，y P )，x M ，x N 分别为点M ，N 的横坐标，则x P ＝x M ＋x N 2＝－3m 4，从而y P ＝x P ＋m ＝m 4，k BP ＝y P ＋1x P ＝－m ＋43m， ∵|BM |＝|BN |，∴BP ⊥MN ，∴k BP ·k MN ＝－1，而k MN ＝1，∴－m ＋43m＝－1， 即m ＝2，与m 2＜4矛盾，因此，不存在这样的实数m ，使得|BM |＝|BN |.跟踪演练3 (2019·凉山模拟)椭圆长轴右端点为A ，上顶点为M ，O 为椭圆中心，F 为椭圆的右焦点，且MF →·F A →＝2－1，离心率为22. (1)求椭圆的标准方程；(2)直线l 交椭圆于P ，Q 两点，判断是否存在直线l ，使点F 恰为△PQM 的垂心？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.解 (1)设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，半焦距为c . 则A (a ,0)，M (0，b )，F (c ,0)，MF →＝(c ，－b )，F A →＝(a －c ,0)，由MF →·F A →＝2－1，即ac －c 2＝2－1， 又c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，b 2＝1，∴椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1. (2)∵F 为△MPQ 的垂心，∴MF ⊥PQ ，又M (0,1)，F (1,0)，∴k MF ＝－1，∴k PQ ＝1，设直线PQ ：y ＝x ＋m (m ≠1)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将直线方程代入x 22＋y 2＝1，得3x 2＋4mx ＋2m 2－2＝0， 令Δ＝(4m )2－12(2m 2－2)>0，解得－3<m <3，则x 1＋x 2＝－4m 3，x 1x 2＝2m 2－23， 又PF →⊥MQ →，PF →＝(1－x 1，－y 1)，MQ →＝(x 2，y 2－1)，∴x 2－x 1x 2－y 1y 2＋y 1＝0，即(1－m )·(x 1＋x 2)－2x 1x 2＋m －m 2＝0，∴(1－m )·－4m 3－2·2m 2－23＋m －m 2＝0， 即3m 2＋m －4＝0，解得m ＝－43或m ＝1(舍去)， ∴存在直线l ：y ＝x －43使F 为△MPQ 的垂心.真题体验(2019 ·全国Ⅲ，理，21)已知曲线C ：y ＝x 22，D 为直线y ＝－12上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .(1)证明：直线AB 过定点； (2)若以E ⎝⎛⎭⎫0，52为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积. (1)证明 设D ⎝⎛⎭⎫t ，－12，A (x 1，y 1)，则x 21＝2y 1. 由y ′＝x ，所以切线DA 的斜率为x 1，故y 1＋12x 1－t＝x 1. 整理得2tx 1－2y 1＋1＝0.设B (x 2，y 2)，同理可得2tx 2－2y 2＋1＝0.故直线AB 的方程为2tx －2y ＋1＝0.所以直线AB 过定点⎝⎛⎭⎫0，12. (2)解 由(1)得直线AB 的方程为y ＝tx ＋12. 由⎩⎨⎧ y ＝tx ＋12，y ＝x 22，可得x 2－2tx －1＝0，Δ＝4t 2＋4>0，于是x 1＋x 2＝2t ，x 1x 2＝－1，y 1＋y 2＝t (x 1＋x 2)＋1＝2t 2＋1，|AB |＝1＋t 2|x 1－x 2| ＝1＋t 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2(t 2＋1).设d 1，d 2分别为点D ，E 到直线AB 的距离，则d 1＝t 2＋1，d 2＝2t 2＋1，因此，四边形ADBE 的面积S ＝12|AB |(d 1＋d 2) ＝(t 2＋3)t 2＋1.设M 为线段AB 的中点，则M ⎝⎛⎭⎫t ，t 2＋12. 由于EM →⊥AB →，而EM →＝(t ，t 2－2)，AB →与坐标为(1，t )的向量平行，所以t ＋(t 2－2)t ＝0.解得t ＝0或t ＝±1.当t ＝0时，S ＝3；当t ＝±1时，S ＝4 2.因此，四边形ADBE 的面积为3或4 2.押题预测已知抛物线E ：y 2＝4x ，圆C ：(x －3)2＋y 2＝1.(1)若过抛物线E 的焦点F 的直线l 与圆C 相切，求直线l 的方程；(2)在(1)的条件下，若直线l 交抛物线E 于A ，B 两点，x 轴上是否存在点M (t,0)使∠AMO ＝∠BMO (O 为坐标原点)？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.解 (1)由题意知抛物线E 的焦点为F (1,0)，当直线的斜率不存在时，过点F (1,0)的直线不可能与圆C 相切；所以过抛物线焦点与圆相切的直线的斜率存在，设直线斜率为k ，则所求的直线方程为y ＝k (x －1)，即kx －y －k ＝0，所以圆心到直线l 的距离为d ＝|3k －k |k 2＋1＝|2k |k 2＋1，当直线l 与圆相切时，有d ＝1，即|2k |k 2＋1＝1，解得k ＝±33，所以所求的切线方程为y ＝33(x －1)或y ＝－33(x －1). (2)由(1)知，不妨设直线l ：y ＝33(x －1)，交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝33(x －1)，y 2＝4x ，消去y ， 得x 2－14x ＋1＝0，显然Δ>0，所以x 1＋x 2＝14，x 1·x 2＝1，假设存在点M (t ,0)使∠AMO ＝∠BMO ，则k AM ＋k BM ＝0.而k AM ＝y 1x 1－t ，k BM ＝y 2x 2－t ，所以k AM ＋k BM ＝y 1x 1－t ＋y 2x 2－t＝y 1(x 2－t )＋y 2(x 1－t )(x 1－t )(x 2－t )＝0⇒y 1x 2＋y 2x 1－(y 1＋y 2)t ＝0⇒2x 1x 2－(x 2＋x 1)－(x 1＋x 2－2)t ＝0，即2－14－(14－2)t ＝0⇒t ＝－1，故存在点M (－1,0)符合条件.当直线l ：y ＝－33(x －1)时，由对称性易知点M (－1,0)也符合条件.综上可知在(1)的条件下，存在点M (－1,0)，使∠AMO ＝∠BMO .A 组 专题通关1.已知点(1，2)，⎝⎛⎭⎫22，－3都在椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)上. (1)求椭圆C 的方程；(2)过点M (0,1)的直线l 与椭圆C 交于不同的两点P ，Q (异于顶点)，记椭圆C 与y 轴的两个交点分别为A 1，A 2，若直线A 1P 与A 2Q 交于点S ，证明：点S 恒在直线y ＝4上.(1)解 由题意得⎩⎨⎧ 2a 2＋1b 2＝1，3a 2＋12b 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝2， 故椭圆C 的方程为y 24＋x 22＝1. (2)证明 由题意可设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)(y 1，y 2≠±2).联立⎩⎪⎨⎪⎧y 24＋x 22＝1，y ＝kx ＋1，整理得(k 2＋2)x 2＋2kx －3＝0. 所以x 1＋x 2＝－2k k 2＋2，x 1x 2＝－3k 2＋2， 则2kx 1x 2＝3(x 1＋x 2).①由题意不妨设A 1(0,2)，A 2(0，－2)，则直线A 1P 的方程为x ＝x 1y 1－2(y －2)， 直线A 2Q 的方程为x ＝x 2y 2＋2(y ＋2).联立⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x 1y 1－2(y －2)，x ＝x 2y 2＋2(y ＋2)，整理得(y 2＋2)x 1(y －2)＝(y 1－2)x 2(y ＋2)，所以(3x 1＋x 2)y ＝4kx 1x 2＋6x 1－2x 2.把①代入上式，得(3x 1＋x 2)y ＝4kx 1x 2＋6x 1－2x 2＝6(x 1＋x 2)＋6x 1－2x 2＝12x 1＋4x 2，当x 2≠－3x 1时，可得y ＝4，当x 2＝－3x 1时，kA 2Q ＝y 2＋2x 2＝－3kx 1＋3－3x 1＝kx 1－1x 1＝kA 1P ， 即A 1P ∥A 2Q 不符合题意.综上，故点S 恒在直线y ＝4上.2.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E 的中心在原点，长轴长为8，椭圆在x 轴上的两个焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形.(1)求椭圆的标准方程；(2)过椭圆内一点M (1,3)的直线与椭圆E 交于不同的A ，B 两点，交直线y ＝－14x 于点N ，若NA →＝mAM →，NB →＝nBM →，求证：m ＋n 为定值，并求出此定值.解 (1)因为长轴长为8，所以2a ＝8，a ＝4，又因为两个焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形，所以b ＝32a ＝23，由于椭圆焦点在x 轴上， 所以椭圆的标准方程为x 216＋y 212＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，N ⎝⎛⎭⎫x 0，－14x 0， 由NA →＝mAM →，得⎝⎛⎭⎫x 1－x 0，y 1＋14x 0＝m (1－x 1,3－y 1)，所以x 1＝m ＋x 0m ＋1，y 1＝3m －14x 0m ＋1， 所以A ⎝⎛⎭⎪⎪⎫m ＋x 0m ＋1，3m －14x 0m ＋1， 因为点A 在椭圆x 216＋y 212＝1上， 所以得到⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋x 0m ＋1216＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3m －14x 0m ＋1212＝1，得到9m 2＋96m ＋48－134x 20＝0； 同理，由NB →＝nBM →，可得9n 2＋96n ＋48－134x 20＝0， 所以m ，n 可看作是关于x 的方程9x 2＋96x ＋48－134x 20＝0的两个根， 所以m ＋n ＝－969＝－323，为定值. 3.(2019·内江模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，直线x ＋y －1＝0被圆x 2＋y 2＝b 2截得的弦长为 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)过点(1,0)的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，在x 轴上是否存在定点P ，使得P A →·PB →为定值？若存在，求出点P 的坐标和P A →·PB →的值；若不存在，请说明理由.解 (1)∵椭圆C 的离心率为22，∴a ＝2b ， ∵圆x 2＋y 2＝b 2的圆心到直线x ＋y －1＝0的距离为d ＝|0＋0－1|2＝22， ∴直线x ＋y －1＝0被圆x 2＋y 2＝b 2截得的弦长为2b 2－d 2＝2b 2－12＝ 2. 解得b ＝1，故a ＝2b ＝2，∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1. (2)设P (t ,0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，当直线l 与x 轴不重合时，设l 的方程为x ＝my ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝my ＋1，x 22＋y 2＝1，得(m 2＋2)y 2＋2my －1＝0， Δ＝4m 2＋4(m 2＋2)＞0恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧ y 1＋y 2＝－2m m 2＋2，y 1y 2＝－1m 2＋2，∴x 1＋x 2＝4m 2＋2，x 1x 2＝－3m 2m 2＋2＋1， P A →·PB →＝(x 1－t ，y 1)·(x 2－t ，y 2)＝x 1x 2－t (x 1＋x 2)＋t 2＋y 1y 2＝－3m 2－4t －1m 2＋2＋t 2＋1＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋4t ＋13m 2＋2＋t 2＋1， 当4t ＋13＝2，即t ＝54时，P A →·PB →的值与m 无关，此时P A →·PB →＝－716. 当直线l 与x 轴重合且t ＝54时， P A →·PB →＝⎝⎛⎭⎫2－54，0·⎝⎛⎭⎫－2－54，0＝2516－2＝－716. ∴存在点P ⎝⎛⎭⎫54，0，使得P A →·PB →为定值－716. B 组 能力提高4.(2019·桂林模拟)已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)上不同的两点.(1)设直线l ：y ＝p 4与y 轴交于点M ，若A ，B 两点所在的直线方程为y ＝x －1，且直线l ：y ＝p 4恰好平分∠AMB ，求抛物线C 的标准方程；(2)若直线AB 与x 轴交于点P ，与y 轴的正半轴交于点Q ，且y 1y 2＝p 24，是否存在直线AB ，使得1|P A |＋1|PB |＝3|PQ |？若存在，求出直线AB 的方程；若不存在，请说明理由.解 (1)由题意知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M ⎝⎛⎭⎫0，p 4，由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝2py ，y ＝x －1，消去y 整理得x 2－2px ＋2p ＝0，则Δ＝4p 2－8p ，x 1＋x 2＝2p ，x 1x 2＝2p ，∵直线y ＝p 4平分∠AMB ，∴k AM ＋k BM ＝0，∴y 1－p 4x 1＋y 2－p 4x 2＝0，即x 1－1－p 4x 1＋x2－1－p 4x 2＝2－⎝⎛⎭⎫1＋p 4x 1＋x 2x 1x 2＝0，∴p ＝4，满足Δ＞0，∴抛物线C 的标准方程为x 2＝8y .(2)由题意知，直线AB 的斜率存在，且不为零，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0，b ＞0)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋b ，x 2＝2py，得x 2－2pkx －2pb ＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4p 2k 2＋8pb ，x 1＋x 2＝2pk ，x 1x 2＝－2pb ，∴y 1y 2＝x 212p ·x 222p ＝(－2pb )24p 2＝b 2，∵y 1y 2＝p 24，∴b 2＝p 24，∵b ＞0，∴b ＝p 2，∴直线AB 的方程为y ＝kx ＋p 2.假设存在直线AB ，使得1|P A |＋1|PB |＝3|PQ |，即|PQ ||P A |＋|PQ||PB |＝3.作AA ′⊥x 轴，BB ′⊥x 轴，垂足分别为A ′，B ′，∴|PQ||P A|＋|PQ||PB|＝|OQ||A′A|＋|OQ||B′B|＝p2×y1＋y2y1y2.∵y1＋y2＝k(x1＋x2)＋p＝2pk2＋p，y1y2＝p24，∴|PQ||P A|＋|PQ||PB|＝p2×y1＋y2y1y2＝p2×2pk2＋pp24＝4k2＋2，由4k2＋2＝3得k＝±12，故存在直线AB，使得1|P A|＋1|PB|＝3|PQ|，且直线AB的方程为y＝±12x＋p2.5.如图已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，点P1(1,1)，P2(0，3)，P3(－2，－2)，P4(2，2)中恰有三点在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程；(2)设R(x0，y0)是椭圆C上的动点，由原点O向圆(x－x0)2＋(y－y0)2＝2引两条切线，分别交椭圆于点P，Q，若直线OP，OQ的斜率存在，并记为k1，k2，试问△OPQ的面积是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由.解(1)由于P3，P4两点关于原点对称，故由题设可知C经过P3，P4两点，∵1a2＋1b2<2a2＋2b2＝1，则图象不经过点P1，故P2在椭圆上，∴b＝3，2a2＋2b2＝1，解得a2＝6，b2＝3，故椭圆C的方程为x26＋y23＝1.(2)∵直线OP：y＝k1x，与圆R相切，∴|k 1x 0－y 0|1＋k 21＝2， 即有(x 20－2)k 21－2x 0y 0k 1＋y 20－2＝0，同理直线OQ ：y ＝k 2x 与圆R 相切，可得(x 20－2)k 22－2x 0y 0k 2＋y 20－2＝0，即k 1，k 2为关于k 的方程(x 20－2)k 2－2x 0y 0k ＋y 20－2＝0的两个不等的实根，可得k 1k 2＝y 20－2x 20－2， ∵点R (x 0，y 0)在椭圆C 上，∴x 206＋y 203＝1， ∴k 1k 2＝y 20－2x 20－2＝1－12x 20x 20－2＝－12， 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，∴|OP |＝1＋k 21·|x 1|， 点Q 到直线OP 的距离d ＝|k 1x 2－k 2x 2|1＋k 21， ∵|x 1|＝61＋2k 21，|x 2|＝61＋2k 22， ∴△OPQ 的面积S ＝12|OP |·d ＝12|x 1x 2|·|k 1－k 2| ＝1261＋2k 21·61＋2k 22·(k 1－k 2)2， ＝3k 21＋k 22＋12＋2k 21＋2k 22＝322. 故△OPQ 的面积为定值322.。