2021-2022学年北师大版必修5 1.3.1 等比数列 教案

§4 数列在日常经济生活中的应用

知识点一 零存整取模型

[填一填]

(1)单利：单利的计算是仅在原有本金上计算利息,对本金所产生的利息不再计算利息,其公式为利息＝本金×利率×存期．若以P代表本金,n代表存期,r代表利率,S代表本金和利息和(以下简称本利和),则有S＝P(1＋nr)．

(2)复利：把上期末的本利和作为下一期的本金,在计算时每一期本金的数额是不同的．复利的计算公式是S＝P(1＋r)n.

[答一答]

1．简单总结一下本节课中几种模型的规律方法．

提示：(1)银行存款中的单利是等差数列模型,本息和公式为S＝P(1＋nr)．

(2)银行存款中的复利是等比数列模型,本利和公式为S＝P(1＋r)n.

(3)产值模型：原来产值的基础数为N,平均增长率为P,对于时间x的总产值y＝N(1＋P)x.

(4)分期付款模型：a为贷款总额,r为年利率,b为等额还款数,则b＝r1＋rna1＋rn－1.

知识点二 数列知识的实际应用及解决问题的步骤

[填一填]

(1)数列知识有着广泛的应用,特别是等差数列和等比数列．例如银行中的利息计算,计算单利时用等差数列,计算复利时用等比数列,分期付款要综合运用等差、等比数列的知识．

(2)解决数列应用题的基本步骤为：①仔细阅读题目,认真审题,将实际问题转化为数列模型；②挖掘题目的条件,分析该数列是等差数列,还是等比数列,分清所求的是项的问题,还是求和问题；③检验结果,写出答案． [答一答]

2．数列应用题中常见模型是哪些？

提示：等差模型和等比模型．

1．数列实际应用题的解题策略

解等差、等比数列应用题时,首先要认真审题,深刻理解问题的实际背景,理清蕴含在语言中的数学关系,把应用问题抽象为数学中的等差、等比数列问题,然后求解．

2．处理分期付款问题的注意事项

(1)准确计算出在贷款全部付清时,各期所付款额及利息(注：最后一次付款没有利息)．

(2)明确各期所付的款以及各期所付款到最后一次付款时所产生的利息之和等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利息之和,只有掌握了这一点,才可以顺利建立等量关系．

由数列的递推公式求通项公式的常用方法

一 准备知识

所谓数列，简单地说就是有规律的（有限或无限多个）数构成的一列数，常记作{}na，an的公式叫做数列的通项公式．常用的数列有等差数列和等比数列．

等差数列 等比数列

定义 数列{}na的后一项与前一项的差1nnaa为常数d 数列{}na的后一项与前一项的比1nnaa为常数q（q≠0）

专有名词 d为公差 q为公比

通项公式 1(1)naand

11nnaaq

前n项和 11(1)22nnaannndSna 1(1)1nnaqSq

数列的前n项和nS与通项公式na的关系是：1(2)nnnaSSn≥．

有些数列不是用通项公式给出，而是用na与其前一项或前几项的关系来给出的，例如：123nnaa，这样的公式称为数列的递推公式．由数列的递推公式我们可以求出其通项公式．

数列问题中一个很重要的思想是把数列的通项公式或递推公式变形，然后将它看成新数列（通常是等差或等比数列）的通项公式或递推公式，最后用新数列的性质解决问题．

二 例题精讲

例1．（裂项求和）求222222818281335(21)(21)nnSnn．

解：因为2222811(21)(21)(21)(21)nnannnn

所以2222221111111335(21)(21)nSnn211(21)n

例2．（倒数法）已知数列{}na中，135a，121nnnaaa，求{an}的通项公式．

解：211211nnnnaaaa

∴na1是以35为首项，公差为2的等差数列，即15612(1)33nnna，

∴361nan．

练习1．已知数列{}na中，a1=1，1121nnnSSS，求{an}的通项公式．

word

- 1 - / 7 第2课时 等比数列的性质

学 习 目 标 核 心 素 养

1.结合等差数列的性质，了解等比数列的性质和由来．

2．理解等比数列的性质及应用．(重点)

3．掌握等比数列与等差数列的综合应用．(难点) 1.通过等比数列性质的研究，培养逻辑推理的数学素养．

2．通过学习等比中项的概念．提升数学运算的素养.

1．等比数列的单调性

阅读教材P23思考交流以下P24例3以上部分，完成下列问题．

对于等比数列{an}，通项公式an＝a1·qn－1＝a1q·qn.根据指数函数的单调性，可分析当q＞0时的单调性如下表：

a1 a1＞0 a1＜0

q的X围 0＜q＜1 q＝1 q＞1 0＜q＜1 q＝1 q＞1

{an}的

单调性 递减

数列

常

数列 递增

数列 递增

数列 常数列 递减

数列

思考：(1)若等比数列{an}中，a1＝2，q＝12，则数列{an}的单调性如何？

[提示] 递减数列．

(2)等比数列{an}中，若公比q＜0，则数列{an}的单调性如何？

[提示] 数列{an}不具有单调性，是摆动数列．

2．等比中项

阅读教材P25练习2以上最后两段部分，完成下列问题．

(1)前提：在a与b中间插入一个数G，使得a，G，b成等比数列．

(2)结论：G叫作a，b的等比中项．

(3)满足关系式：G2＝ab．

思考：(1)任意两个数都有等差中项，任意两个数都有等比中项吗？

[提示] 不是，两个同号的实数必有等比中项，它们互为相反数，两个异号的实数无等比中项．

(2)两个数的等差中项是唯一的，若两个数a，b存在等比中项，唯一吗？

[提示] 不唯一，如2和8的等比中项是4或－4. word

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1．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝14，则公比q等于( )

A．－12

B．－2

C．2 D．12

D [由a5＝a2q3，得q3＝a5a2＝142＝18，所以q＝12，故选D．]

等比数列第一课时教学设计

一 教分材析： 1.教材地位与作用

等比数列是人教b版高中数学选择性必修三第五章第三节第一课时的内容。数列这一章是高中数学的重要内容之一，在整个高中数学领域里占据着重要地位，也时高考的重点。等比数学数列是在学习等差数列之后的又一特殊数列。数列是一种特殊的函数，是函数知识的延续。同时学好等比数列的概念和通项公式，更有利于下一步研究等比数列的性质以及前n项和公式。数列在储蓄、分期付款的有关计算等方面有着广泛的实际应用。数列不但在知识上起着承前启后的作用，还具备现实意义。学习数列不但可以提高学生的观察、分析、猜想的能力，同时还可以培养学生的数学核心素养。

2. 设计理念

新课标提出在数学教学中，应该培养学生的数学抽象、数学建模、数学运算、逻辑推理、直观想象、数据分析六大核心素养。所以本节课课前我利用班级优化大师推送微课视频和习题，让学生预习并做简单课前测试，学生发现问题带着困惑走进课堂，更有针对性地进行学习。课上我借助微视频多媒体技术进行引入，创造问题情境，让学生们在实际问题中抽象出数学模型，培养学生的数学抽象和数学建模能力。而在猜想过程中培养学生的逻辑推理能力。学生边做边学，边学边做，理论联系实际，自己查缺补漏。以学生为主体的教学方式，发挥学生的主观能动性，教师帮助学生构建知识结构，理清知识脉络，从而实现翻转课堂。

二、学情分析：

学生在学习本节内容之前已经学习等差数列的概念，通项公式以及等差数列前n项和的公式，具备一定的数学思想方法，有一定的观察、分析、猜想和归纳的能力。

三 教学目标

1、知识与技能目标：理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式。

2、过程与方法目标:培养学生用归纳类比的方法去分析解决问题。让学生能在具体的情境中，发现等比关系，培养学生们的数学建模能力。

3、情感与态度目标:让学生充分感受到数列是现实生活中的重要模型，提高学生的学习兴趣。