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数字信号处理,第5章课后习题答案

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第五章习题与上机题

5.1 已知序列12()(),01 , ()()()nxnaunaxnununN，分别求它们的自相关函数，并证明二者都是偶对称的实序列。

解：111()()()()()nnmxnnrmxnxnmaunaunm

当0m时，

122()1mmnxnmarmaaa

当0m时，

1220()1mmnxnarmaaa

所以，12()1mxarma

2 ()()()()NxnununNRn

22210121()()()()()1,0 =1,00, =()(1)xNNnnNmnNnmNrmxnxnmRnRnmNmNmNmmNmNmRmN其他

从1()xrm和2()xrm的表达式可以看出二者都是偶对称的实序列。

5.2 设()e()nTxnun，T为采样间隔。求()xn的自相关函数()xrm。

解：解：()()()()e()e()nTnmTxnnrmxnxnmununm

用5.1题计算1()xrm的相同方法可得

2e()1emTxTrm 5.3 已知12()sin(2)sin(2)ssxnAfnTBfnT，其中12,,,ABff均为常数。求()xn的自相关函数()xrm。

解：解：()xn可表为)()()(nvnunx的形式，其中)2sin()(11snTfAnu，)(nv22sin(2)sAfnT，)(),(nvnu的周期分别为

sTfN111，sTfN221，()xn的周期N则是21,NN的最小公倍数。由周期信号自相关函数的定义，有

1010)]()()][()([1)()(1)(NnNnxmnvmnunvnuNmnxnxNmr

101[()()()()()()()()]NnununmvnvnmunvnmvnunmN

()()()()uvuvvurmrmrmrm

其中，

1111101()[sin(2)sin[2()]NussnrmAfnTAfnmTN

2121110cos(2)sin2NssnAfmTfnTN

2111110sin(2)sin(2)cos(2)NsssnAfmTfnTfnTN （A）

2111101cos(2)(1cos4)2NssnAfmTfnTN （B）

由于三角序列的正交性，所以（A）式的第二项等于零。由于正（余）弦序列在一个（或多个）周期内和等于零，所以（B）式中第二项的和为零，于是

211()cos(2)2usArmfmT

同理，可求出 222()cos(2)2vsArmfmT

现在，我们分别来求()uvrm和()vurm。 1112201()sin(2)sin[2()]NuvssnrmAfnTAfnmTN

1122120cos(2)[sin(2)sin(2)]NsssnAAfmTfnTfnTN

1122120sin(2)[sin(2)cos(2)]NsssnAAfnTfnTfnTN

当21ff时，由于三角序列的正交性，有()0uvrm。

当21ff时，121()cos(2)2uvsAArmfmT

同理，当21ff时，0)(mrvu；

当21ff时，121()cos(2)2uvsAArmfmT

所以，当21ff时，

221212()()()()()cos(2)cos(2)22xuvuvvussAArmrmrmrmrmfmTfmT

当21ff时，

()()()()()xuvuvvurmrmrmrmrm

2211121211[cos(2)2cos(2)cos(2)]2sssAfmTAAfmTAfmT

21211()cos(2)2sAAfmT

5.4* 设 ()sin()()xnAnwn，其中/6,()wn是均匀分布的白噪声。

（1）调用MATLAB函数rand，产生均匀分布，均值为0，功率P=0.1的白噪声信号w(n)，并画出w(n)的时域波形图，并求w(n)的自相关函数()wrm，画出()wrm的波形图。

（2）欲使()xn的信噪比为10dB，试确定A的值，编程序产生()xn，并画出()xn的时域波形图，并求()xn的自相关函数()xrm，画出()xrm的波形图，最后从()xrm的波形图确定()xn中正弦序列的周期N。

解：(1)本例中，产生噪声序列w(n)的120个采样值，调用MATLAB函数rand，产生的白噪声()wn均值为q/2，幅度在[0,q]上均匀分布，平均功率2/12wPq=0.1，即1.21.0954q。

（2）正弦信号sin()An的功率为2/2sPA，所以()xn的信噪比为

22/250.1xwPAAP

通常，SNR以对数表示：SNR10lg/xwPP dB。当2SNR10lg/10lg(5)10 dB xwPPA时，2A。

产生w(n)、x(n)、计算w(n)自相关函数的()wrm、计算x(n)自相关函数()xrm的程序见ex54.m。 w(n)的时域波形和w(n)的自相关函数()wrm波形分别图如图S5.4.1(a)和（b）所示，x(n)的时域波形和x(n)的自相关函数()xrm波形分别图如图S5.4.1(c)和（d）所示。

020406080100120-1-0.500.51nw(n)(a)-60-40-200204060-0.0500.050.10.15mrw(m)(b)

020406080100120-2-1012nx(n)(c)-60-40-200204060-0.500.51mrx(m)(d)

图s5.4.1

从图s5.4.1(b)可看出，噪声()wn近似白噪声，所以，只有在m=0时出现峰值(0)wr，但迅速衰减到很小。从图s5.4.1(c)可看出，虽然信噪比较大，但由于干扰噪声影响，很难确定()xn的周期。但从图5.6.2(d)可看出，除了m=0处出现较大大峰值以外， ()xrm是以12为周期的，这正是()xn中正弦信号()sn的自相关函数导致的，所以，可以确定()sn的周期为12。(0)xr的峰值是由白噪声()wn的自相关函数导致的。

%上机题5.4求解程序 ex54.m

clear

N=120;M=60; %设置信号和噪声序列长度N，自相关函数单边长度M

q=sqrt(1.2); %噪声功率=0.1时，计算噪声分布参数q

A=sqrt(2); %SNR=10 dB时，计算正弦信号幅度A

n=0:N-1;

w=q*(rand(1,N)-0.5); %产生白噪声，均值为零，在[-q/2,q/2]上均匀分布

s=A*sin(pi*n/6); %产生正弦信号的120个值

x=s+w; %x(n)=s(n)+w(n)

rw=xcorr(w,M,'biased'); %计算w(n)自相关函数的2M+1个值

rx=xcorr(x,M,'biased'); %计算x(n)自相关函数的2M+1个值

m=-M:M; %自相关函数的2M+1个值对应的自变量m=-M,...,0,...M

figure(1)

subplot(2,1,1);stem(n,w,'.'); %xlabel('n');ylabel('w(n)');title('(a)')

subplot(2,1,2);stem(m,rw,'.'); %xlabel('m');ylabel('r_w(m)');title('(b)')

figure(2)

subplot(2,1,1);stem(n,x,'.'); %xlabel('n');ylabel('x(n)');title('(c)')

subplot(2,1,2);stem(m,rx,'.'); %;xlabel('m');ylabel('r_x(m)');title('(d)')

5.5* 雷达中延迟的估计

设()axt是雷达发射信号，()ayt是雷达接收信号，()()()aadaytaxttwt，()awt是加性随机噪声。在接收机端根据采样定理对()axt和()ayt进行采样和数字化处理，估算出延时dt，最终换算出目标距离。采样得到的信号序列为

()()axnxnT

()()()()()()aaaynynTaxnTDTwnTaxnDwn

（1） 简述通过求互相关函数()yxrm估计延迟D的原理和方法。

（2） 假设()xn为13位巴克码序列

()1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1xn;

w(n)是高斯随机序列，均值0am，功率20.01。对于a=0.9，D=20，编写程序产生序列()yn，要求()yn长度为200，并画出()xn和()yn波形。

（3） 计算并画出互相关函数()yxrm，059m，并根据()yxrm波形估计延迟D的值。

(4) 对于20.1和21，重复（2）和（3）。

解：（1）雷达探测的目的是通过比较()xn和()yn，判断目标是否存在。如果存在，则通过求延迟D来确定目标的距离。工程实际中，由于受加性噪声的严重污染，已经不可能从()yn的波形判断目标是否存在，互相关函数提供了良好的检测方法。

()()()[()()]() =()()()() =()()yxnnnnxwxrmynxnmaxnDwnxnmaxnDxnmwnxnmarmDrm

由于信号()xn与噪声()wn相关性很小，即 ()wxrm非常小，所以当目标不存在时，无反射信号，()()0yxwxrmrm；当目标存在时，()()yxxrmarmD，当m=D时，()yxrm取得最大值，()()(0)yxyxxxrmrDaraE 。这时雷达检测到目标，并根据()yxrm取得最大值的m值换算出反射信号的延时时间为mT，最后根据信号传播速度计算出目标距离。

(2) 13位巴克码序列()1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1xn。实现程序

为ex55.m。运行程序产生长度为200的发射信号()xn和()yn波形如图S5.5.1(a)和(b)所示。

请注意： 调用MATLAB函数randn产生的高斯噪声均值为0，方差（功率）为1。本题要求方差20.01，所以其幅度因子0.01A。

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(完整版)数字信号处理课后答案_史林版_科学出版社

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第一章

作业题 答案

###############################################################################

1.2一个采样周期为T的采样器，开关导通时间为0T，若采样器的输入信号为()axt，求采样器的输出信号()()()aaxtxtpt的频谱结构。式中

()()01,()0,nptrtntrt其他

解：实际的采样脉冲信号为：

()()nptrtn

其傅里叶级数表达式为：

000()jktnptSakTeT

采样后的信号可以表示为：

ˆaaxtxtpt

因此，对采样后的信号频谱有如下推导：

00000000000000ˆˆsin1jtaajktjtanjktjtakjktakakakXjxtedtxtSakTeedtTSakTxteedtTSakTxtedtTSakTXjjkTkTXjjkTk

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

1.5有一个理想采样系统，对连续时间信号()axt进行等间隔T采样，采样频率8srad/s，采样后所得采样信号()axt经理想低通滤波器Gj进行恢复，已知

41/4,0,4Gj

今有两个输入信号12()cos(2)()cos(5)aaxttxtt和，对应的输出信号分别为12()()aaytyt和，如题1.5图所示，问12()()aaytyt、有没有失真，为什么？

()axt()axtGj()ayt

数字信号处理课后习题答案(吴镇扬)

数字信号处理课后习题答案(吴镇扬)

习题一 (离散信号与系统)

1.1周期序列，最小周期长度为5。

1.2 (1) 周期序列，最小周期长度为14。(2) 周期序列，最小周期长度为56。

1.5

11sasssanssasnXjxtptXjΩPjΩ2nτnτjsinjΩjneX2nπ2nnτjSaXjjne2T2F

1.6 (1) )(jekX (2) )(0jnjeXe (3) )(21)(2122jjeXeX (4) )(2jeX

1.7 (1) 0nz(2) 5.0||,5.0111zz (3) 5.0||,5.0111zz

(4)

0||,5.01)5.0(11101zzz

1.8 (1) 0,)11()(211zzzzzXN (2) azazazzX,)1()(211

(3)

azazzaazzX,)1()(31121

1.9

1.10 (1) )1(2)(1nunun (2) )1(24)()5.0(6nununn

(3)

)()sinsincos1(cos0000nunn (4) )()()(1nuaaanan

1.11 (1) )(1zcX (2) )(2zX (3) )()1(21zXz (4) xxRzRzX/1/1),/1(

1.12 (1) 1,11abab (2) 1 (3) 00nan

1.13 (1) 该系统不是线性系统；该系统是时不变系统。

(2) 该系统不是线性系统；该系统是时不变系统。

(3) 线性系统时不变系统。

(4) 线性系统时不变系统。

(5) 线性系统时变系统。

1.14 (1) )7()5(2)3()1(4)1(4)(nnnnnny (2)

《数字信号处理》(2-7章)习题解答

《数字信号处理》(2-7章)习题解答

第二章习题解答

1、求下列序列的z变换()Xz，并标明收敛域，绘出()Xz的零极点图。

(1) 1()()2nun

(2) 1()()4nun

(3) (0.5)(1)nun

(4) (1)n

(5) 1()[()(10)]2nunun

(6) ,01naa

解：(1)

00.5()0.50.5nnnnzZunzz，收敛域为0.5z，零极点图如题1解图(1)。

(2) 014()1414nnnnzZunzz，收敛域为14z，零极点图如题1解图(2)。

(3) 1(0.5)(1)0.50.5nnnnzZunzz，收敛域为0.5z，零极点图如题1解图(3)。

(4) (1Znz，收敛域为z，零极点图如题1解图(4)。

(5) 由题可知，

101010910109(0.5)[()(10)](0.5)()(0.5)(10)0.50.50.50.50.50.5(0.5)nnnZununZunZunzzzzzzzzzzz

收敛域为0z，零极点图如题1解图(5)。

(6) 由于

()(1)nnnaaunaun

那么， 35 111()(1)()()()nnnZaZaunZaunzzzazazaazaza

收敛域为1aza，零极点图如题1解图(6)。

(1) (2) (3)

(4) (5) (6)

题1解图

2、求下列)(zX的反变换。

(1) 11(),0.510.5Xzzz

数字信号处理 程佩青 课后习题答案 第一章习题与解答

数字信号处理 程佩青 课后习题答案 第一章习题与解答

第一章习题与解答

1 .直接计算下面两个序列的卷积和)n(h*)n(x)n(y，请用公式表示。00

0 , 010 ,

0nn,nn,)n(xnNna)n(hnnn其他

2 .已知线性移不变系统的输入为)n(x,系统的单位抽样响应为)n(h,试求系统的mmnhmxnhnxny)()()(*)()(:解0)( )1(0nynn时当 , 1)2(00部分重叠时当Nnnnnnmmnnnnmmnnmnnmmnhmxny00000)()()(,10000111nnnnnnnn)(,1)(00nnnynnnNnmmnnnNnmmnnmnnmmnhmxnyNnn111N-000)()()( , 1)3(全重叠时当,)(,1000111nnNNnNnnNnnnNny输出)n(y,并画图。

)(5.0)(,)1(2 )()4()(5.0)(,)2( )()3()()(,)( )()2()()(,)( )()1(3435nunhnunxnRnhnnxnRnhnRnxnRnhnnxnnn

3 .已知 10,)1()(anuanhn ，通过直接计算卷积和的办法，试确定单位抽样响应为 )(nh的线性移不变系统的阶跃响应。

4. 判断下列每个序列是否是周期性的,若是周期性的,试确定其周期：

)6()( )( )n 313sin()( )()873cos()( )(njenxcAnxbnAnxa