§3 向量的坐标表示和空间向量基本定理
3.1 空间向量的标准正交分解与坐标表示
课后篇巩固提升
1.在空间直角坐标系O-xyz中,下列说法正确的是( )
A.向量的坐标与点B的坐标相同
B.向量的坐标与点A的坐标相同
C.向量的坐标与向量的坐标相同
D.向量的坐标与向量的坐标相同
答案D
2.在空间直角坐标系中,所有点P(x,2 017,2 018)(x∈R)的集合表示( )
A.一条直线
B.一个平行于xOz平面的平面
C.一个平行于xOz平面的平面
D.两条直线
答案A
3.点M(-1,3,-4)在坐标平面xOy,xOz,yOz内的投影的坐标分别是( )
A.(-1,3,0),(-1,0,-4),(0,3,-4)
B.(0,3,-4),(-1,0,-4),(0,3,-4)
C.(-1,3,0),(-1,3,-4),(0,3,-4)
D.(0,0,0),(-1,0,0),(0,3,0)
答案A
4.在空间直角坐标系中,已知点P(x,y,z),则下列叙述正确的个数是( )
①点P关于x轴对称的点的坐标是P1(x,-y,z);
②点P关于yOz平面对称的点的坐标是P2(x,-y,-z);
③点P关于y轴对称的点的坐标是P3(x,-y,z);
④点P关于原点对称的点的坐标是P4(-x,-y,-z).
答案C
5.已知i,j,k为标准正交基,a=i+2j+3k,则a在i方向上的投影为( )
B.-1
C. D.-
答案A
6.如图,以长方体ABCD-A1B1C1D1的顶点D为坐标原点,过D的三条棱所在的直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,若的坐标为(5,4,3),则的坐标为 .
答案(5,4,-3)
7.已知|a|=,a与单位向量e的夹角为π,则a在e上的投影为 .
答案-
8.已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为1的正方体,建立如图所示的空间直角坐标系,试写出A,B,C,D,A1,B1,C1,D1的坐标,并写出的坐标.
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《空间向量的正交分解及其坐标表示》
apabppabcp=xap=xa+ybp=xa+yb+zc
2 各位专家评委、老师们：
大家好！我是来自浙江省温州中学的数学教师陈巴尔.有机会参加本次全国青年教师课堂教学评比活动，并向全国的专家和老师们学习，我深感荣幸.
我的课题是《空间向量的正交分解及其坐标表示》，下面我就根据课程标准，结合我对教材的理解和所教学生的实际情况，从教学背景、教学目标、教学策略、教学过程、教学特点及反思五个方面对本节课作一个说明.希望各位专家评委、老师们对我的这节课例，多提宝贵意见.
一、教学背景分析
（一）教学内容解析
本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版选修2-1第三章《空间向量与立体几何》的3.1.4节《空间向量的正交分解及其坐标表示》属于新授课.
本章知识结构
《空间向量的正交分解及其坐标表示》属于空间向量及其运算部分中的第四节内容，位置处于在空间向量加减运算、数乘运算、数量积运算之后，坐标运算之前，意义十分明显，就是借助空间向量基本定理的建立，从而得出空间向量坐标的定义，从而完成从向量到坐标的转化．．．．．．．．．，进而为后面的立体几何问题的解决服务.
但同时，学生已经在之前的必修4中学习过平面向量的相关知识. 空间向量的定义及其运算 用空间向量表示点、直线、平面等元素 建立空间图形与空间向量的联系 利用空间向量的运算解决立体集合中的问题 空间向量运算的几何表示
（如平行四边形法则）
空间向量运算的坐标表示
（加减法、数乘、数量积）
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因此，按照教学参考的教学建议，“宜多引导学生与平面向量及其运算作类比．．，引导学生体会与平面向量及其运算有什么联系与区别，让学生经历向量由平面向空间推广的过程，使学生体会其中的数学思想方法：类比与归纳．．．．．，体验数学在结．构．上的和谐性．．．与在推广过程中的问题，同时教学过程中，还应注意维度．．增加．．所带来的影响.”
《空间向量的正交分解及其坐标表示》
教学设计
杨华
燕大附中
1 3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示教学设计
一、教学任务及对象
1、教学内容分析
《空间向量的正交分解及其坐标表示》是选修2-1第三章第一节的内容，前面学生已经把平面向量及其加减和数乘运算推广到空间，本节内容从空间向量的正交分解出发，学习空间最重要的基础定理——空间向量分解定理，这个定理是立体几何数量化的基础，有了这个定理，空间结构变得简单明了，整个空间被三个不共面的向量所确定，空间一个点或一个向量和实数组（x,y,z）建立起一一对应的关系。
2、教学对象分析
本节课授课的对象是高二年级的学生，他们已掌握了平面向量的基本原理，虽然具备一定的分析和解决问题的能力，逻辑思维也初步形成，但在把向量推广到空间中缺乏冷静、深刻，思维具有片面性、不严谨的特点，对问题解决的一般性思维过程认识比较模糊。
二、教学目标
依据课程标准，结合学生的认知发展水平和心理特征，确定本节课的教学目标如下：
1、知识与技能：理解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示，会在简单问题中选用空间三个不共面向量作为基底表示其他向量。
2、过程与方法：通过类比、推广等思想方法，启动观察、分析、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会类比、推广的思想方法，对向量加深理解。
3、情感、态度与价值观：通过本节课的学习，养成积极主动思考，勇于探索，不断拓展创新的学习习惯和品质。
三、重、难点分析
重点：理解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；
难点：理解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；
空间向量在立体几何中的应用 要求层次 重难点
空间直角坐标系 空间直角坐标系 B （1）空间直角坐标系
① 了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置．
② 会推导空间两点间的距离公式．
（2）空间向量及其运算
① 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．
② 掌握空间向量的线性运算及其坐标空间两点间的距离公式 B
空间向量的应用 空间向量的概念 B
空间向量基本定理 A
空间向量的正交分解及其坐标表示 B
空间向量的线性运算及其坐标表示 C
空间向量的数量积及C 知识框架
高考要求
空间向量在立体几何中的应用 其坐标表示 表示． ③ 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直． 运用向量的数量积判断向量的共线与垂直
C
（一） 知识内容
1．位置向量：已知向量a，在空间固定一个基点O，再作向量OAa，则点A在空间的位置就被向量a所唯一确定了．这时，我们称这个向量为位置向量．
由此，我们可以用向量及其运算来研究空间图形的性质．
2．给定一个定点A和一个向量a，O为空间中任一确定的点，B为直线l上的点，
则P在为过点A且平行于向量a的直线l上
APta ①
OPOAta
②
(1)OPtOAtOB
③
这三个式子都称为直线l的向量参数方程．向量a称为该直线的方向向量．
3．设直线1l和2l的方向向量分别为1v和2v，
12ll∥（或1l与2l重合）12vv∥；12ll12vv．
若向量1v和2v是两个不共线的向量，且都平行于平面（即向量的基线与平面平行或在平面内），
直线l的一个方向向量为v，则
l∥或l在内
存在两个实数xy，，使12vxvyv．
4．如果向量n的基线与平面垂直，则向量n就称为平面的法向量．
设A是空间任一点，n为空间内任一非零向量，则满足0AMn的点M表示过点A且与向量n垂直的平面，0AMn称为该平面的向量表示式．
