第一章第2课时知能演练轻松闯关
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一、选择题
1.与命题“若a∈M，则b∈/ M”等价的命题是( )
A．若a∈/M，则b∈/M B．若b∈/M，则a∈M
C．若a∈/M，则b∈M D．若b∈M，则a∈/M
解析：选D.与原命题等价的命题为原命题的逆否命题．“若a∈M，则b∈/M”的逆否命题为“若b∈M，则a∈/M”．故选D.
2.设集合M＝{x|0＜x≤3}，N＝{x|0＜x≤2}，那么“a∈M”是“a∈N”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选B.M＝{x|0＜x≤3}，N＝{x|0＜x≤2}，所以NM，故“a∈M”是“a∈N”的必要不充分条件．
3.(2012·高考陕西卷)设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋bi为纯虚数”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选B.∵a＋bi＝a－bi为纯虚数，
∴必有a＝0，b≠0，
而ab＝0时，有a＝0或b＝0，
∴由a＝0，b≠0⇒ab＝0，反之不成立．
∴“ab＝0”是“复数a＋bi为纯虚数”的必要不充分条件．
4.(2013·潍坊调研)命题“若△ABC有一内角为π3，则△ABC的三内角成等差数列”的逆命题( )
A．与原命题同为假命题
B．与原命题的否命题同为假命题
C．与原命题的逆否命题同为假命题
D．与原命题同为真命题
解析：选D.原命题显然为真，原命题的逆命题为“若△ABC的三内角成等差数列，则△ABC有一内角为π3”，它是真命题．故选D.
5.(2012·高考浙江卷)设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋2y＋4＝0平行”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选C.若l1∥l2，则2a－2＝0，∴a＝1. 故“a＝1”是“l1∥l2”的充要条件．
二、填空题
6.已知p：x≤1，q：1x＜1，则p是¬q成立的________条件．
解析：¬q：0≤x≤1.
答案：必要不充分
7.在命题“若m＞－n，则m2＞n2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是________．
解析：原命题为假命题，逆否命题也为假命题，逆命题也是假命题，否命题也是假命题．故假命题的个数为3.
答案：3
8.(2013·南京模拟)有下列几个命题：
①“若a＞b，则a2＞b2”的否命题；
②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；
③“若x2＜4，则－2＜x＜2”的逆否命题．
其中真命题的序号是________．
解析：①原命题的否命题为“若a≤b，则a2≤b2”，错误．②原命题的逆命题为：“x，y互为相反数，则x＋y＝0”，正确．
③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤－2，则x2≥4”，正确．
答案：②③
三、解答题
9.(2013·开封调研)已知命题p：“若ac≥0，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0没有实根”．
(1)写出命题p的否命题；
(2)判断命题p的否命题的真假，并证明你的结论．
解：(1)命题p的否命题为：“若ac<0，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根”．
(2)命题p的否命题是真命题．证明如下：
∵ac<0，∴－ac>0⇒Δ＝b2－4ac>0⇒一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根．
∴该命题是真命题．
10.指出下列各组命题中，p是q的什么条件？
(1)p：a＋b＝2，q：直线x＋y＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝2相切；
(2)p：|x|＝x，q：x2＋x≥0；
(3)设l，m均为直线，α为平面，其中l⊄α，m⊂α，p：l∥α，q：l∥m.
解：(1)若a＋b＝2，则圆心(a，b)到直线x＋y＝0的距离d＝|a＋b|2＝2＝r，所以直线与圆相切．
反之，若直线与圆相切，则|a＋b|＝2，
∴a＋b＝±2，
故p是q的充分不必要条件．
(2)若|x|＝x，则x2＋x＝x2＋|x|≥0成立．
反之，若x2＋x≥0，
即x(x＋1)≥0，则x≥0或x≤－1.
当x≤－1时，|x|＝－x≠x，
因此，p是q的充分不必要条件． (3)∵l∥αl∥m，但l∥m⇒l∥α，
∴p是q的必要不充分条件.
一、选择题
1.已知p：x1，x2是方程x2＋5x－6＝0的两根，q：x1＋x2＝－5，则p是q的( )
A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A.由题意知命题p中方程x2＋5x－6＝0的两根为－6，1，即x1＋x2＝－5，但若x1＋x2＝－5，则此处的x1，x2并不一定是方程x2＋5x－6＝0的根．故p⇒q，但q≠p.故选A.
2.下列命题中为真命题的是( )
A．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题
B．命题“x>1，则x2>1”的否命题
C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题
D．命题“若x2>0，则x>1”的逆否命题
解析：选A.对于A，其逆命题是：若x>|y|，则x>y，是真命题，这是因为x>|y|≥y，必有x>y；对于B，否命题是：若x≤1，则x2≤1，是假命题．如x＝－5，x2＝25>1；对于C，其否命题是：若x≠1，则x2＋x－2≠0，由于x＝－2时，x2＋x－2＝0，所以是假命题；对于D，若x2>0，则x>0或x<0，不一定有x>1，因此原命题的逆否命题是假命题．
二、填空题
3.若命题“ax2－2ax－3＞0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．
解析：ax2－2ax－3≤0恒成立，当a＝0时，－3≤0成立；当a≠0时，得a＜0Δ＝4a2＋12a≤0，解得－3≤a＜0，故－3≤a≤0.
答案：[－3，0]
4.已知集合A＝{x|12＜2x＜8，x∈R}，B＝{x|－1＜x＜m＋1，x∈R}，若x∈B成立的一个充分不必要的条件是x∈A，则实数m的取值范围是________．
解析：A＝{x|12＜2x＜8，x∈R}＝{x|－1＜x＜3}，
∵x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，
∴AB，∴m＋1＞3，即m＞2.
答案：(2，＋∞)
三、解答题
5.已知集合A＝y|y＝x2－32x＋1，x∈34，2，B＝{x|x＋m2≥1}．命题p：x∈A，命题q：x∈B，并且命题p是命题q的充分条件，求实数m的取值范围．
解：化简集合A，由y＝x2－32x＋1，
配方，得y＝x－342＋716.
∵x∈34，2，∴ymin＝716，ymax＝2.
∴y∈716，2. ∴A＝y|716≤y≤2.
化简集合B，由x＋m2≥1，
得x≥1－m2，B＝{x|x≥1－m2}．
∵命题p是命题q的充分条件，
∴A⊆B.
∴1－m2≤716，解得m≥34，或m≤－34.
∴实数m的取值范围是－∞，－34∪34，＋∞.
