第三章第8课时知能演练轻松闯关

一、选择题

1.(2013·龙岩模拟)已知A、B两地的距离为10 km，B、C两地的距离为20 km，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地的距离为( )

A．10 km B．103 km

C．105 km D．107 km

解析：选D.

如图所示，由余弦定理可得：

AC2＝100＋400－2×10×20×cos 120°＝700，

∴AC＝107(km)．

2．(2013·贵阳调研)在△ABC中，角A、B均为锐角，且cos A>sin B，则△ABC的形状是( )

A．直角三角形

B．锐角三角形

C．钝角三角形

D．等腰三角形

解析：选C.cos A＝sin(π2－A)>sin B，π2－A，B都是锐角，则π2－A>B，A＋B<π2，C>π2.

3.(2011·高考天津卷)如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD，2AB＝3BD，BC＝2BD，则sin C的值为(

)

A.33 B.36

C.63 D.66

解析：选D.设AB＝a，∴AD＝a，BD＝23a，BC＝2BD＝43 a，

cos A＝AB2＋AD2－BD22AB·AD＝2a2－43a22a2＝13，

∴sin A＝1－cos2A＝223.

由正弦定理知sin C＝ABBC·sin A＝34×223＝66.

4.一船自西向东匀速航行，上午10时到达灯塔P的南偏西75°距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船航行的速度为( )

A.1762 海里/时 B．346 海里/时

C.1722 海里/时 D．342 海里/时

解析：选A. 如图，由题意知∠MPN＝75°＋45°＝120°，∠PNM＝45°.

在△PMN中，

由正弦定理，得MNsin 120°＝PMsin 45°，

∴MN＝68×3222＝346(海里)．

又由M到N所用时间为 14－10＝4(小时)，

∴船的航行速度v＝3464＝1726(海里/时)．

5.(2013·北师大附中月考)一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50°方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B、C两点间的距离是( )

A．102 海里 B．103 海里

C．202 海里 D．203 海里

解析：选A.如图所示，由已知条件可得，∠CAB＝30°，∠ABC＝105°，

即AB＝40×12＝20(海里)，

∴∠BCA＝45°，

∴由正弦定理可得：ABsin 45°＝BCsin 30°，

∴BC＝20×1222＝102(海里)．

二、填空题

6.(2013·潍坊模拟)如图，一艘船上午9∶30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10∶00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距82

n mile.此船的航速是________．

解析：设航速为v n mile/h.

在△ABS中，AB＝12v，BS＝82，∠BSA＝45°，

由正弦定理得：82sin 30°＝12vsin 45°，∴v＝32.

答案：32 n mile/h

7.(2013·郑州模拟)在200 m高的山顶上，测得山下一塔顶和塔底的俯角分别是30°，60°，则塔高为________．

解析：如图，由已知可得∠BAC＝30°，∠CAD＝30°，∴∠BCA＝60°，∠ACD＝30°，∠ADC＝120°.又AB＝200 m，

∴AC＝40033 m.

在△ACD中，由余弦定理得，AC2＝2CD2－2CD2·cos 120°＝3CD2， ∴CD＝13 AC＝4003 (m)．

答案：4003 m

8.一船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向，行驶4 h后，船到达B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________km.

解析：如图所示，依题意有AB＝15×4＝60，∠DAC＝60°，∠CBM＝15°，

∴∠MAB＝30°，∠AMB＝45°.

在△AMB中，由正弦定理，得60sin 45°＝BMsin 30°，解得BM＝302.

答案：302

三、解答题

9.如图，在△ABC中，已知∠B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝10，AC＝14，DC＝6，求AB的长．

解：在△ADC中，AD＝10，AC＝14，DC＝6，

由余弦定理得cos∠ADC＝AD2＋DC2－AC22AD·DC

＝100＋36－1962×10×6＝－12，

∴∠ADC＝120°，∴∠ADB＝60°.

在△ABD中，AD＝10，B＝45°，∠ADB＝60°，

由正弦定理得ABsin∠ADB＝ADsin B，

∴AB＝AD·sin∠ADBsin B＝10sin 60°sin 45°＝10×3222＝56.

10.某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：A、B、C三地位于同一水平面上， 在C处进行该仪器的垂直弹射，观测点A、B两地相距100米，∠BAC＝60°，在A地听到弹射声音的时间比B地晚217秒．在A地测得该仪器至最高点H时的仰角为30°，求该仪器的垂直弹射高度CH.(声音的传播速度为340米/秒)

解：由题意，设AC＝x，则BC＝x－217×340＝x－40.

在△ABC中，由余弦定理得：

BC2＝BA2＋CA2－2BA·CA·cos∠BAC，

即(x－40)2＝x2＋10 000－100x，解得x＝420.

在△ACH中，AC＝420，∠CAH＝30°，∠ACH＝90°，

所以CH＝AC·tan∠CAH＝1403(米)． 即该仪器的垂直弹射高度为1403米．

1.如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距203海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达D点需要多长时间？

解：由题意知AB＝5(3＋3)(海里)，

∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，

∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°.

在△DAB中，由正弦定理得

DBsin∠DAB＝ABsin∠ADB，

∴DB＝AB·sin∠DABsin∠ADB＝5（3＋3）·sin 45°sin 105°

＝5（3＋3）·sin 45°sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°＝53（3＋1）3＋12

＝103(海里)．

又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，

BC＝203海里．

在△DBC中，由余弦定理得

CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠DBC

＝300＋1 200－2×103×203×12＝900，

∴CD＝30(海里)，则需要的时间t＝3030＝1(小时)．

即该救援船到达D点需要1小时．

2.某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．

(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？

(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．

解：(1)设小艇与轮船在B处相遇，相遇时小艇航行的距离为S海里，如图所示．

在△AOB中，A＝90°－30°＝60°，

∴S＝

900t2＋400－2·30t·20·cos 60°

＝900t2－600t＋400

＝ 900（t－13）2＋300. 故当t＝13时，Smin＝103，此时v＝10313＝303.

即小艇以303海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．

(2)由题意可知OB＝vt.

在△AOB中利用余弦定理得：

v2t2＝400＋900t2－2·20·30tcos 60°.

故v2＝900－600t＋400t2.

∵0＜v≤30，∴900－600t＋400t2≤900，

即2t2－3t≤0，解得t≥23，

又t＝23时，v＝30(海里/小时)．

故v＝30时，t取得最小值，且最小值等于23.

此时，在△AOB中，有OA＝OB＝AB＝20，故可设计航行方案如下：

航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇．