【精品】第七章 无穷级数

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1 / 46 第七章无穷级数

一、选择题

1．下列关于级数的论述中一定错误的是

(A)若,则．

（B)若，则．

（C)若un≥0,且，则．

（D）若un≥0，且不存在，则．

2．下列结论正确的是

（A）发散级数加括弧所成的级数仍发散．

（B）若加括弧后的级数收敛，则原级数收敛．

（C)若去括弧后的级数收敛，则原级数收敛. 资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除

2 / 46 （D)若去括弧后的级数发散,则原级数发散．

3．设都是正项级数,且级数收敛，则下列结论正确的是

（A)若un＞vn，则级数发散．（B)若，则级数收敛．

（C）若，则级数收敛．(D）若，则级数发散．

4．设级数，则下列结论正确的是资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除

2 / 46 （A）因为,所以与p—级数比较得收敛．

(B)因为，所以．

（C）因为，所以收敛．

(D）因为，所以发散．

5．设正项级数与任意项级数具有关系，则下列结论正确的是

（A)由收敛推知收敛．（B)由发散推知发散．

(C)由收敛推知收敛．（D）由发散不能断定的敛散性．

6．下列命题中正确的是 资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除

3 / 46 （A）设正项级数发散，则．

（B)设收敛,则收敛．

(C）设至少有一个发散，则发散．

(D）设收敛，则均收敛．

7．下列命题正确的是资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除

3 / 46 (A)若收敛，则收敛．

(B）若条件收敛,则发散．

(C)若收敛，则收敛．

（D）若，则收敛．

8．下列命题正确的是

(A)设复敛，则收敛．

（B)设收敛且n→∞时，an,bn是等价无穷小，则收敛．

（C）设收敛,则．

(D)设收敛,令，且Sn为正项级数的前n项部分和（n=1，2，…），则发散． 资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除

4 / 46 9．下列命题正确的是

(A）若都收敛，则也收敛．

(B）若收敛，发散,则必发散．

(C）若收敛，绝对收敛，则绝对收敛．

（D)若条件收敛，绝对收敛,则条件收敛．

10．已知都发散，则资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除

4 / 46 (A）必发散．(B）必发散．

(C）必发敞．（D）必发散．

11．设绝对收敛，则

（A)发散．（B）条件收敛．

(C)绝对收敛．(D)

12．对于常数k＞0，级数

（A）绝对收敛．(B)条件收敛．

（C）发散．（D)的收敛性与k的取值有关．

13．设级数收敛，则其中的常数

（A）a=-2，b=1．(B)a=b=1．

（C)a=1,．(D）a=b=—2．

14．设正项级数收敛，且bn=（-1）nln（1+a2n）（n=1，2，…），则级数

(A）发散．（B)绝对收敛．

（C)条件收敛．(D）的敛散性不能仅由所给条件确定．

15．下列级数

①② 资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除

5 / 46 ③④资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除

5 / 46 中收敛的个数是

（A)1个．(B）2个．(C)3个．(D）4个．

16．设有幂级数,则R为其收敛半径的充要条件是

(A）当｜x｜≤R时，收敛，且当｜x｜＞R时发散．

（B)当｜x｜＜R时,收敛，且当|x｜≥R时发散．

(C）当|x|＜R时，收敛,且当｜x｜＞R时发散．

（D）当—R＜x≤R时,收敛，且当R＜x或x≤—R时发散．

17．下列命题正确的是

（A）若幂级数的收敛半径为R≠0，则．

(B)若不存在，则幂级数没有收敛半径．

(C)若的收敛域为[—R，R］，则幂级数的收敛域为［-R，R]．

（D）若的收敛域为(-R，R)，则的收敛域可能是[-R，R］．

18．设收敛，则

(A)条件收敛．（B）绝对收敛．

(C）发散．(D）的敛散性仅由此还不能确定．

19．设幂级数在x=—1处收敛,则此级数在x=1处 资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除

6 / 46 (A)绝对收敛．(B)发散．资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除

6 / 46 (C）条件收敛．(D）的敛散性仅由此不能确定．

20．设幂级数的收敛半径为2，则幂级数的收敛域包含点集

(A）｛2,3，4，e}．(B）

(C){1，5｝．(D){1，2,3，4，5，e}．

21．设在x=1处收敛，则在x=0处

（A)绝对收敛．（B）条件收敛．

(C)发散．(D)的收敛性取决于{an｝的给法．

22．设级数收敛，则级数的收敛半径

(A）R=2．（B)R=3．（C）R＞2．(D）R≥2．

23．下列结论不正确的是

(A）若函数f（x）在区间[a,a+2π］上导函数连续，则展开成傅里叶级数时，有

（B）若函数f(x)在区间[—π，π］上有

则必有

(C）设连续函数f（x）满足f(x）+f(x+π)=0，则f(x)在［-π，π］上展开成傅里叶级数时,必有

a0=a2k=b2k=0(k=1，2,…)．

(D)若函数f(x）满足狄利克雷条件,则必有资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除

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其中

24．下列命题

①若函数f(x）为[—π，π]上的奇（偶）函数,则f（x)的傅里叶级数必为正(余)弦级数

②若函数f(x)在[0，π］上有定义，则f(x)的傅里叶级数展开式是唯一的

③设，不论收敛与否，总有

④将函数f(x）=x2(0≤x≤1)做偶延拓，得到

令x=2得

中正确的是

(A)①、③．（B)①、④．（C）②、③．（D）②、④．

25．将函数在［0,π］上展开为余弦级数,则其和函数在x=0，1,π处的函数值分别为

（A）（B)0，2，0．

（C)1，2，π+1．（D）资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除

8 / 46 二、填空题

1．设，则=______．

2．设幂级数的收敛半径是2,则幂级数的收敛半径是______．

3．设幂级数，则该幂级数的收敛半径等于______．

4．若幂级数的收敛域是(—8，8］，则的收敛半径R=______,的收敛域是______．

5．已知幂级数当x=—2时条件收敛，则该幂级数的收敛区间为______．

6．设幂级数的收敛区间为（—2,4),则幂级数的收敛区间为______．

7．幂级数的收敛域为______．

8．幂级数的收敛域为______．

9．函数展开成x的幂级数及其收敛区间分别为______．

10．设函数f（x）=x+|x|(—π≤x≤π）的傅里叶级数展开式为，则其中系数bn=______．

11．设则其以2π为周期的傅里叶级数在x=π处收敛于______，在x=2π处收敛于______．资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除

9 / 46 三、解答题

1．判别下列级数的敛散性：

(Ⅰ）

（Ⅱ)

（Ⅲ)

(Ⅳ)

2．讨论下列级数的敛散性，若收敛，需指出是条件收敛还是绝对收敛，并说明理由．

(Ⅰ)

(Ⅱ）

(Ⅲ)

（Ⅳ）

3．设常数p＞0，试判断级数的敛散性．

4．设b1=1，，讨论级数的敛散性．

5．已知a1=1，对于n=1，2，…,设曲线上点处的切线与x轴交点的横坐标是an+1．

（Ⅰ）求an（n=2，3，…）；资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除

10 / 46 (Ⅱ）设Sn是以和（an+1，0)为顶点的三角形的面积，求级数的和．

6．设un＞0(n=1，2,…)，证明：

(Ⅰ)若存在常数a＞0，使当n＞N时，,则级数收敛;

(Ⅱ）若当n＞N时，，则级数发散．

7．设函数f(x）在区间［0，1]上有一阶连续导数且f(0)=0，设，证明级数绝对收敛．

8．设f（x）在｜x|≤1有一阶连续导数且，证明级数发散而级数收敛．

9．设f（x）是[-1，1]上具有二阶连续导数的偶函数，且f（0）=1，试证明级数绝对收敛．

10．设函数f（x)在|x｜≤1上具有二阶连续导数,当x≠0时f（x）≠0,且当x→0时f（x）是比x高阶的无穷小．证明级数绝对收敛．

11．求下列幂级数的收敛域：

(Ⅰ）

（Ⅱ）

（Ⅲ)

(Ⅳ)

12．求下列幂级数的和函数:资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除

11 / 46 (Ⅰ）

(Ⅱ)

13．已知a0=3，a1=5，且对任何自然数n＞1，，证明：当｜x｜＜1时，幂级数收敛，并求其和雨数．

14．分别求幂级数的和函数与幂级数当x≥0时的和函数·

15．将函数展开为x的幂级数．

16．(Ⅰ)将展开成x-1的幂级数；

(Ⅱ)在区间(—1,1)内将展开为x的幂级数，并求f(n)(0）．

17．将展开成x的幂级数．

18．求证:

19．将展开成以2π为周期的傅里叶级数．

20．将函数展开成正弦级数，并求级数的和．

一、选择题

1．A