第七章 无穷级数2010

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第七章：无穷级数

本章重点是判断数项级数的敛散性， 幕级数与傅里叶级数的展开与求和.

§ 7.1数项级数

本节重点是级数的性质， 正项级数的几个判别法， 交错级数的莱布尼兹判别法， 任意项

级数绝对收敛与条件收敛.

•常考知识点精讲

一、数项级数的概念

1•数项级数定义

定义：设「厲？是一个数列，则称表达式

□0

a Un =5 — * |1| ■ Un -||| n =1

n

为一个数项级数，简称级数，其中第 n项un称为级数的通项或一般项， & uk称为级

数的前n项部分和.

2.级数收敛的定义

Q0

定义：若数项级数Un的部分和数列 春有极限,

n =1

□0

为此级数的和.当lim Sn不存在时，则称级数 7 un发散.

F nm

几何级数发散.

［例1.1］判断下列级数的敛散性

1 1 1

解：⑴由于 sn 1 1 1 -

1 2 2 3 n(n +1)

1 1 1

"2)(2弓川、n n 1

1 〜 1

所以 limSn=lim(1 )=1，故级数 ——收敛.

n 并 n* n+1 n#n(n +1) Q0

则称级数a Un收敛,

n =1 极限值lim Sn称

n—咨

利用级数收敛的定义，易知当 q <1时，几何级数 C0

■二qn收敛，和为 1

1 -q ；当 |^1,

CO

⑴V

n =1 1

n(n 1) QO _______________ =

⑵二(.n 1 -、n)

nT 354

⑵由于 q =(「2 一 ,1) (、_3- .2)川(、、乔一 “)「百一 1

oO ____ _

所以 lim Sn _ ■::，故级数 (• n • 1 -、. n)发散.

二、级数的基本性质及收敛的必要条件

QQ QQ CQ QQ

1•设7 un,v vn都收敛，和分别为a,b，则(un _vn)必收敛，且7 (un _vn) = a_b ;

n=1nz1 n=1 n=1

1 第七章 无穷级数

7.1数项级数敛散性的判别方法

一 基本概念

定义1 级数收敛 令121nnnkksuuuu，若limnnss，则称级数1nnu收

敛，若不然，则称1nnu发散；

定义2 正项级数 若1nnu,0nu，则称1nnu为正项级数；

定义3 交错级数 若1(1)nnnu或11(1)nnnu,0nu，则称1nnu为交错级数

定义4 绝对收敛 若1nnu收敛，则称1nnu为绝对收敛；（绝对收敛级数的本身也收敛）

定义5 条件收敛 若1nnu发散，而1nnu收敛，则称1nnu为条件收敛．

二 基本结论

定理1 （级数1nnu的敛散性，其中nnnuuu）

（1）若1nnu和1nnu都收敛，则1nnu收敛．

（2）若1nnu和1nnu一个收敛，另一个发散，则1nnu一定发散．

（3）若1nnu和1nnu都发散，1nnu敛散性不确定．

（4）若1nnu和1nnu都绝对收敛，则1nnu绝对收敛．

（5）1nnu和1nnu一个绝对收敛，另一个条件收敛，则1nnu条件收敛．

（6）1nnu和1nnu都是条件收敛，则1nnu一定收敛，但其绝对收敛还是条件收敛不确定．

定理2 两个重要级数的敛散性

（1）等比级数敛散性 等比级数1nnaq的公比的绝对值小于1时，级数收敛，其和等于1减公比分之首项．

（2）几何级数敛散性 p级数11pnn，当1p时，收敛；当1p时，发散． 2 三 基本方法

题型1．正项级数敛散性的判别方法：比较法，比值法，根植法。

（1）比较判别法：

不等式形式：若nnuv（nN），或nnukv（nN），则

1

第十一章 无穷级数

一、选择题

1、无穷级数1nnu的部分和数列}{nS有极限S，是该无穷级数收敛的 C 条件。

A、充分，但非必要 B、必要，但非充分

C、充分且必要 D、既不充分，又非必要

2、无穷级数1nnu的一般项nu趋于零，是该级数收敛的 C 条件。

A、充分，但非必要 B、必要，但非充分

C、充分且必要 D、既不充分，又非必要

3、若级数1nnu发散，常数0a，则级数1nnau B

A、一定收敛 B、一定发散

C、当0a收敛，当0a发散 D、当1a收敛，当1a发散。

4、若正项级数1nnu收敛，则下列级数必定收敛的是 A

A、1100nnu B、1)100(nnu C、1)100(nnu D、1)100(nnu

5、若级数1nna收敛，1nnb发散，为正常数，则级数1)(nnnba B

A、一定收敛 B、一定发散

C、收敛性与有关 D、无法断定其敛散性

6、设级数1nnu的部分和为nS，则该级数收敛的充分条件是 D

A、0limnnu B、1lim1ruunnn

C、21nun D、nnSlim存在

7、设qk、为非零常数，则级数11nnqk收敛的充分条件是 C

A、1q B、1q C、1q D、1q

第七章 无穷级数

一、敛散性判断（单调有界，必有极限；从上往下，具有优先顺序性）：

1、形如11nnaq的几何级数（等比级数）：当1q时收敛，当1q时发散。

2、形如11npn的P级数：当1p时收敛，当1p时发散。

3、0limnnU级数发散； 级数收敛0limnnU

4、比值判别法（适用于多个因式相乘除）：若正项级数1nnU，满足条件lUUnnn1lim：

当1l时，级数收敛；

当1l时，级数发散（或l）；

当1l时，无法判断。

5、根值判别法（适用于含有因式的n次幂）：若正项级数1nnU，满足条件nnnUlim：

当1时，级数收敛；

当1时，级数发散（或）； 当1时，无法判断。

注：当1,1l时，方法失灵。

6、比较判别法：大的收敛，小的收敛；小的发散，大的发散。（通过不等式的放缩）

推论：若1nnU与1nnV均为正项级数，且lVUnnnlim（nV是已知敛散性的级数)

若l0，则级数1nnU与1nnV有相同的敛散性；

若0l且级数1nnV收敛，则级数1nnU收敛；

若l且级数1nnV发散，则级数1nnU发散。

7、定义判断：若CSnnlim收敛，若nnSlim无极限发散。

8、判断交错级数的敛散性（莱布尼茨定理）：

满足1nnUU，0limnnU收敛，其和1uS。

9、绝对收敛：级数加上绝对值后才收敛。

条件收敛：级数本身收敛，加上绝对值后发散。

二、无穷级数的基本性质：

1、两个都收敛的无穷级数，其和可加减。

2、收敛的无穷级数1nnU，其和为S，则1nnaU，其和为aS（0a）