高数第六章 无穷级数

第六章 无穷级数

无穷级数是数学分析的一个重要工具，也是高等数学的重要组成部分.本章首先讨论常数项级数，然后研究函数项级数，最后研究把函数展开为幂级数和三角级数的问题.我们将只介绍两种最常用的级数展开式——泰勒级数展开式和傅里叶级数展开式.

第一节 常数项级数的概念和性质

常数项级数的概念

在中学课程中，我们就已经遇到过“无穷项之和”的运算，比如等比级数

2na+ar+ar++ar+

另外，无限小数其实也是“无穷项的和”，比如

14142234414.12210101010

对于有限项之和，我们在初等数学里已经详尽地研究了；对于“无穷项之和”，这是一个未知的新概念，不能简单地引用有限项相加的概念，而必须建立一套严格的理论.

定义1 给定一个数列nu，将它的各项依次用“”号连接起来的表达式

123nuuuu (611)

称做（常数项）无穷级数，简称（常数项）级数，记为

1231nnnuuuuu，

其中，12,,,,nuuu都称为级数(611)的项，nu称为级数(611)的一般项或通项.级数1nnu是“无限多个数的和”.但怎样由我们熟知的“有限多个数的和”的计算转化到“无限多个数的和”的计算呢？我们借助极限这个工具来实现。

设级数1nnu的前n项的和为nS，即

12nnSuuu (612)

或

1nkknuS.

我们称nS为级数1nnu的前n项部分和，简称部分和. 显然，级数1nnu的所有前n项部分和nS构成一个数列nS，我们称此数列为级数1nnu的部分和数列.

定义2 若级数1nnu的部分和数列nS收敛于S（即limnnSS），则称级数1nnu收敛，称S为级数1nnu的和，记作 1231nnnSuuuuu.

而

12nnnnrSSuu

称为级数1nnu的余项，显然有

limlim()0nnnnrSS.

若nS是发散数列，则称级数1nnu发散，此时级数1nnu没有和.

由此可知，级数的收敛与发散是借助于级数的部分和数列的收敛与发散定义的，于是研究级数及其和只不过是研究与其相对应的一个数列及其极限的一种新形式.

例1 设,aq为非零常数，无穷级数

20nnnaaqqqaqaa (613)

称为等比级数（又称为几何级数），q称为级数的公比.试讨论级数0nnaq的敛散性.

解 若1q，则

11nnnaaqSaaqaqq

11naqaqq.

当1q时，由于0limnnq，从而lim1nnaSq，因此这时级数0nnaq收敛，其和为1aq；

当1q时，由于limnnq，从而limnnS，这时级数0nnaq发散；

当1q时，

若1q，这时（）nSnan，因此级数0nnaq发散；

若1q，这时级数0nnaq成为

aaaa，

显然nS随着n为奇数或为偶数而等于a或等于零，从而nS的极限不存在，因此级数0nnaq发散.

综上所述，对于等比级数0nnaq，当公比q的绝对值1q时级数收敛；当1q时级数发散.

例2 证明级数

1111335(21)(21)nn

收敛，并求其和.

解 由于 1111(21)(21)22121nnnnnu，

因此

1111335(21)(21)nSnn

1111111112323522121nn

111221n.

从而1lim2nnS，所以该级数收敛，它的和为12.

例3 证明级数

13111211nnn

是发散的.

证 该级数的部分和为

=131112nnS.

显然，部分和数列nS是单调增加的数列，要证明调和级数发散，仅须证明其部分和数列nS无上界即可.事实上

=11=124611123.222SSS；；

假设1212kSk成立，则

=111221111122212222kkkkkkkSS.

于是

122111122kkSSk.

由归纳法，对一切正整数n有

212nnS.

由极限的性质，有

limnnS.

故调和级数11nn发散.

常数项级数的性质

性质1 若级数1nnu收敛于和，Sk为任意常数，则1nnku也收敛，且其和为kS.

证 设级数1nnu与级数1nnku的部分和分别为nS与*nS，显然有*nnSkS.于是

*limlimlimnnnnnnkSkSkSS. 这表明级数limnnku收敛，且和为kS.

需要指出，若级数1nnu发散，即nS无极限，且k为非零常数，那么{*nS}也不可能存在极限，即limnnku也发散.因此可以得出如下结论：级数的每一项同乘以一个不为零的常数后，其敛散性不变.

上述性质的结果可以改写为

1limnnnnkuu（0k为常数），

即收敛级数满足分配律.

性质2 若级数1nnu，1nnv分别收敛于12，SS，则级数1nnnuv也收敛，且其和为12SS.

可以利用数列极限的运算法则给出证明.

性质2的结果表明：两个收敛级数可以逐项相加或逐项相减.

性质3 在级数中去掉、增加或改变有限项，不会改变级数的敛散性.

证 只需证明“去掉、改变级数前面的有限项，或在级数前面增加有限项，不会改变级数的敛散性”.

设将级数121nnnuuuu的前k项去掉，得新的级数

12kkknuuk

此级数的前n项部分和为

12nkkknknkAuuuSS，

其中knS是原来级数的前kn项的和.因为kS是常数，所以当n时，nA与knS或同时存在极限，或同时不存在极限.

类似地，可以证明改变级数前面的有限项或在级数的前面加上有限项，不会改变级数的敛散性.

性质4 收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛，且其和不变.

证 设级数1nnu的部分和为nS，加括弧后的级数（把每一括弧内的项之和视为一项）为

121112111212kkknnnnnnnuuuuuuuuu

设其前k项之和为kA，则有

11211nnAuuuS，

2121112212nnnnnuuuASuuu，



121112111212kkkknnnnknnnnAuuuuuuuuSu，



可见数列kA是数列nS的一个子列，由收敛数列与其子列的关系可知，数列kA必定收敛，且有limlimknknAS，即加括弧后所成的级数收敛，且其和不变.

注意 若加括弧后所成的级数收敛，则不能断定原来的级数也收敛.

例如，（11）（11）收敛于零，但级数111111(1)nni却是发散的.

推论 若加括弧后所成的级数发散，则原来的级数也发散. 性质5（级数收敛的必要条件） 若级数1nnu收敛，则它的一般项nu趋于零，即0limnnu.

证 设级数1nnu的部分和为nS，且（）nSSn，则

11lim()nnnnnuSS

10limlimnnnnSSSS.

由性质5可知，若n时级数的一般项不趋于零，则该级数必定发散. 例如，级数

112331471031nnnnn

的一般项31nunn当n时，不趋于零，因此该级数是发散的.

注意 级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件.

例如，在例3中讨论的调和级数11nn，虽然它的一般项10nnnu，但它是发散的.

*三、 柯西审敛原理

因为级数1nnu的敛散性与它的部分和数列nS的敛散性是等价的，故由数列的柯西审敛原理可得下面的定理.

定理1［柯西（Cauchy）审敛原理］ 级数1nnu收敛的充分必要条件为：0ε，总存在自然数N，使得当nN时，对于任意的自然数p，都有

12nnnpuuuε

成立.

证 设级数1nnu的部分和为nS，因为

12nnnpnpnuuuSS，

所以，由数列的柯西审敛原理，即得本定理结论.

例4 利用柯西审敛原理证明级数1cos22nnn收敛.

证 对任意自然数p，都有

1212cos2cos2cos2222nnnpnnnnppnSS

12111222nnnp

111122112np

1111222npn. 于是，对100εε，2log1Nε，当nN时，对任意的自然数p都有12npnnSSε，从而该级数收敛.

例5 证明级数11nn发散.

证 对任意自然数p，都有

11112npnnnnSSp

1np.

特别地取pn，得22nnSSn，故级数11nn发散.

第二节 正项级数敛散性判别法

本节我们讨论各项都是非负数的级数，这种级数称为正项级数.研究正项级数的敛散性十分重要，因为许多其他级数的敛散性问题都可归结为正项级数的敛散性问题.设级数

12nuuu (6-2-1)

是一个正项级数（0nu），它的部分和为nS，显然，数列{Sn}满足：

12nSSS，

即nS是单调增加的数列.而单调增加的数列收敛的充要条件是该数列有上界，于是可以得到下面的定理.

定理1 正项级数1nnu收敛的充分必要条件是：它的部分和数列nS有上界.

以这个定理为基础，可以导出判断正项级数是否收敛的几种方法.

定理2（比较审敛法） 设1nnu和1nnv都是正项级数，且存在自然数N和正常数k，当nN时，有nnukv，则有：

（1） 若级数1nnv收敛，则级数1nnu也收敛；

（2） 若级数1nnu发散，则级数1nnv也发散.

证 根据级数的性质，改变级数前面有限项并不改变级数的敛散性，因此，不妨设对任意自然数n都有123,,,nnukvn.设级数1nnu与1nnv的部分和分别为nA与nB，由上面的不等式有