1 / 96 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 圣才电子书
第6章 参数估计
6.1 复习笔记
一、点估计的概念与无偏性
1．点估计及无偏性
（1）定义：设x1，…，xn是来自总体的一个样本，用于估计未知参数θ的统计量θ∧＝θ∧
（x1，…，xn）称为θ的估计量，或称为θ的点估计，简称估计．
（2）定义：设θ∧＝θ∧（x1，…，xn）是θ的一个估计，θ的参数空间为Θ，若对任意的
θ∈Θ，有Eθ（θ∧）＝θ，则称θ∧是θ的无偏估计，否则称为有偏估计． 注意：
①当样本量趋于无穷时，有E（sn2）→σ2，称sn2为σ2的渐近无偏估计，这表明当样
本量较大时，sn2可近似看作σ2的无偏估计．
②若对sn2作如下修正：
则s2是总体方差的无偏估计．这个量常被采用．
③无偏性不具有不变性．
即若θ
∧是θ的无偏估计，一般而言，其函数g（θ∧）不是g（θ）的无偏估计，除非g（θ）是θ的线性函数．
④并不是所有的参数都存在无偏估计，当参数存在无偏估计时，我们称该参数是可估的，
否则称它是不可估的． 22211()11nniinssxxnn
2 / 96 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 圣才电子书
2．有效性
定义：设θ∧1，θ∧2是θ的两个无偏估计，如果对任意的θ∈Θ有Var（θ∧1）≤Var（θ∧2），
且至少有一个θ∈Θ使得上述不等号严格成立，则称θ∧1比θ∧2有效．
二、矩估计及相合性
1．替换原理和矩法估计
替换原理指：
（1）用样本矩去替换总体矩，这里的矩可以是原点矩也可以是中心矩．
（2）用样本矩的函数去替换相应的总体矩的函数．
2．概率函数已知时未知参数的矩估计
设总体具有已知的概率函数p（x；θ1，…，θk），（θ1，…，θk）∈Θ是未知参数或参
数向量，x1，…，xn是样本．假定总体的k阶原点矩uk存在，则对所有的j（0＜j＜k）uj都存在，若假设θ1，…，θk能够表示成u1，…，uk的函数θj＝θj（u1，…，uk），则可给出
2004年7月第1版
2008年4月第10次印刷
第一章 随机事件与概率
1.1 随机事件及其运算
1.1.1 随机现象
在一定的条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象.在相同条件下可以重复的随机现象又称为随机试验.
1.1.2 样本空间
随机现象的一切可能基本结果组成的集合称为样本空间，记为，其中表示基本结果，又称为样本点.样本点是今后抽样的最基本单元.
1.1.3 随机事件
随机现象的某些样本点组成的集合称为随机事件，简称事件.
1.1.4 随机变量
用来表示随机现象结果的变量称为随机变量.
1.1.7 事件域
定义1.1.1 设为一样本空间，为的某些子集所组成的集合类.如果满足：
(1)；
(2)若，则对立事件；
(3)若，则可列并.
则称为一个事件域，又称为代数.
在概率论中，又称为可测空间.
1.2 概率的定义及其确定方法
1.2.1 概率的公理化定义
定义1.2.1设为一样本空间，为的某些子集所组成的一个事件域.若对任一事件，定义在上的一个实值函数满足：
(1)非负性公理 若，则；
(2)正则性公理 ；
(3)可列可加性公理 若互不相容，有
则称为事件的概率，称三元素为概率空间.
第二章 随机变量及其分布
2.1 随机变量及其分布
2.1.1 随机变量的概念
定义2.1.1 定义在样本空间上的实值函数称为随机变量.
2.1.2 随机变量的分布函数
定义2.1.2 设是一个随机变量，对任意实数，称
为随机变量的分布函数.且称服从，记为.
2.1.4 连续随机变量的概率密度函数
定义2.1.4 设随机变量的分布函数为，如果存在实数轴上的一个非负可积函数，使得对任意实数有
则称为连续随机变量，称为的概率密度函数，简称为密度函数.
密度函数的基本性质
(1)非负性 ；
(2)正则性 .
第三章 多维随机变量及其分布
3.1 多维随机变量及其联合分布
3.1.1 多维随机变量
定义3.1.1 如果定义在同一个样本空间上的个随机变量，则称
2004年7月第1版
2008年4月第10次印刷
第一章 随机事件与概率
1.1 随机事件及其运算
1.1.1 随机现象
在一定的条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象.在相同条件下可以重复的随机现象又称为随机试验.
1.1.2 样本空间
随机现象的一切可能基本结果组成的集合称为样本空间，记为𝛺={𝜔}，其中𝜔表示基本结果，又称为样本点.样本点是今后抽样的最基本单元.
1.1.3 随机事件
随机现象的某些样本点组成的集合称为随机事件，简称事件.
1.1.4 随机变量
用来表示随机现象结果的变量称为随机变量.
1.1.7 事件域
定义1.1.1 设𝛺为一样本空间，ℱ为𝛺的某些子集所组成的集合类.如果ℱ满足：
(1) 𝛺∈ℱ；
(2)若𝐴∈ℱ，则对立事件𝐴∈ℱ；
(3)若𝐴𝑛∈ℱ,𝑛=1,2,…，则可列并⋃𝐴𝑛∞𝑛=1∈ℱ.
则称ℱ为一个事件域，又称为𝜎代数.
在概率论中，又称(𝛺,ℱ)为可测空间.
1.2 概率的定义及其确定方法
1.2.1 概率的公理化定义
定义1.2.1设𝛺为一样本空间，ℱ为𝛺的某些子集所组成的一个事件域.若对任一事件𝐴∈ℱ，定义在ℱ上的一个实值函数𝑃(𝐴)满足：
(1)非负性公理 若𝐴∈ℱ，则𝑃(𝐴)≥0；
(2)正则性公理 𝑃(𝛺)=1；
(3)可列可加性公理 若𝐴1,𝐴2,…,𝐴𝑛互不相容，有
𝑃(⋃𝐴𝑖∞𝑖=1)=∑𝑃(𝐴𝑖)∞𝑖=1
则称𝑃(𝐴)为事件𝐴的概率，称三元素(𝛺,ℱ,𝑃)为概率空间.
第二章 随机变量及其分布
2.1 随机变量及其分布
2.1.1 随机变量的概念
定义2.1.1 定义在样本空间𝛺上的实值函数𝑋=𝑋(𝜔)称为随机变量.
2.1.2 随机变量的分布函数
定义2.1.2 设𝑋是一个随机变量，对任意实数𝑥，称 𝐹(𝑥)=𝑃(𝑋≤𝑥)
1第二章 随机变量及其分布
上一章研究内容： 事件（集合A）→ 概率（数）．
本章将用函数研究概率，函数是数与数的关系，即需要用数反映事件——随机变量．
事件（数）→ 概率（数）．
§2.1 随机变量及其分布
2.1.1. 随机变量的概念
随机试验的样本点有些是定量的：如掷骰子掷出的点数，电子元件使用寿命的小时数．有些是定性的：
如掷硬币正面或反面，检查产品合格或不合格．
对于定性的结果也可以规定其数量性质：如掷硬币，正面记为1，反面记为0；检查产品，合格记为1，
不合格记为0．
随机试验中，可将每一个样本点ω
都对应于一个实数X
(ω
)，称为随机变量（Random Variable），常用
大写英文字母X, Y, Z
等表示随机变量，而随机变量的具体取值通常记为小写英文字母x, y, z．
对于随机变量首先应掌握它的全部可能取值：
如掷硬币，
⎩⎨⎧
=
反面正面
,0,1
X
，X的全部可能取值为0, 1；
掷两枚骰子，X表示掷出的点数之和，X的全部可能取值为2, 3, 4, … , 12 ；
观察某商店一小时内的进店人数X，X的全部可能取值为0, 1, 2, … ；
电子元件使用寿命，用X表示使用的小时数，X的全部可能取值为 ),0[∞+
；
一场足球比赛（90分钟），用X表示首次进球时间（分钟），若为0:0，记X = 100，
X的全部可能取值为 (0, 90 )∪{100}；
注意：1. 每个样本点都必须对应于一个实数，
2．不同样本点可以对应于同一个实数，
3．随机变量的每一取值或取值范围都表示一个事件．
应掌握将随机变量的取值或取值范围描述为事件，又能将事件用随机变量表达的方法．
例 掷一枚骰子，用X表示出现的点数，
则 X = 1表示出现1点；X > 4表示点数大于4，即出现5点或6点；X ≤ 0为不可能事件．
又出现奇数点，即X = 1, 3, 5；点数不超过3，即X ≤ 3．
例 X
表示商店一天中某商品的销售件数（顾客的需求件数），
