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第6章 参数估计
6.1 复习笔记
一、点估计的概念与无偏性
1．点估计及无偏性
（1）定义：设x1，…，xn是来自总体的一个样本，用于估计未知参数θ的统计量θ∧＝θ∧
（x1，…，xn）称为θ的估计量，或称为θ的点估计，简称估计．
（2）定义：设θ∧＝θ∧（x1，…，xn）是θ的一个估计，θ的参数空间为Θ，若对任意的
θ∈Θ，有Eθ（θ∧）＝θ，则称θ∧是θ的无偏估计，否则称为有偏估计． 注意：
①当样本量趋于无穷时，有E（sn2）→σ2，称sn2为σ2的渐近无偏估计，这表明当样
本量较大时，sn2可近似看作σ2的无偏估计．
②若对sn2作如下修正：
则s2是总体方差的无偏估计．这个量常被采用．
③无偏性不具有不变性．
即若θ
∧是θ的无偏估计，一般而言，其函数g（θ∧）不是g（θ）的无偏估计，除非g（θ）是θ的线性函数．
④并不是所有的参数都存在无偏估计，当参数存在无偏估计时，我们称该参数是可估的，
否则称它是不可估的． 22211()11nniinssxxnn
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2．有效性
定义：设θ∧1，θ∧2是θ的两个无偏估计，如果对任意的θ∈Θ有Var（θ∧1）≤Var（θ∧2），
且至少有一个θ∈Θ使得上述不等号严格成立，则称θ∧1比θ∧2有效．
二、矩估计及相合性
1．替换原理和矩法估计
替换原理指：
（1）用样本矩去替换总体矩，这里的矩可以是原点矩也可以是中心矩．
（2）用样本矩的函数去替换相应的总体矩的函数．
2．概率函数已知时未知参数的矩估计
设总体具有已知的概率函数p（x；θ1，…，θk），（θ1，…，θk）∈Θ是未知参数或参
数向量，x1，…，xn是样本．假定总体的k阶原点矩uk存在，则对所有的j（0＜j＜k）uj都存在，若假设θ1，…，θk能够表示成u1，…，uk的函数θj＝θj（u1，…，uk），则可给出
2004年7月第1版
2008年4月第10次印刷
第一章 随机事件与概率
1.1 随机事件及其运算
1.1.1 随机现象
在一定的条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象.在相同条件下可以重复的随机现象又称为随机试验.
1.1.2 样本空间
随机现象的一切可能基本结果组成的集合称为样本空间，记为，其中表示基本结果，又称为样本点.样本点是今后抽样的最基本单元.
1.1.3 随机事件
随机现象的某些样本点组成的集合称为随机事件，简称事件.
1.1.4 随机变量
用来表示随机现象结果的变量称为随机变量.
1.1.7 事件域
定义1.1.1 设为一样本空间，为的某些子集所组成的集合类.如果满足：
(1)；
(2)若，则对立事件；
(3)若，则可列并.
则称为一个事件域，又称为代数.
在概率论中，又称为可测空间.
1.2 概率的定义及其确定方法
1.2.1 概率的公理化定义
定义1.2.1设为一样本空间，为的某些子集所组成的一个事件域.若对任一事件，定义在上的一个实值函数满足：
(1)非负性公理 若，则；
(2)正则性公理 ；
(3)可列可加性公理 若互不相容，有
则称为事件的概率，称三元素为概率空间.
第二章 随机变量及其分布
2.1 随机变量及其分布
2.1.1 随机变量的概念
定义2.1.1 定义在样本空间上的实值函数称为随机变量.
2.1.2 随机变量的分布函数
定义2.1.2 设是一个随机变量，对任意实数，称
为随机变量的分布函数.且称服从，记为.
2.1.4 连续随机变量的概率密度函数
定义2.1.4 设随机变量的分布函数为，如果存在实数轴上的一个非负可积函数，使得对任意实数有
则称为连续随机变量，称为的概率密度函数，简称为密度函数.
密度函数的基本性质
(1)非负性 ；
(2)正则性 .
第三章 多维随机变量及其分布
3.1 多维随机变量及其联合分布
3.1.1 多维随机变量
定义3.1.1 如果定义在同一个样本空间上的个随机变量，则称
《概率统计A3》教学大纲
（2013版）
课程编码：1510311303 课程名称：概率统计A3 学时/学分：48/3 先修课程：《初等数学》、《高等数学》、《线性代数》 适用专业：机械设计制造及其自动化、材料成型及控制工程、车辆工程、物理学、电子信
息科学与技术、土木工程、建筑环境与能源应用、交通工程等专业 开课教研室：大学数学教研室
执笔：毛新娜
审定：王仁举 赵国喜
《概率统计A3》教学大纲
（2013版）
课程编码：1510311303 课程名称：概率统计A3 学时/学分：48/3 先修课程：《初等数学》、《高等数学》、《线性代数》 适用专业：机械设计制造及其自动化、材料成型及控制工程、车辆工程、物理学、电子信
息科学与技术、土木工程、建筑环境与能源应用、交通工程等专业 开课教研室：大学数学教研室
执笔：
审定： 一、课程性质与任务
1．课程性质：本课程是机械设计制造及其自动化、材料成型及控制工程、车辆工程、物理
学、电子信息科学与技术、土木工程、建筑环境与能源应用、交通工程等专业一门重要的学科基
础课，是这些专业学生的必修课。
2．课程任务：本课程兼具基础性和应用性特征。教学目的包括两个方面：第一，通过本课
程的学习，使学生掌握概率论与数理统计的基本概念，了解它的基本理论和方法，从而使学生初
步掌握处理随机现象的基本思想和方法，培养学生运用概率统计方法分析和解决实际问题的能
力。同时，为后续课程的学习打下坚实的基础。第二，使学生掌握概率与数理统计处理随机现象
中所蕴涵的带有普遍性的思想和方法，以便为学生分析和解决实际问题打下坚实的基础。 二、课程教学基本要求
1．随机事件及其概率
(1)理解随机事件的概念;
(2)掌握事件之间的关系与运算, 掌握概率的基本性质和应用性质进行概率计算;
(3)了解概率的定义.
2．条件概率及事件的独立性
(1)理解条件概率和事件的独立性的概念;
(2)掌握概率的加法公式、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式以及应用这些公式进行概率
茆诗松数理统计学答案
【篇一：数理统计】
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课程代码： 课程性质：专业基础理论课
适用专业： 统计 开课学期：4
总学时数： 56总学分数：3.5
编写年月： 2007.5 修订年月：2007.7
执 笔： 邱红兵
一、课程的性质和目的?
本课程以概率论为基础开设本课程的目的在于通过教与学，使学生掌握数理统计的基本思想、基本理论和一般方法，具有一定的解决随机现象的实际问题的能力，并为学习后续课程奠定必要的基础。是对随机现象统计规律性归纳的研究，主要对随机现象统计资料进行收集、整理和推断分析。
本课程是数学类专业本科生的专业基础课。本课程以概率论为基础，研究如何用有效的方式收集、整理和分析受到随机性影响的数据，从而为随机现象选择和检验数学模型，并在此基础上对随机现象的性质、特点和统计规律作出推断和预测，进而为决策提供依据和建议。通过本课程的教学，使学生初步掌握处理随机现象的基本理论和方法，并能应用其解决一些简单实际问题。包括如何进行参数估计，如何进行统计假设检验，如何研究变量之间的关系等。培养学生运用概率统计方法分析问题和解决实际问题的能力，使学生初步建立统计思维方式。 同时为学习有关的后继课程打好必要的基础。
二、课程教学内容及学时分配
统计推断两个基本问题：参数估计，假设检验；简单随机样本的分布；经验分布；样本的原点矩和中心矩，特别是样本均值、样本方差。
第一章 抽样分布（12学时）
本章内容：数理统计的基本概念：总体、样本、抽样、简单随机样本、统计量；顺序统计量；
经验分布函数；几个重要分布：?分布，?分布，t分布和f分布；多元正态分布与正态二次型；抽样分布；分位数。
本章要求： 1、理解总体、样本、抽样、简单随机样本、统计量的概念； 2、理解顺序统计量及经验分布函数的概念；
3、掌握?分布，t分布和f分布的定义，以及三种分布的性质； 22
