2004年7月第1版
2008年4月第10次印刷
第一章 随机事件与概率
1.1 随机事件及其运算
1.1.1 随机现象
在一定的条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象.在相同条件下可以重复的随机现象又称为随机试验.
1.1.2 样本空间
随机现象的一切可能基本结果组成的集合称为样本空间，记为，其中表示基本结果，又称为样本点.样本点是今后抽样的最基本单元.
1.1.3 随机事件
随机现象的某些样本点组成的集合称为随机事件，简称事件.
1.1.4 随机变量
用来表示随机现象结果的变量称为随机变量.
1.1.7 事件域
定义1.1.1 设为一样本空间，为的某些子集所组成的集合类.如果满足：
(1)；
(2)若，则对立事件；
(3)若，则可列并.
则称为一个事件域，又称为代数.
在概率论中，又称为可测空间.
1.2 概率的定义及其确定方法
1.2.1 概率的公理化定义
定义1.2.1设为一样本空间，为的某些子集所组成的一个事件域.若对任一事件，定义在上的一个实值函数满足：
(1)非负性公理 若，则；
(2)正则性公理 ；
(3)可列可加性公理 若互不相容，有
则称为事件的概率，称三元素为概率空间.
第二章 随机变量及其分布
2.1 随机变量及其分布
2.1.1 随机变量的概念
定义2.1.1 定义在样本空间上的实值函数称为随机变量.
2.1.2 随机变量的分布函数
定义2.1.2 设是一个随机变量，对任意实数，称
为随机变量的分布函数.且称服从，记为.
2.1.4 连续随机变量的概率密度函数
定义2.1.4 设随机变量的分布函数为，如果存在实数轴上的一个非负可积函数，使得对任意实数有
则称为连续随机变量，称为的概率密度函数，简称为密度函数.
密度函数的基本性质
(1)非负性 ；
(2)正则性 .
第三章 多维随机变量及其分布
3.1 多维随机变量及其联合分布
3.1.1 多维随机变量
定义3.1.1 如果定义在同一个样本空间上的个随机变量，则称
1第二章 随机变量及其分布
习题2.1
1． 口袋中有5个球，编号为1, 2, 3, 4, 5．从中任取3只，以X表示取出的3个球中的最大号码．
（1）试求X的分布列；
（2）写出X的分布函数，并作图．
解：（1）X的全部可能取值为3, 4, 5， 且1.0
101
351
}3{==
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛==XP，3.0
103
3523
}4{==
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
==XP，6.0
106
3524
}5{==
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
==XP
，
故X的分布列为
6.03.01.0543
PX
；
（2）因分布函数F
(x) = P{X ≤ x}，分段点为x = 3, 4, 5，
当x < 3时，F
(x) = P{X ≤ x} = P
(∅) = 0，
当3 ≤ x < 4时，F
(x) = P{X ≤ x} = P{X = 3} = 0.1，
当4 ≤ x < 5时，F
(x) = P{X ≤ x} = P{X = 3} + P{X = 4} = 0.1 + 0.3 = 0.4，
当x ≥ 5时，F
(x) = P{X ≤ x} = P{X = 3} + P{X = 4} + P{X = 5} = 0.1 + 0.3 + 0.6 = 1，
故X的分布函数
⎪⎪
⎩⎪⎪
⎨⎧
≥<≤<≤<
=
.5,1;54,4.0;43,1.0;3,0
)(
xxxx
xF
2． 一颗骰子抛两次，求以下随机变量的分布列：
（1）X表示两次所得的最小点数；
（2）Y表示两次所得的点数之差的绝对值．
解：（1）X的全部可能取值为1, 2, 3, 4, 5, 6， 且
3611
656
}1{
222
=−
==XP，
369
645
}2{
222
=−
==XP
，
367
634
}3{
222
=−
==XP，
365
623
}4{
222
=−
==XP
，
363
612
}5{
22
=−
==XP，
361
61
}6{
2===XP
，
故X的分布列为
361
363
365
367
369
3611654321
1 概率论与数理统计第二章习题
）（）（）（）（）式，有利用（显然）（）（则若））（（）（）（从而）（）（）（）（的可加性，有：互不相容，因此由概率与而）（则解：ABPAPABAPBAPAABABAPBAPABBPAPBAPBAPBPBABPAPBABCABAAB**.1
32)(1)()()(1)()()()|()4(2.05.01.0)()()|()3(25.04.01.0|)2(8.0)1(.2BPABPAPBPBAPBPBAPBAPAPABPABPBPABPBAPABPBPAPBAP）（）（）（）（）（）（）（解：
7.0)(1)|(1)|()4(4.0)(1)|(1)|()3(72.0)()()()()()()()()2(3.0)()()()()()()|(1.3APBAPBAPBPABPABPBPAPBPAPABPBPAPBAPBPBPBPAPBPABPBAP）解：（
）（）（）（）（）（”成立时“或当）（）（”成立时“）（当）（）（）（）（）（）（）（解：BPAPBAPAPABPAABBABABPAPBAAABPBAPBPAPABPBPAPBAP0.4 2 ）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）解：（CPBAPCPBAPCPBPAPCBAPCBAPCPABPCPBPAPABCPCABPBAPCPABPBPAPCPBPAPBPAPCPCPBPAPCPBPCPAPABCPBCPACPBCACPCBAP][][3][2][][][1.5
1第六章 参数估计
习题6.1
1． 设X
1, X
2, X
3是取自某总体容量为3的样本，试证下列统计量都是该总体均值µ
的无偏估计，在方差存
在时指出哪一个估计的有效性最差？
（1）
3211
61
31
21
ˆ
XXX++=µ
； （2）
3212
31
31
31
ˆ
XXX++=µ
； （3）
3213
32
61
61
ˆ
XXX++=µ
． 证：因µµµµµ
=++=++=
61
31
21
)(
61
)(
31
)(
21
)ˆ
(
3211XEXEXEE
，
µµµµµ
=++=++=
31
31
31
)(
31
)(
31
)(
31
)ˆ
(
3212XEXEXEE
，
µµµµµ
=++=++=
32
61
61
)(
32
)(
61
)(
61
)ˆ
(
3213XEXEXEE
，
故
321ˆ
,ˆ
,ˆµµµ
都是总体均值µ
的无偏估计； 因2222
3211
3614
361
91
41
)Var(
361
)Var(
91
)Var(
41
)ˆ
Var(σσσσµ
=++=++=XXX
，
2222
3212
31
91
91
91
)Var(
91
)Var(
91
)Var(
91
)ˆ
Var(σσσσµ
=++=++=XXX
，
2222
3213
21
94
361
361
)Var(
94
)Var(
361
)Var(
361
)ˆ
Var(σσσσµ
=++=++=XXX
，
故)ˆ
Var()ˆ
Var()ˆ
Var(
312µµµ
<<
，即
2ˆµ
有效性最好，
1ˆµ
其次，
3ˆµ
最差．
2． 设X
1, X
2, …, X
n是来自Exp(λ
)
的样本，已知X
为1/λ
的无偏估计，试说明X/1
是否为λ
的无偏估计．
解：因X
1, X
2, …, X
n相互独立且都服从指数分布Exp(λ
)，即都服从伽玛分布Ga(1, λ
)，
由伽玛分布的可加性知∑
==n
iiXY
1服从伽玛分布Ga(n, λ
)，密度函数为
01
e
)()(
>−−
Ι
Γ=
yynn
Yy
nypλλ
， 则λ
λλλλ
λλ
1)1(
)(e
)(e
)(1
1
02
01
−=−Γ
⋅
Γ=
Γ=
Γ⋅=
⎟
⎠⎞
⎜
⎝⎛
=
⎟
⎠⎞
⎜
⎝⎛
−∞+
−−∞+
−−
∫∫
nnn
nn
dyy
