勾股定理(2)

勾股定理经典例题含答案(2)(word版可编辑修改)

1 勾股定理经典例题含答案(2)(word版可编辑修改)

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勾股定理经典例题含答案(2)(word版可编辑修改)

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勾股定理经典例题含答案11页

勾股定理是一个基本的初等几何定理，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么a²+b²=c²，若a、b、c都是正整数，（a，b,c)叫做勾股数组。

勾股定理现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一.勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一,用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一,也是数形结合的纽带之一。“勾三，股四，弦五”是勾股定理的一个最著名的例子。

远在公元前约三千年的古巴比伦人就知道和应用勾股定理，还知道许多勾股数组。古埃及人也应用过勾股定理。在中国，西周的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例.在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯，他用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和。

类型一：勾股定理的直接用法

1、在Rt△ABC中，∠C=90°

（1）已知a=6， c=10，求b， (2)已知a=40，b=9，求c； (3）已知c=25，b=15，求a.

思路点拨： 写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。

勾股定理

一、知识归纳

1．勾股定理

内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；

表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么222abc

2．勾股定理的适用范围

勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形

3．勾股定理的应用

①已知直角三角形的任意两边长，求第三边

在ABC中，90C，则22cab，22bca，22acb

②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系

二、题型

题型一：直接考查勾股定理

例１. 在ABC中，90C

⑴已知6AC，8BC．求AB的长

⑵已知17AB，15AC，求BC的长

解：

题型二：应用勾股定理建立方程

例２.⑴在ABC中，90ACB，5ABcm，3BCcm，CDAB于D，CD＝

⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为

⑶已知直角三角形的周长为30cm，斜边长为13cm，则这个三角形的面积为

BAC21EDCBAABCDE例３.如图ABC中，90C，12，1.5CD，2.5BD，求AC的长

例4.如图RtABC，90C3,4ACBC,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积

题型三：实际问题中应用勾股定理

例5.如图有两棵树，一棵高8cm，另一棵高2cm，两树相距8cm，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 m

三、勾股定理的逆定理知识归纳

1. 勾股定理的逆定理：

如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。

2. 常用的平方数

112＝_______，122＝_______，132＝_______，142＝_______，152＝_______，162＝_______，172＝_______，182＝_______，192＝_______，202＝_______，252＝_______．

广义勾股定理

张祖华

平阴县职业教育中心 山东平阴 250400

摘要：本文进一步推广了数学通报上的勾股定理，给出了非直角三角形下的勾股定理，该定理涵盖了勾股定理，进一步涵盖了余弦定理。

关键词：勾股定理 相似 欧几里得 十大公式

在初中数学教学中，勾股定理自三角形内角和定理以来，以大宗师手法极其简洁地阐明了直角三角形三边关系，深具形式美与内容美的统一性。国际数学大师华罗庚有一段名言：“数与形,本是相倚依,焉能分作两边飞。数无形时少直觉,形无数时难入微。数形结合百般好,隔离分家万事休。切莫忘…”。而勾股定理开辟了数形结合百般好的先河。

勾股定理的定义参阅下图：

据百度百科介绍，勾股定理有下述意义：

1．勾股定理导致了无理数的发现，引起第一次数学危机，大大加深了人们对数的理解；

2．勾股定理是历史上第—个给出了完全解答的不定方程，它引出了费马大定理；

3.勾股定理是中学数学四大思想之一—数形结合思想的璀璨瑰宝.

这条定理不仅在几何学中是一颗光彩夺目的明珠，被誉为“几何学的基石”，而且在高等数学和其他科学领域也有着广泛的应用．

1971年5月15日，尼加拉瓜发行了一套题为“改变世界面貌的十个数学公式”邮票，这十个数学公式由著名数学家选出的，勾股定理是其中之首。【1】

公元前约三千年的古巴比伦人就知道和应用勾股定理，他们还知道许多勾股数组。古埃及人在建筑宏伟的金字塔和测量尼罗河泛滥后的土地时，也应用过勾股定理。【2】

勾股定理又为初中数学的重点之一，是高中数学不可或缺的一块宝物，譬如余弦定理，又如两点间的距离公式，或如三角函数的定义公式，无一不与之息息相关。

对于该定理，古代伟大的几何学家欧几里得发现了名垂千古的欧几里得证法。著名学者张劲松给出了一个更为简洁的证明【3】。本文在文献【3】【4】【5】【6】的基础上进一步推广了勾股定理，给出了非直角三角形下的勾股定理，该定理涵盖了勾股定理。

苏科版八年级数学教学案

第 1 页 共 2 页 2.1勾股定理（2）--- [ 教案]

班级 姓名 学号

学习目标：

1、通过拼图,用面积的方法说明勾股定理的正确性.

2、通过实例应用勾股定理,培养学生的知识应用技能.

重 难点：1. 用面积的方法说明勾股定理的正确.2. 勾股定理的应用.

学习过程：

一、学前准备：1、阅读课本第46页到第47页，完成下列问题:

(1)我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的称为股，斜边称为弦。图（1）称为“弦图”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作法时给出的。图（2）是在北京召开的2002年国际数学家大会（TCM－2002）的会标，其图案正是“弦图”，它标志着中国古代的数学成就. 你能用不同方法表示大正方形的面积吗?

2、剪四个完全相同的直角三角形，然后将它们拼成如图所示的图形。大正方形的面积可以表示为_______,又可以表示为____________.对比两种表示方法，看看能不能得到勾股定理的结论。用上面得到的完全相同的四个直角三角形，还可以拼成如下图所示的图形，与上面的方法类似，也能说明勾股定理是正确的方法（请逐一说明）。

归纳其共有的证明思路：利用图形的割补，借助前后的面积相等形成关于三边的数量关系。

二、合作探究：

（一）思索、交流：

拼图填空：剪裁出若干个大小、形状完全相同的直角三角形，三边长分别记为a、b、c，如图①.（1）拼图一：分别用4张直角三角形纸片，拼成如图②③的形状，观察图②③可发现，图②中两个小正方形的面积之和__________ （填“大于”、“小于”或“等于”）图③中小正方形的面积，用关系式表示为________ .（2）拼图二：用4张直角三角形纸片拼成如图④的形状，观察图形可以发现，图中共有__________个正方形，它们的面积之间的关系是________ ，用关系式表示为_____ .（3）拼图三：用8个直角三角形纸片拼成如图⑤的形状，图中3个正方形的面acbccbabababaccba 苏科版八年级数学教学案