专题13 巧解二次函数与图形面积综合题
知识解读
因动点产生的图形面积问题，是抛物线与三角形、四边形相结合的重要形式，解决这类问题常常用到以下技巧：（1）图形的面积割补；（2）利用平行线的性质作等积变形；（3）等量代换，即把面积之比转化为线段之比；（4）“等底，等高，等面积”由二推一，即以其中任意两个为条件，第三个为结论，命题总成立.
培优学案
典例示范
例1如图13-1，已知抛物线y=ax2＋bx＋3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）.
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点E是抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标.
【提示】（1）只需将A点，C点坐标代入解析式中即可；
（2）思路一：△ACE的面积可由12AC×h表示，因为AC固定，若要它的面积最大，则只需h最大，即点E到直线AC的距离最大，如图13-2，若设一条平行于AC的直线，那么当该直线与抛物线有且只有一个公共点时，该点就是点E.
不妨把这种方法形象的记忆为“平行切线法”。
思路二：基于“分割图形”考虑. 如图13-3，过点E作x轴的垂线，交AC于点F.设E（x，x2-4x＋3），则S△AEC=S△AEF＋S△CEF=32EF，即△ACE的面积取决于EF的长。
若把EF的长称为△ACE的“竖直高”，把A，C两点横坐标之差的绝对值称为△ACE 的“水平宽”，则△ACE的面积可直接记为“12×竖直高×水平宽”。
思路三：基于“补全图形”考虑。但要分点E在x轴下方和上方两种情况讨论（为什么要分两种情况？），如图13-4，同时一定要搞清楚线段长度与点坐标的关系，长度是正的，要用大坐标减去小坐标，若不能区分，加上绝对值，请读者自行完成。
【跟踪训练】
1.如图13-5，抛物线223212xxy交x轴正半轴于点A，交y轴于点B，点C是线段AB方的抛物线上的一点，求ABC的面积的最大值，并求出此时点C的坐标。
决胜2020中考数学压轴题全揭秘精品
专题17二次函数的面积问题
【考点1】二次函数的线段最值问题
【例1】如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，3）三点，D为直线BC上方抛物线上一动点，DE⊥BC于点E．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求线段DE长度的最大值．
【分析】
（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得DM，根据相似三角形的判定与性质，可得DE的长，根据二次函数的性质，可得答案．
【详解】 解：（1）由题意得，016403abcabcc＝＝＝，
解得，34943abc＝＝＝，
抛物线的函数表达式为y＝﹣34x2+94x+3；
（2）过点D作DM⊥x轴交BC于M点，
由勾股定理得，BC＝22OCOB＝5，
设直线BC的解析是为y＝kx+b，
则403kbb＝＝，
解得343kb，
∴直线BC的解析是为y＝﹣34x+3，
设点M的坐标为（a，﹣34a+3），
DM＝（﹣34a2+94a+3）﹣（﹣34a+3）＝﹣34a2+3a，
∵∠DME＝∠OCB，∠DEM＝∠BOC，
∴△DEM∽△BOC，
∴DEBODMBC，即DEDM＝45， 解得，DE＝45DM
∴DE＝﹣35a2+125a＝﹣35（a﹣2）2+125，
当a＝2时，DE取最大值，最大值是125．
【点睛】
本题考查的是二次函数、一次函数的性质，相似三角形的判定和性质，掌握待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式的一般步骤是解题的关键．
【变式1-1】．已知抛物线y=mx2+2mx+m-1和直线y=mx+m-1，且m≠0．
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）试说明抛物线与直线有两个交点；
【解析】
（1）化为顶点式即可求顶点坐标;
（2）由y=mx2+2mx+m-1和y=mx+m-1可得：mx2+2mx+m-1=mx+m-1，整理得，mx（x+1）=0，即可知抛物线与直线有两个交点;
二次函数与图形面积
适用学科 数学 适用年级 九年级
适用区域 全国 课时时长（分钟） 120分钟
知识点 二次函数面积问题
教学目标 通过数形结合，讨论二次函数面积问题
教学重点 充分考虑到二次函数中“数”的规律和“形”的特征，运用好数形结合 ；对于各种可能的情况我们常常要运用分类讨论逐一加以研究
教学难点 运用数学模型，利用“构造法”达到解决问题
教学过程
一、复习预习
求面积常用的方法
a.直接法 b.简单的组合 c.面积不变同底等高或等底等高的转换
d.相似 e.三角函数 f.找面积的最大最小值利用二次函数的性质
二、知识讲解
考点/易错点1
已知三角形两个顶点是二次函数与x轴的交点，第三个顶点是抛物线一侧上的动点，求三角形面积最大
考点/易错点2
已知三角形两个顶点是二次函数与x轴的交点，第三个顶点是抛物线上一动点，求三角形面积等于定值的动点坐标。
考点/易错点3
二次函数中所围成的四边形面积求法：
三、例题精析
例题1【题干】已知二次函数的图象如图所示，根据图中的数据，
（1）求二次函数的解析式；
（2）设此二次函数的顶点为P，求△ABP的面积．
【例题2】【题干】已知二次函数y=x2-8x+15的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C．请结合这个函数的图象解决下列问题：
（1）求△ABC的面积；
（2）点P在这个二次函数的图象上运动，能使△PAB的面积等于1个平方单位的P点共有多少个？请直接写出满足条件的P点坐标；
（3）在（2）中，使△PAB的面积等于2个平方单位的P点是否存在？如果存在，写出P点的个数；如果不存在，请说明理由
【例题3】【题干】如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．
学生/课程 年级
日期 学科
时段
课型 数学
授课教师
核心内容
二次函数中求面积最值，图形平移或折叠面积问题
1.会利用函数的图象性质来研究几何图形的面积最值问题；
教学目标
重、难点 2.掌握几种求图形面积的常见解题方法与技巧，如：割补法、平行等积变换法等。
3.掌握图形平移或折叠变换过程中找等量关系列函数解析式求图形面积问题的一般方法．
割补法求三角形面积，动态问题一般解题思路。
了解学生的学习情况
S△ = a h
或 S△ = a d (d表示已知点到直线的距离)
以动点作垂直(平行)x轴的直线，即铅垂高，再分别过点A,C作PF的高，即和为水平宽。 S△ = ×水平宽 ×铅垂高
如下图：
①等底等高的两个三角形面积相等．
②底在同一条直线上并且相等，该底所对角的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两个三角形面积相等．
如图，AD∥BC中，AC与BD交点O，则S△ABC = S△DBC ， S△AOB = S△COD
2 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝mx －8mx＋4m＋2（m＞0）与y轴的交点为A，与x轴的交点分别为B（x ， 1
0），C（x ，0），且x －x ＝4，直线AD∥x轴，在x轴上有一动点E（t，0）过点E作平行于y轴的直线l与抛物线，直线AD 2 2 1
的交点分别为P，Q．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当0＜t≤8时，求△APC面积的最大值．
图形面积的求法常见有三种，分别是：
(1)_______________________________
(2)_______________________________ (3)_______________________________
[学有所获答案] (1) 直接公式求法
割补法
平行线等积变换法 (2)
(3)
2 如图，已知抛物线y＝x ＋bx＋c与 轴交于A，B两点（点A 在点B的左侧）与 轴交于点C（0，－3），对称轴是直线x
