1 例析平面直角坐标系中面积的求法
我们常常会遇到在平面直角坐标系中求三角形面积的问题.解题时我们要注意其中的解题方法和解题技巧.现举例说明如下.
一、有一边在坐标轴上
例1 如图1，平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为（－3，0），（0，3），（0，－1），你能求出三角形ABC的面积吗？
二、有一边与坐标轴平行
例2 如图2，三角形ABC三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（4，5），C（-1，2），求三角形ABC的面积.
三、三边均不与坐标轴平行
例3 如图2,平面直角坐标系中，已知点A（-3，-1），B（1，3），C（2，-3），你能求出三角形ABC的面积吗？
平面直角坐标系中的面积问题（提高篇）
“割补法”的应用
一、已知点的坐标，求图形的面积。
1、在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（-2，-2），B（0，-1），C（1，1），求△ABC的面积。
2、在平面直角坐标系中，四边形ABCD的各个顶点的坐标分别为A（-4，-2）B（4，-2）C（2，2）D（-2，3）。求这个四边形的面积。
3、在平面直角坐标系中，四边形ABCD 的四个点A、B、C、D的坐标分别为（0，2）、（1，0）、（6，2）、（2，4），求四边形ABCD的面积。
4、在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（1，-1），B（-1，4），C（-3，1），（1）求△ABC的面积；
（2）将△ABC先向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，求线段AB扫过的面积。
2 二、已知面积（可以求面积），求点的坐标
5、在平面直角坐标系中，A（-5，0），B（3，0），点C在y轴上，且△ABC的面积为12，求点C的坐标。
6、在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为：（2，5）、（6，-4）、（-2，0），且边AB与x轴相交于点D，求点D的坐标。
抛物线上的三角形的面积
抛物线是一种二次函数的图像，其形式为 $y=ax^2+bx+c$（其中 $a$ 不等于 0）。如果在抛物线上存在一个三角形，则它的底边一定是抛物线的某一条直线切线，并且顶点在抛物线的极值处。
如果要计算抛物线上三角形的面积，可以使用以下步骤：
找出抛物线的极值点。极值点的坐标为 $(h,k)$，其中 $h$ 是抛物线的横坐标，$k$ 是抛物线的纵坐标。极值点的横坐标可以通过求解方程
$ax^2+bx+c=0$ 来获得，其中 $a$、$b$ 和 $c$ 分别是抛物线的系数。
求出抛物线的切线方程。切线的斜率为抛物线的导数 $2ax+b$，可以使用斜截式 $y=mx+b$ 来表示切线的方程，其中 $m$ 是斜率，$b$ 是切线的截距。
求出抛物线的底边长。底边的两个端点的坐标分别为抛物线的两个交点，可以使用切线的方程求解。
计算三角形的面积。可以使用海伦公式求解三角形的面积，公式为
$\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$，其中 $s$ 为三角形的半周长，即 $s=\frac{a+b+c}{2}$，$a$、$b$ 和 $c$ 分别是三角形的三条边长。
因此，计算抛物线上三角形的面积的步骤如下：
求出抛物线的极值点 $(h,k)$。
求出抛物线的切线方程 $y=mx+b$。
求出抛物线的底边长 $a$。
计算三角形的半周长 $s$。
使用海伦公式计算三角形的面积。
举个例子，假设抛物线的方程为 $y=x^2-2x+1$，底边长为 $a=2$，那么抛物线上三角形的面积就是 $\sqrt{s(s-2)(s-2)(s-2)}=\sqrt{s(s-2)^3}$。
抛物线与三角形的面积
-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 抛物线与三角形的面积
抛物线与三角形面积相结合的问题涉及代数、几何的许多定理、公式，有一定的难度，近年来的中考试题中，经常出现抛物线与三角形面积结合的综合题，以考查学生的综合运用所学知识解决问题的能力。
这节课我们共同来探索一下顶点都在抛物线2yaxbxc上的三角形面积的求法。
1、已知抛物线: 224233yxx
(1)求抛物线与坐标轴交点坐标及顶点坐标;
(2)画出抛物线的草图;
(3)设抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于C点，顶点为D。
求：①△DAB和△CAB的面积；
②四边形ABCD的面积；
③ △ACD的面积
(4)求直线AC的解析式；
（5）抛物线上有一动点P在直线AC上方，
问：是否存在一点P，使△PAC的面积最大，若存在，求出△PAC的最大面积及P点坐标；
若不存在，请说明理由。
2、如图，抛物线cbxxy2与x轴交与A(1,0),B(- 3，0)两点，
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.
（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大，若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值.若没有，请说明理由.
ABC3
练习：1、在△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M点作MN∥BC交AC于点N．以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMPN．令AM＝x．
（1）用含x的代数式表示△ＭNP的面积S；
（2）当x为何值时，⊙O与直线BC相切
（3）在动点M的运动过程中，记△ＭNP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少
二次函数与面积
求三角形的面积：
（1）直接用面积公式计算；
如图：抛物线与x轴交于A、B两点，P是抛物线上一点。则S△ABP=21AB•PE
（2）割补法；
如图：直线MN与抛物线交于M、N，与y轴交于E，
则S△MON=S△OEM+S△OEN
（3）铅垂高法；
如图，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，
外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的
这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高”（h）．
我们可得出一种计算三角形面积的新方法：
S△ABC=12ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半。
B C 铅垂高
水平宽 h
a A
1、如图，抛物线经过A（-1,0），B（3,0），C（0，-3）三点，点P在第二象限的抛物线上，S△POB=S△PCO，求P点的坐标。
2、如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过原点O，交x轴于点A，其顶点B的坐标为（3，-
3）．
（1）求抛物线的函数解析式及点A的坐标；
（2）在抛物线上求点P，使S△POA=2S△AOB。
3、如图，在平面直角坐标系中，直线112yx与抛物线y＝ax2＋bx－3交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3．点P是直线AB下方的抛物线上的一动点（不与点A、B重合），连接PA、PB，S△PAB=6，求P点的坐标。
4、如图，在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数2+2yaxaxc的图像与y轴交于点3 0，C，与x轴交于A、B两点，点B的坐标为0 3，。
（1） 求二次函数的解析式及顶点D的坐标；
（2） 点P是第二象限内抛物线上的一动点，问：点P在何处时△CPB的面积最大？最大面积是多少？并求出此时点P的坐标。
5、如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C (0，4)，顶点为（1，92）．
