高考第一轮复习数学空间向量及其坐标运算B

第十三章 空间向量与立体几何

一、知识网络：

二．考纲要求：

（1）空间向量及其运算

① 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程；

② 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；

③ 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；

④ 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。

（2）空间向量的应用

① 理解直线的方向向量与平面的法向量；

② 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系；

③ 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）；

④ 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。

三、命题走向

本章内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。本章是立体几何的核心内容，高考对本章的考查形式为：以客观题形式考查空间向量的概念和运算，结合主观题借助空间向量求夹角和距离。

预测10年高考对本章内容的考查将侧重于向量的应用，尤其是求夹角、求距离，教材上空间向量与立体几何 空间向量及其运算

立体几何中的向量方法 空间向量的加减运算

空间向量的数乘运算

空间向量的数量积运算

空间向量的坐标运算 共线向量定理

共面向量定理

空间向量基本定理

平行与垂直的条件

向量夹角与距离

直线的方向向量与平面的法向量

用空间向量证平行与垂直问题

求空间角

求空间距离 淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解，加大了向量的应用，因此作为立体几何解答题，用向量法处理角和距离将是主要方法，在复习时应加大这方面的训练力度。

第一课时 空间向量及其运算

一、复习目标：1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘； 2．了解空间向量的基本定理； 3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直。

1 9.7 空间向量在空间几何体的运用（一）

一．设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面，的法向量分别为1n，2n，则有如下结论：

平行

问题 线线平行 ,lmkkR∥∥abab

线面平行 110l∥⊥anan

面面平行 1212,kkR∥∥nnnn

垂直

问题 线线垂直 0lm⊥⊥abab

线面垂直 11,lkkR⊥∥anan

面面垂直 12120⊥⊥nnnn

夹角

问题 线线夹角 设l，m的夹角为(0)2,则cos|cos,|<>|ab|ab|a||b|

线面夹角 设l，的夹角为(0)2,则111sin|cos,|<>|an|an|a||n|

面面夹角 设，的夹角为(0),则121212cos|cos,|<>|nn|nn|n||n|

二．点面距

已知AB为平面的一条斜线段(A在平面内)，n为平面的法向量，则B到平面的距离为|||cos,|||||||||ABdABABABAB<>nnn||||ABnn．

注：空间中其他距离问题一般都可以转化为点面距问题．

2

考向一 利用空间向量证明平行

【例1】在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是CC1，B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD．

【答案】见解析

【解析】法一 如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，M0，1，12，N12，1，1，于是DA1→＝(1,0,1)，DB→＝(1,1,0)，MN→＝12，0，12.

设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，则 n⊥DA1→，n⊥DB→，即 n·DA1→＝x＋z＝0，n·DB→＝x＋y＝0，取x＝1，则y＝－1，z＝－1，∴平面A1BD的一个法向量为n＝(1，－1，－1)．

9.5 空间直角坐标系、空间向量及其运算

核心考点·精准研析

考点一 空间向量的线性运算

1.在空间四边形ABCD中,若=(-3,5,2),=(-7,-1,-4),点E,F分别为线段BC,AD的中点,则的坐标为

(

)

A.(2,3,3)

B.(-2,-3,-3)

C.(5,-2,1) D.(-5,2,-1)

2.在空间直角坐标系中,已知点A(1,0,2),B(1,-3,1),点M在y轴上,且M到A与到B的距离相等,则M的坐标是________________.

3.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,O为AC的中点.用,,表示,则=________________.

4.G为正四面体ABCD外接球的球心,则=x+y+z,x,y,z分别是

(

)

A.,,

B.,,

C.,, D.,,

【解析】1.选B.因为点E,F分别为线段BC,AD的中点,设O为坐标原点,

所以=-,=(+),

=(+). 所以=(+)-(+)=(+)

=[(3,-5,-2)+(-7,-1,-4)]

=(-4,-6,-6)=(-2,-3,-3).

2.设M(0,y,0),则=(1,-y,2),=(1,-3-y,1),由题意知||=||,

所以12+y2+22=12+(-3-y)2+12,解得y=-1,故M(0,-1,0).

答案:(0,-1,0)

3.因为==(+),所以=+=(+)+=++.

答案:++

4.选A.取BC的中点M,△BCD的中心为O,则=,=+,=+,

=++,即x=y=z=.

用已知向量表示某一向量的方法

(1)用已知向量来表示未知向量,一定要结合图形,以图形为指导是解题的关键.

(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义.首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量,我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则.

(3)在立体几何中要灵活应用三角形法则,向量加法的平行四边形法则在空间中仍然成立.

高三第一轮复习数学---空间向量的坐标运算

一、教学目标：：向量的坐标运算和建系意识．

二、教学重点：向量的坐标运算

三、教学过程：

（一）主要知识：

1．空间直角坐标

在空间选定一点O和一个单位正交基底{ī，j，k}，以点O为原点，分别以ī，j，k的正方向建立三条坐标轴： x轴，y轴，z轴，使∠xOy=135°（或45°），∠yOz=90°，就建立了一个空间直角坐标系O-xyz。点O叫原点，ī，j，k叫坐标向量，一般作右手直角坐标系。任一点A对应一个向量OA，存在唯一的实数组x、y、z. OAxī+y j+z k. 记为A（x、y、z）,叫空间直角坐标系中的坐标。其中x叫点A的横坐标，y叫点A的纵坐标，z叫点A的竖坐标

2．向量的直角坐标运算

（1）设a=（a1，a2，a3），b=（b1，b2，b3）则

a+b=( a1 +b1 ，a2 +b2，a3+b3) a-b=( a1 -b1 ，a2 -b2，a3-b3)

λa=（λa1，λa2，λa3）（λ∈R） a·b=a1b1+a2b2+a3b3

a∥b↔ a1 =λb1 ，a2=λb2，a3=λb3（λ∈R） a⊥b↔ a1b1+ a2b2 +a3b3=0

（2）设A（a1，a2，a3），B（b1，b2，b3）则

OAOBAB（b1，b2，b3）-（a1，a2，a3）=( b1 -a1 ，b2-a2，b3-a3)。即一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。

3．夹角和距离公式

设a=（a1，a2，a3），b=（b1，b2，b3）则

232221aaaaaa 232221bbbbbb

a·b= a1b1+a2 b2+a3b3 232221232221332211bab aba cosbbbaaaba