1.3 空间向量及其运算的坐标表示
1.3.1 空间直角坐标系
1.3.2 空间向量运算的坐标表示
基础过关练
题组一 空间向量的坐标表示
1.在空间直角坐标系中,点P(1,2,3)关于平面Oyz对称的点的坐标为( )
A.(1,-2,-3) B.(-1,-2,3)
C.(-1,2,3) D.(-1,2,-3)
2.空间直角坐标系中,已知A(1,-2,3),B(3,2,-5),则线段AB的中点坐标为( )
A.(-1,-2,4) B.(-2,0,1)
C.(2,0,-2) D.(2,0,-1)
3.在直三棱柱ABO-A1B1O1中,∠AOB=π2,AO=4,BO=2,AA1=4,D为A1B1的中点,则在空间直角坐标系中(O为坐标原点),𝐷𝑂⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标是 ,𝐴1B⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标是 .
题组二 空间向量线性运算的坐标表示
4.(2020黑龙江牡丹江第一高级中学高二上期中)已知O为原点,a=(1,-2,1),a-b=(-1,2,-1),则b等于( )
A.(2,-4,2) B.(-2,4,-2)
C.(-2,0,-2) D.(2,1,-3)
5.已知向量a=(1,2,3),b=(-1,0,1),则a+2b=( )
A.(-1,2,5) B.(-1,4,5)
C.(1,2,5) D.(1,4,5)
6.(2020湖南长沙明德中学高二上月考)若a=(1,λ,2),b=(2,-1,2),c=(1,4,4),且a,b,c共面,则λ= .
7.(2020湖南师范大学附属中学高二上期中)已知a=(x,1,3),b=(-1,3,9),若a与b共线,则x的值是 .
8.已知O是坐标原点,且A,B,C三点的坐标分别是(2,-1,2),(4,5,-1),(-2,2,3),求适合下列条件的点P的坐标:
(1)𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ =12(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ -𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ );(2)𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ =12(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ -𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ).
空间向量坐标运算
空间向量是指在空间中有大小和方向的线段。空间向量的坐标运算包括向量的加法、减法、数乘和内积。下面将对这些运算进行详细介绍。
一、向量的加法
设空间中有两个向量A和B，它们的坐标分别为(Ax, Ay, Az)和(Bx, By, Bz)。向量的加法即将两个向量的对应分量相加得到一个新的向量C。它的坐标为(Ax+Bx, Ay+By, Az+Bz)。
例如，设A = (1, 2, 3)和B = (4, 5, 6)，则A+B = (1+4, 2+5, 3+6)
= (5, 7, 9)。
二、向量的减法
向量的减法是指将一个向量减去另一个向量。设向量A和B的坐标分别为(Ax, Ay, Az)和(Bx, By, Bz)，则向量A减去向量B的坐标为(Ax-Bx, Ay-By, Az-Bz)。
例如，设A = (1, 2, 3)和B = (4, 5, 6)，则A-B = (1-4, 2-5, 3-6) =
(-3, -3, -3)。
三、向量的数乘
向量的数乘是指一个向量乘以一个实数。设向量A的坐标为(Ax, Ay, Az)，实数k，则向量A乘以实数k的坐标为(kAx,
kAy, kAz)。
例如，设A = (1, 2, 3)，k = 2，则kA = (2*1, 2*2, 2*3) = (2, 4, 6)。
四、向量的内积
向量的内积又称为点乘，它是两个向量之间的一种运算。设向量A和B的坐标分别为(Ax, Ay, Az)和(Bx, By, Bz)，则向量A与向量B的内积为Ax*Bx + Ay*By + Az*Bz。
例如，设A = (1, 2, 3)和B = (4, 5, 6)，则A·B = 1*4 + 2*5 +
3*6 = 32。
向量的内积有以下几个性质：
1. 交换律：A·B = B·A；
2. 分配律：(A+B)·C = A·C + B·C；
3. 数乘结合律：(kA)·B = k(A·B) = A·(kB)。
空间向量坐标运算
空间向量是指具有大小和方向的直线段，在三维空间中通常用坐标表示。空间向量的坐标运算包括向量的加法、减法、数量乘法、点乘和叉乘等。下面将详细介绍这些运算。
1. 向量的加法和减法
向量的加法和减法是指将两个向量相加或相减得到一个新的向量，其坐标运算规律如下：
- 加法：若向量u的坐标为(u1, u2, u3)，向量v的坐标为(v1, v2,
v3)，则向量u和v的和的坐标为(u1+v1, u2+v2, u3+v3)；
- 减法：若向量u的坐标为(u1, u2, u3)，向量v的坐标为(v1, v2,
v3)，则向量u和v的差的坐标为(u1-v1, u2-v2, u3-v3)。
2. 向量的数量乘法
向量的数量乘法是指将一个向量乘以一个实数得到一个新的向量，其坐标运算规律如下：
- 数量乘法：若向量u的坐标为(u1, u2, u3)，实数k，则向量u乘以k的坐标为(k*u1, k*u2, k*u3)。
3. 向量的点乘
向量的点乘又称为内积，是指将两个向量进行乘法运算得到一个标量（实数），其计算公式如下：
- 点乘：若向量u的坐标为(u1, u2, u3)，向量v的坐标为(v1, v2,
v3)，则向量u和v的点乘的结果为u1*v1 + u2*v2 + u3*v3。
4. 向量的叉乘
向量的叉乘又称为外积，是指将两个向量进行乘法运算得到一个新的向量，其计算公式如下：
- 叉乘：若向量u的坐标为(u1, u2, u3)，向量v的坐标为(v1, v2,
v3)，则向量u和v的叉乘的坐标为((u2*v3 - u3*v2), (u3*v1 -
u1*v3), (u1*v2 - u2*v1))。
通过以上的描述可以看出，向量的加法、减法、数量乘法都是按照对应位置进行运算，只要对应坐标进行相加、相减或乘以相同的实数即可。点乘和叉乘则需要对应坐标进行特定的运算。
需要注意的是，向量的坐标运算不关心向量的起点和终点，只关心向量的大小和方向。因此，在进行坐标运算时，需要确保所计算的向量的坐标表示起点相同的向量，否则运算结果将不正确。
第十三章 空间向量与立体几何
一、知识网络：
二．考纲要求：
（1）空间向量及其运算
① 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程；
② 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；
③ 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；
④ 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。
（2）空间向量的应用
① 理解直线的方向向量与平面的法向量；
② 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系；
③ 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）；
④ 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。
三、命题走向
本章内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。本章是立体几何的核心内容，高考对本章的考查形式为：以客观题形式考查空间向量的概念和运算，结合主观题借助空间向量求夹角和距离。
预测10年高考对本章内容的考查将侧重于向量的应用，尤其是求夹角、求距离，教材上空间向量与立体几何 空间向量及其运算
立体几何中的向量方法 空间向量的加减运算
空间向量的数乘运算
空间向量的数量积运算
空间向量的坐标运算 共线向量定理
共面向量定理
空间向量基本定理
平行与垂直的条件
向量夹角与距离
直线的方向向量与平面的法向量
用空间向量证平行与垂直问题
求空间角
求空间距离 淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解，加大了向量的应用，因此作为立体几何解答题，用向量法处理角和距离将是主要方法，在复习时应加大这方面的训练力度。
第一课时 空间向量及其运算
一、复习目标：1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘； 2．了解空间向量的基本定理； 3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直。
