高二数学平面向量的坐标运算(新201907)

2.3.3 平面向量的坐标运算

一、说教材

1、教学目的和作用

本节内容在教材中有着承上启下的作用，它是在学生对平面向量的基本定理有了充分的认识和正确的应用后产生的，同时也为下一节定比分点坐标公式和中点坐标公式的推导奠定了基础。此外，对立体几何的学习也有着深远的意义。

2、教学目标

⑴知识与能力：会用坐标表示平面向量的加减与数乘运算；能用两端点的坐标，求所构造向量的坐标；

⑵过程与方法：体会向量是处理几何问题的工具. 培养细心、耐心的学习习惯，提高分析问题的能力。

⑶情感态度、价值观：通过引导激发学生的学习兴趣并引发学生思考，充分调动学生的学习积极性。

3、教学重点、难点及依据

重点：平面向量的坐标运算。

难点：对平面向量坐标表示的理解。

4、课时安排和教具准备

我打算用一个课时的时间来讲授这一节内容，使用的教具是直尺、多媒体。

二、说学情

在教学过程中注重因材施教，只有了解了学生的现实状况才能够进行针对性的教学，这样才能取得相应的教学效果。培养学生的抽象思维能力，所以在教学过程中应该循序渐进，加深他们对基础知识的理解，并加强课堂巩固训练。

三、说教法和依据

教学时我打算采用老师引导式方法，使用导学案教学，充分发挥以学生为学习的主体，他们对课程的兴趣和积极性对于他们的学习过程有着极为重要的作用， 课堂上可以采用小组讨论的和学生发言的方式，调动学生参与的积极性，因为学生是学习的主体，所以要注重学生主体性的发挥。

四、说教学过程

一、自主学习

（一）知识链接：

知识回顾：

(1)向量j,i是同一平面内两个相互垂直的单位向量，且方向分别与x轴y轴方向相同，a为这个平面内任一向量，则向量a可用j,i表示为 。也可用坐标表示为 。

如：j4i5a = 。

主备：赵强 审核：陈闯 编号： 班级 姓名

平面向量的坐标运算

学习目标 1.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.

2.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．

重、难点 平面向量的坐标表示

一 预习案

自主梳理

1．在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y使a＝xi＋yj，我们把有序数对________叫做向量a的________，记作a＝________，其中x叫a在________上的坐标，y叫a在________上的坐标．

2．平面向量的坐标运算

(1)已知向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)和实数λ，那么a＋b＝____________________，a－b＝__________________，λa＝______________.

(2)已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝OB→－OA→＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1)，即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的__________的坐标减去__________的坐标．

3．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2) (b≠0)，则a∥b的充要条件是________________．

4．(1)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则P1P2的中点P的坐标为________________________．

(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)，则△P1P2P3的重心P的坐标为________________________．

自我检测

1．设a＝32，sin α，b＝cos α，13，且a∥b，则锐角α＝________.

2．已知向量a＝(6，－4)，b＝(0,2)，OC→＝c＝a＋λb，若C点在函数y＝sin π12x的图象上，则实数λ＝________.

高三第一轮复习数学---平面向量的坐标运算

一、教学目标：

1．了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标概念，会用坐标形式进行向量的加法、减法、数乘的运算，掌握向量坐标形式的平行的条件；

2．学会使用分类讨论、函数与方程思想解决有关问题.．

二、教学重点：向量的坐标运算．

三、教学过程：

（一）主要知识：

1、 平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量ii,作为基底。由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量a可表示成jyixa，由于a与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量a的坐标，记作a=(x,y)，其中x叫作a在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标。

注：(1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量。

(2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关。

2、 平面向量的坐标运算

(1) 若2211,,,yxbyxa，则2121,yyxxba

(2) 若2211,,,yxByxA，则1212,yyxxAB

(3) 若a=(x,y)，则a=(x, y)

(4) 若0,,,,2211byxbyxa，则0//1221yxyxba

(5) 若2211,,,yxbyxa，则2121,yyxxba

若ba，则02121yyxx

（二）主要方法：

1．建立坐标系解决问题（数形结合）；

2．向量位置关系与平面几何量位置关系的区别；

3．认清向量的方向求坐标值得注意的问题；

（三）例题分析：

例1、平面内给定三个向量1,4,2,1,2,3cba，回答下列问题：

（1）求满足cnbma的实数m,n；

（2）若abcka2//，求实数k；

（3）若d满足bacd//，且5cd，求d

考点二十六 平面向量基本定理及坐标运算

知识梳理

1．平面向量基本定理

如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，存在唯一一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.

我们把不共线的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底．

一个平面向量a能用一组基底e1，e2表示，即a＝λ1e1＋λ2e2.则称它为向量的分解。当e1，e2互相垂直时，就称为向量的正交分解。

2．平面向量的坐标运算

(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝(x2－x1，y2－y1)，|AB→|＝x2－x12＋y2－y12.

(2)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则

a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，

(3)若a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy)；|a|＝x2＋y2.

3．向量平行的坐标表示

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a∥b⇔a＝λb⇔ x1y2－x2y1＝0.

4．向量相等

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若a＝b，则x1＝x2，y1＝y2，即坐标对应相等.

典例剖析

题型一 利用基向量表示其他向量

例1 如图所示，在平行四边形ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知AM→＝c，AN→＝d，试用c，d表示AB→，AD→

变式训练 如图所示，向量OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，A，B，C在一条直线上，且AC→＝－3CB→，则(

)

A．c＝－12a＋32b B．c＝32a－12b C．c＝－a＋2b D．c＝a＋2b

解题要点 用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．

题型二 平面向量的坐标表示

例2 (1)设平面向量a＝(－1,0)，b＝(0,2)，则2a－3b＝( )