鸡西市第十九中学高一数学组
1 《2．4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义》专题(二)
2018年（ ）月（ ）日 班级 姓名
不求难题都做，先求中低档题不错。
1． 已知|a|＝1，|b|＝1，|c|＝2，a与b的夹角为90°，b与c的夹角为45°，则a·(b·c)的化简结果是 ( )
A．0 B．a C．b D．c
2． 若|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
3． 已知向量a，b的夹角为120°，|a|＝1，|b|＝5，则|3a－b|等于( )
A．7 B．6 C．5 D．4
4． 在边长为1的等边△ABC中，设BC→＝a，CA→＝b，AB→＝c，则a·b＋b·c＋c·a等于( )
A．－32 B．0 C.32 D．3
5． 在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足AP→＝2PM→，则PA→·(PB→＋PC→)等于 ( )
A．－49 B．－43 C.43 D.49
6． 设|a|＝3，|b|＝5，且a＋λb与a－λb垂直，则λ＝________.
7． 已知非零向量a，b，满足|a|＝1，(a－b)·(a＋b)＝12，且a·b＝12.
(1)求向量a，b的夹角；
(2)求|a－b|.
8． 设n和m是两个单位向量，其夹角是π3，求向量a＝2m＋n与b＝2n－3m的夹角．
鸡西市第十九中学高一数学组
2 9． 若向量a与b不共线，a·b≠0，且c＝a－a·aa·bb，则向量a与c的夹角为 ( )
A．0 B.π6 C.π3 D.π2
10．已知向量a≠e，|e|＝1，对任意t∈R，恒有|a－te|≥|a－e|，则( )
高一数学必修四导学案
编制人：21号
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2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义
【课标要求】
1、掌握平面向量数量积的意义，体会数量积与投影的关系。
2、平面向量积的重要性质及运算律。
【考纲要求】
1、能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。
2、会用向量方法解决某些简单的平面几何问题。
【学习目标叙写】
1、知道平面向量数量积的物理意义，记住其含义；
2、会用向量数量积的公式解决相关问题；
3、记住数量积的几个重要性质。
【使用说明与学法指导】
先阅读教材P103-P105.在理解物理学中作“功”的实例引出数量积的几何概念之后，学习向量数量积的性质与运算律。
【预习案】
问题1：如下图，如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功W= ，其中是 .
思考:这个公式的有什么特点？请完成下列填空：
F（力）是 量；S（位移）是 量；是 ；W（功）是 量；
结论：功是一个标量，功是力与位移两个向量的大小及其夹角余弦的乘积
启示：能否把“功”看成是力与位移这两个向量的一种运算的结果呢？
问题2：向量的数量积（或内积）的定义
已知两个非零向量a和b，我们把数量cosab叫做a和b的数量积（或内积），记作ab，
即cosabab.其中是a和b的夹角（０≤θ≤π）
说明：①记法“a·b”中间的“· ”不可以省略，也不可以用“ ”代替。
② 两个非零向量夹角的概念：非零向量a与b，作OA＝a，OB＝b，
则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫a与b的夹角（两向量必须是同起点） 注意：当θ＝０时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向；
1 鸡西市第十九中学学案
2015年（ ）月（ ）日 班级 姓名
2．4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义(一)
学习
目标 1．了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功．2．掌握平面向量数量积的定义和运算律，理解其几何意义．
3．会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直．
重点
难点 1．向量的数量积是一种新的乘法，和向量的线性运算有着显著的区别，两个向量的数量积，其结果是数量，而不是向量．学习时必须透彻理解数量积概念的内涵．
2．向量的数量积与实数的乘积既有区别又有联系，概念内涵更丰富，计算更复杂，实数乘法中的一些运算律在向量的数量积中已经不再成立，不宜作简单类比，照搬照抄．书写格式也要严格区分，a·b中的“·”不能省略.
【复习引入】两个向量的夹角
(1)如图，已知两个非零向量a，b，作OA＝a，OB＝b，则 称作向量a和向量b的夹角，
记作〈a，b〉，并规定它的范围是 .在这个规定下，两个向量的夹角被唯一确定了，并且有〈a，b〉＝ ．
(2)当 时，我们说向量a和向量b互相垂直，记作 .
(3)如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功W＝_________＝ .
【平面向量数量积的含义】
(1)定义：已知两个非零向量a与b，我们把数量_________叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝_________，其中θ是a与b的夹角，θ∈[0，π]．
(2)规定：零向量与任一向量的数量积为 .
问题1 向量的数量积是一个数量，而不再是向量．
对于两个非零向量a与b.
当θ∈_________时，a·b>0；当_________时，a·b＝0，即a⊥b；
鸡西市第十九中学高一数学组
1 鸡西市第十九中学学案
2015年（ ）月（ ）日 班级 姓名
2．4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义(二)
学习
目标 1．掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式．
2．会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明．
重点
难点 引进向量的数量积以后，考察一下这种运算的运算律是非常必要的．向量a、b的数量积a·b虽与代数中数a、b的乘积ab形式相似，实质差别很大．实数中的一些运算性质不能随意简单地类比到向量的数量积上来．例如，a·b＝0不能推出a＝0或b＝0；a·b＝b·ca＝c；(a·b)·c＝a·(b·c)也未必成立.
【向量的数量积(内积)】
_______________叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作a·b.即a·b＝__ ___．
_________叫做向量a在b方向上的投影，_________叫做向量b在a方向上的投影．
【向量数量积运算律的提出】
问题1 类比实数的运算律，向量的数量积是否具有类似的特征？先写出类比后的结论，再判断正误(完成下表)：
运算律 实数乘法 向量数量积 判断正误
交换律 ab＝ba
结合律 (ab)c＝a(bc)
分配律 (a＋b)c＝ac＋bc
消去律 ab＝bc(b≠0) ⇒a＝c
问题2 在上述类比得到的结论中，对向量数量积不再成立的有哪些？各举一反例说明．
(a·b)c＝a(b·c)不成立，因为(a·b)c表示一个与c共线的向量，而a(b·c)表示一个与a共线的向量，c与a不一定共线，所以(a·b)c＝a(b·c)，一般情况下不会成立．
a·b＝b·c(b≠0)⇒a＝c不成立，如图所示
【向量数量积的运算律】
已知向量a，b，c和实数λ，向量的数量积满足下列运算律：
①a·b＝b·a(交换律)； ②(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律)；
