北师大版数学九年级上册特殊的平行四边形(含中考真题解析)

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特殊的平行四边形

☞解读考点

知 识 点 名师点晴

矩形 1．矩形的性质 会从边、角、对角线方面通过合情推理提出性质猜想，并用演绎推理加以证明；能运用矩形的性质解决相关问题．

2．矩形的判定 会用判定定理判定平行四边形是否是矩形及一般四边形是否是矩形

菱形 1．菱形性质 能应用这些性质计算线段的长度

2．菱形的判别 能利用定理解决一些简单的问题

正方形 1．正方形的性质 了解平行四边形、矩形、菱形、正方形及梯形之间的相互关系，能够熟练运用正方形的性质解决具体问题

2．正方形判定 掌握正方形的判定定理，并能综合运用特殊四边形的性质和判定解决问题，发现决定中点四边形形状的因素，熟练运用特殊四边形的判定及性质对中点四边形进行判断，并能对自己的猜想进行证明

☞2年中考

1．下列命题是假命题的是（ ）

A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形．

B．对角线互相垂直的矩形是正方形．

C．对角线相等的菱形是正方形．

D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形．

【答案】D．

考点：1．正方形的判定；2．平行四边形的判定；3．菱形的判定；4．矩形的判定．

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2．（连云港）已知四边形ABCD，下列说法正确的是（ ）

A．当AD=BC，AB∥DC时，四边形ABCD是平行四边形

B．当AD=BC，AB=DC时，四边形ABCD是平行四边形

C．当AC=BD，AC平分BD时，四边形ABCD是矩形

D．当AC=BD，AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形

【答案】B．

【解析】

试题分析：∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，∴A不正确；

∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形，∴B正确；

∵对角线互相平分且相等的四边形是矩形，∴C不正确；

∵对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，∴D不正确；

故选B．

考点：1．平行四边形的判定；2．矩形的判定；3．正方形的判定．

3．（徐州）如图，菱形中，对角线AC、BD交于点O，E为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OE的长等于（ ）

A．3.5 B．4 C．7 D．14

【答案】A．

【解析】

试题分析：∵菱形ABCD的周长为28，∴AB=28÷4=7，OB=OD，∵E为AD边中点，∴OE是△ABD的中位线，∴OE=12AB=12×7=3.5．故选A．

考点：菱形的性质．

4．（柳州）如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC的点，且AG=CE，AE⊥EF，AE=EF，现有如下结论：①BE=12GE；②△AGE≌△ECF；③∠FCD=45°；④△GBE∽△ECH

其中，正确的结论有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】B．

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考点：1．全等三角形的判定与性质；2．正方形的性质；3．相似三角形的判定与性质；4．综合题．

5．（内江）如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（ ）

A．3 B．23 C．26 D．6

【答案】B．

考点：1．轴对称-最短路线问题；2．最值问题；3．正方形的性质．

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6．（南充）如图，菱形ABCD的周长为8cm，高AE长为3cm，则对角线AC长和BD长之比为（ ）

A．1：2 B．1：3 C．1：2 D．1：3

【答案】D．

【解析】

试题分析：如图，设AC，BD相较于点O，∵菱形ABCD的周长为8cm，∴AB=BC=2cm，∵高AE长为3cm，∴BE=22ABAE=1（cm），∴CE=BE=1cm，∴AC=AB=2cm，∵OA=1cm，AC⊥BD，∴OB=22ABOA=3（cm），∴BD=2OB=23cm，∴AC：BD=1：3．故选D．

考点：菱形的性质．

7．（安徽省）如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4．点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形，则AE的长是（ ）

A．25 B．35 C．5 D．6

【答案】C．

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考点：1．菱形的性质；2．矩形的性质．

8．（十堰）如图，正方形ABCD的边长为6，点E、F分别在AB，AD上，若CE=53，且∠ECF=45°，则CF的长为（ ）

A．102 B．53 C．5103 D．1053

【答案】A．

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考点：1．全等三角形的判定与性质；2．勾股定理；3．正方形的性质；4．综合题；5．压轴题．

9．（鄂州）在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1D1、D1E1E2B2、A2B2C2D2、D2E3E4B3、A3B3C3D3…按如图所示的方式放置，其中点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3…在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…则正方形A2015B2015C2015D2015的边长是（ ）

A．201421）（ B．201521）（ C．201533）（ D．201433）（

【答案】D．

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考点：1．正方形的性质；2．规律型；3．综合题．

10．（广安）如图，已知E、F、G、H分别为菱形ABCD四边的中点，AB=6cm，∠ABC=60°，则四边形EFGH的面积为 cm2．

【答案】93．

【解析】

试题分析：连接AC，BD，相交于点O，如图所示，∵E、F、G、H分别是菱形四边上的中点，∴EH=12BD=FG，EH∥BD∥FG，EF=12AC=HG，∴四边形EHGF是平行四边形，∵菱形ABCD中，AC⊥BD，∴EF⊥EH，∴四边形EFGH是矩形，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，∴∠ABO=30°，∵AC⊥BD，∴∠AOB=90°，∴AO=12AB=3，∴AC=6，在Rt△AOB中，由勾股定理得：OB=22ABOA=33，∴BD=63，∵EH=12BD，EF=12AC，∴EH=33，EF=3，∴矩形EFGH的面积=EF•FG=93cm2．故答案为：93．

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考点：1．中点四边形；2．菱形的性质．

11．（凉山州）菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（2，0），∠DOB=60°，点P是对角线OC上一个动点，E（0，﹣1），当EP+BP最短时，点P的坐标为

．

【答案】（233，23）．

的交点，∴点P的坐标为方程组33(13)1yxyx的解，解方程组得：23323xy，所以点P的坐标为（233，23），故答案为：（233，23）．

考点：1．菱形的性质；2．坐标与图形性质；3．轴对称-最短路线问题；4．动点型；5．压轴题；6．综合题．

12．（潜江）菱形ABCD在直角坐标系中的位置如图所示，其中点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，3），动点P从点A出发，沿A→B→C→D→A→B→…的路径，在菱形的边上以每秒0.5个单位长度的速度移动，移动到第2015秒时，点P的坐标为 ．

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【答案】（0.5，32）．

考点：1．菱形的性质；2．坐标与图形性质；3．规律型；4．综合题．

13．（北海）如图，已知正方形ABCD的边长为4，对角线AC与BD相交于点O，点E在DC边的延长线上．若∠CAE=15°，则AE= ．

【答案】8．

【解析】

试题分析：∵正方形ABCD的边长为4，对角线AC与BD相交于点O，∴∠BAC=45°，AB∥DC，∠ADC=90°，∵∠CAE=15°，∴∠E=∠BAE=∠BAC﹣∠CAE=45°﹣15°=30°．∵在Rt△ADE中，∠ADE=90°，∠E=30°，∴AE=2AD=8．故答案为：8．

考点：1．含30度角的直角三角形；2．正方形的性质．

14．（南宁）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数是 ．

【答案】45°．

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考点：1．正方形的性质；2．等边三角形的性质．

15．（玉林防城港）如图，已知正方形ABCD边长为3，点E在AB边上且BE=1，点P，Q分别是边BC，CD的动点（均不与顶点重合），当四边形AEPQ的周长取最小值时，四边形AEPQ的面积是 ．

【答案】92．

【解析】

试题分析：如图1所示，作E关于BC的对称点E′，点A关于DC的对称点A′，连接A′E′，四边形AEPQ的周长最小，∵AD=A′D=3，BE=BE′=1，∴AA′=6，AE′=4．∵DQ∥AE′，D是AA′的中点，∴DQ是△AA′E′的中位线，∴DQ=12AE′=2；CQ=DC﹣CQ=3﹣2=1，∵BP∥AA′，∴△BE′P∽△AE′A′，∴'''BPBEAAAE，即164BP，BP=32，CP=BC﹣BP=332=32，S四边形AEPQ=S正方形ABCD﹣S△ADQ﹣S△PCQ﹣SBEP=9﹣12AD•DQ﹣12CQ•CP﹣12BE•BP=9﹣12×3×2﹣12×1×32﹣12×1×32=92，故答案为：92．