裂项相消法使用技巧

２００１年第３期　中学数学月刊　·３９·　

裂项相消法的几种变换技巧　

洪凰翔　（湖北武穴师范　１３６４００）　

裂项相消法是解决有限项数列求和的一　

种重要方法．“裂项”的方法很多，但要选择一　

种通过“裂项”而达到“相消”直至解决问题的　

方法却是较难的．本文就此问题谈几种技巧．　１直接变换　

数列通项的结构式具有明显的裂项特征　

时，就应不失时机地直接进行裂项变换．　

例１求下列数列各项的和　

１　２　３　，２—１　

解　‘　＝　一　：　。　一　，　

Ｓ，，－ａ：（１一去）＋（六一　）＋（　一　

）＋…＋‘　一　１）一１一　１

２加零变换　

作“　一，　”的变换，然后巧妙地作等价　

运算，往往能实现裂项相消的愿望．　

例２求和：　

ｓ　＝１＋　＋　Ｆ　丙＋…＋ｊ＿二Ｆ　．　

解再茜　

呈　二　±　一　一　（ｎ＋１）　ｎ＋１‘　ｓ　一　Ｔ２一　２　Ｊ十　２一号）＋…＋（　

南）＝２－　＝　．　

３乘“１”变换　如加零变换失效，就要及时调节思维方　

向，转换运算形式．可在通式中施以乘“，ｎ－＋－　，ｎ”（　≠０）的变换，找到裂项相消方法．　

例３设｛ａ，　｝为等差数列，且公差为ｄ，　

求Ｓ　一—　＝＝＿　＋—７二＝＝＝＿　十…＋　√ａｌ＋＾／ａ　２　ａ２＋　ａ　３　１　

解　．．　三．　一　．　±　二　ｄ　厂广ｄ　广＿　√　十√　＋　√　＋√　＋．　

（　一４－２），　

吉ｃ　一　吉ｃ　～　

（　一　）　

广厂一　±！二　一　“，　十ｌ—ｎ】　厂厂一‘　—　～　“１＋　“　＋　

４公式变换　

依据数列的通项结构原理，灵活地运用　

数学公式，常能使裂项相消达到较为理想的　

境界．如排列数、组合数性质、积化和差公式　等，只要开拓思维，善于发掘和应用，就能使　

它们成为裂项相消的有力工具．　

例４　求和：５　一Ｃ；＋Ｃ；＋…＋Ｃｊ＋　．　

解　由组合数性质Ｃ　一Ｃ　＋Ｃ：　得　

Ｃ　＋　一Ｃ　＋５＋Ｃｊ＋ｓ，贝０　

Ｃ：＋５：Ｃ　＋６一Ｃ：＋５．　

故Ｓ，．：（Ｃ；一Ｃ：）＋（Ｃｉ—Ｃ；）十…＋　

1 裂项相消法

焦洁

一、学习目标：

1、理解裂项相消法思想。

2、使用裂项相消法解决特殊数列求和问题。

3、在自学与探究中体验数学方法的形成过程。

二、教学重点与难点

裂项相消法的应用与计算过程

三、教学过程

思考与讨论：

什么数列可用裂项相消法求和？

如何裂项？你有好的方法吗？

如何相消？你能发现其中的规律吗？

利用裂项相消法求和的一般步骤是什么？

1-nn14313212111：例

预设情景一：学生在看到问题后就认识到要裂项

直接提问学生要怎么拆？思考拆的对不对，怎样验证？ （逆运算，通分）

预设情景二：学生不知道要裂项，而要把分母相乘，再通分

经简单计算发现让学生体会到这种方式巨大的计算量，请学生思考为什么通分，引导学生通过其他方法来减少项数，观察原式，继而寻找规律，引导学生把

分出来变成两项。和中的分出来变成两项，和中的分出来变成两项，和中的1111131213212111211nnnn对三个分数31 21 321进行观察，由于分母不相同不易比较，于是通分变成如下322 323 321，再观察不难发现，后两式相减即为前式。于是总结出裂项的方法11-11131-21321nnnn，。 2

思考拆的对不对，怎样验证 （逆运算，通分）

把每一项都拆开，观察特点，一负一正相抵消。

问题：n1能不能消，11n能不能消，为什么。

回顾解题过程，总结解题步骤：1、裂项 （加检验） 2、消 3、找余项

12n1-2n17515313112：例

让学生先自己完成，分享结果，提问大家是不是如下拆法31-11311，要求

同学检验，强调检验的重要性。

问题：怎么拆？怎么拆？831521

总结：分母之间差几就在前面乘几分之一

合作交流

数列求和之裂项相消法

教学目标：

1、使学生够熟练掌握应用裂项相消法给数列求和。

2、让学生能够准确辨认出这类问题（应用裂项相消法求和）的形式,即什么时候用。

3、掌握如何拆项，如何提系数，消去之后余项是什么，即怎么用。

教学重点和难点：

重点：应用裂项相消法解决如下形式的给数列求和的问题

11nnnaab，其中na为等差数列。

难点：如何裂项，裂项后是否与原式相等。

教学方法;

引导性教学

教学过程：

复习引入

回忆数列求和的方法，在什么时候用

nnn22 2 2 :2 :1Snaaabnabkxnnnn例、分组求和例形如等比例形如等差、公式法方法：求

点出本节重点内容：数列求和方法3，裂项相消法求和。

新课

请同学们看下面两个例题

（1）11141313121211nn

（2）求数列)1(1,,431,321,211nn的和。

让同学回忆并且思考解题方法，提问解题思路。做出了如下两种预设，视情况而选择。

预设情景一：学生在看到问题后就认识到要裂项

直接提问学生要怎么拆

思考拆的对不对，怎样验证 （逆运算，通分）

预设情景二：学生不知道要裂项，而要把分母相乘，再通分

经简单计算发现让学生体会到这种方式巨大的计算量，请学生思考为什么通分，引导学生通过其他方法来减少项数，观察原式，继而寻找规律，引导学生把211中的11和21分出来变成两项，321中的21和31分出来变成两项，)1(1nn中的n1和11n分出来变成两项。

对三个分数31 21 321进行观察，由于分母不相同不易比较，于是通分变成如下322 323 321，再观察不难发现，后两式相减即为前式。于是总结出裂项的方法1-1-11131-21321nnnn，。

思考当拆的对不对，怎样验证 （逆运算，通分）把每一项都拆开，观察特点，一负一正相抵消。 问题：n1能不能消，11n能不能消，为什么。

裂项相消法的妙用与本质　朱月祥　（江苏省滨海县獐沟中学，２２４５００）　

数列求和是高中数学教学中的一个难　点。这类问题方法较多，常见的有公式法、错　位相减法、倒序相加法、裂项相消法、通项化　归法、数学归纳法、分组求和法、并项求和法　等；很多题目在题型归纳和方法选择上有难　度，在解题过程中需要一定的技巧。　但是，如果我们能深入本质，这一内容也　许并没有看上去的那样复杂。数列的前ｎ项　和在本质上是一个新数列的通项，而在众多　求数列通项的方法中，求连续（任意）的相邻　两项之差（也可以看作一个新数列的通项）再　累加的方法，最符合“和数列”的定义特征。　因此，求数列｛ａ　）的前　项和Ｓ　，表面上是求　口ｌ＋口ｚ＋口３＋…＋　，实际上是求５ｌ＋（Ｓ２一　Ｓ１）＋（Ｓ３一Ｓ２）＋…＋（　～Ｓ¨１）。也就是　说，只要以。　一Ｓ　一Ｓ　一　的形式裂出了“项”，　也就相当于求出了“和”。由此可见，裂项相　消法是数列求和的最本质的方法。　在进一步的研究中笔者发现，裂项相消　法的内涵和外延十分丰富多彩，其形式和应　用可以拓宽到很多问题和领域中。　一、裂项相消法处理已知结果的证明问题　裂项相消法最基本、最容易的应用在已　知结果的证明问题中，因为这类问题直接给　出了Ｓ　，只要验证口　一Ｓ　－－Ｓ　一　。而且，这一　方法可以由和式的证明拓展到积式的证明，　由等式的证明延伸至不等式的证明。　例１　证明：１。＋２。＋３０＋…＋　。　一［ｎ（ｎ－ｋ１）］　Ｌ　２　ｊ。　由［　卜［　］２＝｛　［（，ｚ＋１）　一（ｎ－－１）。］一÷　。・４ｎ＝ｎ。，易得此　式成立。　例２证明：ｃ。ｓ专ｃ。ｓ孝ｃ。ｓ　…ｃ。ｓ　Ｓ１眦　ｏ　２”ｓｉｎｘ２　设丁＂：　。则由　一　．　２　唠　１　２　ｎ　￣ｎ－ｌ　ｓｉｎ寿ｓｉｎ　，２７　２ｓｉｎ参ｃ。ｓ参　眦　２ｓｉｎ　３２　２ｓｉｎ　ｃ。ｓ参，易得此式成立。　此外，用同样的方法可以证明下列两个　不等式：（１’　干　≤１＋丢＋百１＋…　＋　≤２一　１。（２）　３・旦４・吾…・百２ｎ＋１　２０１４年第１１期　

裂项相消法求和

四、裂项相消法求和

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：

4.在数列{an}中，11211nnnnan，又11nnnaab，求数列{bn}的前n项的和.

练习：求数列,11,,321,211nn的前n项和.

五、利用数列的通项求和

先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法.

5.求11111111111个n之和.

实战练习：已知等差数列na的前n项和为nS，公差,50,053SSd且1341,,aaa成等比数列．

（Ⅰ）求数列na的通项公式；

（Ⅱ）设nnab是首项为1，公比为3的等比数列，求数列nb的前n项和nT.

裂项相消法求和

基本方法：

1. 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.

2. 常见的裂项方法(其中n为正整数)

数列 裂项的方法

1()nnk

(k为非零常数) 1111()nnkknnk

2141n 211114122121nnn

1(1)(2)nnn 1112(1)(1)(2)nnnn

1nnk 11()nknknnk

1log1an 0,1aa 1log1log(1)logaaannn

一、典型例题

1. 已知数列nbnN是递增的等比数列，且135bb，134bb，若2log3nnab，且11nnncaa，求数列nc的前n项和nS.

2. 已知数列na是等比数列，且14a，358aaa，令111nnnnabaa，求数列nb的前n项和nT.

二、课堂练习

1. 已知数列na的前n项和为nS，且满足2*12,nnSannnN，求证：…1211134nSSS.

2. 已知等比数列na的前n项和为nS，12a，*0nanN，66Sa是44Sa和55Sa的等差中项.

（1）求数列na的通项公式； （2）设1212lognnba，数列12nnbb的前n项和为nT，求nT.

三、课后作业

1. 求数列111,,,,12231nn的前n项和.

2. 已知数列na的通项为1lgnnan，若其前n项和为2nS，求n的值.

3. 设212nbnn，记数列nb的前n项和为nT，求使2425nT成立的n的最大值.

1 数列求和 —— 裂项相消法

班级：_____________ 小组：_____________ 姓名：___________

一、导学目标：

1 理解裂项相消法思想。

2 使用裂项相消法解决特殊数列求和问题。

3 在自学与探究中体验数学方法的形成过程。

二、复习导入

1 等差数列通项公式和求和公式：

2 问题：（1）你能计算6121= ; 1216121= ; ……么？

（2）那么990011216121= 呢？即100991431321211= ；

（3）事实上，教材里有更一般的问题：P47 B组 第4题 数列)1(1nn的前n项和)1(1431321211nnSn，你能否求和（化简），并作一些推广？

三、自学探究一

1 为解决上述问题，我们不妨先看看几个有趣的计算：

（1）计算211 ；3121 ；4131 ；……1001991 ；

（2）思考：111nn

（3）反之，)1(1nn

2 求数列)1(1nn的前n项和)1(1431321211nnSn

解：)1(1nnan

nnnaaaaaS1321

)1(1)1(1431321211nnnn

=

=

四、思考与讨论：

1 如何裂项？裂项和通分的关系？

2012学年第一学期从化三中调研课学案 2012年10月30日

1 课题：数列求和——裂项相消法

学案设计：黄林城

【学习目标】

掌握裂项求和的思想方法，并能灵活地使用这些解决相应问题．

重点：利用裂项相消法求数列的前n项之和.

难点：在裂项相消法中如何“裂项”，裂项相消法的应用.

【学习过程】

基础自测——导学

1．已知数列1(1)nn的前n和为nS，则5S（ ）

A．1 B．65 C．61 D．301

2. )2(1531421311nnSn .

典型例题——体验

例1：求和：

（1）)12)(12(1751531311nnSn.

（2）nSn32114321132112111.

小结：常见的裂项公式有：

（1）)1(1nn ；（2）)12)(12(1nn ；

（3）)(1knn ；（4）ba1 ；

（5）11nnaa （其中数列{}na是等差数列，公差为d）

2012学年第一学期从化三中调研课学案 2012年10月30日

2 例2：已知等差数列{}na的前n项和为nS，且4416,7Sa。

（1）求数列na的通项公式；

（2）求12233411111nnaaaaaaaa<12

裂项相消法

典型例题

（以下n均为正整数）

例1：

这是一道较为简单的裂项相消法化简题，１到２，２到３，３到４，……，n到n＋１，都相差１，直接裂项即可。（化成1/1-1/2+1/2-1/3...）

例2：

这是例１的升华题，是将分母稍作变化，题目就不一样了.１到3，3到5，5到7，……，2n-1到2n＋１，都相差2，裂项后总体要乘以1/2，这样才可以。

例3：

这是例2的拓展题，此时分母每个因数相差3了，做法一样，裂项后总体要乘以1/3，这样才行。

例4：

这是将例1一般化，此时分母每个因数相差1，裂项后直接相消。

例5：

这是将例3的拓展题，此时分母每个因数相差3，做法一样，裂项后总体要乘以1/3，这样才行。

例6：

这道题易错题，易写成，这样就造成错误，原来是正的，现在是负的。正好相反，这一点多注意。

例7：

这道题易错题，这样就造成错误，原来是正的，现在是负的。正好相反，这一点多注意。

2013-06教学实践

下列说法正确的是（BD）A援c约c2约2c1B援a+b跃197kJC援琢1+琢2=1D援籽2越2籽1用数轴法可以将化学平衡问题中的等效模型具体化，定性分析化学平衡中的等效问题。参考文献：［1］赵中华.数轴法在化学教学中的应用［J］.化学教育，2011（11）：52-54.［2］姚志红.数轴法解题一例［J］.中学化学教学参考，2008（5）：58.（作者单位江苏省海门市证大中学）“裂项相消法”的魅力文/秦阿鹏裂项相消法不仅在数列求和中得到了应用，而且在证明不等式上也有重要作用援下面就其在这两方面的“魅力”加以举例说明援魅力一：用于数列求和例1.求数列｛（n+1）2+1（n+1）2-1｝的前n项的和Sn援解：数列的通项an=（n+1）2+1（n+1）2-1=n2+2n+2n2+2n=1+2n2+2n=1+（1n-1n+2）所以Sn=（1+11-13）+（1+12-14）+（1+13-15）+…+（1+1n-1-1n+1）+（1+1n-1n+2）=n+1+12-1n+1-1n+2=n-1n+1-1n+2+32援点评：一般的，对于裂项后有明显相消项的一类数列，在求和时常用“裂项相消法”，分式的求和多利用此法援可用待定系数法对数列的通项公式进行拆项，相消时应注意消去项的规律，即消去哪些项，保留哪些项。常见的拆项公式有：淤1n（n+k）=1k（1n-1n+k）其中k屹0；于n（n+1）！=1n！-1（n+1）！；盂1n+1姨+n姨=n+1姨-n姨等等援例圆.设数列｛an｝的前n项和为Sn，若对于n沂N*，Sn+nan=1恒成立，求Sn援分析：由an=Sn-Sn-1，得anan-1=n-1n+1，再由连乘积求得an=1n（n+1），然后用裂项相消法求Sn援解：疫Sn+nan=1淤，则Sn-1+（n-1）an-1=1于，淤-于得：an+nan-（n-1）an-1=0，亦anan-1=n-1n+1，在淤中，当n=1时，a1+a1=1，亦a1=12，亦an=a1·a2a1·a3a2·…·anan-1=12·13·24·35·…·n-2n·n-1n+1=1n（n+1）=1n-1n+1，亦Sn=（1-12）+（12-13）+（13-14）+…+（1n-1n+1）=1-1n+1=nn+1援魅力二：用于证明不等式例3.已知数列｛an｝的通项公式为an=1n2-n-1，求证：a1+a2+…+an<1118援证明：（员）当n=1时，a1=-1<1118援（圆）当n=2时，a1+a2=-1+1=0<1118援（猿）当n逸3时，an=1n2-n-1<1n2-n-2=1（n-2）（n+1）=13（1n-2-1n-1），亦a1+a2+…+an=0+13（11-14）+13（12-15）+13（13-16）+13（14-17）+…+13（1n-4-1n-1）+13（1n-3-1n）+13（1n-2-1n+1）=13（1+12+13-1n-1-1n-1n+1）<13（1+12+13）=1118.综合（员）（圆）（猿）得a1+a2+…+an<1118援例4.求证：2臆（1+1n）n<3，其中n沂N*援证明：（1）当n=1时，（1+11）1=2，命题显然成立；（2）当n逸2时，（1+1n）n=C0n（1n）0+C1n（1n）1+C2n（1n）2+C3n（1n）3+…+Cnn（1n）n=2+C2n（1n）2+C3n（1n）3+…+Cnn（1n）n>2援对于k逸2且k沂N时，有Cnn（1n）n=n（n-1）（n-2）…（n-k+1）nk·1k！<1k！臆1（k-1）k=1k-1-1k，亦（1+1n）n=2+C2n（1n）2+C3n（1n）3+…+Cnn（1n）n<2+（1-12）+（12-13）+…+（1n-1-1n）=3-1n<3，即2<（1+1n）n<3援综合（1）（2）得2臆（1+1n）n<3，其中n沂N*援［点评］以上两例都借助放缩法再通过裂项相消法使得证明得以顺利进行，望广大学生在这方面加以重视。（作者单位山东省利津县第一中学）. All Rights Reserved.

裂项相消法

同学们经常会遇到下面的规律题，学生感觉听都听懂了，为什么做题目时会犯错呢？初中数学中经常会遇到这一系列的的问题，现总结如下，供读者参考：

（以下n均为正整数）

例1：

这是一道较为简单的裂项相消法化简题，１到２，２到３，３到４，……，n到n＋１，都相差１，直接裂项即可。（化成1/1-1/2+1/2-1/3...）

例2：

这是例１的升华题，是将分母稍作变化，题目就不一样了.１到3，3到5，5到7，……，2n-1到2n＋１，都相差2，裂项后总体要乘以1/2，这样才可以。

例3：

这是例2的拓展题，此时分母每个因数相差3了，做法一样，裂项后总体要乘以1/3，这样才行。

例4：

这是将例1一般化，此时分母每个因数相差1，裂项后直接相消。

例5：

这是将例3的拓展题，此时分母每个因数相差3，做法一样，裂项后总体要乘以1/3，这样才行。

例6： 这道题易错题，易写成，这样就造成错误，原来是正的，现在是负的。正好相反，这一点多注意。

例7：

这道题易错题，这样就造成错误，原来是正的，现在是负的。正好相反，这一点多注意。

中学生数学·２０１２年７月上·第４４５期（高中）　浙江省兰溪市第一中学（３２１１００）　蒋志明　舒林军　裂项相消法实质上是把一个数列的每一　项裂为两项的差，即化ａ　一　（　）一＿厂（”＋１）的　形式，从而达到数列求和的目的，即得到Ｓ　一　厂（１）一ｆ（ｎ＋１）的形式．通过此类题型的解决，　可以培养同学们的逆向思维，开发同学们的智　匀，检查同学们思维的灵活性．故在高考中常　常出现利用裂项相消法来求数列的前ｎ项和、　等式证明等较难的题型．笔者通过长期教学　的研究，并加以总结，归纳出八大题型，让同学　们通过对题型的了解，可以快速掌握其技巧，　达到事半功倍的效果．　题型一等差型　等差型是裂项相消法中最常见的类型，也是　最容易掌握的．设等差数列｛　｝的各项不为零，　公差为　，则　一　１（１ｌ＿）常见的有：　（Ａｎ（Ａ　ｎ＋１　“　“”（Ａｎ＋１　１　１　１　（１　＋　＋…＋　芊　一１—　１　；　；　（２ｎ一１）（２ｎ＋１）　㈦　＋　．＋　｝＿一　＋丢一　１　１　７２＋１　＋２’　例１求数列｛　丰　｝的前ｎ项的和　．　Ｌｎ—ｒ１　一～１　分析　先把通项进行化简，分子通常化为　常数，然后裂项就可以求得．　解　数列的通项　一　一　＋　一　＋ｃ　一　２，，　＋２　７２　。　。＋２，ｚ　。、　＋　’　ｓ　一（１＋Ｔ１一　１）十　１十　１一丢）＋（１＋　１）＋…＋（１＋　１　１　）＋（１＋　１３　一ｌ　ｎ十ｌ　）＝　＋　１１１１　．３　＋２。２‘　题型二无理型　该类型的特点是，分母为两个根式之和，　这两个根式的平方差为常数，然后通过分母有　理化来达到消项的目的，有时在证明不等式　时，常常把分母放缩成两个根式之和，来达到　消项化简的目的·常见有：　彳１　一￣／　例２　证明：２而一２＜Ｈ　１十　１＋川　＋　＜２√　一１　（　≥２，　∈Ｎ）．　√　分析先把通项进行放缩后再裂项相消　即可证．　证明　因为　１２＞志　２（、厢一√　）（７２≥２，　∈Ｎ），　所以１＿√２１　４＿√３１，．十　＞２（　一√丁）＋　２（，／ｇ一　）＋…＋２（Ｖ而一　）一２￣／　一２．　又因为　１２＜　网　：　．　ｂ　．　ｋｉ．　。　·　１‘　·电子邮箱：　＠。ｈｉ　ｊ。　１．　。　．　路　级　，　万　＋　＋　一　—２　

教案

教学要求：1.熟练掌握等差、等比数列的钱前项和公式。

2.掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法

裂项相消法：1.基本思想是设法把数列中的每一项“一拆为二”，即每一项拆成两项之差，使它们在相加时能消去一些项，最终达到求和的目的。

2.消项的规律：前面保留第几项，后面则保留倒数第几项，符号相反。

使用该方法时应注意的问题：要注意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的。

裂项相消法（拆分法）

一：裂项相消法（拆分法）：把一个分数拆成两个或两个以上分数相减或相

加的形式，然后再进行计算的方法叫做裂项相消法，也叫拆分法。

二：列项相消公式

（1）111(n1)1nnn

（2）11knnknnk

（3）1111()(n)nknnkk

（4）1111121122nnnnnnn

（5）11ababab

（6）22abbaabab

三：数列

（1）定义：按一定的次序排列的一列数叫做数列。

(2)数列中的每一个数叫做这个数列的项。依次叫做这个数列的第一项（首项）、第二 项、、、、、、第n项（末项）。

（3）项数：一个数列中有几个数字，项数就是几。

四：等差数列

（1）定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列。而这个常数叫做等差数列的公差。

（2）等差数列的和=（首项+末项）×项数÷2

（3）等差数列的项数=（末项-首项）÷公差+1

（4）等差数列的末项=首项+公差×（项数-1）

例1、111111112233445566778

例2、1111111261220304256

例3、1111111111+3+5+7+9+11+13+15+17+19612203042567290110

例4、111111133557799111113

例5、11111315356399 例6、111111+3+5+7+9315356399

例7、11111++++144771010131316

例8、22222+++++1335572001200320032005

习题课错位相减法、裂项相消法求和学习目标1.熟练掌握等差和等比数列前n项和的结构特点以及各个符号的意义.2.掌握错位

相减和裂项相消求和的一般过程和思路．

一、错位相减法

例1求和：Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn(x≠0)．

解当x＝1时，Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝nn＋1

2；

当x≠1时，Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn，

xS

n＝x2＋2x3＋3x4＋…＋(n－1)xn＋nxn＋1，

∴(1－x)Sn＝x＋x2＋x3＋…＋xn－nxn＋1

＝x1－xn

1－x－nxn＋1，

∴Sn＝x1－xn

1－x2－nxn＋1

1－x.

综上可得，Sn

＝nn＋1

2，x＝1，

x1－xn

1－x2－nxn＋1

1－x，x≠1且x≠0.

反思感悟(1)一般地，如果数列{an}是等差数列，{b

n}是等比数列，求数列{a

n·b

n}的前n项

和时，可采用错位相减法．

(2)用错位相减法求和时，应注意：

①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形．

②在写出“Sn”与“qS

n”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地

写出“Sn－qS

n”的表达式．

跟踪训练1已知数列{an}的前n项和为S

n

，数列S

n

n是公差为1的等差数列，且a

2＝3.

(1)求数列{a

n}的通项公式；

(2)设b

n＝a

n·3n，求数列{bn}的前n项和T

n.

解(1)数列S

n

n是公差为1的等差数列，

∴S

n

n＝a1＋n－1，

可得Sn＝n(a

1＋n－1)，∴a

1＋a

2＝2(a

1＋1)，且a

2＝3.解得a

1＝1.∴S

n＝n2.∴n≥2时，

a

n＝S

n－S

n－1＝n2－(n－1)2＝2n－1(n＝1时也成立)．

∴an＝2n－1.

(2)b

n＝a

n·3n＝(2n－1)·3n，∴数列{bn}的前n项和

T

n＝3＋3×32＋5×33＋…＋(2n－1)×3n，

∴3Tn＝32＋3×33＋…＋(2n－3)×3n＋(2n－1)×3n＋1，

∴－2Tn＝3＋2×(32＋33＋…＋3n)－(2n－1)×3n＋1＝3＋2×93n－1－1

裂项相消万能公式有哪些

裂项法，这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的。 通项分解（裂项）倍数的关系。通常用于代数，分数，有时候也用于整数。

裂项相消万能公式有哪些

1裂项相消的公式

1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)

1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]

1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]

1/(√daoa+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)

n·n!=(n+1)!-n!

2裂项法求和

（1）1/[n(n+1)]=（1/n）- [1/(n+1)]

（2）1/[(2n-1)(2n+1)]=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]

（3）1/[n(n+1)(n+2)]=1/2{1/[n(n+1)]-1/[(n+1)(n+2)]}

（4）1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)

（5） n·n!=(n+1)!-n!

（6）1/[n(n+k)]=1/k[1/n-1/(n+k)]

（7）1/[√n+√（n+1）]=√（n+1）-√n

（8）1/（√n+√n+k）=（1/k）·[√（n+k）-√n]

3数列求和的常用方法

1、分组法求数列的和：如an=2n+3n

2、错位相减法求和：如an=n·2^n

3、裂项法求和：如an=1/n(n+1)

4、倒序相加法求和：如an= n

5、求数列的最大、最小项的方法：

① an+1-an=…… 如an= -2n2+29n-3

② (an>0) 如an=

③ an=f(n) 研究函数f(n)的增减性 如an= an^2+bn+c(a≠0)

6、在等差数列 中,有关Sn 的最值问题——常用邻项变号法求解：

(1)当 a1>0,d<0时，满足{an}的项数m使得Sm取最大值.