高考数学压轴专题最新备战高考《数列》难题汇编及答案解析
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数学高考《数列》试题含答案
一、选择题
1．等比数列na的前n项和为nS，公比为q，若639SS，562S，则1a（ ）
A．2 B．2 C．5 D．3
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意，分析可得等比数列na的公比1q，进而由等比数列的通项公式可得631111911aqaqqq，解可得2q=，又由5151131621aqSaq，解可得1a的值，即可得答案．
【详解】
根据题意，等比数列na中，若639SS，则1q，
若639SS，则631111911aqaqqq，解可得38q，则2q=，
又由562S，则有5151131621aqSaq，解可得12a；
故选B．
【点睛】
本题考查等比数列的前n项和公式的应用，关键是掌握等比数列的前n项和的性质．
2．设等比数列na的前n项和记为nS,若105:1:2SS,则155:SS( )
A．34 B．23 C．12 D．13
【答案】A
【解析】
【分析】
根据等比数列前n项和的性质求解可得所求结果．
【详解】
∵数列na为等比数列，且其前n项和记为nS，
∴51051510,,SSSSS成等比数列．
∵105:1:2SS，即1051 2SS，
∴等比数列51051510,,SSSSS的公比为10551 2SSS， ∴1510105511 24SSSSS，
∴15510513 44SSSS，
∴1553:4SS．
故选A．
【点睛】
在等比数列na中，其前n项和记为nS，若公比1q，则233,,,kkkkkSSSSSL成等比数列，即等比数列中依次取k项的和仍为等比数列，利用此性质解题时可简化运算，提高解题的效率．
3．等差数列na中，1510aa，47a，则数列na前6项和6S为（）
A．18 B．24 C．36 D．72
【答案】C
【解析】
【分析】
由等差数列的性质可得35a，根据等差数列的前n项和公式163466622aaaaS可得结果.
【详解】
∵等差数列na中，1510aa，∴3210a，即35a，
∴163465766636222aaaaS，
故选C.
【点睛】
本题主要考查了等差数列的性质以及等差数列的前n项和公式的应用，属于基础题.
4．数列{}na：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和．即：21nnnaaa.记该数列{}na的前n项和为nS，则下列结论正确的是（ ）
A．201920202Sa B．201920212Sa
C．201920201Sa D．201920211Sa
【答案】D
【解析】
【分析】 根据递推关系利用裂项相消法探求和项与通项关系，即得结果.
【详解】
因为
1233243546521()()()()()nnnnSaaaaaaaaaaaaaaLL
2221nnaaa，
所以201920211Sa，选D.
【点睛】
本题考查裂项相消法，考查基本分析判断能力，属中档题.
5．已知数列na的前n项和为nS，若2nnSan，则9S（ ）
A．993 B．766 C．1013 D．885
【答案】C
【解析】
【分析】
计算11a，1121nnaa，得到21nna，代入计算得到答案.
【详解】
当1n时，11a；
当2n时，1121nnnnaSSa，∴1121nnaa，
所以1na是首项为2，公比为2的等比数列，即21nna，∴1222nnnSann，
∴1092111013S．
故选：C.
【点睛】
本题考查了构造法求通项公式，数列求和，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.
6．“中国剩余定理”又称“孙子定理”．1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲．1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2019这2019个数中，能被3除余2且被5整除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列na，则此数列所有项中，中间项的值为（ ）
A．992 B．1022 C．1007 D．1037
【答案】C
【解析】
【分析】 首先将题目转化为2na即是3的倍数，也是5的倍数，也即是15的倍数.再写出na的通项公式，算其中间项即可.
【详解】
将题目转化为2na即是3的倍数，也是5的倍数，也即是15的倍数.
即215(1)nan，1513nan
当135n，135151351320122019a，
当136n，136151361320272019a，
故1,2,n……，135数列共有135项．
因此数列中间项为第68项，681568131007a.
故答案为：C．
【点睛】
本题主要考查数列模型在实际问题中的应用，同时考查了学生的计算能力，属于中档题.
7．已知数列na是正项等比数列，若132a，3432aa，数列2logna的前n项和为nS，则nS>0时n的最大值为 （ ）
A．5 B．6 C．10 D．11
【答案】C
【解析】
2525163412132323222log62nnnnaaaqqqaan
max(56)011102nnnSnn ，故选C.
8．已知等比数列{}na满足13a，13521aaa，则357aaa（ ）
A．21 B．42 C．63 D．84
【答案】B
【解析】
由a1+a3+a5=21得242421(1)21172aqqqqq
a3+a5+a7=2135()22142qaaa，选B.
9．已知数列{an}的前n项和为Sn，且an+1=an+a(n∈N*，a为常数)，若平面内的三个不共线的非零向量OAOBOCuuuruuuruuur，，满足10051006OCaOAaOBuuuruuuruuur，A，B，C三点共线且该直线不过O点，则S2010等于（ ）
A．1005 B．1006 C．2010 D．2012
【答案】A 【解析】
【分析】
根据an+1=an+a，可判断数列{an}为等差数列，而根据10051006OCaOAaOBuuuruuuruuur，及三点A，B，C共线即可得出a1+a2010=1，从而根据等差数列的前n项和公式即可求出S2010的值.
【详解】
由an+1=an+a，得，an+1﹣an=a；
∴{an}为等差数列；
由10051006OCaOAaOBuuuruuuruuur，
所以A，B，C三点共线；
∴a1005+a1006=a1+a2010=1，
∴S201012010201020101100522aa.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查等差数列的定义，其前n项和公式以及共线向量定理，还考查运算求解的能力，属于中档题.
10．设等比数列na的前n项和为nS，若105:1:2SS，则155:SS为（ ）
A．3∶4 B．4∶3 C．1∶2 D．2∶1
【答案】A
【解析】
【分析】
根据在等比数列中，每5项的和仍然成等比数列，设5Sx，则由条件可得1012Sx，1534Sx，从而得到155:SS的值．
【详解】
解：在等比数列中，每5项的和仍然成等比数列，设5Sx，则由条件可得1012Sx，
1051122SSxxx，151014SSx，15113244Sxxx，
故155334:4xSSx，
故选：A．
【点睛】
本题考查等比数列的性质，解题的关键是熟练掌握等比数列的性质kS，2kkSS，32kkSS，成公比为kq的等比数列，属于中档题.
11．已知数列na的奇数项依次成等差数列，偶数项依次成等比数列，且11a，22a，347aa，5613aa，则78aa（ ）
A．42 B．19 C．20 D．23
【答案】D
【解析】
【分析】
本题首先可以设出奇数项的公差以及偶数项的公比，然后对347aa、5613aa进行化简，得出公差和公比的数值，然后对78aa进行化简即可得出结果．
【详解】
设奇数项的公差为d，偶数项的公比为q，
由347aa，5613aa，得127dq，212213dq，
解得2d，2q，所以37813271623aadq，故选D．
【点睛】
本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想等，体现基础性与综合性，提升学生的逻辑推理、数学运算等核心素养，是中档题．
12．已知数列na满足：2*112,10nnnaaSSnN，其中nS为数列na的前n项和.设12111()1nSSSfnnL，若对任意的n均有(1)()fnkfn成立，则k的最小整数值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【解析】
【分析】
当1n时，有条件可得211nnnnSSSS，从而111nnnSSS，故111111nnSS，得出 11nS是首项、公差均为1的等差数列，从而求出nS
【详解】
当1n时，有条件可得211nnnnSSSS，从而111nnnSSS，故111111111nnnnnSSSSS，又1111121S，11nS是首项、公差均为1的等差数列，
