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第十二讲期末考试一、 填空题（每题6分，共60分。
如有两个空，只对一个给3分）1．有17个队参加篮球比赛，比赛分两个组，第一组七个队，第二组八个队，各组先进行单循环赛(即每队都要与其它各队比赛一场)，然后由各组的前三名共六个队再进行单循环赛决定冠亚军。
问：共需比赛__________场。
【分析】 分三部分考虑，第一组预赛、第二组预赛和最后的决赛。
第一组要赛2721C =(场)，第二组要赛2828C =(场)，决赛阶段要赛2615C =(场)，所以总场数为： 21281564++=(场)。
2． 将前100个自然数依次无间隔地写成一个192位数：1234567891011129899100L ，从中划去170个数字，那么剩下的22位数最大是__________，最小是__________。
【分析】 在前100个自然数中，共有20个9，再保留后面的“10”，即得到最大数：209999910L 1442443个；最小数的第一位是“1”，再保留1090:中的9个“0”，再在91100:中留下12个尽量小的数，即得最小数：1000000000123456789100。
3．有一个展览会场如右图所示，共有16个展室，每两个相邻的展室之间都有门相通，问__________（填能或不能）从入口进去，不重复地参观完所有的展室后从出口出来。
【分析】 黑白相间染色后发现，入口和出口都是黑色，但每次都是从黑格到白格或从白格到黑格，这样应是从黑格进去，白格出来，但出口也是白格，所以不可能。
4． 设自然数n 有下列性质：从1、2、…、n 中任取65个不同的数，其中必有两数之差等于8，这样的n 最大不能超过__________。
【分析】 当128n =时，将1、2、…、128按每组中两数的差为8的规则分成64组，所以当任取65个数时，必有两个数在同一组，它们的差等于8。
当129n =时，取上面每组中的前一个数，和129，一共65个数，而它们中任两个数的差不为8。
第1讲计算综合（一）繁分数的运算，涉及分数与小数的定义新运算问题，综合性较强的计算问题．1．繁分数的运算必须注意多级分数的处理，如下所示：甚至可以简单地说：“先算短分数线的，后算长分数线的”．找到最长的分数线，将其上视为分子，其下视为分母．2．一般情况下进行分数的乘、除运算使用真分数或假分数，而不使用带分数．所以需将带分数化为假分数．3．某些时候将分数线视为除号，可使繁分数的运算更加直观．4．对于定义新运算，我们只需按题中的定义进行运算即可．5．本讲要求大家对分数运算有很好的掌握，可参阅《思维导引详解》五年级[第1讲循环小数与分数]．1．计算：71147 18262 13581333416⨯+⨯-÷【分析与解】原式=7123723174612241488128131233+⨯=⨯=-2．计算：【分析与解】注意，作为被除数的这个繁分数的分子、分母均含有5199．于是，我们想到改变运算顺序，如果分子与分母在5199后的两个数字的运算结果一致，那么作为被除数的这个繁分数的值为1；如果不一致，也不会增加我们的计算量．所以我们决定改变作为被除数的繁分数的运算顺序．而作为除数的繁分数，我们注意两个加数的分母相似，于是统一通分为1995×．具体过程如下：原式=5919(3 5.22)19930.41.6910()52719950.5199519(6 5.22)950+-⨯÷+⨯-+=5191.3219930.440.40.59()519950.419950.5191.329-⨯⨯⨯÷+⨯⨯-=199320.41()19950.5+÷⨯=0.410.5÷=1143．计算：1111111987-+-【分析与解】原式=11198711986-+=198613973-=198739734．计算：已知=181111+12+1x+4=，则x等于多少【分析与解】方法一：1118x68114x112x7111+11148x62+214x1x+4+====+++++++交叉相乘有88x+66=96x+56，x=1．25．方法二：有11131118821x4+==+++，所以18222133x4+==++；所以13x42+=，那么x=．5．求944,43,443,...,44 (43)个这10个数的和．【分析与解】方法一：944+43+443...44 (43)++个=1044(441)(4441)...(44...41)+-+-++-个=104444444...44 (49)++++-个=1094(999999...999...9)99⨯++++-个=1004[(101)(1001)(10001)...(1000...01)]99⨯-+-+-++--个=914111.1009=49382715919⨯-个.方法二：先计算这10个数的个位数字和为39+4=31⨯；再计算这10个数的十位数字和为4×9=36，加上个位的进位的3，为36339+=；再计算这10个数的百位数字和为4×8=32，加上十位的进位的3，为32335+=；再计算这10个数的千位数字和为4×7=28，加上百位的进位的3，为28331+=；再计算这10个数的万位数字和为4×6=24，加上千位的进位的3，为24327+=；再计算这10个数的十万位数字和为4×5=20，加上万位的进位的2，为20222+=；再计算这10个数的百万位数字和为4×4=16，加上十万位的进位的2，为16218+=；再计算这10个数的千万位数字和为4×3=12，加上百万位的进位的1，为12113+=；再计算这10个数的亿位数字和为4×2=8，加上千万位的进位的1，为819+=；最后计算这10个数的十亿位数字和为4×1=4，加上亿位上没有进位，即为4．所以，这10个数的和为91．6.如图1-1，每一线段的端点上两数之和算作线段的长度，那么图中6条线段的长度之和是多少【分析与解】因为每个端点均有三条线段通过，所以这6条线段的长度之和为：1173(0.60.875)1+0.75+1.8+2.625=6.175=63440⨯+++=7.我们规定，符号“○”表示选择两数中较大数的运算，例如：3．5○=○=．符号“△”表示选择两数中较小数的运算，例如：△=△=．请计算：23155 (0.625)(0.4)33384 1235(0.3)( 2.25) 3104⨯+【分析与解】原式1550.6255155725384218384122562.253⨯=⨯÷=+8．规定（3）=2×3×4，（4）=3×4×5，(5)=4×5×6，(10)=9×10×11，…．如果111(16)(17)(17)-=⨯，那么方框内应填的数是多少【分析与解】111(17)()1(16)(17)(17)(16)=-÷=-=161718111516175⨯⨯-=⨯⨯.9．从和式11111124681012+++++中必须去掉哪两个分数，才能使得余下的分数之和等于1【分析与解】因为1116124+=，所以12,14,16,112的和为l，因此应去掉18与110.10．如图1-2排列在一个圆圈上10个数按顺时针次序可以组成许多个整数部分是一位的循环小数，例如．那么在所有这种数中。
华杯赛计数专题: 归纳与递推基础知识:1.递推的基本思想: 从简单情况出发寻找规律, 逐步找到复杂问题的解法。
2.基本类型: 上楼梯问题、直线分平面问题、传球法、圆周连线问题。
3.递推分析的常用思路: 直接累加、增量分析、从复杂化归简单。
例题：例1.一个楼梯共有10级台阶, 规定每步可以迈一级台阶或二级台阶.走完这10级台阶, 一共可以有多少种不同的走法？【答案】89种【解答】设n级台阶有an种走法, 则an=an-1+an-21级有1种走法；2级有（1+1和2）2种走法；3级有（1+1+1、2+1和1+2）3种走法；4级有3+2=5种走法；5级有3+5=8种走法；6级有5+8=13种走法；7级有8+13=21种走法；8级有13+21=34种走法；9级有21+34=55种走法；10级有34+55=89种走法例2.小悦买了10块巧克力, 她每天最少吃一块, 最多吃3块, 直到吃完, 共有多少种吃法？【答案】274种【解答】通过枚举法和递推法: 设n块糖有an种走法, 则an=an-1+an-2+ an-31块糖有1种吃法；2块糖有2种吃法； 3块糖有4种吃法； 4块糖有1+2+4=7种吃法； 5块糖有2+4+7=13种吃法； 6块糖有4+7+13=24种吃法； 7块糖有7+13+24=44种吃法； 8块糖有13+24+44=81种吃法；9块糖有24+44+81=149种吃法；10块糖有44+81+149=274种吃法。
例3.用 1×2的小方格覆盖 2×7的长方形, 共有多少种不同的覆盖方法？【答案】21种【解答】2×1的方格有1种盖法；2×2的方格有2种盖法；2×3的方格有2+1=3种盖法；2×4的方格有3+2=5种盖法；2×5的方格有3+5=8种盖法；2×6的方格有5+8=13种盖法；2×7的方格有8+13=21种盖法。
文武个性化教案学生姓名年级三年级授课时间年月日教师姓名课时 2课题火柴棒游戏教学目标重点难点第13讲火柴棒游戏（一）小朋友，火柴棒是我们家家都有的生活用品，用火柴棒做游戏简便易学。
用火柴棒可以摆成一列数字和运算符号：你们喜欢这样的游戏吗？在这一讲里，我们要用火柴棒去探索变化无穷的数字世界，在有趣的游戏中，变得更聪明。
例题与方法例1．右面是用火柴棒摆成的算式，但这个算式是不成立的。
只要移动1根火柴棒，算式就成立了。
你会移动吗？例2．用4根火柴棒可能分别表示一些加减运算符号，然后把这4根火柴棒放到数字1至9中间去，使最终的运算结果等于100。
例3．请你下面算芽再加上一根火柴棒，使它成立。
例4．右面方格里的数字，都是用火柴棒组成的。
请你移动其中的1根火柴，使每一横行和竖行里的数字相加的和都相等。
第14讲火柴棒游戏（二）用火柴棒可以组成一些算式，用长短一样的火柴棒也可以摆成各种图形。
如果拿掉或是移动火柴，变成其他图形，非常有趣。
你可以试一试。
例1．用6根火柴，照右图摆成1个三角形。
要把这个三角形变成六角形，只准移动4根火柴，应该怎样移动？例2．请你只移动3根火柴把3个三角形变成5个三角形。
例3．用24根火柴棒组成右边的图形。
拿掉几根火柴棒可变成新的图形。
例4．右图是由4个小正方形组成的正方形。
现在要移动3根火柴，使它变成3个相等的正方形，应该怎样移动？作业练习与思考1．移动1根火柴，使下面各题的等式成立。
2．移动两根火柴棒，使下面各等式成立。
练习与思考1．有3个正方形都是由8根火柴组成。
现在只有把这3个正方形的位置变成一下，就可以多出4个小正方形。
应该如何移动？2．用9根火柴，怎样摆放，才能摆出6个正方形来？3．下面是用18根火柴组成的6个同样的正方形。
4．上图是由15根火柴组成的图形。
请你移动2根火柴，使它变成5个同样的正方形。
5．下面是用12根火柴组成的图形。
请你移动其中的3根火柴，使它变成3个正方形。
三年级奥数完整讲义目录第一讲加减法的巧算（一）第二讲加减法的巧算（二）第三讲乘法的巧算第四讲配对求和第五讲找简单的数列规律第六讲图形的排列规律第七讲数图形第八讲分类枚举能力测试（一）第九讲填符号组算式第十讲填数游戏第十一讲算式谜（一）第十二讲算式谜（二）第十三讲火柴棒游戏（一）第十四讲火柴棒游戏（二）第十五讲从数量的变化中找规律第十六讲数阵中的规律 (45)第17讲时间与日期……………第18讲推理……………能力测试（二） (63)第19讲循环………………第20讲最大和最小…………………………第21讲最短路线…………………………第22讲图形的分与合…………………第23讲格点与面积第24讲一笔画阶段测试（三）第25讲移多补少与求平均数第26讲上楼梯与植树第27讲简单的倍数问题第28讲年龄问题第29讲鸡兔同笼问题第30讲盈亏问题第31讲还原问题第32讲周长的计算第33讲等量代换第34讲一题多解能力测试（四）第一讲加减法的巧算森林王国的歌舞比赛进行得既紧张又激烈。
选手们为争夺冠军，都在舞台上发挥着自己的最好水平。
台下的工作人员小熊和小白兔正在统计着最后的得分。
由于他们对每个选手分数的及时通报，台下的观众频频为选手取得的好成绩而热烈鼓掌，同时，观众也带着更浓厚的兴趣边看边猜测谁能拿到冠军。
观众的情绪也影响着两位分数统计者。
只见分数一到小白兔手中，就像变魔术般地得出了答案。
等小熊满头大汗地算出来时，小白兔已欣赏了一阵比赛，结果每次小熊算得结果和小白兔是一样的。
小熊不禁问：“白兔弟弟，你这么快就算出了答案，有什么决窍吗？”小白兔说：“比如2号选手是93、95、98、96、88、89、87、91、93、91，去掉最高分98，去掉最低分87，剩下的都接近90为基准数，超过90的表示成90+‘零头数’，不足90的表示成90－‘零头数’。
于是（93+95+96+88+89+91+93+91）÷8=90+（3+5+6―2―1+1+3+1）÷8=90+2=92。
精品文档第一讲简单推理例1：一包巧克力的重量等于两袋饼干的重量，4袋牛肉干的重量等于一包巧克力的重量，一袋饼干等于几袋牛肉干的重量？1、一只菠萝的重量等于4根香蕉的重量，两只梨子的重量等于一只菠萝的重量，一只梨的重量等于几根香蕉的重量？2、3包巧克力的重量等于两袋糖的重量，12袋牛肉干的重量等于3包巧克力的重量，一袋糖的重量等于几袋牛肉干的重量？3、一只小猪的重量等于6只鸡的重量，3只鸡的重量等于4只鸭的重量，一只小猪的重量等于几只鸭的重量？例2：一头象的重量等于4头牛的重量，一头牛的重量等于3匹小马的重量，一匹小马的重量等于3头小猪的重量，一头象的重量等于几头小猪的重量？1、一只西瓜的重量等于两个菠萝的重量，一个菠萝的重量等于4个苹果的重量，1个苹果的重量等于两个橘子的重量，一只西瓜的重量等于几个橘子的重量？.2、一头牛一天吃草的重量和一只兔子9天吃草的重量相等，也和6只羊一天吃草的重量相等。
一头牛每天吃青草18千克，一只兔子和一只羊一天一共吃青草多少千克？3、一只小猪的重量等于6只鸡的重量，3只鸡的重量等于4只鸭的重量，两只鸭的重量等于6条鱼的重量，问两只小猪的重量等于几条鱼的重量？例3：根据下面两个算式，求○和□各代表多少？○＋○＋○=18○＋□=101、根据下面两个算式，求○和□各代表多少？○＋○＋○＋○=32□－○=202、根据下面两个算式，求○和□各代表多少？○＋○＋○=15○＋○＋□＋□＋□=403、根据下面两个算式，求○和□各代表多少？□－○=8○＋○＋○=□.例4：根据下面两个算式，求○和□各代表多少？△－○=2○＋○＋△＋△＋△=561、根据下面两个算式，求○和□各代表多少？□－○=8○＋○＋□＋□=202、根据下面两个算式，求○和□各代表多少？△＋△＋△＋○＋○=78△＋△＋○＋○＋○=723、根据下面两个算式，求○和□各代表多少？△＋△＋△－□－□=12□＋□＋□－△－△=2.精品文档第二讲应用题例1：某玩具厂把630件玩具分别装在5个塑料箱和6个纸箱里，1个塑料箱与3个纸箱装的玩具同样多，每个塑料箱和纸箱各装多少件玩具？1、百货商店运来 300双球鞋分别装在两个木箱和6个纸箱里。
第九讲 操作类问题一、总述操作类问题常与生活中的一些场景结合，但最后都转化为对图形的操作或对数字的操作。
解决这类问题的最重要的思想就是“找本质、找规律”。
找规律时我们往往从简单的入手，慢慢过渡到复杂的。
找规律的过程中，千万别忽视了题目中的隐含条件及不变量。
二、倒推法思想例1 有6个杯子放成一排，前三个杯子中盛了一些水，而后三个杯子是空的，要使得盛水的杯子和空杯子相互交叉排成一排，（1）最少要移动几个杯子？（2）最少要动几个杯子？解析：对于奥数的题，有时候我们不得不“咬文嚼字”一番，呵呵。
“移动”和“动”有什么区别呢？同学们自己想想。
然后从结果出发考虑，要使盛水的与空杯子交叉，那么2号杯子与5号杯子的位置就不对。
那么方法就出来啦——（1）2号与5号交换（2）将2号杯子的水倒入5号杯子（提高）学案1 下图中有3行棋子，请你移动3次，使每行均为8粒。
要求棋子移入某一行的数，要与该行原有的棋子数相同。
你能做到吗？A ○○○○○○○○○○○B ○○○○○○○C ○○○○○○解析：要求棋子移入某一行的数，要与该行原有的棋子数相同，那么最后一定有一行是4个棋子，这样别人给它4个才能得到8个。
再看ABC三行，A移走7个就剩下4个，7个给谁呢？只能给B。
逐次操作下去，就得到答案啦。
具体步骤：（1）A移7个给B；（2）B移6个给C；（3）C移4个给A。
三、剪绳子本质：找线头，2个线头对应1根绳子铺：将一根绳系成一个圈，然后对折，对折，再从对折后的中间处剪开，这根线绳被剪成了多少段？解析：一个圈是2层，对折，再对折，现在的层数是：2×2×2=8（层）剪1刀，每层都有2个线头，对应1段绳子。
那么8层对应就是8段例2 把一根线绳对折，对折，然后从对折后的中间处剪开，这个线绳被剪成了多少段？解析：现在的层数：1×2×2=4（层）剪1刀，每层都被剪出2个线头，对应1段绳子，所以有几层就被“剪”出了几段，但线绳本身还有2个线头，还对应1段绳子，所以最后的段数就是层数+1，即4+1=5（段）。
第十讲数字谜、数阵、数表教学目标数字谜问题被称作思维锻炼的体操，这一部分问题可以很好的培养学生的观察力、判断及推理能力。
数字谜也是一类非常有趣的数学问题，在小学数学竞赛中经常出现。
和数字谜问题类似的，数阵、数表问题由于其本身的数学美感，受出题者青睐，解这类问题必须认真审题，根据题目的特点，找出突破口，从而逐步简化题目直至问题完全解决。
1．回顾常用的数字谜的解题技巧。
2．精讲经典数字谜、及数阵数表。
经典精讲数字谜（一）解题的突破口多在于竖式或横式中的特殊之处，例如首位、个位以及位数的差异。
（二）要根据不同的情况逐步缩小范围，并进行恰当的估算。
（三）当题目中涉及多个字母或汉字时，要注意利用不同符号代表不同数字这一条件来排除若干可能性。
（四）注意结合进位及退位来考虑。
（五）有时可运用到数论中的分解质因数等方法。
【例1】在右边的算式中，相同的符号代表相同的数字，不同的符号代表不同的数字，根据这个算式，可以推算出：△□□〇+〇□□△□□☆☆那么：口+○+△+☆=_________。
【分析】比较竖式中百位与十位的加法，十位上“□+□”肯定进位，（否则由百位可知□＝0），且有“□+□＋1＝10+□”，从而□=9，☆=8。
再由个位加法，推知○+△=8．从而口+○+△+☆=9+8+8=25。
【拓展】（2008年迎春杯初赛）在右边的竖式中，相同字母代表相同数字，不同字母代表不同数字，则四位数tavs=______。
s t v a+v t s tt t v t t【分析】首先可以判断1s=-=，又因为t=，所以11=++=，可解得1138v t ts v+=，13+=所以0a t ttavs=。
a=，1038【例2】电子数字0~9如图所示，右图是由电子数字组成的乘法算式，但有一些模糊不清，请将右图的电子数字恢复，并将它写成横式形式：。
【分析】⑴显然乘积的百位只能是2，⑵被乘数的十位和乘数只能是0、2、6、8，才有可能形如，0首先排除⑶如果被乘数十位是6或8，那么乘数无论是2、6或8，都不可能乘出百位是2的三位数。
小学奥数基础教程（四年级）（1990-2016）湖南和君教育发展有限公司二零一七年一月目录第1讲速算与巧算（一）第2讲速算与巧算（二）第3讲高斯求和第4讲 4，8，9整除的数的特征第5讲弃九法第6讲数的整除性（二）第7讲找规律（一）第8讲找规律（二）第9讲数字谜（一）第10讲数字谜（二）第11讲归一问题与归总问题第12讲年龄问题第13讲鸡兔同笼问题与假设法第14讲盈亏问题与比较法（一）第15讲盈亏问题与比较法（二）第16讲数阵图（一）第17讲数阵图（二）第18讲数阵图（三）第19将乘法原理第20讲加法原理（一）第21讲加法原理（二）第22讲还原问题（一）第23讲还原问题（二）第24讲页码问题第25讲智取火柴第26讲逻辑问题（一）第27讲逻辑问题（二）第28讲最不利原则第29讲抽屉原理（一）第30讲抽屉原理（二）第1讲速算与巧算（一）计算是数学的基础，小学生要学好数学，必须具有过硬的计算本领。
准确、快速的计算能力既是一种技巧，也是一种思维训练，既能提高计算效率、节省计算时间，更可以锻炼记忆力，提高分析、判断能力，促进思维和智力的发展。
我们在三年级已经讲过一些四则运算的速算与巧算的方法，本讲和下一讲主要介绍加法的基准数法和乘法的补同与同补速算法。
例1 四年级一班第一小组有10名同学，某次数学测验的成绩（分数）如下：86，78，77，83，91，74，92，69，84，75。
求这10名同学的总分。
分析与解：通常的做法是将这10个数直接相加，但这些数杂乱无章，直接相加既繁且易错。
观察这些数不难发现，这些数虽然大小不等，但相差不大。
我们可以选择一个适当的数作“基准”，比如以“80”作基准，这10个数与80的差如下：6，-2，-3，3，11，-6，12，-11，4，-5，其中“-”号表示这个数比80小。
于是得到总和=80×10＋（6-2-3＋3＋11-＝800＋9＝809。
实际计算时只需口算，将这些数与80的差逐一累加。
2019-2020年三年级数学奥数讲座枚举法1. 如图9-1，有8张卡片，上面分别写着自然数1至8。
从中取出3张，要使这3张卡片上的数字之和为9。
问有多少种不同的取法？解答：三数之和是9，不考虑顺序。
1+2+6=9，1+3+5=9，2+3+4=9答：有3种不同的取法。
2. 从1至8这8个自然数中，每次取出两个不同的数相加，要使它们的和大于10，共有多少种不同的取法？解答：两数之和大于10，不考虑顺序。
8+7，8+6，8+5，8+4，8+3 7+6，7+5，7+4 6+5答：共有9种不同的取法。
3. 现在1分、2分和5分的硬币各4枚，用其中的一些硬币支付2角3分钱，一共有多少种不同的支付方法？解答：2角3分=23分5×4+2×1+1×1=23，5×4+1×3=23，5×3+2×4=23，5×3+2×3+1×2=23，5×3+2×2+1×4=23答：一共有5种不同的支付方法。
4. 妈妈买来7个鸡蛋，每天至少吃2个，吃完为止，有多少种不同的吃法？需要考虑吃的顺序不同。
7，5+2，4+3，3+4，3+2+2，2+5，2+3+2，2+2+3答：有8种不同的吃法。
5.有3个工厂共订300份《吉林日报》，每个工厂最少订99份，最多101份。
问一共有多少种不同的订法？解答：3个工厂各不相同，3数之和是300份，要考虑顺序。
99+100+101，99+101+100，100+99+101，100+100+100，100+101+99，101+99+100，101+100+99答：一共有7种不同的订法。
6. 在所有的四位数中，各个数位上的数字之和等于34的数有多少个？解答：4个数字之和是34，只有9+9+9+7=34，9+9+8+8=34，不同的数字放在不同位是组成的四位数不同，考虑顺序。
第九讲排列组合1. 加强对排列组合知识的理解；2. 掌握排列组合问题的解题思路。
在实际生活中常遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法。
这就是排列问题。
在排列的过程中，不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物之间的先后顺序有关。
一般地，从n 个不同的元素中任取出m 个（m n ≤）元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。
由排列的定义可以看出，两个排列相同，不仅要求这两个排列中的元素完全相同，而且各元素的先后顺序也一样。
如果两个排列的元素不完全相同，或者各元素的排列顺序不完全一样，则就是两个不同的排列。
从n 个不同元素中取出m 个（m n ≤）元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，我们把它记做m n P （m n ≤），(1)(2)(1)m n P n n n n m =---+。
当m n =时就有!(1)1n n P n n n ==⨯-⨯⨯，这称为n 个不同元素的全排列。
【例1】 （2007年台湾第十一届小学数学世界邀请赛）将A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 七位教学目标经典精讲 排列讲解此部分例题之前，请根据本班情况，将排列公式的计算练习一下！计算：⑴321414P P -； ⑵53633P P -分析：⑴32141414131214132002P P -=⨯⨯-⨯=；⑵536333(65432)3212154P P -=⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=。
同学在操场排成一列，其中学生B 与C 必须相邻。
请问共有多少种不同的排列方法？【分析】 （法1）七人排成一列，其中B 要与C 相邻，分两种情况进行考虑。
若B 站在两端，B 有两种选择，C 只有一种选择，另五人的排列共有55P 种，所以这种情况有5521240P ⨯⨯=种不同的站法。
若B 站在中间，B 有五种选择，B 无论在中间何处，C 都有两种选择。
另五人的排列共有55P 种，所以这种情况共有55521200P ⨯⨯=种不同的站法。
操作类问题与计数类问题由于其灵活性和本身的趣味性，非常受出题和供题者青睐，如今各类数学竞赛的出题越来越趋向于新奇和趣味化，因此操作类问题和计数问题在竞赛中的比重将会加大。
鉴于操作类问题和计数问题没有一般性的算法或解题通式，本讲将以近年来各类竞赛以及小升初考试中的出现过的真题为例，引导学生发现关键并解决问题。
1. 常见操作类问题2. 计数技巧与操作【例1】 （2006年《小学生数学报》读报竞赛）把一张正方形的餐巾纸先上下对折，再左右对折（如右图），然后用剪刀将所得的小正方形沿直线剪一刀。
问能把餐巾纸： ⑴剪成2块吗？ ⑵剪成3块吗？ ⑶剪成4块吗？ ⑷剪成5块吗？如果你认为能剪成，请在下面图中各画出一种你的剪法；如果你认为不能，那么只需回答“不行”即可。
【分析】⑴剪开成两块，如下图：⑵剪开成3块，如下图：操作与计数技巧第九讲⑶剪开成4块，如下图：⑷剪开成5块，如下图：【巩固】（2008年华杯赛）将等边三角形纸片按图所示的步骤折迭3次(图中的虚线是三边中点的连线)，然后沿两边中点的连线剪去一角。
将剩下的纸片展开、铺平，得到的图形是( )．【分析】折迭3次，纸片的厚度为4，所以剪去的面积即应等于4倍小三角形的面积，所以答案是A。
【例2】A、B、C、D四个盒子中依次放有6，4，5，3个球。
第1个小朋友找到放球最少的盒子，从其他盒子中各取一个球放入这个盒子；然后第2个小朋友找到放球最少的盒子，从其他盒子中合取一个球放入这个盒子；如此进行下去，……。
求当34位小朋友放完后，B盒子中放有球多少个？【分析】盒子A B C D初始状态 6 4 5 3第1人放过后 5 3 4 6第2人放过后 4 6 3 5第3人放过后 3 5 6 4第4人放过后 6 4 5 3第5人放过后 5 3 4 6由此可知：每经过4人，四个盒子中球的情况重复出现一次，因为34482÷= ，所以第34次后的情况与第2次后的情况相同，即B盒子中有球6个。
【例3】（2006年十一届“华罗庚金杯”数学邀请赛）有5个黑色和白色棋子围成一圈，规定：将同色且相邻的两个棋子之间放入一个白色棋子，在异色且相邻的两个棋子之间放入一个黑色棋子，然后将原来的5个棋子拿掉。
如果第一幅图的初始状态开始依照上述规定操作下去，对于圆圈上呈现5个棋子的情况，圆圈上黑子最多能有______个。
【分析】首先圆圈上是不可能有5个黑子的，因为如果最后一步操作能使圆圈上的棋子都变成黑子，那么该操作之前，圆圈上的棋子颜色情况是黑白相邻，但圆圈上一共有奇数个棋子，无法达成黑白相邻的情况，所以黑子最多有4个。
实际操作得到：【拓展】经过2008次操作后，圆圈上的棋子颜色情况是怎样的？【分析】如图进行操作，当第7此操作时，圆圈上的棋子颜色情况与第一次操作后的相同。
所以第2008次操作时圆圈上的棋子颜色与第4次操作后的圆圈情况相同。
【例4】50位同学围成一圈，从某同学开始顺时针报数．第一位同学报1，跳过一人第三位同学报2，跳过两人第六位同学报3，……这样下去，报到2008为止．报2008的同学第一次报的是_______。
【分析】将这些学生按报数方向依次编号；1、2、3、……49、50、51……2008，每一个人的编号不唯一，例如编号为2001、1951……101、51的和编号为1的为同一个人，这样第n次报数的人的编号为()12n n+,报2008的同学的编号为2017036，他的最小编号为36，我们知道3612345678=+++++++，所以报2008的同学第一次报8。
【例5】（2008年“数学解题能力展示”读者评选活动）在纸上写着一列自然数l，2，…，98，99。
一次操作是指将这列数中最前面的三个数划去，然后把这三个数的和写在数列的最后面。
例如第一次操作后得到4，5，…，98，99，6；而第二次操作后得到7，8，…，98，99，6，15。
这样不断进行下去，最后将只剩下一个数，最初的99个数连同后面写下的数。
纸上出现的所有数的总和是。
【分析】每一次操作都少了3个数，所以只剩下一个数的话，要经过49步操作，即后面要写49个数，注意到每一次操作后数和不变。
前33步操作将99个数3个3个加和放在后边，和等于123994950++++=，接着11步操作将写的33个数3个3个加和在后边,和等于123994950++++=，这11个数分别是12945+++=，101118126+++=，之后还有5个数，第一个数是45126207378++=。
最后一个数12994950，=+++=而之间三个数的和等于最后一个数即4950，所以这些数的总和等于4950495049503784950495025128+++++=。
【前铺】将前100个正整数顺次写下得到多位数12345699100，从首位起将这些数位从1开始编号，然后划去编号是奇数的数位上的数字，这样便形成一个位数较少的多位数，重复上述这种划去数字操作，直至得到一个三位数，则这个三位是______。
【分析】第一次操作后，剩下的全都是偶数位的数字第二次操作后，剩下的全是4的倍数位上的数字；……………直到第六次操作后，剩下的全是64的倍数位上的数字，原多位数一共有92903192+⨯+=位，所以此时剩下的是第64位、128位和192位上的数字。
÷= ，÷= ，所以第64位上的是“37”的“3”；128919-=,1192591 64955-=,552271所以第128位上的是“69”的“6”，所以剩下的三位数是360。
【例6】有一叠300张卡片，从上到下依次编号为1~300，从最上面的一张开始按如下的顺序进行操作：把最上面的第一张卡片拿掉，把下一张卡片放在这一叠卡片的最下面；再把最上面的依次重复这样做，直到手中剩下一张卡片。
那么剩下的这张卡片是原来300张卡片的第几张？【分析】88张。
当有8=（张）卡片时，第一轮过后剩下的是2的倍数号卡片，第二轮过后剩下的是22 2562的倍数号卡片……第8轮过后，剩下的是82的倍数号卡片，即就剩下1张卡片，是第256号卡片。
现在有300张卡片，如果拿掉30025644-=（张）卡片，剩下256张卡片，那么就变为上述的情况了。
拿掉的第44张卡片是编号为442187⨯-=（号）的卡片，此时剩下256张卡片，下一个要拿掉的是第89号卡片，第88号是最后一张。
所以，剩下的这张卡片是原来的第88张。
【点评】关键是从模型2n中找到规律，这种规律的前提是2n个数，这就要考量怎么转换条件的问题。
【拓展】（奥数网小学员论文）猫捉耗子是一个有名的游戏，一只猫让N个老鼠围成一圈报数，每次吃掉报单数的老鼠，有一只老鼠总不被吃掉，问这个老鼠站在哪个位置？数学中称这类问题为猫捉耗子问题。
对这类问题通常的做法是从特殊情况出发，逐步发现规律，然后给出求解公式。
老师在课堂上介绍了公式以及推导过程，但我认为推导过程较为复杂，不好理解。
根据反复试验和观察，本文给出了一种容易理解的求解这类问题的方法。
方法和例子这里列举这类问题的两种情形。
对于每种情形都首先考虑特殊情况，然后从中发现规律。
这两种情形都是基于如下前提：从1到N编号的N个老鼠顺时针围成一圈，从1开始报数。
并规定游戏一开始的第一个生存者是1号老鼠。
设老鼠的总个数为N，最后幸存的老鼠编号为X。
情形1：1号老鼠生存下来，2号老鼠被猫吃掉；3号老鼠生存下来，4号老鼠被猫吃掉.....就这样，这只猫每隔一只老鼠，就吃掉另一只老鼠，那么最后唯一幸存的那只老鼠是几号呢？先考虑简单的情况。
当有两只老鼠围成一圈时，猫吃掉了2号，1号为最后的幸存者；当有三只老鼠围成一圈时，猫先吃掉了2号，然后是1号，最后的幸存者是3号.....，依次类推，可发现如下规律：对于这种情况，每次猫都是从两只老鼠中吃掉一只老鼠，可认为2只为一个周期，用m ＝2表示；用n 表示每个周期内吃掉的老鼠数目，这里是n=1。
情形2：1号老鼠生存下来，2号、3号老鼠被猫吃掉；4号老鼠生存下来，5号、6号老鼠被猫吃掉.....就这样，这只猫每隔一只老鼠，就吃掉另两只老鼠，依次下去，最后唯一幸存的那只老鼠是几号呢？ 先考虑简单的情况。
当有三只老鼠围成一圈时，猫吃掉了2号和3号，1号为最后的幸存者；当五只老鼠围成一圈时，猫先吃掉了2号和3号，然后是5号和1号，最后的幸存者是4号.....，依次类推，可发现如下规律：对于这种情况，每次猫都是从三只老鼠中吃掉两只，可认为3只为一个周期，即m ＝3；每3只中吃掉两只，因此，2n =。
结论通过对上述两种情形的运算结果的观察，发现N 的所有可能的取值按照一定的顺序排列后，构成了一个等差数列A 。
该数列的首项1a m =，公差d n =（m 和n 都是正整数）。
而与N 对应的X 的取值则构成了若干个等差数列1B ，2B ， ，K B 。
这些等差数列的公差都为m ，首项都为1。
还发现，构成的这些等差数列有这样一个规律：每逢N 的值为mk 时（m 和k 都是正整数），对应X 的取值就是1。
也就是说，当N 的取值范围从k m 到1k m n +- 之间时，对应的X 的取值就构成了一个d m =，11a =的等差数列，项数就是从k N m =到1k N m n +=-之间数的个数（包括k m 和1k m n +-这两个数）。
那么现在来看看一般情形：如果猫要从m 个老鼠中吃掉n 个老鼠，那么最后幸存的老鼠是几号呢？由上面的结论，可以得出这样的求解步骤：1、 首先找到小于N 的一个最大的数k m （k 是正整数，并假设k N m ≠）；2、 这样就构成一个首项1a k m =，末项n a N =，公差d n =的等差数列A ，利用公式求出项数b ; （即，()1k b N m n =+-÷ ）3、 因为X 的每个取值也构成了一个与A 对应的等差数列K B ，其中，公差为m ，首项为1，项数为b 。
利用等差数列求末项公式，求出末项n a ； （即，()11n a b m =+-⨯）4、 n a 就是与N 对应的X 的值，也就是最后唯一幸存老鼠的编号。
【例7】 （2008年“数学解题能力展示”读者评选活动）国际象棋中“马”的走法如图1所示，位于○位置的“马”只能走到标有×的格中，类似于中国象棋中的“马走日”。
如果“马”在88⨯的国际象棋棋盘中位于第一行第二列（图2中标有△的位置），要走到第八行第五列（图2中标有★的位置），最短路线有 条。
【分析】通过标数法可以得到最短的路线有12种。
【例8】 方格纸上有一只小虫，从直线AB 上的一点O 出发，沿方格纸上的横线或竖线爬行。
方格纸上每小段的长为1厘米．小虫爬过若干小段后仍然在直线AB 上，但不一定回到O 点．如果小虫一共爬过2厘米，那么小虫的爬行路线有____种；如果小虫一共爬过3厘米，那么小虫爬行的路线有___种．【分析】为了方便，下面叙述省去“上、下、左、右”4个字前面的“向”． ⑴小虫爬过2厘米，可有以下6种路线，分别是： 左，右；右，左；上，下；下，上；左，左；右，右．(以上前4种路线均回到O 点)⑵小虫爬过3厘米，可有20种路线，分别是： 上，左，下；上，右，下； 下，左，上；下，右，上； 上，下，左；上，下，右； 下，上，左；下，上，右。
