2023高考物理专题冲刺训练--机械振动(一)--简谐运动的特征、表达式、图像的理解与应用

1机械振动点点清专题 3 简谐运动的公式和图像1.简谐运动的公式和图像（1）表达式①动力学表达式：F ＝－kx ，其中“－”表示回复力与位移的方向相反.②运动学表达式：x ＝A sin(ωt ＋φ0)，A 表示简谐运动的振幅，ω是一个与周期成反比、与 频率成正比的量，叫做简谐运动的“圆频率”，表示简谐运动的快慢，ω＝2π＝2πf 。

φT叫做初相，ωt ＋φ0代表简谐运动的相位。

（2）图象①从平衡位置开始计时，函数表达式为 x ＝A sin ωt ，图象如图 1 甲所示.②从最大位移处开始计时，函数表达式为 x ＝A cos ωt ，图象如图乙所示.2.简谐运动图象中可获取的信息：(1)简谐运动的图像不是振动质点的轨迹,它表示的是振动质点的位移随时间变化的规律随 时间的增加而延伸。

(2)某时刻质点的位移，振幅 A 、周期 T (或频率 f )和初相位φ0(如图 5 所示).图 5 中 t1、t2 时刻的位移分别为 x1＝7 cm ，x2＝－5 cm.图 5 中的振幅 A ＝10 cm.周期 T ＝0.2 s ，频率 f ＝1/T ＝5 Hz ，OD 、AE 、BF 的间隔都等于振动周期．图 5(3)确定质点的回复力和加速度的方向,比较它们的大小：回复力总是指向平衡位置，回复力和加速度的方向相同，在图象上总是指向 t 轴.图中 t1 时刻回复力 F1、加速度 a1 为负，t2 时刻回复力 F2、加速度 a2 为正，又因为|x1|>|x2|，所以|F1|>|F2|.|a1|>|a2|.(4)确定某时刻质点的振动方向，比较不同时刻质点的速度大小：曲线上各点切线的斜率的大小和正负分别表示各时刻质点的速度的大小和速度的方向，速度的方向也可根据下一时刻质点的位移的变化来确定.若下一时刻位移增加,振动质点的速度方向就是背离平衡位置;若下一时刻位移减小,振动质点的速度方向就是指向平衡位置。

图中的 t1、t3 时刻，质点向正方向运动；t2 时刻，质点向负方向运动．(5)某段时间内质点的位移、回复力、加速度、速度、动能和势能的大小变化情况.F＝kx――→F＝ma――→质点的位移越大，它所具有的势能越大，动能则越小，速度越小3.简谐运动的对称性：(图 6)(1)相隔Δt＝(n＋1)T(n＝0,1,2，…)的两个时刻，弹簧振子的位置关于平衡位置对称，位2移、速度、回复力、加速度等大反向，动能、势能大小相等。

简谐运动(1)1．弹簧振子以O点为平衡位置，在水平方向上的A、B两点间做简谐运动，以下说法正确的是( ) A．振子在A、B两点时的速度和加速度均为零B．振子在通过O点时速度的方向将发生改变C．振子的加速度方向总跟速度方向相反D．振子离开O点运动总是减速运动，靠近O点的运动总是加速运动2．做简谐运动的物体，当相对于平衡位置的位移为负值时( )A．速度一定为正值B．速度一定为负值C．速度不一定为正值D．速度不一定为负值3．两列振幅均为A的水波发生干涉，P是干涉区域中的一个介质点。

某时刻质点P的位移大小恰为A，下列关于质点P的说法中正确的是（）A．振幅一定为A B.振幅一定为2AC．位移一定会在某些时刻大于A D.位移一定会在某些时刻为零4．若物体做简谐运动，则下列说法中正确的是（）A．物体每次通过同一位置时其速度相同B．物体通过平衡位置时所受合外力一定为零C．物体的位移增大时，动能减少，势能增加D．若简谐运动的振幅减小，则振动的频率增大5．做简谐运动的物体，当物体的位移为负值时，下面说法正确的是（）A．速度一定为正值，加速度一定为负值B．速度一定为负值，加速度一定为正值C．速度不一定为正值，加速度一定为正值D．速度不一定为负值，加速度一定为正值6．物体在周期性驱动力作用下做受迫振动，固有频率为f1，驱动力的频率为f2，物体做受迫振动的频率为f，则( )A．f = f1 B．f = f2C．f＞f1D．f＜f27．一个质点做简谐运动，当它每次经过同一位置时，一定相同的物理量是（）A．速度B．加速度C．回复力D．动能8．下列有关简谐运动的说法，正确的是（）A．简谐运动在振动过程中，其位移总是与运动方向相反B．凡是周期性振动都是简谐运动，且简谐运动一定是等幅振动C．简谐运动的能量与振幅有关，振幅越大，振动的能量越大D．简谐运动的周期与偏离平衡位置的最大距离有关，距离越大，周期越长9．做简谐运动的质点通过平衡位置时，下述几种物理量具有最大值的是（）①加速度②速度③位移④动能．A．①②B．②③C．①④D．②④10．下列说法中正确的是（）A．弹簧振子的运动是简谐运动B．简谐运动就是指弹簧振子的运动C．简谐运动是匀变速运动D．简谐运动是机械运动中最简单、最基本的一种参考答案：1．答案： D解析：2．答案： CD解析：振动的质点经过某一位置时，速度的方向可能为正，可能为负，也可能为零，因此C、D正确．3．答案： D4．答案： C解析：物体每次通过同一位置时其速度大小相同，但是方向不同，故A错误物体通过平衡位置时所受回复力一定为零，但是合外力不一定为零，例如单摆，当回到平衡位置时，具有向上的加速度，故B错误做简谐运动的物体机械能守恒，故物体的位移增大时，动能减少，势能增加，故C正确若简谐运动的振幅减小，只是振动能量减小，但是不影响振动的频率，故振动频率不变，故D错误故选C5．答案： CD6．答案： B解析：试题分析：物体做受迫振动的频率等于驱动力的频率，则受迫振动的频率为f=f2，B正确考点：考查对受迫振动的理解点评：难度较小,明确驱动力的频率决定受迫振动的频率,当驱动力的频率与受迫振动的频率相等时发生共振现象,振幅最大7．答案： BCD解析： A、每次经过同一位置时，速度有正负两个不同的方向，故速度虽然相等，但方向不一定相同，故A错误；B．每次经过同一位置时，受到的力是相同的，故根据牛顿第二定律，其加速度也是相同的，故B正确；C．每次经过同一位置时，位移相同，根据F=-kx，回复力也相同，故C正确；D．每次经过同一位置时，速度大小相等，故动能相同，故D正确8．答案： C解析： A、位移是相对平衡位置的，即背离平衡位置；物体的运动方向指向平衡位置时，速度跟位移方向相反；背向平衡位置时，速度跟位移方向相同；故A错误；B．简谐运动中的回复力F=-Kx，只有满足此条件才能证明是简谐运动，故B错误；C．简谐运动的能量与振幅有关，振幅越大，振动的能量越大；故C正确；D．简谐运动的周期与偏离平衡位置的最大距离无关，故D错误；9．答案： D解析：①做简谐运动的质点通过平衡位置时，回复力为零，故加速度为零，最小；②做简谐运动的质点通过平衡位置时，速度最大；③做简谐运动的质点通过平衡位置时，相对平衡位置的位移为零，最小；④做简谐运动的质点通过平衡位置时，速度最大，故动能最大；10．答案： A解析：弹簧振子的运动是简谐运动，但简谐运动并不都是弹簧振子的运动，A正确，B错误；简谐运动是机械振动中最简单最基本的一种，其振动的加速度时刻变化，故C、D均错误。

2023届高三物理一轮复习重点热点难点专题特训专题42 机械振动特训目标特训内容 目标1简谐运动的基本规律（1T —4T ） 目标2简谐运动的图像（5T —8T ） 目标3单摆模型（9T —12T ） 目标4 受迫振动和共振（13T —16T ）【特训典例】一、简谐运动的基本规律1．如图所示，两根完全相同的弹簧和一根张紧的细线将甲、乙两物块束缚在光滑水平面上，已知甲的质量是乙的质量的2倍，弹簧振子做简谐运动的周期2m T kπ=，式中m 为振子的质量，k 为弹簧的劲度系数。

当细线突然断开后，两物块都开始做简谐运动，在运动过程中（ ）A ．甲的振幅大于乙的振幅B ．甲的振幅小于乙的振幅C ．乙的最大速度是甲的最大速度的2倍D ．甲的振动周期是乙的振动周期的2倍【答案】C【详解】AB ．细线断开前，两根弹簧伸长的长度相同，离开平衡位置的最大距离相同，即两物块的振幅一定相同，故AB 错误；C ．细线断开的瞬间，两根弹簧的弹性势能相同，到达平衡位置时，甲、乙的动能最大且相同，由于甲的质量是乙的质量的2倍，根据2k 12E mv =可知，乙的最大速度一定是甲的最大速度的2倍，故C 正确；D ．根据2m T kπ=可知，甲的振动周期是乙的振动周期的2倍，故D 错误。

故选C 。

2．如图所示，劲度系数为k 的轻弹簧下端悬挂一质量为M 的圆盘，圆盘处于静止状态。

现将质量为m 的粘性小球自离圆盘h 高处静止释放，与盘发生完全非弹性碰撞，不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）A ．圆盘将以碰后瞬时位置作为平衡位置做简谐运动B ．圆盘做简谐运动的振幅为mg kC ．振动过程中圆盘的最大速度为2m gh M m+ D ．碰后向下运动过程中，小球和圆盘的重力势能与弹簧的弹性势能总和先减小后增大【答案】D【详解】A ．以小球和圆盘组成的系统为研究对象，系统做简谐运动，平衡位置处合外力应为零，而碰后瞬间，系统合外力不为零，A 错误；B ．上述分析可知，开始的位置不是最大位移处，开始时0Mg kx =球粘在盘子上一起静止的位置满足2()m M g kx +=所以从开始碰撞到平衡位置距离为mg x k ∆=故振幅应大于mg k，B 错误；C ．小球自h 处静止释放，与盘发生完全非弹性碰撞，由动量守恒1()mv m M v =+由匀变速直线运动，速度位移关系22v gh =联立解得12m gh v M m =+两者碰撞瞬间由牛顿第二定律0()m M g kx ma +-=即碰后两者做加速度减小的加速运动，当=0a 时，速度最大，之后做减速运动到最低点，故振动过程中，圆盘的速度应大于2m gh M m+，C 错误； D ．设小球和圆盘所具有的的总能量为E ，则由能量守恒可知p k p E E E E =++重弹因为系统速度读先增大后减小，故小球的动能先增大后减小，所以小球和圆盘的重力势能与弹簧的弹性势能总和先减小后增大。

考点2 简谐运动的公式和图像(实力考点·深度研析)1．简谐运动公式的应用简谐运动的位移随时间变更的公式x ＝A sin(ωt ＋φ)，应用时留意：(1)A 是振幅，是质点离开平衡位置的最大距离。

(2)φ是初相，由初始位置确定①从平衡位置起先计时，φ＝0，函数表达式为x ＝A sin ωt 。

②从最大位移处起先计时，φ＝π2，函数表达式为x ＝A cos ωt 。

2．图像特征(1)简谐运动的图像是一条正弦或余弦曲线，是正弦曲线还是余弦曲线取决于质点初始时刻的位置。

(2)图像反映的是位移随时间的变更规律，随时间的增加而延长，图像不代表质点运动的轨迹。

3．图像信息(1)确定振动质点在任一时刻的位移：图中t 1、t 2时刻的位移分别为x 1＝7 cm ，x 2＝－5 cm 。

(2)确定振动的振幅、周期和频率：图中的振幅A ＝10 cm 。

周期T ＝0.2 s ，频率f ＝1T＝5 Hz ，OD 、AE 、BF 的间隔都等于振动周期。

(3)确定质点的振动方向：图中的t 1、t 3时刻，质点向正方向运动；t 2时刻，质点向负方向运动。

(4)确定质点加速度的大小和方向：由于回复力总是指向平衡位置，所以加速度在图像上总是指向t 轴，图中t 1时刻加速度a 1为负，t 2时刻加速度a 2为正，又因为|x 1|>|x 2|，所以|a 1|>|a 2|。

►考向1 简谐运动公式的应用[解析] MN 间距离为2A ＝10 cm ，故A 错误；因ω＝10π rad/s，可知小球的运动周期是T ＝2πω＝2π10π s ＝0.2 s ，故B 正确；由x ＝5 sin ⎝⎛⎭⎪⎫10πt ＋π2cm 可知，t ＝0时，x 1＝5 cm ，即小球位于N 点，故C 正确；由x ＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫10πt ＋π2cm 可知，t ＝0.05 s 时，x 2＝0，此时小球位于O 点，小球加速度为零，故D 错误。

考点2 简谐运动图像的理解和应用1.简谐运动的公式和图像（1）表达式动力学表达式F＝－kx，其中“－”表示回复力与位移的方向相反运动学表达式x＝A sin（ωt＋φ0），其中A代表振幅，ω＝2πf代表简谐运动振动的快慢，ωt＋φ0代表简谐运动的相位，φ0叫作[24]初相（2）振动图像①从[25]平衡位置起先计时，把起先运动的方向规定为正方向，振动表达式为x＝A sinωt，图像如图甲所示.②从[26]最大位移处起先计时，振动表达式为x＝A cosωt，图像如图乙所示.2.依据简谐运动图像可获得的信息（1）振动的振幅A和周期T.（如图所示）（2）振动质点在某一时刻的位移.（3）判定某时刻质点的振动方向：①若下一时刻位移大小增大，质点的振动方向是远离平衡位置；②若下一时刻位移大小减小，质点的振动方向是指向平衡位置.（4）判定某时刻质点的加速度（回复力）的方向.（5）比较不同时刻质点的势能和动能的大小.质点的位移越大，它所具有的势能越大，动能则越小.3.利用简谐运动图像理解简谐运动的对称性（1）相隔Δt ＝（n ＋12）T （n ＝0，1，2，…）的两个时刻，弹簧振子的位置关于平衡位置对称（除平衡位置），位移等大反向，速度也等大反向.（2）相隔Δt ＝nT （n ＝0，1，2，…）的两个时刻，弹簧振子在同一位置，位移和速度都相同.下图为某质点做简谐运动的振动图像.由图可以看出，该质点做简谐运动的振幅A ＝ 10cm ，周期T ＝ 4s ，则角速度ω＝ 0.5πrad/s ，故该质点做简谐运动的位移随时间变更的关系式为 x ＝10sin （0.5πt ）cm ，该质点第一次振动到＋5cm 处须要的时间为 13s .研透高考 明确方向3.[对简谐运动表达式的应用/2024湖南郴州模拟]如图所示，树梢的摇摆可视为周期为12s 、振幅为1.2m 的简谐运动.从某时刻起先计时，36s 后树梢向右偏离平衡位置0.6m.下列说法正确的是（ D ）A.起先计时的时刻树梢恰位于平衡位置B.树梢做简谐运动的“圆频率”约为0.08HzC.树梢在起先计时后的36s 内通过的路程为4.8mD.再经过4s ，树梢可能处于向左偏离平衡位置1.2m 处解析 假如起先计时的时刻树梢恰位于平衡位置，经过36s （即3T ），树梢应位于平衡位置，故A 错误.树梢做简谐运动的“圆频率”约为ω＝2πT ＝π6rad/s ，故B 错误.树梢在起先计时后的36s 内通过的路程为s ＝3×4A ＝14.4m ，故C 错误.36s 后树梢向右偏离平衡位置0.6m ，y ＝1.2sin（π6t ＋φ0）m ，因为t ＝0时，y ＝0.6m ，解得φ0＝π6或5π6.当y ＝1.2sin （π6t ＋5π6）m时，再经过4s ，树梢可能处于向左偏离平衡位置1.2m 处，故D 正确. 4.[简谐运动图像的理解与应用/2024重庆]某同学为了探讨水波的传播特点，在水面上放置波源和浮标，两者的间距为L .t ＝0时刻，波源起先从平衡位置沿y 轴在竖直方向做简谐运动，产生的水波沿水平方向传播（视为简谐波），t 1时刻传到浮标处使浮标起先振动，此时波源刚好位于正向最大位移处，波源和浮标的振动图像分别如图中的实线和虚线所示，则（ A ）A.浮标的振动周期为4t 1B.水波的传播速度大小为L4t1C.32t 1时刻浮标沿y 轴负方向运动D.水波的波长为2L解析5.[两个简谐运动图像的比较分析]如图是质量相等的甲、乙两个物体分别做简谐运动时的图像，下列说法错误的是（ A ）A.甲、乙两物体的振幅分别是2m 和1mB.甲的振动频率比乙的大C.前2s 内，两物体的加速度均为负值D.第2s 末，甲的速度最大，乙的加速度最大解析 由题图知，甲、乙两物体的振幅分别为2cm 和1cm ，A 错误；8s 内甲完成2次全振动，乙完成1次全振动，甲的振动频率比乙的大，B 正确；前2s 内，甲、乙的位移均为正值，所以加速度均为负值，C 正确；第2s 末甲在平衡位置，速度最大，乙在最大位移处，加速度最大，D 正确.命题拓展命题情境不变，设问角度变更题述不变，依据图像推断下列说法的正误（1）甲、乙两物体的振动频率之比为1∶2.（✕）（2）0～1s内两物体的加速度均为正值.（✕）（3）0～8s时间内甲、乙两物体通过的路程之比为4∶1.（√）解析依据振动图像可知，甲物体的振动周期是4s，振动频率是0.25Hz，乙物体的振动周期是8s，振动频率是0.125Hz，则甲、乙两物体的振动频率之比为2∶1，（1）错误.0～1s，它们的加速度都内，甲、乙两物体的位移都是正值，依据简谐运动的特点可得a＝－kxm是负值，（2）错误.0～8s这段时间内，甲物体运动了两个周期，通过的路程为s甲＝2×4A 甲＝16cm，乙物体运动了一个周期，通过的路程为s乙＝1×4A乙＝4cm，所以路程之比为4∶1，（3）正确.方法点拨简谐运动图像问题的两种分析方法方法一：图像—运动结合法方法二：直观结论法简谐运动的图像表示振动质点的位移随时间的变更规律，即位移—时间的函数关系图像，不是物体的运动轨迹.。

咐呼州鸣咏市呢岸学校第18章机械振动第66练简谐运动及其描述简谐运动的表达式和图像根底过关一、单项选择题〔每题只有一个选项符合题意〕1. 弹簧振子在做简谐运动时〔〕A．加速度大小和位移大小成正比，方向相反B．加速度大小和位移大小成正比，方向相同C．速度和位移大小成正比，方向相同D．速度和位移大小成正比，方向相反2．关于回复力的说法，正确的选项是〔〕A．回复力是指物体受到的指向平衡位置的力B．回复力是指物体所受的合外力C．回复力是从力的作用效果来命名的，可以是弹力，也可以是重力或摩擦力，还可以是几个力的合力D．回复力实际上就是向心力3．某同学看到一只鸟落在树枝上的P处，树枝在10s内上下振动了6次，鸟飞走后，他把50g的砝码挂在P处，发现树枝在10s内上下振动了12次.将50g的砝码换成500g砝码后，他发现树枝在15s内上下振动了6次，你估计鸟的质量最接近〔〕A．50gB．200gC．500gD．550g4．一弹簧振子作简谐振动，周期为T〔〕A．假设t时刻和〔t+△t〕时刻振子运动位移的大小相、方向相同，那么△t一于T的整数倍B．假设t时刻和〔t+△t〕时刻振子运动速度的大小相、方向相同，那么上t一于T/2的整数倍C．假设△t=T，那么在t时刻和〔t+△t〕时刻振子运动的加速度一相D．假设△t=T/2，那么在t时刻和〔t+△t〕时刻弹簧的长度一相5．一质点做简谐运动的图像如下图，以下说法正确的选项是〔〕A．质点运动频率是4HzB．在10要内质点经过的路程是20cmC．第4末质点的速度是零D．在t=1s和t=3s两时刻，质点位移大小相、方向相同二、多项选择题〔每题有多个选项符合题意〕6．一弹簧振子沿x轴振动，振幅为4cm.振子的平衡位置位于x袖上的O点.图的a，b，c，d为四个不同的振动状态：黑点表示振子的位置，黑点上箭头表示运动的方向.图乙给出的①②③④四条振动图线，可用于表示振子的振动图像是〔〕A．假设规状态a时t=0，那么图像为①B．假设规状态b时t=0，那么图像为②C．假设规状态c时t=0，那么图像为③D．假设规状态b时t=0，那么图像为④7．做简谐运动的物体，每次通过同一位置时，一相同的物理量是〔〕A．速度B．位移C．加速度D．能量8．如下图弹簧下面挂一个质量为m的物体，物体在竖直方向作振幅为A的简谐运动，当物体振动到最高点时，弹簧正好为原长.那么物体在振动过程中〔 〕A ．物体在最低点时的弹力大小为2mgB ．弹簧的弹性势能和物体动能总和不变C ．物体的最大弹性势能于2mgAD ．物体的最大动能于2mgA9．如果表中给出的是作简谐运动的物体的位移x 或速度v 与时刻的对关系，T 是振动周期，那么以下选项正确的选项是〔 〕T/4 T/2 3T/4 T 甲 零 正最大 零 负最大 零 乙 零 负最大 零 正最大 零 丙 正最大 零 负最大 零 正最大 丁负最大零正最大零负最大A ．假设甲表示位移x ，那么丙表示相的速度vB ．假设丁表示位移x ，那么甲表示相的速度vC ．假设丙表示位移x ，那么甲表示相的速度vD ．假设乙表示位移x ，那么丙表示相的速度v 三、计算或论述题10．如下图为一弹簧振子的振动图象，求：〔1〕从计时开始经过多少时间第一次到达弹性势能最大？〔2〕在第2s 末到第3s 末这段时间内弹簧振子的加速度、速度、动能和弹性势能各是怎样变化的？〔3〕该振子在前100s 的总位移和路程各是多少？11．在光滑水平面上有一弹簧振子，弹簧的劲度系数为k ，振子质量为M ，振动的最大速度为v ，如下图，当振子在最大位移为A 的时刻把质量为m 的物体轻放其上，那么时刻状态 量〔1〕要保持物体和振子一起振动，二者间动摩擦因数至少是多少？〔2〕一起振动时，二者通过平衡位置的速度多大？振幅又是多大？12．如下图，木块的质量为M，小车的质量为m，它们之间的最大静摩擦力为f m.在劲度系数为k的轻质弹簧作用下，沿光滑水平面做简谐运动.假设使木块和小车在运动时不发生相对滑动，它们可能到达的最大振幅A是多少？13．如下图，一个竖直弹簧连着一个质量为M的薄板，板上放一木块，木块质量为m.现使整个装置在竖直方向做简谐振动，振幅为A.假设要求在整个过程中木块m都不脱离木板，那么弹簧的劲度系数k为多少？能力提升14．一个做简谐运动的物体，位移随时间的变化规律x=Asinωt，在1/4周期内通过的路程可能是〔〕A．小于A B．于A C．于2A D．于1.5A15．试证明：如图在竖直方向上作自由振动的弹簧振子是做简谐运动.第18章 机械振动第66练 简谐运动及其描述简谐运动的表达式和图像 1．A 2.C3．B 解析 鸟在树枝上时，树枝振动的周期T 0=s ，挂上50g 的砝码时，树枝振动周期T 1=0.83s ，挂上500g 的砝码时，树枝振动的周期T 2=s ，由于T 1＜T 0＜T 2，所以鸟的质量m 满足50g ＜m ＜500g ，故B 选项正确. 4．C 解析 做简谐运动时，振子由平衡位置到最大位移，再由最大位移回到平衡位置，两次经过同一点时，它们的位移大小相、方向相同，其时间间隔并不于周期的整数倍，选项A 错误.同理在振子由指向最大位移，到反向最大的过程中，速度大小相、方向相反的位里之间的时间间隔小于2T ，选项B 错误.相差2T的两个时刻，弹簧的长度可能相，振子从平衡位置开始振动、再回到平衡位置时，弹簧长度相，也可能不相，选项D 错误.假设T t=∆，那么根据周期性，该振子所有的物理量和t 时刻都相同，a 就一相.5．B 解析 振动图像表示质点在不同时刻相对平衡位置的位移，由图像可看出，质点运动的周期T=4s ，其频率s Hz T f 10;25.01==内质点运动了T 25，其运动路程s=;20425cm A =⨯第4s 末质点在平衡位置，其速度最大；t=1s 和t=3s 两时刻，由图像可看出，位移大小相，方向相反，由以上分析可知，B 选项正确.6．AD 解析 假设t=0，质点处于a 状态，那么此时x=+3cm 运动方向为正方向，只有图①对；假设t=0时质点处于b 状态，此时x=+2cm ，运动方向为负方向，②图不对；假设取处于C 状态时t=0时，此时x=-2cm ，运动方向为负方向，故图③不正确；取状态d 为t=0时，图④刚好符合. 7.BCD8．AC 解析 振子在振动过程中，整个系统机械能守恒，物体的最大弹性势能于2mgA.根据对称性，最高点和最低点回复力大小相，所以在最低点弹力于2mg. 9．AB10．〔1〕t=1s 〔2〕加速度和弹性势能增大，速度和动能减小 〔3〕0和5m11．〔1〕在最大位移处将m 放在M 上，此时m 与M 一起开始做加速运动，kA=(m+M)a.对m 提供回复力的是静摩擦力，mg f f ma f m μ=≤=,,所以有gm M kA)(+≥μ〔2〕由于在最大位移处放置m 没有机械能损失，所以机械能守恒，振幅仍然为A ，回到平衡位置时速度为v ，那么0220,2)(2v Mm Mv v M m mv ⋅+=+=12．对m+M 整体是弹力提供回复力，有kx=(m+M)a ，对m 提供回复力的是静摩擦力f=ma ，当x=A 时a 最大，此时f 也该是最大，又f ≤f m ，联解上面几个式得到： A ≤kM m M f m )(+，最大振幅即为A=kMm M f m )(+13．M 不离开M 条件是只要在最高点时两者没有别离即可在最高点时有kA=(m+M)a,mg-N=ma,N ≥0得到a ≤g 代入前式得到kA ≤(m+M)g,k ≤(m+M)g/A 14．ABC15．平衡位置处弹簧伸长x 0，那么有mg-kx 0=0，现在让振子向下偏离平衡位置x 位移，那么合力为F=mg-k(x+x 0)=-kx ，显然振子受力符合简谐运动的条件.。

知识巩固练1.某质点做简谐运动的振幅为A ，周期为T ，则质点在T 6时间内的最大路程是( )A.1.5AB.AC.0.5AD.0.2A【答案】B 【解析】由简谐运动的特点可知，质点在平衡位置两侧各运动T 12时间时，在T 6时间内的路程最大.设简谐运动的振动方程为x =A sin ωt ，其中ω=2πT ，若以平衡位置为起点，质点在T 12时间内的位移为x =A sin ωT 12=A sin π6=A 2，则质点在T 6时间内通过的最大路程为A ，B 正确，A 、C 、D 错误.2.(2023年全国模拟)如图甲所示为以O 点为平衡位置，在A 、B 两点间做简谐运动的弹簧振子，图乙为这个弹簧振子的振动图像，由图可知下列说法正确的是 ( )A.在t =0.2 s 时，弹簧振子的加速度为正向最大B.从t =0到t =0.2 s 时间内，弹簧振子做加速度减小的减速运动C.在t =0.6 s 时，弹簧振子的弹性势能最小D.在t =0.2 s 与t =0.6 s 两个时刻，振子的速度都为零【答案】D 【解析】在t =0.2 s 时，弹簧振子的位移为正向最大值，而弹簧振子的加速度大小与位移大小成正比，方向与位移方向相反，A 错误；从t =0到t =0.2 s 时间内，弹簧振子从平衡位置向正向最大位移处运动，位移逐渐增大，加速度逐渐增大，加速度方向与速度方向相反，弹簧振子做加速度增大的减速运动，B 错误；在t =0.6 s 时，弹簧振子的位移为负向最大值，即弹簧的形变量最大，弹簧振子的弹性势能最大，C 错误；在t =0.2 s 与t =0.6 s 两个时刻，振子在最大位移处，速度为零，D 正确.3.在上海走时准确的摆钟，随考察队带到北极黄河站(北纬78°55″)，则这个摆钟 ( )A.变慢了，重新校准应减小摆长B.变慢了，重新校准应增大摆长C.变快了，重新校准应减小摆长D.变快了，重新校准应增大摆长【答案】D4.如图甲所示，在一条张紧的绳子上挂几个摆.当a 摆振动的时候，其余各摆在a 摆的驱动下也逐步振动起来，不计空气阻力，达到稳定时，b 摆的振动图像如图乙所示.下列说法正确的是 ( )A.稳定时b 摆的振幅最大B.稳定时b 摆的周期最大C.由图乙可以估算出b 摆的摆长D.由图乙可以估算出c 摆的摆长【答案】D 【解析】稳定时b 摆的振幅最小，振动周期等于驱动力振动周期，A 、B 错误；由于b 摆做受迫振动，不能根据振动图像估算出b 摆的摆长，C 错误；由图乙可知a 摆振动周期，而c 摆与a 摆的摆长相等，固有振动周期相等，所以根据单摆周期公式由图乙可以估算出c 摆的摆长，D 正确.综合提升练5.如图所示，一小球用细线悬挂于O 点，细线长为L ，O 点正下方12L 处有一铁钉.将小球拉至A 处无初速度释放(摆角很小)，这个摆的周期是( ) A.2π√L g B.π√L gC.(√2+1)π√L gD.(√2+1)π√L 2g【答案】D 【解析】小球再次回到A 点时所用的时间为一个周期，其中包括了以L 为摆长的简谐运动半个周期和以12L 为摆长的简谐运动的半个周期.以L 为摆长的运动时间t 1=12×2π√L g ，以12L 为摆长的运动的时间t 2=12×2π·√12L g ，则这个摆的周期T =t 1+t 2=(√2+1)π√L2g，故A 、B 、C 错误，D 正确. 6.(2023年洛阳模拟)如图甲所示，一可视为质点的小球在光滑圆弧曲面AOB 之间做简谐运动，取向右偏离平衡位置的位移方向为正，小球在曲面AB 间运动的x -t 图像如图乙所示.g 取π2 m/s 2，则小球振动的频率f =__________Hz ；圆弧曲面的半径R =__________m.【答案】0.625 0.64【解析】小球振动的频率f =1T =11.6 s =0.625 Hz ，小球周期T =2π√R g ，解得圆弧曲面的半径R =T 2g 4π2=0.64 m.7.如图所示，一根较长的细线一端固定在装置的横梁中心，另一端系上沙漏，装置底部有一可以向前移动的长木板.当沙漏左右摆动时，漏斗中的沙子均匀流出，同时匀速拉动长木板，漏出的沙子在板上形成一条正弦曲线.在曲线上两个位置P 和Q ，细沙在____(填“P ”或“Q ”)处堆积的沙子较多.由于木板长度有限，如图只得到了摆动两个周期的图样，若要得到三个周期的图样，拉动长木板的速度要______(填“快”或“慢”)些.【答案】Q 慢。

第27讲 机械振动目录考点一 简谐运动的规律 ............................................................................................................. 1 考点二 简谐运动的图象 ............................................................................................................. 1 考点三 单摆周期公式的应用 ..................................................................................................... 3 考点四 受迫振动和共振的应用 ................................................................................................. 5 练出高分 .. (9)考点一 简谐运动的规律简谐运动的运动规律：x ＝A sin (ωt ＋φ) (1)变化规律位移增大时⎩⎨⎧回复力、加速度增大⎭⎪⎬⎪⎫速度、动能减小势能增大机械能守恒振幅、周期、频率保持不变(2)对称规律①做简谐运动的物体，在关于平衡位置对称的两点，回复力、位移、加速度具有等大反向的关系，另外速度的大小、动能具有对称性，速度的方向可能相同或相反．②振动物体来回通过相同的两点间的时间相等，如t BC ＝t CB ；振动物体经过关于平衡位置对称的等长的两线段的时间相等，如t BC ＝t B ′C ′，如图所示．(3)运动的周期性特征相隔T 或nT 的两个时刻振动物体处于同一位置且振动状态相同．[例题1] 如图所示，弹簧振子在BC 间振动，O 为平衡位置，BO ＝OC ＝5cm ，若振子从B到C 的运动时间是1s ，则下列说法中正确的是（ ）A．振子从B经O到C完成一次全振动B．振动周期是1s，振幅是10cmC．经过两次全振动，振子通过的路程是20cmD．从B开始经过3s，振子通过的路程是30cm[例题2]（多选）某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为x＝Asin（π4t），则质点（）A．第1 s末与第3 s末的位移相同B．第1 s末与第3 s末的速度相同C．3 s末至5 s末的位移方向都相同D．3 s末至5 s末的速度方向都相同[例题3]（多选）（2022•天津模拟）弹簧振子做简谐运动，O为平衡位置，当它经过点O 时开始计时，经过0.3s，第一次到达点M，再经过0.2s第二次到达点M，则弹簧振子的周期不可能为（）A．0.53 s B．1.4 s C．1.6 s D．2 s考点二简谐运动的图象1．简谐运动的图象图象横轴表示振动时间纵轴表示某时刻质点的位移物理意义表示振动质点的位移随时间的变化规律(1)由图象可以看出振幅、周期．(2)可以确定某时刻质点离开平衡位置的位移．(3)可以根据图象确定某时刻质点回复力、加速度和速度的方向．①回复力和加速度的方向：因回复力总是指向平衡位置，故回复力和加速度在图象上总是指向t轴．②速度的方向：速度的方向可以通过下一时刻位移的变化来判定，若下一时刻位移增大，振动质点的速度方向就是远离t轴，若下一时刻位移减小，振动质点的速度方向就是指向t轴．[例题4]（2023•茂名一模）如图所示是扬声器纸盆中心做简谐运动的振动图象，下列判断正确的是（）A．t＝2×10﹣3s时刻纸盆中心的速度最大B．t＝3×10﹣3s时刻纸盆中心的加速度最大C．在0～1×10﹣3s之间纸盆中心的速度方向与加速度方向相同D．纸盆中心做简谐运动的方程为x＝1.5×10﹣4cos50πt（m）[例题5]（2023•绍兴二模）如图所示，树梢的摆动可视为周期12s、振幅1.2m的简谐运动。

专题十二 第1讲知识巩固练1．某质点做简谐运动的振幅为A ，周期为T ，则质点在T6时间内的最大路程是( )A ．1.5AB ．AC ．0.5AD ．0.2A【答案】B 【解析】由简谐运动的特点可知，质点在平衡位置两侧各运动T12时间时，在T 6时间内的路程最大．设简谐运动的振动方程为x ＝A sin ωt ，其中ω＝2πT ，若以平衡位置为起点，质点在T 12时间内的位移为x ＝A sin ωT 12＝A sin π6＝A 2，则质点在T6时间内通过的最大路程为A ，故B 正确，A 、C 、D 错误．2．(多选)下列说法正确的是( )A ．在同一地点，单摆做简谐振动的周期与其摆长成正比B ．弹簧振子做简谐振动时，振动系统的势能与动能之和保持不变C ．弹簧振子做简谐振动时，弹簧的劲度系数越大，单摆做简谐振动的周期越大D ．系统做稳定的受迫振动时，系统振动的频率等于周期性驱动力的频率 【答案】BD3．一弹簧振子做简谐运动，其位移x 与时间t 的关系曲线如图所示，由图可知( )A ．质点的振动频率是4 HzB ．t ＝2 s 时，质点的加速度最大C ．质点的振幅为5 cmD ．t ＝3 s 时，质点所受合力为正向最大【答案】C 【解析】由图读出质点的振动周期 T ＝4 s ，则振动频率f ＝1T＝0.25 Hz ，故A 错误；t ＝2 s 时，质点的位移为零，由a ＝－kxm知，质点的加速度最小，故B 错误；振子的振幅等于振子位移的最大值，由图读出振幅为5 cm ，C 正确；t ＝3 s 时，质点的位移为正向最大，由F ＝－kx 知，质点所受合力为负向最大，故D 错误．4．在上海走时准确的摆钟，随考察队带到北极黄河站(北纬78°55″)，则这个摆钟( )A ．变慢了，重新校准应减小摆长B ．变慢了，重新校准应增大摆长C ．变快了，重新校准应减小摆长D ．变快了，重新校准应增大摆长 【答案】D5．(多选)一弹簧振子做简谐运动，周期为4 s ，以下描述正确的是( ) A ．若从平衡位置开始计时，则在1 s 时刻和3 s 时刻弹簧长度一定相等 B ．若从平衡位置开始计时，则在1 s 时刻和5 s 时刻振子运动的加速度一定相等 C ．若t 和(t ＋Δt )时刻振子运动速度大小相等，方向相反，则Δt 一定等于T2的整数倍D ．若t 和(t ＋Δt )时刻振子运动位移大小相等，方向相反，则Δt 一定不等于T 的整数倍【答案】BD 【解析】在1 s 时刻弹簧伸长，在3 s 时刻弹簧可能压缩，所以弹簧长度可能不相等，故A 错误；在1 s 时刻和5 s 时刻振子的位移相同，所以运动的加速度一定相等，故B 正确；一弹簧振子做简谐运动，周期为T ，若t 和(t ＋Δt )时刻振子运动速度大小相等，方向相反，则t 和(t ＋Δt )时刻振子的位移有可能相同或相反，所以Δt 有可能不等于T2的整数倍，故C 错误；一弹簧振子做简谐运动，周期为T ，若t 和(t ＋Δt )时刻振子运动位移大小相等，方向相反，则Δt 一定不等于T 的整数倍，故D 正确．综合提升练6．如图所示，一小球用细线悬挂于O 点，细线长为L ，O 点正下方12L 处有一铁钉．将小球拉至A 处无初速度释放(摆角很小)，这个摆的周期是( )A ．2πL gB ．πL gC ．(2＋1)πL gD ．(2＋1)πL 2g【答案】D 【解析】小球再次回到A 点时所用的时间为一个周期，其中包括了以L 为摆长的简谐运动半个周期和以12L 为摆长的简谐运动的半个周期．以L 为摆长的运动时间t 1＝12×2πL g ，以12L 为摆长的运动的时间t 2＝12×2π·12L g，则这个摆的周期T ＝t 1＋t 2＝(2＋1)πL2g，故A 、B 、C 错误，D 正确． 7．(2021年广东模拟)某型号的网红“水帘秋千”如图所示，它与平常秋千的不同之处是钢铁做成的秋千架上装有273个独立竖直向下的出水孔，在系统控制下能够间断性出水，从而形成一个有孔洞的水帘．假设秋千摆长L ＝3.0 m ．人坐在座板上，头顶到座板的距离为h 1＝1.0 m ，鞋底到座板的距离为h 2＝0.5 m ，忽略绳的重力和空气阻力，人与座板整体的重心在座板上．假设秋千的摆动周期与同摆长的单摆做简谐运动的周期相同；出水孔打开时，水的初速度为零．以秋千座板从最高点刚要向下摆动时作为计时起点，此刻，比座板略宽的范围内的所有出水孔都是关闭的．g 取10 m/s 2，π＝3.14，30＝5.48，40＝6.32，70＝8.37.计算结果均保留到小数点后面两位．求：(1)在秋千第一次从最高点运动到最低点的过程中，哪个时刻打开出水孔，水刚好不能淋湿人的头顶；(2)在秋千第二次到达最低点之前最迟哪个时刻关闭出水孔，水刚好不能淋湿人体的任何部位；(3)接第(2)问，当秋千第二次到达最低点时，水又刚好不能淋湿人的头顶，那么，出水孔关闭了多长时间．解：(1)秋千的摆动周期为T ＝2πLg ＝2π×310 s ＝2×3.14×5.4810s ≈3.441 s ， 水刚好不能淋湿人的头顶，即水恰好运动到头顶，有L －h 1＝12gt 21，代入数据解得t 1＝2L －h 1g ＝2×210 s ＝4010s ＝0.632 s 水落到头顶需要的时间为0.632 s ，则有 水刚好不能淋湿人的头顶，打开出水孔的时刻为t 1′＝14T －t 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14×3.441－0.632 s ≈0.23 s.(2)水刚好不能淋湿人体的任何部位，即水刚好下落到鞋底，设水运动到鞋底的时间为t 2，则有L －h 2＝12gt 22，解得t 2＝0.837 s ，则在秋千第二次到达最低点之前关闭出水孔的时刻为t 2′＝34T －t 2≈1.74 s.(3)当秋千第二次到达最低点时，水又刚好不能淋湿人的头顶，则关闭的时间为 Δt ＝34T －t 2′－t 1≈0.21 s.。

课时规范练21机械振动基础对点练1.(多选)(简谐运动的特征)(2020河北石家庄质检)关于简谐运动,以下说法正确的是()A.在弹簧振子做简谐运动的回复力表达式F=-kx中,F为振动物体所受的合外力,k为弹簧的劲度系数B.物体的速度再次相同时,所经历的时间一定是一个周期C.位移的方向总跟加速度的方向相反,跟速度的方向相同D.水平弹簧振子在简谐振动中动能和势能的和是不变的2.(多选)(受迫振动)如图甲所示在一条张紧的绳子上挂几个摆,a、c摆的摆长相同且小于b摆的摆长。

当a摆振动的时候,通过张紧的绳子给其他各摆施加驱动力,使其余各摆也振动起来。

图乙是c 摆稳定以后的振动图像,重力加速度为g,不计空气阻力,则()A.a、b、c单摆的固有周期关系为T a=T c<T bB.b、c摆振动达到稳定时,c摆振幅较大C.达到稳定时b摆的振幅最大D.由图乙可知,此时b摆的周期小于t03.(多选)(简谐运动的图像)(2020山东菏泽模拟)有一个在y方向上做简谐运动的物体,其振动图像如图所示。

下列关于图甲、乙、丙、丁的判断不正确的是(选项中v、F和a分别表示物体的速度、受到的回复力和加速度)()A.甲可作为该物体的v-t图像B.乙可作为该物体的F-t图像C.丙可作为该物体的F-t图像D.丙可作为该物体的a-t图像4.(单摆的周期公式)如图所示,一单摆悬于O点,摆长为L,若在过O点的竖直线上的O'点钉一个钉子,使OO'=L2,将单摆拉至A处释放,小球将在A、B、C间来回振动,若振动中摆线与竖直方向夹角小于5°,则此摆的周期是()A.2π√Lg B.2π√L2gC.√Lg +√L2gD.π√Lg+√L2g5.(简谐运动的图像)如图所示为一弹簧振子在水平面内做简谐运动的x-t图像,则下列说法正确的是()A.t1时刻和t2时刻具有相同的动能和动量B.t2到1.0 s时间内加速度变小,速度减小C.弹簧振子的振动方程是x=110sin πt (m)D.t2等于3t16.(简谐运动的证明)(2020山东青岛期末)如图所示,劲度系数为k的轻质弹簧的下端固定在水平面上,弹簧上端与质量为m的物块相连,开始时物块在O处保持静止。