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3×1
;
t + ∆t
K ci −1 = [− I
I] ;
T
t + ∆t
∆ic−1 =
[
t + ∆t
∆ik−1
]
3×1
（19）
式中:
(
t + ∆t
)
3×1
为i-1步迭代后主动点k上的不平衡节点力。
2.2 滑 移 状 态 对于点-点接触的滑移状态,同样当有一个切线方向nt的滑移受到约束的情况下,经过迭代 步i后沿被动面法向n和切向nt的主、被动接触点对间的相对位移应该满足如下条件
l i −1 ∆U P = ∆u k + t + ∆t∆ik
（16）
实际上,由于接触点对k、s之间可能发生切向滑移或法向张开,在黏着状态下经过本步迭代,k、s两点 并不重合,k点处于p点的位置。但由于是小位移问题,因此只要时间步长足够小,可认为投影点p的位移增量 基本上与被动点s的位移增量相等,因此式(16)可表示为
然后再根据接触面上的当前位移U 和不平衡力确定当前接触面上的位移约束条件,进行下一步的迭代。
t + ∆t
K ci −1 、 t + ∆t Rci −1 、 t + ∆t ∆ic−1 的确定方法如下。
设接触面上的主、被动接触点对为k、s两点 (见图1所示),a-s-b是法向为n的被动接触面,如 果当前经过i-1步迭代后主动点k在被动面上的投 影为p,则有
[12]
,因此,混凝土的动力损伤
+ − Dd (ε ) = 1 − y + [1 − Di+ (ε / K ε )]; Dd (ε ) = 1 − y − [1 − Di− (ε / K ε )]
（9）
其中:
+ & / ε s )1.026α −0.02 ; y + = Kσ / K ε = (ε − & /εs) y − = Kσ / K ε = (ε 1.016δ − 0.02
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Ottosen四参数准则,定义为
Di+ =
ε u (ε − ε 0 ) −1 ; Di− = 1 − (1 + ax + bx 2 + cx 3 ) ε (ε u − ε 0 )
（8）
式中:x=εi/εu;a、b、c为材料常数；ε0为初始损伤值。 对于地震作用下的混凝土动态性能,本文主要通过不断修正损伤阈值的办法来考虑应变率的影响,从 而建立动态非线性损伤模型。 动态情况下,不同应变率时的混凝土应力-应变全曲线具有很好的相似性 因子可表达为
（12）
式中:ΔU 和Δλ 分别表示第i步迭代中的节点位移增量和接触力增量；
(i)
(i)
t + ∆t
K (i −1) 和t + ∆t K c(i −1) 分别表示
(i-1)步迭代后结构的切线刚度阵(包含混凝土材料非线性)和反映接触约束条件的协调矩阵；
t + ∆t
F ( i −1) 和t + ∆t R 分别表示迭代中与单元应力等价的节点力和(t+Δt)时刻的外荷载； t + ∆t Rc(i −1) 和t + ∆t ∆(ci −1)
图1
点-点接触模型示意
2.1 黏着状态 态,有
设变形过程中,k、 s两点各自发生的位移为Δuk和Δus,如果i-1步迭代后当前处于黏着状
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t + ∆t
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i −1 t + ∆t i −1 XP = Xk
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（15）
将式(14)代入式(15),则进行下一步迭代时,k点和p点的增量位移应该满足
（10）
&, ε ) = σ / σ s 、K ε = (ε &, ε ) = ε / ε s 分别为对应于静力和动力曲线上每一对应点的应力、 式中: K σ (ε 应变放
& 为动态应变率； ε &s 为静态应变 大系数,可根据一定应变速率下的峰值应力和峰值应变的试验结果得到； ε
-1 &s = 3 × 10 −6 S −1 ; f co ′ = 10 MPa; f c′ 为混凝土圆柱体抗压强度； 率； δ=1/(10+6f′c/f′co);α=(5+3fcu/4) ; ε
+ -
（2）
ρψ c (σ , D) = 〈σ 〉 + E −1 : 〈σ 〉 + + 〈σ 〉 − E −1 : 〈σ 〉 −
从而可以得到相应的应变向量为
[5]
1 2
~
1 2
~
（3）
ε + = E −1 ( D) : 〈σ 〉 + , ε − = E −1 ( D) : 〈σ 〉 −
根据损伤材料的本构关系和加载准则,定义损伤变量阈值为r ,引入损伤准则
大坝混凝土采用应变率相关的非线性损伤模型。试验表明,动荷载作用下混凝土的力学特性与应变率 [5,12] 。从试验结果来看,混凝土各参数中变化最为显著、对分析也最有意义的是极限抗压强度fc、 密切相关 极限抗拉强度ft及相应应变εd和εs的变化。本文根据欧洲国际混凝土委员会推荐的混凝土率性应力-应变 关系,通过在静态混凝土非线性损伤模型中引入损伤张量随应变率的演化规律反映混凝土动态非线性作 用。 根据能量等价性原理,可以构造局部坐标系下的混凝土三维静态损伤本构模型为
i i i i n T ∆u s = n T ( ∆u k + t + ∆t∆ik−1 ); ntT ∆u s = ntT (∆u k + t + ∆t ∆ik−1 )
分别表示(i-1)迭代步后接触面上的不平衡力和位移增量。 迭代过程中通过改变
t + ∆t
K (i −1) 和t + ∆t K c(i −1) 考虑结构材料非线性和接触非线性的作用。
当前迭代后接触面上满足下面条件
( t + ∆t K ci −1 ) T ∆U i = t + ∆t ∆ic−1
i
（13）
[1]
近年来,强震区高拱坝的动力响应分析得到了深入研究,包括无限地基的辐射阻尼作用 、地震动输入 [2] [3] [4] [5] [6] 机制 、库水可压缩性 、拱坝横缝 、混凝土非线性 以及振动控制措施 等等因素都有所涉及。这些研 究基本上侧重于各种因素对于拱坝动应力响应的影响,对于高坝的体形设计具有很好的参考价值。拱坝横 缝在地震动过程中的张开度关系到横缝止水的设计和性能,研究中也有所涉及,比如横缝配筋或布设阻尼 [7] 器等措施对横缝张开度的控制作用等 。但关于坝体混凝土的非线性性能对强震作用下的拱坝横缝张开度 以及分布的影响还缺乏相应的研究,尤其是混凝土受拉损伤开裂情况下横缝的张开度情况,这对于强震条 件下横缝止水的工作性能具有重要影响。 拱坝横缝的模拟方法目前主要有联结单元法 、裂缝涂抹模型和动接触模型 。这些方法对于简化 成一般性接触的不同物理模型在计算精度和效率上有着各自的优点和不足。联结单元法如Goodman单元可 以模拟横缝初始抗拉强度、初始间隙及法向压力和切向摩擦力之间的非线性关系,但不能保证接触体之间 不发生相互嵌入,单元的法向和切向刚度系数需根据经验和判断选取；裂缝涂抹模型在单元平均意义上去 模拟横缝张合,但不能反映界面的接触状态；动接触模型则把界面影响看作是接触问题,通过在接触面上施 加约束条件,来确定满足接触约束条件和平衡条件的接触力,理论上更严密,但往往形成非对称的求解矩 阵。 基于Lagrange乘子的直接刚度法 可以精确满足接触条件,生成对称的广义刚度阵,能够模拟拱坝横 缝在地震中的法向张开、闭合情况下接触面的摩擦约束等效应,但不能模拟张开情况下键槽对切向错动的 约束作用。本文在此基础上提出了改进算法,可以考虑横缝键槽作用,在一定条件下其收敛性和精度可以得 到理论保证,并且可以考虑材料及几何非线性。
i
~
~
（4）
g i = ε i − r i ≤ 0 (i = +,−)
表达为库恩-塔克关系,有
（5）
& ≥ 0, g i ≤ 0 D & gi = 0 D i i
则
i i i 当g > 0时，更新r = ε i 当ε ≥ ε u时，D i = 1
（6）
（7）
式中:εu为极限应变。 拉、压情况下的损伤阈值和损伤演变规律不同。单轴拉伸和压缩下的损伤演变分别根据双线性模型和
i ∆u si = ∆u k + t + ∆t∆ik−1
（17）
则位移协调条件可写为
i i t + ∆t i −1 − ∆u k + ∆u s = ∆k
（18）
考虑主动点k与被动点之间的位移协调以及接触力平衡,则有
t + ∆t
Rci −1 = [I Rki −1
− I]
T
(
t + ∆t
Rki −1
)
[12]
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M 0
(i ) t + ∆t t + ∆t ( i −1) && (i ) C 0 ∆U && (i ) 0 ∆U K c(i −1) 0 0 K ∆U + + + t + ∆t ( i −1)T ( i ) 0 0 0 0 0 0 0 K c 0 ∆λ t + ∆t ( i −1) t + ∆t t + ∆t t + ∆t && ( i ) t + ∆t & ( i ) ( i −1) R F M 0 U C 0 U Rc = − + t + ∆t ( i −1) − − ∆c 0 0 0 0 0 0 0 0
