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梁的内力剪力和弯矩

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梁的内力图—剪力图和弯矩图(23)

梁的内力图—剪力图和弯矩图(23)


6kN
1
1
A 2mΒιβλιοθήκη 6kN m2 q 2kN m 3 4
5
B
2
34
5
C
3m
3m
FQ1 6kN M1 6 2 12kNm FQ2 6 13 7kN M 2 6 2 12kNm
FA 13kN
问题：最大内力的数
FB 5kN
FQ3 6 13 23 1kN
变化的（有的大、有的小）。
一、 梁的内力图—剪力图和弯矩图
1 、剪力方程和弯矩方程
由前面的知识可知：梁的剪力和弯矩是随截面位置
变化而变化的，如果将x轴建立在梁的轴线上，原点取 在梁左端，向右为正向, 坐标x表示截面位置，则FQ和M
就随x的变化而变化，V和M就是x的函数，这个函数式就 叫剪力方程和弯矩方程。
南充职业技术学院土木工程系建筑力学多媒体课件
任课 陈德先 教师
授课 12造价与建 班级 筑
授课 时间
2013/
学 时
4
课 剪力图和弯矩图 题
课型 新授课
教学 方法
讲练结合法
教学 熟练列出剪力方程和弯矩方程、并绘制剪力图和弯矩图； 目的 利用载荷集度、剪力和弯矩间的微分关系绘制剪力图和弯
矩图.
教学 剪力图和弯矩图；剪力、弯矩和荷载集度的微分关系及其 重点 应用.
l，求梁剪力、弯矩方程的微分，并画剪力、弯矩图。
q
解 :1.建立剪力、弯矩方程
A x
B
l
FQ x
ql ql 2/2
FQ (x) qx M (x) qx x qx2
22
2.对剪力、弯矩方程取微分
dM (x) dx
梁的内力剪力和弯矩

梁的内力剪力和弯矩


4.2 梁的内力——剪力和弯矩
例 计算横截面E、横截面A+与 D-的剪力与弯矩。
FAy 2F FBy 3F
解：
F
y
0, FSE FAy 0
FSE FAy 2F
l M E M e FAy 0 2
l M 0 , M F E Ay M e 0 C 2
4.2 梁的内力——剪力和弯矩
4.2.1 截面法求梁的内力
FS－剪力 M－弯矩
剪力－作用线位于所切横截面的内力 弯矩－矢量位于所切横截面的内力偶矩
4.2 梁的内力——剪力和弯矩 符合的规定：
使微段沿顺时针方 向转动的剪力为正
使微段弯曲呈凹 形的弯矩为正
使横截面顶部受 压的弯矩为正
4.2 梁的内力——剪力和弯矩
4.1 工程实际中的受弯杆
4.1.1 梁的受力与变形特点 1. 受力特征 外力的作用线垂直于杆轴线（即横向力）或外力 偶位于轴线平面内。 2. 变形特征 变形前为直线的轴线，变形后成为曲线。这种变 形形式称为弯曲。 凡是以弯曲变形为主要变形的杆件称为梁。
4.1 工程实际中的受弯杆
4.1.2 平面弯矩的概念 工程中常见梁的横截面 往往至少有一根纵向对称轴， 该对称轴与梁轴线组成一全 梁的纵向对称面，当梁上所 有外力（包括荷载和反力）
均作用在此纵向对称面内时，
梁轴线变形后的曲线也在此 纵向对称面内，这种弯曲称
为平面弯曲。
4.1 工程实际中的受弯杆
4.1.3 梁的简化——计算简图的选取
（1） 梁的简化 通常取梁的轴线来代替梁，梁的长度称为跨度。。
1.弯曲变形和平面弯曲 A B
q
A B
4.1 工程实际中的受弯杆
梁弯曲时横截面上的内力剪力与弯矩

梁弯曲时横截面上的内力剪力与弯矩

力和弯矩有突变，因此，应用截面法求任一指定截面上的剪 力和弯矩时，截面不能取在集中力或集中力偶的作用截面处。
第二节 梁弯曲时横截面上的内力--剪力和弯矩
一、用截面法求梁的内力
mALeabharlann BxmFl
a)
M
FB
M
B
F
b)
如图(7-3a)所示，为了求出
x FQ F c)
FQ′
M′
l-x d)
图7-3
梁横截面m-m上的内力，在 m-
FB
m
MB 处将梁断开，取左段梁为研究对
象，由平衡方程可求得
∑Fy=0 F – FQ =0
梁各指定截面的剪力和弯矩。
解 (1)求梁支座的约束力
取整个梁为研究对象，画受力图列平衡方程求解得
1 23 45
M
D
1
A
C
FAM 5 C
B
a △ △ C△ △
FB
2a
2a 2a
图7-5
∑MB( F )=0
-FA×4a-MC+q×2a×5a=0
7qa
得
FA= 4
∑Fy=0 FB+FA-q×2a=0
qa
3-3截面：取3-3截面左段梁计算，得
FQ3
q 2a
FA
2qa
7qa 4
qa 4
M 3 q 2a a 2qa2
4-4截面：取4-4截面右段梁计算，得
FQ4
FB
qa 4
M
4
FB
2a M
C
qa2 2
3qa2
5qa2 2
5-5截面：取5-5截面右段梁计算，得
FQ5
FB
qa 4
梁的内力——剪力和弯矩

梁的内力——剪力和弯矩


上的内力来代替，如图4-7（b）所示。根据静力平衡条件，在
截面m-m上必然存在着一个沿截面方向的内力FS。由平衡方程
∑Y=0
FA-FS=0
得 FS=FA
FS称为剪力，它是横截面上分布内力系在截面方向的合力。
由图4-7（b）中可以看出，剪力FS和支座反力 FA组成了一个力偶，因而，在横截面m-m上还 必然存在着一个内力偶M与之平衡，由平衡方
∑Y=0 FB-FS3=0
∑MO=0 FB×1m-M3=0
FS3=-FB=-10kN
M3=FB×1m=10kN·m
计算结果明，FS3的实际方向与假设的相反，为 负剪力；M3为正弯矩。 从上述例题中可以总结出如下规律：
1） 梁的任一横截面上的剪力，在数值上等于 该截面左边（或右边）梁上所有外力在截面方 向投影的代数和。截面左边梁上向上的外力或 右边梁上向下的外力在该截面方向上的投影为 正，反之为负。
图4-7
为了使无论取左段梁还是右段梁得到的同一截面上的FS和M不仅 大小相等，而且正负号一致，需要根据梁的变形来规定FS和M的 符号。
1 剪力的符号规定
梁截面上的剪力对所取梁段内任一点的矩为顺时针方向转动时为 正，反之为负，如图4-8（a）所示。
2 弯矩的符号规定 梁截面上的弯矩使所取梁段上部受压、下部受拉时为正，反之为 负，如图4-8（b）所示。 根据上述正负号的规定，在图4-7（b）、（c）两种情况中，横 截面m-m上的剪力FS和弯矩M均为正。
程
∑MO=0
M-FAx=0
得 M=FAx
M称为弯矩，它是横截面上分布内力系的合力
偶矩。
1.2剪力和弯矩的符号规定
在上面的讨论中，如果取右段梁为研究对象，同样也可求得横截 面m-m上的剪力FS和弯矩M，如图4-7（c）所示。但是，根据 力的作用与反作用定律，取左段梁与右段梁作为研究对象求得的 剪力FS和弯矩M虽然大小相等，但方向相反。
梁的内力图2-2-3-1

梁的内力图2-2-3-1


注：最后利用规律3、4、5校核 规律3 规律
例： 画出 V图和 M 图。 图和 解：1、求反力 由∑MA= 0，FB= 148 kN. ， ∑MB= 0，FA= 72 kN. ， 2、判断各段V、M图形状 判断各段V 分段 q V M AC q=0 水平线 斜直线 CB q=c＜0 ＜ 下斜直线 下凸曲线 下凸曲线 BD q=c＜0 ＜ 下斜直线 下凸曲线 下凸曲线 A FA
0
画剪力图和弯矩图时，一定要将梁正确分段， 画剪力图和弯矩图时，一定要将梁正确分段， 分段建立方程， 分段建立方程，依方程而作图。
0 x x
M
二 、列方程法画内力图（基本方法） 列方程法画内力图（基本方法） 列方程法画内力图 例：简支梁受均布荷载作用，如图示， 简支梁受均布荷载作用，如图示， 作此梁的剪力图和弯矩图。 作此梁的剪力图和弯矩图。 解：1 、求支座反力 (利用结构对称 利用结构对称 性简化计算； 性简化计算；悬臂结构可不求反力）
2
、剪力图和弯矩图
以梁横截面沿梁轴线的位置为横坐标， 以梁横截面沿梁轴线的位置为横坐标，以垂直 于梁轴线方向的剪力或弯矩为纵坐标， 于梁轴线方向的剪力或弯矩为纵坐标，分别绘 制表示V(x) M(x)的图象 V(x)和 的图象。 制表示V(x)和M(x)的图象。这种图象分别称为 剪力图和弯矩图，简称V图和M 剪力图和弯矩图，简称V图和M图。 绘图时一般规定正号的剪力画在x轴的上侧， 绘图时一般规定正号的剪力画在x轴的上侧， 负号的剪力画在x轴的下侧；正弯矩画在x 负号的剪力画在x轴的下侧；正弯矩画在x轴下 负弯矩画在x轴上侧，即把弯矩画在梁受 侧，负弯矩画在x轴上侧，即把弯矩画在梁受 拉的一侧。 拉的一侧。 V
A FA V
(kN)
1
平面弯曲—梁的内力(建筑力学)

平面弯曲—梁的内力(建筑力学)

∑Fy=0 FQ1 ＋ FP=0 FQ1=－FP =－100kN (负剪力)
∑M1=0 M1＋FP×a=0 M1=－FP a= －100×1.5 =－150kN·m (负弯矩)
弯曲内力
（3）求2-2截面上的剪力和弯矩 ∑Fy=0 －FQ2－FP＋FAy =0 FQ2=25kN (正) ∑M2=0 M2＋FP×a=0 M2=－150kN·m (负)
弯曲内力
利用截面法求内力时应注意以下几点： １）为了简化计算，通常取外力比较少的一侧来研究。 ２）作所取隔离体的受力图时，在切开的截面上，未知 的剪力和弯矩通常均按正方向假定。 ３）在列梁段的静力平衡方程时，要把剪力、弯矩当作 隔离体上的外力来看待。因此，平衡方程中剪力、弯矩的 正负号应按静力计算的习惯而定，不要与剪力、弯矩本身 的正、负号相混淆。
=－15×1×2.5－30×3 =－127.5kN·m
计算结果为负，说明1-1截 面上弯矩的实际方向与图中 假定的方向相反，即1-1截面 上的弯矩为负值。
弯曲内力
（2）求2-2截面上的剪力和弯矩
取2-2截面的右侧为隔离体。
∑Fy =0 FQ2－FP－q×1=0 FQ2= FP＋q×1 =30＋15×1=45kN (正剪力)
弯曲内力
例10-3 直接用规律求图示简支梁指定截面上的剪力和弯矩。 已知：M=8kN·m，q=2kN/m
解 （1）求支座反力 FAy=1kN(↓) FBy=5kN(↑)
（2）求1-1截面上的剪力和弯矩。
取该截面的左侧为隔离体 FQ1=－FAy =－1kN
M1=8kN·m
弯曲内力
（3）求2-2截面上的剪力和弯矩。 取该截面的右侧为隔离体
FQ2=q×2－Fby =(2×2－5)kN=－1kN
工程力学梁的内力及其求法

工程力学梁的内力及其求法


取梁分析，受力如图b
? MC ? 0
解得
? MB ? 0
FB
l
?
F
l 2
?
0
F FB ? ? 2
?? ?
3l , ? FC l ? F 2 ? 0
F (a) A
l/2
C l/2
F (b) A
C FC
D
B
l/2
B FB
解得
FC
?
3F 2
（2）计算D截面上的剪力 FSD和弯矩MD
? Fy ? 0 , FC ? F ? FSD ? 0
F
(a) A
CLeabharlann DB得FSD
?
FC
?
F
?
F 2
l/2
l/2
l/2
对截面D的形心O取矩
F (c) A
C
D
F SD MD
? MO ? 0,
?
FC
l 2
?
Fl
?
MD
?
0
FC
MD D
B
F SD
FB
l Fl
得
MD
? ? Fl ? FC
?? 2
4
（上侧纤维受拉）
简便法：
(1) 横截面上的剪力，在数值上等于该截面任意一侧（左侧或右侧）脱离体 上所有外力沿该截面投影的代数和。如果外力对截面有顺时针转动的趋势则为 正，反之为负。
§9-2 梁的内力及其求法
一、梁的剪力和弯矩
(a) A FA
F m
m x
l
(b) A
FS M
FA F
(c)
M
FS
梁在竖向荷载作用下，其横截面上的内力有剪 力和弯矩。
梁的内力 剪力弯矩方程 剪力弯矩图

梁的内力 剪力弯矩方程 剪力弯矩图

q=0 FS M q >0 q<0 当q<0,
(3)若某截面处FS=0
dF S dx
q(x)
dM dx
FS
d M dx
2
2
q(x)
则该截面上M取极值：当q>0, M取到极小值 当q<0, M取到极大值 （4）集中力F作用处，FS突变，跳跃值为F，M有尖点； q>0 q<0
集中力偶M作用处，M突变，跳跃值为M， FS不受影响。 F M
例题
例 题 2
2qa
A
§9 变形体静力学概述 及一般杆件内力分析
qa2 q
B C
解： 1.求约束力
FB q 2 a a 2 qa 3 a qa 2a 7 2 qa ( )
2
D
a
3 2 qa
FB a
a
a 2

FD
F D 4 qa
7 2
qa
1 2
qa ( )
D
FD
FD
F Ax 1 2 2 ( kN )( )
A
FAx
FAy
2m
F Ay 5 3 2 kN ( )
例题
例 题 4
5kN B
§9 变形体静力学概述 及一般杆件内力分析
4kN· m C
2.作内力图 D 3kN 轴力图： AB段 F N 2 kN
1m
1m
(F S )
1 qa
2
2.作内力图
1 2 qa
M
7 2
1 4 qa
2
B
2 qa
2
2qa (M)
qa
8
材料力学第五章梁的内力-剪力和弯矩

材料力学第五章梁的内力-剪力和弯矩

? 判断n-n截面上有哪些内力分量？
弯矩：M
剪力：Q
20
二、剪力和弯矩的正负号规定
①剪力Q:使研究对象有顺时针方向转动趋势的剪力为正；反 之为负。
Q(+)
Q(–)
Q(+)
Q(–)
②弯矩M：使梁变成下凸上凹形的弯矩为正；使梁变成上凸 下凹的弯矩为负。
M(+)
M(+)
M(–)
M(–)
21
[例1].已知：如图，P，a，l。
x
Q(x) RA l
(0 x a) (0 x a)
aCb
RA
Pb
Q
l
＋
RB
Pa
Q(x) RB l
(a x l)
Pa M(x) RB (l x) l (l x)
(a x l)
－
x
Pa
M
l
Pab
l
从图中不难看出： 在集中力P作用处，Q图有突变，
＋
且突变值等于P，M图有尖角 31
28
[例]
q
悬臂梁受均布载荷作用。
x
l
q
试写出剪力和弯矩方程，并
画出剪力图和弯矩图。
解：任选一截面x ，写出
M x
剪力和弯矩方程
x
Qx＝qx
0 x l
Q
Qx
ql
M x＝qx2 / 2 0 x l
依方程画出剪力图和弯矩图
x
ql2 / 2 由剪力图、弯矩图可见。最
M
ql 2 / 8
大剪力和弯矩分别为
M 集中 力偶
(2)、载荷简化
作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类型：
集中力、集中力偶和分布载荷。
梁弯曲时横截面上的内力剪力和弯矩

梁弯曲时横截面上的内力剪力和弯矩

梁各指定截面的剪力和弯矩。
解 (1)求梁支座的约束力
取整个梁为研究对象，画受力图列平衡方程求解得
1 23 45
M
D
1
A
C
FAM 5 C
B
a △ △ C△ △
FB
2a
2a 2a
图7-5
∑MB( F )=0
-FA×4a-MC+q×2a×5a=0
7qa
得
FA= 4
∑Fy=0 FB+FA-q×2a=0
qa
得
FB= 4
(2)求各指定截面上的剪力和弯矩
1-1截面：由1-1截面左段梁上外力的代数和求得该截面的
剪力为
FQ1= -qa
由1-1截面左段梁上外力对截面形心力矩的代数和求得该
截面的弯矩为
M
1
qa
a 2
qa2 2
2-2截面: 取2-2截面左段梁计算，得
FQ2 q 2a 2qa
M 2 q 2a a 2qa2
M
5
F B
2a
qa2 2
由以上计算结果可以看出：
1) 集中力作用处的两侧临近截面上的弯矩相同，但剪力
不同，说明剪力在集中力作用下，产生了突变，突变的幅值
等于集中力的大小。 2)集中力偶作用处的两侧临近截面上的剪力相同，说明
弯矩在集中力偶作用下的作用截面上和集中力偶的作用截面上剪
左侧面
梁段
右侧面 左侧面
FQ
FQ
FQ
dx a)
左侧面
右侧面 左侧面
M
M
M
dx b)
图7-4
取负号。取右段梁
右侧面
FQ
为研究对象时，向
dx
梁的内力图剪力图和弯矩图(共16张PPT)

梁的内力图剪力图和弯矩图(共16张PPT)


V Rqx qlqx 作3、此依梁方的程剪x作力剪图力和图弯和矩A弯图矩。图
(0<x<l)
2、判断各段V、M图形状：
快速绘制剪力图和弯矩图
突变大小等于集中荷载的大小。
弯矩图出现转折，转折方向与
3、依方程作剪力图和弯矩图
Vmax= 1 ql 2
Mmax 1 ql 2 8
例2 简支梁受集中荷载作用，如图示，
斜率的大小等于对应梁段上剪力的大小。V>0时向右下方斜斜，
V<0时向右上方倾斜，V=0时为水平线。
在均布荷载作用的梁段上：剪力图为斜直线，斜率等于荷载 集度，q<0〔 〕向右下方倾斜，反之，向右上方倾斜。 弯矩图为二次抛物线，q<0，向下凸起；q>0〔 〕向上凸。 遇到集中荷载：剪力图突变，突变方向与集中荷载方向相同， 突变大小等于集中荷载的大小。弯矩图出现转折，转折方向与 集中力的方向相反。 遇到集中力偶：剪力图不变，弯矩图突变，突变方向由力偶的
弯矩图为二次抛物线，q<0，向下凸起；
V>0时向右下方斜斜，
v
而变化的，如果将x轴建立在梁的轴线上，原点建立在梁
q>0〔 〕向上凸。
q>0〔 〕向上凸。
v 1、可以检查剪力图和弯矩图是否正确。
集度，q<0〔 〕向右下方倾斜，反之，向右上方倾斜。
作此梁的剪力图和弯矩图。
作此梁的剪力图和弯矩图。
〔4〕逐段绘制出V和M图即梁的V和M图
极值弯矩：集中力作用截面、集中力偶截面或弯矩为零的截面。
v
利用上述规律：
1、可以检查剪力图和弯矩图是否正确。
2、可以快速的绘制剪力图和弯矩图，步骤如下：
〔1〕将梁正确分段 〔2〕根据各段梁上的荷载情况，判断剪力图和弯矩图的 形状

材料力学第五章 梁的内力


（+）
Q图
1.67kNm
RA＝0.89 kN RB＝1.11 kN
2．建立坐标系.
3．确定控制面为A、B 、
及 C、D两侧截面。 4．从A截面右开始
(-) 0.335kNm
画剪力图。
M图
5．从A右侧截面开
始画弯矩图。
43
例2 试画出梁剪力图和弯矩图。
q
C D 解：1．确定约束力
A
B
RA
4a
a qa RB
24
qL 2--2截面处截取的分离体如图（c）
FY 0 qL Q2 0
a
Q2 qL
mB (Fi ) 0 ,
qL
qLa M 2 0 M2 qLa
3--3截面处截取的分离体如图（d） a
Q3 0 M3 qLa M2
B M2 图（c）
Q2
B M3 图（d）
Q3 qL
结论：紧邻集中力作用的左、右截面上，剪力发生突变，变化
1
§5–1 工程实际中的受弯杆 §5–2 梁的内力——剪力和弯矩 §5–3 剪力图和弯矩图 §5–4 荷载集度、剪力和弯矩间的关系 §5–5 按叠加原理作剪力图和弯矩图
2
§5–1工程实际中的受弯杆
一、弯曲的概念 1. 弯曲: 杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩矢的作用时,轴 线变成了曲线，这种变形称为弯曲。 P — 集中力
2
x q x
Q
M
q
l
M x
Qx
ql
x
x
ql 2 / 8
ql 2 / 2
[例3] 悬臂梁受均布载荷作用。
试写出剪力和弯矩方程，并 画出剪力图和弯矩图。
解：任选一截面x ，写出

工程力学梁的剪力和弯矩 剪力图和弯矩图

梁的剪力和弯矩 剪力图和弯矩图1、 剪力和弯矩剪力：沿截面切线方向的内力F S 称为剪力，剪力符号规定为：截面上的剪力如果有使考虑的脱离体有顺时针转动的趋势则为正，反之为负（图9-2）。

弯矩：作用面垂直于横截面的内力偶矩M 称为弯矩，弯矩符号规定为截面上的弯矩如果使考虑的脱离体向下凸（或者说使梁下边受拉，上边受压）为正，反之为负（图9-3）。

2、 列方程作梁的剪力图和弯矩图。

剪力方程和弯矩方程可以表示剪力和弯矩随横截面位置变化的规律。

)(S S x F F =和 )(x M M = （9-1）剪力图和弯矩图是将剪力和弯矩随横截面位置变化情况用图形表示出来。

在载荷无突变的一段杆的各截面上内力按相同的规律变化，各段的分界点为各段梁的控制截面，必须分段列出梁的剪力方程和弯矩方程。

列方程作梁的剪力图和弯矩图的步骤为：（1）、求支座反力； （2）、确定坐标原点，分段列剪力方程和弯矩方程； （3）、计算控制点处的剪力值和弯矩值，标注在图上； （4）、根据各段的剪力方程和弯矩方程作剪力图和弯矩图，并说明剪力和弯矩的最大值。

3、利用弯矩、剪力、荷载集度之间的关系作梁的剪力图和弯矩图。

弯矩、剪力、荷载集度之间的微分关系为)(d )(d S x q x x F =， )(d )(d S x F x x M =，)(d )(d 22x q x x M = （9−2） 剪力图和弯矩图的规律为表9−1梁上的外力情况 剪力图上的特征弯矩图上的特征弯矩极值所在截面的可能位置水平线段直线段FF FF(a)(b)图9−2MMMM(a)(b)图9−3无外力段 ()()0d d S ==x q xx F ()()常数d d S ==x F xx M q (x )=常数向下的均布荷载 向下方倾斜的直线段()()0d d S <=x q xx F 下凸的二次抛物线()()0d d 22<=x q xx M 在F S =0的截面上q (x )=常数向上的均布荷载 向上方倾斜的直线段()()0d d S >=x q xx F 上凸的二次抛物线()()0d d 22>=x q x x M 在F S =0的截面上F 作用处发生突变，突变值等于FF 作用处发生转折在左右剪力具有不同正负号的截面上集中力偶在M e 作用处无变化M e 作用处发生突变，突变值等于M e在紧靠集中力偶作用处的某一侧截面上利用弯矩、剪力、荷载集度之间的关系作梁的剪力图和弯矩图的步骤为： （1）、求支座反力； （2）、计算控制点处的剪力值和弯矩值，标注在图上； （3）、根据弯矩、剪力、荷载集度之间的关系作剪力图和弯矩图，并标出剪力和弯矩的最大值。

杆件内力及内力图的绘制(梁的内力)

【解】(1) 求支座反力
∑mB(F)= 0，RAl-m=0 RA=m/l ∑mA(F)= 0，-m-RBl=0 RB=-m/l (2) 列剪力方程和弯矩方程 梁在C截面处有集中力偶m作用，需分为AC段和CB 段。取梁左端A
AC
Q(x)=RA=m/l (0<x≤a) M(x)=RAx=m/lx(0≤x<a) CB
图7
二、 梁的内力-剪力和弯矩
1. 剪力和弯矩
图8(a)为一简支梁，载荷P与支座反力NA和NB是 作用在梁纵向对称面内的平衡力系。现用截面法分 析任一截面m－m上的内力。
梁的横截面上的内力比较复杂，一般存在两个
（1） 剪力Q 相切于横截面的内力。剪力的
（2） 弯矩M 矩。
作用面与横截面垂直的内力偶
图5
图6
3. 梁的类型
根据梁的支座反力能否全部由静力平衡条件确 定，将梁分为静定梁和超静定梁。静定梁又可分为 单跨静定梁和多跨静定梁
单跨静定梁按支座情况可分三种基本类型： （1） 简支梁梁的一端为固定铰支端，另一端为 活动铰支座(图7(a)) （2） 外伸梁其支座形式和简支梁相同，但梁的 一端或两端伸出支座之外(图7(b)) （3） 悬臂梁梁的一端固定，另一端自由(图 7(c))
由 ∑Fy=0，Q1+RB-P2=0
得 Q1=P2-RB=(30-26)kN=4kN 由 ∑m1(F)=0，RB×4-P2×2-M1=0 得 M1=RB×4-P2×2=(26×4-30×2)kN·m
=44kN·m 可见，不管选取梁的左段或右段为研究对象，所得 截面I-I
【例 2】外伸梁受载荷作用如图12(a)所示。图中截面1-1 是指从右侧无限接近于支座B。试求截面1-1和截面2-2的

梁的剪力和弯矩剪力图和弯矩图


2、计算1-1 截面旳内力 FA
3、计算2-2 截面旳内力
M2
F=8kN
FS1
M1 FS1 FA F 7kN M1 FA 2 F (2 1.5) 26kN m
q=12kN/m
FS2
FB
FS2 q 1.5 FB 11kN
M2
FB
1.5 q 1.5 1.5 2
30kN m
2
1
例题
求下图所示简支梁1-1与2-2截面旳剪力和弯矩。
F=8kN
q=12kN/m
A 2m
FA 1.5m
1 1 1.5m
2
B
2
1.5m
3m
FB
解： 1、求支反力
3 M B 0 FA 6 F 4.5 q 3 2 0 FA 15kN
Fy 0 FA FB F q 3 0 FB 29kN
梁任意横截面上旳剪力，等于作用在该截面左边 （或右边）梁上全部横向外力旳代数和。截面左 边向上旳外力(右边向下旳外力)使截面产生正旳 剪力，反之相反。【左上右下为正，反之为负】 梁任意横截面上旳弯矩，等于作用在该截面左 边（或右边）全部外力（涉及外力偶）对该截面 形心之矩旳代数和。截面左边（或右边）向上旳 外力使截面产生正弯矩，反之相反。【左顺右逆 为正，反之为负】
一、梁平面弯曲旳概念
1、平面弯曲旳概念
弯曲变形：作用于杆件上旳外力垂直于杆件旳轴线，使 杆旳轴线由直线变为曲线。
平面弯曲：梁旳外载荷都作用在纵向对称面内时，则梁旳轴 线在纵向对称面内弯曲成一条平面曲线。
q F
Me 纵 向
对称面
B
A
x
y FAy
FBy
以弯曲变形为主旳直杆称为直梁，简称梁。 平面弯曲是弯曲变形旳一种特殊形式。

梁的内力——剪力与弯矩


（b）
（a）
（c）
图5-6
由 MO 0 ，得
M F1(x a) FAx 0
M FAx F1(x a) M 称为横截面 m m 上的弯矩，它有使梁的横截面 m m 产生转动而使梁弯 曲的趋势，是与横截面垂直的分布内力系的合力偶矩。剪力 FS 与弯矩 M 是 平面弯曲时梁横截面上的两种内力。
材料力学
由平衡方程 Fy 0 ，得
FA F1 FS 0 FS FA F1
FS 称为横截面 m m 上的剪力。剪力 FS 有使 梁沿横截面 m m 被剪断的趋势，是与横截面 相切的分布内力系的合力。若把左部分上的所
有外力和内力对截面 m m 的形心 O 取矩，其 力矩总和应等于零。
当保留右部分时，如图 5-6（c）所示，同样可以求得剪力 FS 与弯矩 M 。 剪力 FS 与弯矩 M 是截面左、右两部分间的相互作用力。因此，作用于左、 右两部分上的剪力 FS 与弯矩 M 大小相等、方向相反。
计算剪力 FS 和弯矩 M 时应注意其正负号规定。
（a）
（b） 图5-7
（c）
（d）
剪力的正、负号规定为：凡使一微段梁发生左侧截面向上、右侧截面向 下相对错动的剪力为正，亦可规定为：凡作用在截面左侧向上的外力或作用 在截面右侧向下的外力，将使该截面产生正的剪力。简单概括为“左上或右 下，剪力为正，反之为负”。
（3）求 2 2 截面上的剪力 FS2 、弯矩 M2 。根据 2 2 截面右侧的外力来 计算，可得
FS2 (q 1.5 m) FB (121.5 29) kN 11 kN
M2
(q
1.5
m)
1.5 2
m
FB
1.5
m
30
kN

梁的内力图-剪力图和弯矩_OK


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（2） 绘制剪力图( 图4b)。看荷载图，跟集中力、均布荷载 走，绘制过程见表4-5。
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（3） 绘制弯矩图（图c）。有力偶，跟剪力图走，绘制过程 见表4-6。 （4） FS 图、M 图均自行封闭，绘图正确。
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记住：梁的两端无集中力偶作用，弯矩必为零。这 种通过对特定梁的内力图的讨论，探究内力图的一 般规律，并用该规律简捷绘制梁的内力图的方法， 是工作中分析问题、解决问题的一种常用方法。
三、 梁内力图的绘制
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[ 观察与思考] 试根据梁内力图的规律，判别下图 所示各梁的剪 力图和弯矩图是否正确，若有错请说明原因。
通过观察本例 可以发现：因为该外伸梁结构的几何 形状、受到的竖向荷载均左右相同，具有对称性， 所以弯矩图在对称位置的弯矩数值和符号相等，具 有对称性（工程上把这种对称称为正对称），剪力 图在对称位置的剪力数值相等、符号相反，也具有 对称性（工程上把这种对称称为反对称）。土木工 程中对称结构使用非常广泛，一方面对称美符合人 们的审美要求，另一方面结构受力合理，不仅可以 简化计算，而且也可以简化设计计算和提高施工的 效率。
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2. 梁内力图的绘制
例1:如图a 所示外伸梁，已知F=5 kN，q=4 kN/m，
试绘制梁的内力图。
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(3) 绘制弯矩图(图c)。无力偶，跟剪力图走，绘制过程见表4-4。
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XA MA
A
YA
4.1.4 梁的基本形式
静定梁：仅由静力平衡条件可唯一确定梁的全部 支反力和内力。
①简支梁 (simple supported beam)
②悬臂梁 (cantilever beam)
③外伸梁(overhanging beam)
§4-2 梁的内力—剪力和弯矩
4.2.1 截面法求梁的内力
M
Q
RB
内力的正负规定:
①剪力Q(shear): 绕研究对象顺时针转为正 （使之左上右下错动）；反之为负。
Q(+)
Q(–)
Q(+)
Q(–)
②弯矩M (moment)：使梁变成凹形的为正弯矩；使 梁变成凸形的为负弯矩。或者说：使梁上 侧纤维受压，下侧纤维受拉为正。
M(+)
M(+)
M(–)
M(–)
[例4-1]：求图示梁1-1、2-2截面处的内力。
ql 1
2q
解：1-1截面:
Fy 0: Q1 ql
1a ql
2b
MC 0 : M1 qlx1
O M1 x1 Q1
2-2截面:
Fy 0 :
Q2 qx2 a ql
mO 0 :
ql
x2
O M2 Q2
qlx2
M2
1 2
q( x2
a)2
0
M2
1 2
q( x2
a)2
qlx2
4.1.4 直接法求梁的内力
口诀：左上右下，剪力为正；左顺右逆，弯矩为正。
11
例题 4-2
计算1-1,2-2截面的剪力和弯矩。
注：若求得的支反力为负 值，则需按实际方向画出！
解：计算支反力
11:FA 50kN FB 10kN
FA
FB
Q1 (20 50 10 0.5)kN
25kN
M1 (201.5 50 0.5 10 0.5 0.25)kN m 6.25kN m
RB (2)建立剪力、弯矩方程：分AC、
CB两段考虑，以A为原点。
M(x) RA x Q(x)
AC段：
Q(x)
RA
Fb l
0
x
a
RA
x Fb /l
F
M(x)
M(x)
RA
x
Fb l
x0
x
a
Q(x)
CB段：
Q( x)
RA
F
l
a
x
l
Q
+
-
M(x)
RA
x
Fx
a
Fa l
l
xa
x
l
Fa /l (3)绘制剪力图、弯矩图：
剪力方程(equation of shearing force) ： Q=Q（x） 弯矩方程(equation of bending moment) ：M=M（x）
2. 剪力图(diagram of shearing force)和弯矩图(diagram of
bending moment)：表示梁在各截面上剪力和弯矩的图形。
M
+
在集中力F作用点处，Q图
Fab /l
发生突变，M图出现折点！
A
mC
B
x
RA
a
b RB
l
解：(1)计算支反力：
MA 0 : RB m / l MB 0 : RA m / l
(2)建立剪力、弯矩方程：分AC、
M(x)
CB两段考虑，以A为原点。
RA RA
x Q(x) m
x
M(x) Q(x)
Q
计算步骤：
x
(1)确定支座反力；
(2)分段建立剪力、弯矩方程；
x
(3)作剪力图、弯矩图。
M
（弯矩图画在梁受拉的一侧！）
[例4-3]q 求图示简支梁的内力方程并画内力图。
A
RA
x l
B 解:(1)计算支反力：以整梁为
研究对象
RB
q
对称 ∴RA RB ql / 2 ()
M(x) RA x Q(x)
22:
QQ22(（ 2100 50101001..55）)kNkN 15kN15kN
MM2
2
(2（0120.505.051.05 .2150
11.500.705.5）20k)kNN
mm
6.265.k2N5kmN m（可用右段进行验证!）
12
（与保留左端求得结果一致）
§4-3 剪力图与弯矩图
1. 内力方程：
ql /2 + Q
ql /2
(2)建立剪力、弯矩方程：
∑Fy 0：
Q(x) ql－qx0 x l
2
∑MC
0：M (
x)
ql 2
x
q 2
x 2 0
x
l
M +
ql 2/8
(3)绘制剪力图、弯矩图
在Q=0处，M取得最大值。
F
解:(1)计算支反力：
A
B
RA
C
x a
b
l
RA Fb / l RB Fa / l ()
第四章 梁的内力—剪力和弯矩
§4-1 §4-2 §4-3 §4-4 §4-5
工程实际中的受弯杆 梁的内力—剪力和弯矩 剪力图和弯矩图 荷载、剪力和弯矩间的关系 用叠加原理作剪力图和弯矩图
4.1 工程实际中的受弯杆
2
4.1.1 梁的受力与变形特点
受力特点：垂直于轴线的横向力或轴线平面内的力偶。 变形特点：原为直线的轴线变为曲线。 梁(beam)——以弯曲变形为主的构件。
a
F11
m
例：求截面1-1上的内力。 A
B
解：(1)确定支反力RA和RB
RA
x1
(2)取左段梁为脱离体：
RB
F1
Fy 0 : RA F1 Q 0
CM
Q RA F1
RA
MC 0:
M F1( x a) RA x 0
M RA x F1( x a)
x
Q
对截面形心C取矩！
m
二、载荷简化
1. 集中力(N，kN)
P
2. 集中力偶(Nm， kNm)
m
m
q
3. 分布载荷(N/m，kN/m)
三、 支座简化
①固定铰支座（fixed support） ：2个约束
②可动铰支座(hinge support） ： 1个约束
A
YA
A
A
A
XA
A
A
YA
③固定端（fixed-end support）：3个约束
4.1.2 平面弯曲的概念
P
q
m
对称轴 (symmetrical axis)
杆件轴线
纵向对称面
平面弯曲(plane bending)：当所有外力(或者外力的 合力)作用于纵向对称面内时，杆件的轴线在对称面内 弯曲成一条平面曲线。
4.1.3 梁的简化—计算简图的选取 计算简图
—表示杆件几何特征与受力特征的力学模型。 一、梁本身的简化：以轴线代替梁，长度称为跨度。
Q Fi
i
M Mi
i
(1) 某横截面上的剪力Fs，在数值上等于该横截面左侧
或者右侧梁上外力(不包括力偶）的代数和。该横截面 左侧梁上的外力向上取正值，向下取负值；该横截面右 侧梁上的外力向上取负值，向下取正值。
(2) 某横截面上的弯矩M，在数值上等于该横截面左侧 或者右侧梁上外力对该横截面形心取矩的代数和。该横 截面左侧梁上的外力对截面形心取矩顺时针为正值，逆 时针为负值；该横截面右侧梁上的外力对截面形心取矩 逆时针为正值，顺时针为负值。