线性系统的稳定性 一、系统的因果性因果系统（连续的或离散的）指的是，系统的零状态响应()∙zs y 不出现于激励()∙f 之前的系统。
也就是说，对于0=t （或0=k ）接入的任意激励()∙f ，即对于任意的 ()0=∙f ，t（或k）0<（8.7-1）如果系统的零状态响应都有 ()0=∙zs y ，t（或k）0<（8.7-2）就称该系统为因果系统，否则称为非因果系统。
连续因果系统的充分必要条件是：冲激响应()0,0<=t t h （8.7-3a ）或者，系统函数()s H 的收敛域为[]0Re σ>s (8.7-3b)即其收敛域为收敛坐标0σ以右的半平面，换言之，()s H 的极点都在收敛轴[]0Re σ=s 的左边。
离散因果系统的充分必要条件是：单位序列响应为()0,0<=k k h （8.7-4a ）或者，系统函数()z H 的收敛域为0ρ>z （8.7-4b ）即其收敛域为半径等于0ρ的圆外区域，换言之，()z H 的极点都在收敛圆0ρ=z 内部。
现在证明连续因果系统的充要条件。
设系统的输入()()t t f δ=，显然在0<t 时()0=t f ，这时的零状态响应为()t h ，所以若系统是因果的，则必有()0,0<=t t h 。
因此，式（8.7-3a ）是必要的。
但式（8.7-3a ）的条件能否保证对所有满足式（8.4-1）的激励()t f ，都能满足式（8.4-2），即其充分性还有待证明。
对任意激励()t f 系统的零状态响应()t y zs 等于()t h 与()t f 的卷积，考虑到0<t 时()0=t f ，有()()()⎰∞--=tzs d t f h t y τττ如果()t h 满足式（8.4-3a ），即有()0,0=<ττh ，那么当0<t ，上式为0，当0>t 时，上式为()()()⎰-=tzs d t f h t y 0τττ 即0<t 时，()0=t y zs 。
因而式（8.4-3a ）的条件也是充分的。
根据拉普拉斯变换的定义，如果()t h 满足式（8.4-3a ）,则 ()()[][]0Re ,σ>=s t h s H L 即式（8.4-3b ）。
离散因果系统的充要条件的证明也上类似，这里从略。
二、系统的稳定性在研究和设计各类系统中，系统的稳定性十分重要。
譬如，某连续时间系统的系统函数为()2001.011-++=s s s H 当输入为单位阶跃函数()t ε时，系统零状态响应的象函数为 ()()20005.0110005.011-++--==s s s ss H s Y zs 考虑到10005.0<<，取上式的拉普拉斯变换，得 ()()()t e e t y t t zs ε20005.01+-=-上式的前两项是()t ε和衰减函数()t e t ε-，此外还有一个正指数项，在t 较小时，这个正指数项可以忽略不计，可是，当t 很大时，这个正指数项超过其他项并随着t 的增长而不断增大。
实际的系统不会是完全线性的，这样，很大的信号将使设备工作在非线性部分，放大器的晶体管会饱和或截止，一个机械系统可能停止或发生故障等等。
这不仅使系统不能正常工作，有时还会发生损坏和危险，如烧毁设备等。
确定系统一个系统（连续的或离散的）如果对任意的有界输入，其零状态响应也是有界的，则称该系统是有界输入有界输出（BIBO ）稳定系统。
也就是说，设f M 、y M 为正实常数，如果系统对于所有的激励()f M f ≤⋅ （8.7-5） 其零状态响应为()y zs M y ≤⋅ （8.7-6）则称该系统是稳定的。
连续系统是稳定系统的充分必要条件是()⎰∞∞≤-M dt t h （8.7-7）式中M 为正常数。
即若系统的冲激响应是绝对可积的，则该系统是稳定的。
离散系统是稳定系统的充分必要条件是()M k h k ≤∑∞-∞=（8.7-8）式中M 为正常数。
即若系统的冲激序列响应是绝对可和的，则该系统的是稳定的。
现在证明稳定连续系统的充要条件。
对于任意的有界输入()()[]f M t f t f ≤系统的零状态响应的绝对值为 ()()()()()()ττττττττd h M d t f h d t f h t y fzs ⎰⎰⎰∞∞-∞∞-∞∞-≤-⋅≤-=如果()t h 是绝对可积的，即式（8.7-7）成立，则 ()M M t y f zs ≤即对任意有界输入()t f ，系统的零状态响应均有界。
因此，条件式（8.7-7）是充分的。
但必要性尚待证明。
现在证明，如果()dt t h ⎰∞∞-无界，则至少有某个有界输入()t f 将产生无界输出()t y zs 。
选择如下的输入函数()()()()⎪⎩⎪⎨⎧>=<-=-0 ,1 0 ,0 0 ,1t h t h t h t f 当当当于是有()()()t h t f t h =-。
由于()()()τττd t f h t y zs -=⎰∞∞- 令0=t ，有()()()()τττττd h d f h y zs ⎰⎰∞∞-∞∞-=-=0上式表明，如果()ττd h ⎰∞∞-无界，则至少()0zs y 无界。
因此式（8.7-7）也是必要的。
稳定离散系统的充要条件的证明与上式类似，从略。
如果系统是因果的，显然稳定性的充要条件可简化为： 连续因果系统()⎰∞≤0M dt t h （8.7-9） 离散因果系统()M k h k ≤∑∞=0（8.7-10）对于既是稳定的又是因果的连续系统，其系统函数()s H 的极点都在s 平面的左半开平面。
其逆也成立，即若()s H 的极点均在左半开平面，则该系统必是稳定的因果系统。
对于既是稳定的又是因果的离散系统，其系统函数()z H 极点都在z 平面的单位圆内。
其逆也成立，即若()z H 的极点均在单位圆内，则该系统必是稳定的因果系统。
顺便指出，按以上结论，在s 平面jw 轴上的一阶极点也将使系统不稳定。
但在研究电网络时发现，无源的LC 网络，其网络函数（系统函数）在jw 轴上有一阶极点，而把无源网络看作是稳定系统较为方便。
因此，有时也把在jw 轴上有一阶极点的网络归入稳定网络类。
这类系统可称为边界稳定系统。
顺便特别指出,用系统函数()s H 或()z H 得零、极点判断系统的稳定性时，对有些系统失效。
研究表明，如果系统既是可观测的又是可控制的，那么用描述输出与输入关系的系统函数研究系统的稳定性是有效的。
这里仅简要介绍可观测性、可控制性的初步概念，第八章将做进一步讨论。
图8.7-1所示符合系统由两个子系统()s H a 、()s H b 级联组成，复合系统的系统函数为()()()αα+=+-⋅-==s s s s s H s H s H b a 1221 如果0>α，那么图8.7-1的复合系统是稳定的。
但是，如果该复合系统接入有界的输入()t f ，则子系统()s H a 的输出()t y a 将含有t e 2的项，因而()t y a 将随t 的增长而无限增长，这将使该系统不能正常工作。
这里的问题是仅从复合系统的输出()t y zs 中观测不到固有响应分量t e 2。
这样的系统成为不可观测的。
就是说，一个系统，如果在其输出端能观测到所有的固有响应分量，则称该系统为可观测的或能观测的，否则，成为不可观测的。
可观测性也称可观性。
图8.7-2的复合系统中，子系统()s H a 是不可观测的，()s H b 和()s H c 是可观测的。
但子系统()s H c 是不受输入()t f 控制的，因而不能用输入()t f 控制该子系统的输出()t y c 。
这 样的子系统也会使整个系统不能正常工作，甚至产生损坏、烧毁等恶果。
一个系统，如果能通过输入的控制作用从初始状态转移到所要求的状态，就称该系统是可控（制）的或能控制的。
第八章中将通过系统变量分析讨论这类问题。
例8.7-1 如图8.7-3所示反馈因果系统，子系统的系统函数为 ()()()211++=s s s G当常数k 满足什么条件时，系统是稳定的？ 解 如图8.7-3所示，加法器输出端的信号为 ()()()s F s KY s X += 输出信号为()()()()()()()s F s G s Y s KG s X s G s Y +== 可解得反馈系统的系统函数为 ()()()()()Ks s s KG s G s F s Y s H -++=-==23112 ()s H 的极点为K P +-⎪⎭⎫⎝⎛±-=2233222,1为使极点均在左半开平面，必须满足2223223⎪⎭⎫⎝⎛<+-⎪⎭⎫ ⎝⎛K可解得2<K ，即当2<K 时系统是稳定的。
例8.7-2 如图8.7-4所示的离散系统，当K 满足什么条件时，系统是稳定的？解 设图8.7-4系统左端加法器的输出为()z X ，可列出方程为 ()()()()z F z X Kz z z X +--=--21 ()()()z X z z z Y 21321--++= 由上式可解得系统函数为()()()Kz z z z Kz z z z z F z Y z H ++++=++++==----222121321321 其极点24112,1KP -±-=当041≥-K ，即41≤K 时为实极点，为使极点在单位圆内，必须同时满足不等式12411,12411->---<-+-KK 解上式分别得0,2>->K K 。
因而有0>K 。
当041<-K ，即41>K 为复极点，它可写为 21412,1-±-=K j P 为使极点在单位圆内，必须12,1<P ，即()()1414122<-+-K可解得1<K 。
综合以上结果可知，当10<<K 时系统是稳定的。
