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课后跟踪训练(四十)基础巩固练一、选择题1．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( )A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2abC.＋>D.＋≥21a 1b 2abb a ab[解析] ∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，∴A 错误．对于B ，C ，当a <0，b <0时，明显错误．对于D ，∵ab >0，∴＋≥2＝2.故选D.b a abb a ·ab [答案] D2．(2019·福建福州一模)在下列各函数中，最小值为2的函数是( )A ．y ＝x ＋(x ≠0)1xB ．y ＝cos x ＋1cos x (0<x <π2)C ．y ＝(x ∈R )x 2＋3x 2＋2D ．y ＝e x ＋－2(x ∈R )4e x[解析] 对于A 项，当x <0时，y ＝x ＋≤－2，故A 错；对于B1x项，因为0<x <，所以0<cos x <1，所以y ＝cos x ＋≥2中等号不成π21cos x立，故B 错；对于C 项，因为≥2，所以y ＝＝x 2＋2(x 2＋2)＋1x 2＋2x 2＋2＋≥2中等号也不能取到，故C 错；对于D 项，因为e x >0，1x 2＋2所以y ＝e x ＋－2≥2－2＝2，当且仅当e x ＝2，即x ＝ln2时等4ex e x ·4e x号成立．故选D.[答案] D3．(2019·湖南邵阳联考)已知lg(x ＋y )＝lg x ＋lg y ，则x ＋y 的取值范围是( )A ．(0,1]B ．[2，＋∞)C ．(0,4]D ．[4，＋∞)[解析] ∵lg(x ＋y )＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )，∴x ＋y ＝xy .∵x >0，y >0，x ＋y ＝xy ≤2，∴x ＋y ≥4，故选D.(x ＋y 2)[答案] D4．(2019·四川成都一诊)已知x ≥，则f (x )＝有( )52x 2－4x ＋52x －4A ．最大值2 B ．最小值2C ．最大值1 D ．最小值1[解析] ∵x ≥，∴f (x )＝＝≥·252(x －2)2＋12(x －2)12(x －2＋1x －2)12＝1，当且仅当x －2＝，即x ＝3或x ＝1(舍)时取等(x －2)·1x －21x －2号，∴f (x )有最小值1，故选D.[答案] D5．(2019·河南平顶山、许昌、汝州联考)若3x ＋2y ＝2，则8x ＋4y的最小值为( )A ．4B ．4C ．2D ．222[解析] ∵3x ＋2y ＝2，∴8x ＋4y ＝23x ＋22y ≥2＝223x ·22y 23x ＋2y＝4，当且仅当3x ＋2y ＝2且3x ＝2y ，即x ＝，y ＝时等号成立，∴8x ＋12124y 的最小值为4，故选A.[答案] A 二、填空题6．函数y ＝sin x ＋，x ∈(0，]的最小值为________．4sin x π2[解析] 设t ＝sin x ，x ∈(0，]，则t ∈(0,1]，易知y ＝t ＋在(0,1]π24t 上为减函数，故当t ＝1时，y 取得最小值5.[答案] 57.(2019·黑龙江齐齐哈尔八校联考)若对x >0，y >0，x ＋2y ＝1，有＋≥m 恒成立，则m 的最大值是________．2x 1y[解析] ∵x >0，y >0，x ＋2y ＝1，∴＋＝(x ＋2y )·＝2＋2＋2x 1y (2x ＋1y)＋≥4＋2＝8，当且仅当x ＝，y ＝时取等号，∴＋的最4y x x y 4y x ·x y 12142x 1y 小值为8，又＋≥m 恒成立，∴m ≤8，即m 的最大值为8.2x 1y[答案] 88．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m 2、形状为直角三角形的框架，选用最合理(够用且浪费最少)的铁丝的长为________m.[解析] 设两直角边分别为a m ，b m ，框架的周长为l ，则ab ＝2，12即ab ＝4，∴l ＝a ＋b ＋≥2＋＝4＋2，当且仅当a ＝b a 2＋b 2ab 2ab 2＝2时取等号，故选用最合理(够用且浪费最少)的铁丝的长为(4＋22)m.[答案] 4＋22三、解答题9．(2018·唐山一中月考)(1)已知x <，求函数y ＝4x －2＋的5414x －5最大值；(2)已知x >0，y >0且＋＝1，求x ＋y 的最小值．1x 9y [解] (1)∵x <，∴4x －5<0.54∴y ＝4x －5＋＋3＝－ (5－4x )＋＋3,≤－214x －515－4x ＋3＝1，当且仅当x ＝1时等号成立，,∴y max ＝(5－4x )×15－4x 1.,(2)∵x >0，y >0且＋＝1，,∴x ＋y ＝(x ＋y )＝10＋＋1x 9y (1x ＋9y )y x 9xy≥10＋2＝16，y x ·9xy当且仅当x ＝4，y ＝12时等号成立，即x ＋y 的最小值为16.10．(2018·河北唐山二模)已知a >0，b >0，c >0，d >0，a 2＋b 2＝ab ＋1，cd >1.(1)求证：a ＋b ≤2；(2)判断等式＋＝c ＋d 能否成立，并说明理由．ac bd [解] (1)证明：由题意得(a ＋b )2＝3ab ＋1≤32＋1，当且仅当a ＝b 时取等号．(a ＋b 2)解得(a ＋b )2≤4，又a ，b >0，所以a ＋b ≤2.(2)不能成立．理由：由均值不等式得＋≤＋，当且仅当a ＝cac bd a ＋c 2b ＋d2且b ＝d 时等号成立．因为a ＋b ≤2，＋≤1＋.ac bd c ＋d2因为c >0，d >0，cd >1，所以c ＋d ＝＋≥＋>＋1≥＋，c ＋d 2c ＋d 2c ＋d2cd c ＋d2ac bd ＋＝c ＋d 不能成立．ac bd 能力提升练11．(2018·四川南充模拟)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y的最小值是( )A. B. C ．5 D ．6245285[解析] 因为x ＋3y ＝5xy ，＋＝5，所以3x ＋4y ＝(3x ＋4y )1y 3x 15＝＋≥×2×＋＝5，当且仅当x ＝1，y ＝(1y ＋3x )15(3x y ＋12y x )1351536135时等号成立．故选C.12[答案] C12．若不等式m ≤＋当x ∈(0,1)时恒成立，则实数m 的最12x 21－x 大值为( )A ．9 B. C ．5 D.9252[解析] x ∈(0,1)时1－x >0，∴＋＝＋12x 21－x (1－x )＋x 2x 2(1－x )＋2x1－x＝＋＋＋2≥＋2＝，当且仅当1－x ＝2x 即x ＝时取1－x 2x 2x 1－x 125219213得最小值，∴使m ≤＋恒成立的实数m 的最大值为，故选B.9212x 21－x 92[答案] B13．(2018·甘肃张掖月考)设a >0，b >1，若a ＋b ＝2，则＋3a 1b －1的最小值为________．[解析] ∵a >0，b >1，a ＋b ＝2，∴＋＝(a ＋b －1)3a 1b －1(3a ＋1b －1)＝3＋＋＋1＝4＋＋≥4＋2，当＝3(b －1)a a b －13(b －1)a a b －133(b －1)a，即a ＝，b ＝时取等号，故答案为4＋2.a b －13－323＋123[答案] 4＋2314．(2019·江苏盐城中学期末)我校为丰富师生课余活动，计划在一块形状为直角三角形的空地ABC 上修建一个占地面积为S (平方米)的矩形AMPN 健身场地，如图，点M 在AC 上，点N 在AB 上，且P 点在斜边BC 上，已知∠ACB ＝60°，|AC |＝30米，|AM |＝x 米，x ∈[10,20]．设矩形AMPN 健身场地每平方米的造价为元，再把矩形37k S AMPN 以外(阴影部分)铺上草坪，每平方米的造价为(k 为常数)元．12kS(1)试用x 表示S ，并求S 的取值范围；(2)求总造价T 关于面积S 的函数T ＝f (S )；(3)如何选取|AM |，使总造价T 最低．(不要求求出最低造价)[解] (1)在Rt △PMC 中，显然|MC |＝30－x ，∠PCM ＝60°，|PM |＝|MC |·tan ∠PCM ＝(30－x )，3矩形AMPN 的面积S ＝|PM |·|AM |＝x (30－x )，x ∈[10,20]，于3是200≤S ≤225.33(2)矩形AMPN 健身场地造价T 1＝37k ，又△ABC 的面积为450S ，即草坪造价T 2＝(450－S )，由总造价T ＝T 1＋T 2，得T ＝25k 312kS3，200≤S ≤225.(S ＋2163S)33(3)因为＋≥12，当且仅当＝，即S ＝S2163S63S 2163S216时等号成立，此时，x (30－x )＝216，解得x ＝12或x ＝18.333所以选取|AM |的长为12米或18米时总造价T 最低．拓展延伸练15．(2018·辽宁鞍山三中第三次适应性考试)函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中m ，n 均大于0，则＋的最小值为( )1m 2nA ．2B ．4C ．8D ．16[解析] ∵当x ＝－2时，y ＝log a 1－1＝－1，∴函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点(－2，－1)，即A (－2，－1)．∵点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，∴－2m －n ＋1＝0，即2m ＋n ＝1.∵m >0，n >0，∴＋＝(2m ＋n )＝2＋＋＋2≥4＋21m 2n (1m ＋2n )n m 4mn ＝8，当且仅当m ＝，n ＝时取等号．故选C.n m ·4m n 1412[答案] C16．(2017·天津卷)若a ，b ∈R ，ab >0，则的最小值为a 4＋4b 4＋1ab ________．[解析] 因为ab >0，所以≥＝4ab ＋≥2a 4＋4b 4＋1ab 4a 2b 2＋1ab 1ab＝4，当且仅当Error!即Error!时取等号，故的最4ab ·1ab a 4＋4b 4＋1ab 小值为4.[答案] 4。
跟踪训练(三十四) 不等关系与不等式[基础巩固]一、选择题1．若a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则下列不等式一定成立的是( ) A ．a ＋c ≥b －c B ．ac >bc C.c 2a －b>0D ．(a －b )c 2≥0[解析] 当c ＝0时，B ，C 不成立；当a ＝1，b ＝0，c ＝－2时，A 不成立；因为a －b >0，c 2≥0，所以D 成立．[答案] D2．(2018·陕西商洛商南高中模拟)下列命题为真命题的是( ) A ．若ac >bc ，则a >b B ．若a 2>b 2，则a >b C ．若1a >1b，则a <bD ．若a <b ，则a <b[解析] 由ac >bc ，当c <0时，有a <b ，选项A 错误；若a 2>b 2，不一定有a >b ，如(－3)2>(－2)2，但－3<－2，选项B 错误； 若1a >1b ，不一定有a <b ，如12>－13，但2>－3，选项C 错误； 若a <b ，则(a )2<(b )2，即a <b ，选项D 正确． 故选D. [答案] D3．若m ＝3＋5，n ＝2＋6，则下列结论正确的是( ) A ．m <n B ．n <mC ．n ＝mD ．不能确定m ，n 的大小[解析] ∵m ＝3＋5，∴m 2＝8＋215，∵n ＝2＋6，∴n 2＝8＋212，∴m 2>n 2，∴m >n .[答案] B4．(2018·吉林省吉林一中月考)若a >b ，x >y ，下列不等式不正确的是( ) A ．a ＋x >b ＋y B ．y －a <x －b C ．|a |x >|a |yD ．(a －b )x >(a －b )y[解析] 当a ≠0时，|a |>0，不等式两边同乘一个大于零的数，不等号方向不变． 当a ＝0时，|a |x ＝|a |y ，故|a |x ≥|a |y .故选C. [答案] C5．若a ，b 为实数，则“ab <1”是“0<a <1b”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 由a ，b 为实数，ab <1，可令a ＝－1，b ＝1，则ab ＝－1<1成立，但推不出0<a <1b；由0<a <1b ，可得b >0，∴0<ab <1，可推出ab <1，∴“ab <1”是“0<a <1b”的必要不充分条件．[答案] B6．(2016·浙江卷)已知a ，b >0且a ≠1，b ≠1，若log a b >1，则( ) A ．(a －1)(b －1)<0 B ．(a －1)(a －b )>0 C ．(b －1)(b －a )<0 D ．(b －1)(b －a )>0[解析][答案] D 二、填空题7．若ab <0，且a >b ，则1a 与1b的大小关系是________．[解析] ∵a >b ，∴b －a <0， 又ab <0，则1a －1b ＝b －a ab >0，即1a >1b.[答案] 1a >1b8．若a ＝ln33，b ＝ln22，则a 与b 的大小关系为________．[解析] ∵a ＝ln33>0，b ＝ln22>0，∴a b ＝ln33·2ln2＝2ln33ln2＝ln9ln8＝log 89>1，∴a >b . [答案] a >b9．若角α，β满足－π2<α<β<π2，则2α－β的取值范围是________．[解析] ∵－π2<α<β<π2，∴－π2<α<π2，－π2<β<π2，－π2<－β<π2，而α<β.∴－π<α－β<0，∴2α－β＝(α－β)＋α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，π2.[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，π2三、解答题10．比较下列各组中两个代数式的大小． (1)3m 2－m ＋1与2m 2＋m －3；(2)a 2b ＋b 2a与a ＋b (a >0，b >0)．[解] (1)∵(3m 2－m ＋1)－(2m 2＋m －3)＝m 2－2m ＋4＝(m －1)2＋3>0， ∴3m 2－m ＋1>2m 2＋m －3.(2)∵a 2b ＋b 2a －(a ＋b )＝a 3＋b 3－a 2b －ab 2ab＝a 2a －b ＋b 2b －a ab ＝a －b a 2－b 2ab＝a －b2a ＋bab.又∵a >0，b >0， ∴a －b2a ＋bab≥0，故a 2b ＋b 2a≥a ＋b .[能力提升]11．(2018·黑龙江大庆实验中学期末)若x ∈(0,1)，a ＝ln x ，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12ln x ，c ＝2ln x，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．b >c >aD ．c >b >a[解析] 因为x ∈(0,1)，所以a ＝ln x <0，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12ln x >1,0<c ＝2ln x<1，所以b >c >a ，故选C.[答案] C12．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且0<f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，则( ) A ．c ≤3 B ．3<c ≤6 C ．6<c ≤9D ．c >9[解析] 由f (－1)＝f (－2)＝f (－3)得，－1＋a －b ＋c ＝－8＋4a －2b ＋c ＝－27＋9a－3b ＋c ，消去c 得⎩⎪⎨⎪⎧3a －b ＝7，5a －b ＝19，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝11，于是0<c －6≤3，即6<c ≤9.故选C.[答案] C13．用一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m ，要求菜园的面积不小于216 m 2，靠墙的一边长为x m ，其中的不等关系可用不等式(组)表示为________．[解析] 矩形靠墙的一边长为x m ，则另一边长为30－x 2 m ，即⎝⎛⎭⎪⎫15－x 2 m ，根据题意知⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤18，x ⎝⎛⎭⎪⎫15－x 2≥216.[答案] ⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤18，x ⎝⎛⎭⎪⎫15－x 2≥21614．已知存在实数a 满足ab 2>a >ab ，则实数b 的取值范围是________． [解析] ∵ab 2>a >ab ，∴a ≠0， 当a >0时，b 2>1>b ，即⎩⎪⎨⎪⎧ b 2>1，b <1，解得b <－1；当a <0时，b 2<1<b ，即⎩⎪⎨⎪⎧b 2<1，b >1，此式无解．综上可得实数b 的取值范围为(－∞，－1)． [答案] (－∞，－1)15．已知b >a >0，x >y >0，求证：xx ＋a >yy ＋b.[证明]x x ＋a －yy ＋b ＝x y ＋b －y x ＋a x ＋a y ＋b ＝bx －ayx ＋a y ＋b.∵b >a >0，x >y >0，∴bx >ay ，x ＋a >0，y ＋b >0， ∴bx －ayx ＋a y ＋b >0，∴x x ＋a >yy ＋b.16．(2017·大连模拟)设f (x )＝ax 2＋bx ，若1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，求f (－2)的取值范围．[解] 解法一：设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1)(m ，n 为待定系数)，则4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )，即4a －2b ＝(m ＋n )a ＋(n －m )b .于是得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4，n －m ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1，∴f (－2)＝3f (－1)＋f (1)． 又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10.解法二：由⎩⎪⎨⎪⎧1≤a －b ≤2，2≤a ＋b ≤4确定的平面区域如图阴影部分，当f (－2)＝4a －2b 过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12时，取得最小值4×32－2×12＝5， 当f (－2)＝4a －2b 过点B (3,1)时， 取得最大值4×3－2×1＝10， ∴5≤f (－2)≤10.[延伸拓展](2017·安徽合肥质检)已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且满足b ＋c ≤3a ，则c a的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．(0,2)C ．(1,3)D ．(0,3)[解析] 由已知及三角形三边关系得⎩⎪⎨⎪⎧a <b ＋c ≤3a ，a ＋b >c ，a ＋c >b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1<b a ＋c a≤3，1＋b a >ca ，1＋c a >b a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1<b a ＋ca ≤3，－1<c a －ba <1，两式相加得，0<2×c a<4，∴c a的取值范围为(0,2)，故选B. [答案] B。
心尺引州丑巴孔市中潭学校第七章 不等式、推理与证明一、选择题(6×5分＝30分)1．(2021·高考)设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x <0，那么不等式f (x )>f (1)的解集是( )A ．(－3,1)∪(3，＋∞)B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1,3)解析：f (1)＝12－4×1＋6＝3，当x ≥0时，x 2－4x ＋6>3，解得x >3或0≤x <1；当x <0时，x ＋6>3，解得－3<x <0.答案：A2．(2021·模拟)假设a >b >0，那么以下不等式中总成立的是( ) A ．a ＋1b >b ＋1aB.b a >b ＋1a ＋1C ．a ＋1a >b ＋1bD.2a ＋b a ＋2b >a b解析：∵a >b >0，∴1b >1a .又∵a >b ，∴a ＋1b >b ＋1a.答案：A3．(2021·模拟)假设2m＋4n<22，那么点(m ，n )必在( )A ．直线x ＋y ＝1的左下方B ．直线x ＋y ＝1的右下方C ．直线x ＋2y ＝1的左下方D ．直线x ＋2y ＝1的右上方解析：∵2m＋4n＝2m＋22n≥22m ＋2n，∴22m ＋2n<22，即m ＋2n <1，∴点(m ，n )必在直线x ＋2y ＝1的左下方． 答案：C4．(2021·调研)设x 、y 均为正实数，且32＋x ＋32＋y ＝1，那么xy 的最小值为( ) A ．4 B ．43 C ．9D ．16解析：由32＋x ＋32＋y ＝1可得xy ＝8＋x ＋y .∵x ，y 均为正实数，∴xy ＝8＋x ＋y ≥8＋2xy (当且仅当x ＝y 时等号成立)， 即xy －2xy －8≥0，可解得xy ≥4，即xy ≥16，故xy 的最小值为16. 答案：D5．(2021·高考)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比方：他们研究过图(1)中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图(2)中的1,4,9,16，…这样的数为正方形数，以下数中既是三角形数又是正方形数的是( )A ．289B ．1 024C ．1 225D ．1 378解析：根据图形的规律可知第n 个三角形数为a n ＝n n ＋12，第n 个正方形数为b n ＝n 2，由此可排除D(1378不是平方数)．将A 、B 、C 选项代入到三角形数表达式中检验可知，符合题意的是C 选项，应选C.答案：C6．(2021·高考)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，x ≥0，y ≥0，假设目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为12，那么2a ＋3b的最小值为( )A.256B.83C.113D ．4解析：不等式表示的平面区域如下列图阴影局部，当直线ax ＋by ＝z (a >0，b >0)过直线x －y ＋2＝0与直线3x －y －6＝0的交点A (4,6)时，目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)取得最大值12，即4a ＋6b ＝12，即2a ＋3b ＝6，而2a ＋3b ＝(2a ＋3b )·2a ＋3b 6＝136＋(b a ＋a b )≥136＋2＝256. 答案：A二、填空题(3×5分＝15分)7．(2021·高考)假设函数f (x )＝⎩⎨⎧1x，x <0，⎝⎛⎭⎫13x，x ≥0，那么不等式|f (x )|≥13的解集为________．解析：①当x <0时，|f (x )|＝⎪⎪⎪⎪1x ≥13，即1x ≤－13，∴－3≤x <0. ②当x ≥0时，⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x ≥13，即⎝⎛⎭⎫13x ≥13，∴0≤x ≤1. 由①②可得－3≤x ≤1. 答案：{x |－3≤x ≤1} 8．等差数列{a n }中，有a 11＋a 12＋…＋a 2010＝a 1＋a 2＋…＋a 3030，那么在等比数列{b n }中，会有类似的结论：________.解析：由等比数列的性质可知，b 1b 30＝b 2b 29＝…＝b 11b 20，∴10b 11b 12…b 20＝30b 1b 2…b 30.答案：10b 11b 12…b 20＝30b 1b 2…b 309．(2021·模拟)等差数列{a n }的首项a 1及公差d 都是整数，前n 项和为S n (n ∈N *)．假设a 1>1，a 4>3，S 3≤9，那么通项公式a n ＝________.解析：由a 1>1，a 4>3，S 3≤9，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1>1，a 1＋3d >3，a 1＋d ≤3，令x ＝a 1，y ＝d 得⎩⎪⎨⎪⎧x >1，x ＋3y >3，x ＋y ≤3，x ，y ∈Z ，在平面直角坐标系中画出可行域如下列图．符合要求的整数点只有(2,1)，即a 1＝2，d ＝1，所以a n ＝2＋n －1＝n ＋1.答案：n ＋1 三、解答题(共37分)10．(12分)某拟建一块周长为400 m 的操场如下列图，操场的两头是半圆形，中间区域是矩形，学生做操一般安排在矩形区域，为了能让学生的做操区域尽可能大，试问如何设计矩形的长和宽？解析：设中间矩形区域的长，宽分别为x m ，y m ， 中间的矩形区域面积为S ， 那么半圆的周长为πy2，因为操场周长为400， 所以2x ＋2×πy2＝400，即2x ＋πy ＝400(0<x <200,0<y <400π)，∴S ＝xy ＝12π·(2x )·(πy )≤12π·(2x ＋πy 2)2＝20 000π， 由⎩⎨⎧2x ＝πy ，2x ＋πy ＝400，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝100.y ＝200π.∴当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝100y ＝200π时等号成立，即把矩形的长和宽分别设计为100 m 和200πm 时，矩形区域面积最大．11．(理)(12分)正数数列{a n }中，前n 项和S n ＝12(a n ＋1a n)(n ∈N *)，求a 1，a 2，a 3并推测出{a n }的通项公式，用数学归纳法证明．解析：由S 1＝a 1＝12(a 1＋1a 1)且a 1>0， 解得a 1＝1.由S 2＝a 1＋a 2＝12(a 2＋1a 2)且a 2>0，解得a 2＝2－1.由S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝12(a 3＋1a 3)且a 3>0， 解得a 3＝3－ 2. 推测a n ＝n －n －1.证明：(1)当n ＝1时，等式成立． (2)假设n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时结论成立，即a k ＝k －k －1. 这时，S k ＝12(a k ＋1a k)＝12[(k －k －1)＋1k －k －1]＝k . 那么由S k ＋1＝S k ＋a k ＋1＝12(a k ＋1＋1a k ＋1)， 即k ＋a k ＋1＝12(a k ＋1＋1a k ＋1)，得 a k ＋12＋2k ·a k ＋1－1＝0.∵a k ＋1>0，解得a k ＋1＝k ＋1－k ， 即n ＝k ＋1时结论也成立，由(1)，(2)可知a n ＝n －n －1对一切正整数n 都成立．(文)(12分)(2021·)制定HY 方案时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某HY 人打算HY 甲、乙两个工程，根据预测，甲、乙两个工程可能出现的最大盈利率分别为100%和50%，可能出现的最大的亏损率分别为30%和10%，HY 人方案HY 的金额不超过10万元．(1)为了确保资金亏损不超过万元，请你给HY 人设计一个HY 方案，使得HY 人获得的利润最大； (2)求HY 人资金亏损不超过1万元的概率．解析：(1)设HY 人分别用x 万元、y 万元HY 甲、乙两个工程，z 代表盈利金额． 那么z ＝x ＋0.5y ，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤10，0.3x ＋0.1y ≤，x ≥0，y ≥0.作出可行域，如图①，易知B 点为最优解，解方程组 ⎩⎨⎧x ＋y ＝10，0.3x ＋0.1y ＝，得B (4,6)．故z max ＝4＋0.5×6＝7，即甲工程HY4万元，乙工程HY6万元能使资金亏损不超过万元的情况下盈利最大．① ②(2)由题意可知，此题为几何概型问题，如图②.P ＝S △AOC S △AOD ＝12×103×1012×10×10＝13. 12．(13分)(2021·六校联考)设f (x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，假设a ＋b ＋c ＝0，f (0)>0，f (1)>0，求证：(1)a >0且－2<b a<－1；(2)方程f (x )＝0在(0,1)内有两个实根． 证明：(1)因为f (0)>0，f (1)>0， 所以c >0,3a ＋2b ＋c >0.由条件a ＋b ＋c ＝0，消去b ，得a >c >0； 由条件a ＋b ＋c ＝0，消去c ，得a ＋b <0,2a ＋b >0.故－2<b a<－1.(2)抛物线f (x )＝3ax 2＋2bx ＋c 的顶点坐标为(－b 3a ，3ac －b 23a )，在－2<b a <－1的两边乘以－13，得13<－b 3a <23. 又因为f (0)>0，f (1)>0，而f (－b 3a )＝－a 2＋c 2－ac 3a<0， 所以方程f (x )＝0在区间(0，－b 3a )与(－b3a ，1)内分别有一实根． 故方程f (x )＝0在(0,1)内有两个实根．。
课时跟踪训练(三十六)[基础巩固]一、选择题1．(2017·山西临汾一中)不等式y (x ＋y －2)≥0在平面直角坐标系中表示的区域(用阴影部分表示)是( )[解析] 由y ·(x ＋y －2)≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧ y ≥0，x ＋y －2≥0或⎩⎪⎨⎪⎧y ≤0，x ＋y －2≤0，所以不等式y ·(x ＋y －2)≥0在平面直角坐标系中表示的区域是C 项，故选C.[答案] C2．(2017·河北卓越联盟联考)已知点(－3，－1)和(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则实数a 的取值范围为( )A ．(－7,24)B ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)C ．(－24,7)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)[解析] 由题意可知(－9＋2－a )(12＋12－a )<0，所以(a ＋7)·(a －24)<0，所以－7<a <24.[答案] A3．(2017·山东卷)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋3≤0，3x ＋y ＋5≤0，x ＋3≥0，则z＝x ＋2y 的最大值是( )A ．0B ．2C ．5D ．6[解析] 本题考查简单的线性规划．由约束条件画出可行域，如图．由z ＝x ＋2y 得y ＝－x 2＋z 2，当直线y ＝－x 2＋z2经过点A 时，z 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＋5＝0，x ＋3＝0得A 点的坐标为(－3,4)．故z max ＝－3＋2×4＝5.故选C.[答案] C4．(2017·浙江卷)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y －3≥0，x －2y ≤0，则z ＝x＋2y 的取值范围是( )A ．[0,6]B ．[0,4]C ．[6，＋∞)D ．[4，＋∞)[解析] 本题考查线性规划中可行域的判断，最优解的求法．不等式组形成的可行域如图所示．平移直线y ＝－12x ，当直线过点A (2,1)时，z 有最小值4.显然z 没有最大值．故选D.[答案] D5．x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为( )A.12或－1 B ．2或12 C ．2或1 D ．2或－1[解析] 画出x ，y 约束条件限定的可行域，如图阴影区域所示，由z ＝y －ax 得y ＝ax ＋z ，当直线y ＝ax 与直线2x －y ＋2＝0或直线x ＋y －2＝0平行时，符合题意，则a ＝2或－1.[答案] D6．(2018·浙江重点中学联考)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，4x ＋3y ≤12，则x ＋2y ＋3x ＋1的取值范围是( )A ．[1,5]B ．[2,6]C ．[3,10]D ．[3,11][解析] 根据约束条件画出可行域如图阴影部分所示．∵x ＋2y ＋3x ＋1＝1＋2(y ＋1)x ＋1， 令k ＝y ＋1x ＋1，即为可行域中的任意点(x ，y )与点(－1，－1)连线的斜率．由图象可知，当点(x ，y )为A (0,4)时，k 最大，此时x ＋2y ＋3x ＋1的最大值为11，当点(x ，y )在线段OB 上时，k 最小，此时x ＋2y ＋3x ＋1的最小值为3.故选D.[答案] D二、填空题7．(2017·全国卷Ⅲ)若x ，y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥0，则z＝3x －4y 的最小值为________．[解析] 本题考查简单的线性规划．画出约束条件所表示的平面区域，如图中阴影部分所示(包括边界)．可得目标函数z ＝3x －4y 在点A (1,1)处取得最小值，z min ＝3×1－4×1＝－1.[答案] －18．(2017·吉林省吉林市普通高中调研)已知O 是坐标原点，点A (－1,1)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2上的一个动点，则OA →·OM→的取值范围是________．[解析] 由题中的线性约束条件作出可行域，如图．其中C (0,2)，B (1,1)，D (1,2)．由z ＝OA →·OM →＝－x ＋y ，得y ＝x ＋z .由图可知，当直线y ＝x ＋z 分别过点C 和B 时，z 分别取得最大值2和最小值0，所以OA →·OM →的取值范围为[0,2]．[答案] [0,2]9．(2018·辽宁抚顺模拟)已知点P (x ，y )满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≤x ，2x ＋y ＋k ≤0，若z ＝x ＋3y 的最大值为8，则实数k ＝________.[解析] 依题意k <0且不等式组表示的平面区域如图所示．易得，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 3，－k 3.目标函数z ＝x ＋3y 可看作直线y ＝－13x ＋13z 在y 轴上的截距的3倍，显然当直线过点B 时截距最大，此时z 取得最大值．所以z max ＝－k 3＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 3＝－4k3＝8，解得k ＝－6.[答案] －6 三、解答题10．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2.(1)求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值；(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，求a 的取值范围．[解] (1)作出可行域如图阴影部分所示，可求得A (3,4)，B (0,1)，C (1,0)．平移初始直线12x －y ＝0，当其过A (3,4)时，z 取最小值－2，过C (1,0)时，z 取最大值1.∴z 的最大值为1，最小值为－2.(2)z ＝ax ＋2y 仅在点C (1,0)处取得最小值，由图象可知－1<－a2<2，解得－4<a <2.故所求a 的取值范围是(－4,2)．[能力提升]11．(2018·安徽皖南八校联考)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x <2，x ＋y －1≥0，z ＝|2x －2y －1|，则z 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤53，5 B ．[0,5]C ．[0,5)D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫53，5 [解析]由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x <2，x ＋y －1≥0，作出可行域如图所示阴影部分．联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，x ＋y －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1，∴A (2，－1)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，x －2y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝23，∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23，令u ＝2x －2y －1，则y ＝x －u 2－12，由图可知，当直线y ＝x －u 2－12经过点A (2，－1)时，直线y ＝x －u 2－12在y 轴上的截距最小，u 最大，最大值为2×2－2×(－1)－1＝5；当y ＝x －u 2－12经过点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23时，直线y ＝x －u 2－12在y 轴上的截距最大，u 最小，最小值为2×13－2×23－1＝－53.∴－53≤u <5，∴z ＝|u |∈[0,5)． [答案] C12．当x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －ay ≤2，x －y ≥－1，2x ＋y ≥4，时，z ＝x ＋y 既有最大值也有最小值，则实数a 的取值范围是( )A ．a <1B ．－12<a <1 C ．0≤a <1D ．a <0[解析] 先作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，2x ＋y －4≥0表示的可行域(图略)，再作x －ay －2≤0，因为x －ay －2＝0过定点(2,0)，且x －ay －2≤0与前面可行域围成的区域是封闭区域，故实数a 的取值范围是－12<a <1.[答案] B13．(2017·湖北荆襄七校联考)某校今年计划招聘女教师x 人，男教师y 人，若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥5，x －y ≤2，x <6，则该学校今年计划招聘教师最多________人．[解析] 根据线性约束条件画出可行域，如图所示．易知目标函数是z ＝x ＋y ，注意到可行域的一条边界x ＝6是虚线，可知可行域内使得z 取得最大值的正整数解为(5,5)，所以z max ＝5＋5＝10，即学校今年计划招聘教师最多10人．[答案] 1014．(2017·江西上饶期末)若Ω为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，x －y ＋2≥0表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到0时，动直线x ＋y ＝a 扫过Ω中的那部分区域的面积为________．[解析]根据线性约束条件作出可行域，如图所示．可见当a从－2连续变化到0时，动直线x＋y＝a扫过Ω中的区域为三角形OAB.显然AC⊥OB，|OA|＝|OC|，所以S△OAB＝12S△OAC＝12×12×2×2＝1.[答案] 115．(2016·天津卷)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A，B，C三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：现有吨，在此基础上生产甲、乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x，y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．(1)用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域．(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．[解] (1)由题意，得x ，y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ≤200，8x ＋5y ≤360，3x ＋10y ≤300，x ≥0，y ≥0.该二元一次不等式组所表示的平面区域为图(1)中的阴影部分．(2)设利润为z 万元，则目标函数为z ＝2x ＋3y .考虑z ＝2x ＋3y ，将它变形为y ＝－23x ＋13z ，这是斜率为－23，随z 变化的一族平行直线．z 3为直线在y 轴上的截距，当z3取最大值时，z 的值 最大．又因为x ，y 满足约束条件，所以由图(2)可知，当直线z ＝2x ＋3y经过可行域上的点M 时，截距z3最大，即z 最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ＝200，3x ＋10y ＝300，得点M 的坐标为(20,24)．所以z max ＝2×20＋3×24＝112.所以生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元．[延伸拓展](2017·江西高安中学调研)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，y ≤3，2x －y ＋λ－2≥0表示的平面区域经过四个象限，则实数λ的取值范围是( )A ．(－∞，4)B ．[1,2]C ．[2,4]D ．(2，＋∞)[解析] 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，y ≤3表示的是直线x ＝1和y ＝3分平面所得四个区域中的左下角那个区域．而不等式2x －y ＋λ－2≥0表示直线2x －y ＋λ－2＝0的右下方，由图可知，要使不等式组表示的平面区域经过四个象限，则应有λ－2>0⇒λ>2，故选D.[答案] D。
跟踪训练(三十八) 合情推理与演绎推理[基础巩固]一、选择题1．观察下面关于循环小数化分数的等式：0.3·＝39＝13，0.1· 8·＝1899＝211，0.3· 5· 2·＝352999，0.0005· 9·＝11000×5999＝5999000，据此推测循环小数0.23·可化成分数( ) A.2390 B.9923 C.815 D.730[解析] 0.23·＝0.2＋0.1×0.3·＝15＋110×39＝730.选D. [答案] D2．已知数列{a n }为11，21，12，31，22，13，41，32，23，14，…，依它的前10项的规律，则a 99＋a 100的值为( )A.3724 B.76 C.1115 D.715[解析] 由给出的数列{a n }的前10项得出规律，此数列中，分子与分母的和等于2的有1项，等于3的有2项，等于4的有3项，…，等于n 的有n －1项，且分母由1逐渐增大到n －1，分子由n －1逐渐减小到1(n ≥2)，当n ＝14时即分子与分母的和为14时，数列到91项，当n ＝15即分子与分母的和为15时，数列到104项，所以a 99与a 100是分子与分母和为15中的第8项与第9项，分别为78，69，∴a 99＋a 100＝78＋69＝3724，选A.[答案] A3．观察下列各式：55＝3125,56＝15625,57＝78125，…，则52018的末四位数字为( )A ．3125B ．5625C ．0625D ．8125 [解析] ∵55＝3125,56＝15625,57＝78125，58＝390625,59＝1953125，…，∴最后四位应为每四个循环，2018＝4×504＋2，∴52018最后四位应为5625.[答案] B4．(2017·安徽合肥一中模拟)《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术．得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：223＝223，338＝338，4415＝4415，5524＝5524，…，则按照以上规律，若99n＝99n具有“穿墙术”，则n ＝( )A ．25B ．48C ．63D ．80 [解析] 由223＝223，338＝338，4415＝4415，5524＝5524，…， 可得若99n＝99n具有“穿墙术”，则n ＝92－1＝80，故选D.[答案] D5．(2017·湖北宜昌一中、龙泉中学联考)老师带甲、乙、丙、丁四名学生去参加自主招生考试，考试结束后老师向四名学生了解考试情况，四名学生回答如下：甲说：“我们四人都没考好”；乙说：“我们四人中有人考得好”；丙说：“乙和丁至少有一人没考好”；丁说：“我没考好”．结果，四名学生中有两人说对了，则四名学生中说对了的两人是( )A ．甲 丙B ．乙 丁C ．丙 丁D ．乙 丙[解析] 如果甲对，则丙、丁都对，与题意不符，故甲错，乙对；如果丙错，则丁错，因此只能是丙对，丁错，故选D.[答案] D6．如图所示，面积为S 的平面凸四边形的第i 条边的边长记为a i (i ＝1,2,3,4)，此四边形内任一点P 到第i 条边的距离记为h i (i ＝1,2,3,4)，若a 11＝a 22＝a 33＝a 44＝k ，则1×h 1＋2×h 2＋3×h 3＋4×h 4＝2Sk.类比以上性质，体积为V 的三棱锥的第i 个面的面积记为S i (i ＝1,2,3,4)，此三棱锥内任一点Q 到第i 个面的距离记为H i (i ＝1,2,3,4)，若S 11＝S 22＝S 33＝S 44＝k ，则H 1＋2H 2＋3H 3＋4H 4值为( )A.4VkB.3V kC.2V kD.V k[解析] ∵V ＝13S 1H 1＋13S 2H 2＋13S 3H 3＋13S 4H 4＝13(kH 1＋2kH 2＋3kH 3＋4kH 4) ∴H 1＋2H 2＋3H 3＋4H 4＝3Vk.[答案] B 二、填空题7．半径为x (x >0)的圆的面积函数f (x )的导数等于该圆的周长的函数．对于半径为R (R >0)的球，类似的结论为________．[解析] 因为半径为x (x >0)的圆的面积函数f (x )＝πx 2，所以f ′(x ) ＝2πx . 类似地，半径为R (R >0)的球的体积函数V (R )＝43πR 3，所以V ′(R )＝4πR 2.故对于半径为R (R >0)的球，类似的结论为半径为R (R >0)的球的体积函数V (R )的导数等于该球的表面积的函数．[答案] 半径为R (R >0)的球的体积函数V (R )的导数等于该球的表面积的函数 8．(2017·河北卓越联盟月考)在平面内，三角形的面积为S ，周长为C ，则它的内切圆的半径r ＝2SC.在空间中，三棱锥的体积为V ，表面积为S ，利用类比推理的方法，可得三棱锥的内切球(球面与三棱锥的各个面均相切)的半径R ＝________.[解析] 若三棱锥表面积为S ，体积为V ，则其内切球半径R ＝3VS.理由如下：设三棱锥的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4， 由于内切球的球心到各面的距离等于内切球的半径， 所以V ＝13S 1R ＋13S 2R ＋13S 3R ＋13S 4R ＝13SR ，所以内切球的半径R ＝3VS.[答案]3VS9．某种平面分形图如图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为1，两两夹角为120°；二级分形图是在一级分段形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来13的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为120°，…，依此规律得到n 级分形图．n 级分形图中共有________条线段．[解析] 分形图的每条线段的末端出发再生成两条线段，由题图知，一级分形图有3＝(3×2－3)条线段，二级分形图有9＝(3×－3)条线段，三级分形图中有21＝(3×23－3)条线段，按此规律n 级分形图中的线段条数a n ＝3×2n－3.[答案] 3×2n－3 三、解答题10．(2017·山西运城4月模拟改编)宋元时期杰出的数学家朱世杰在其数学巨著《四元玉鉴》中提出了一个“茭草形段”问题：“今有茭草六百八十束，欲令‘落一形’(同垛)之，问底子几何？”他在这一问题中探讨了“垛积术”中的落一形垛(“落一形”即是指顶上一束，下一层3束，再下一层6束，……，)成三角锥的堆垛，故也称三角垛，如图，表示从上往下第二层开始的每层茭草束数，求本问题中三角垛倒数第二层茭草总束数为多少？[解析] 由题意得，从上往下第n 层茭草束数为1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋12，∴1＋3＋6＋…＋n n ＋12＝680，即12⎣⎢⎡⎦⎥⎤16n n ＋12n ＋1＋12nn ＋1＝16n (n ＋1)(n ＋2)＝680，∴n (n ＋1)(n ＋2)＝15×16×17，∴n ＝15.故倒数第二层为第14层，该层茭草总束数为14×152＝105.[答案] 105[能力提升]11．(2017·江西赣州十四县联考)我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一．并五关所税，适重一下．问本持金几何？”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金12，第2关收税金为剩余的13，第3关收税金为剩余的14，第4关收税金为剩余的15，第5关收税金为剩余的16，5关所收税金之和，恰好重1斤，问原本持金多少？”若将“5关所收税金之和，恰好重1斤，问原本持金多少？”改成“假设这个人原本持金为x ，按此规律通过第8关”，则第8关所收税金为________x .[解析] 第1关收税金：12x ；第2关收税金：13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12x ＝x 6＝x2×3；第3关收税金：14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12－16x ＝x 12＝x3×4；……第8关收税金：x 8×9＝x72. [答案]17212．(2017·安徽合肥模拟)“已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为(1,2)，解关于x 的不等式cx 2＋bx ＋a >0.”给出如下的一种解法：解：由ax 2＋bx ＋c >0的解集为(1,2)，得a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋c >0的解集为⎝⎛⎭⎪⎫12，1，即关于x的不等式cx 2＋bx ＋a >0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.类比上述解法：若关于x 的不等式bx ＋a ＋x ＋b x ＋c <0的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－1，－13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，则关于x 的不等式b x －a －x －bx －c>0的解集为______________________．[解析] 根据题意， 由bx ＋a ＋x ＋bx ＋c<0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1， 得b －x ＋a ＋－x ＋b－x ＋c<0的解集为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1，即bx －a －x －bx －c>0的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1. [答案] ⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，113．(2017·河北唐山三模)数列{a n }的前n 项和为S n .若S n ＋a n ＝4－12n －2(n ∈N *)，则a n＝________.[解析] 解法一：已知S n ＋a n ＝4－12n －2 ①，当n ＝1时，S 1＋a 1＝4－121－2＝2，解得a 1＝1.当n ≥2时，用n －1代换n ，得S n －1＋a n －1＝4－12n －3 ②.①－②，得S n －S n －1＋a n －a n －1＝12n －3－12n －2，整理得2a n －a n －1＝12n －2.两边同时乘2n －1，得2n a n －2n －1a n －1＝2. 令b n ＝2na n ，则b n －b n －1＝2.所以数列{b n }是公差为2的等差数列，首项b 1＝21a 1＝2. 所以b n ＝2＋(n －1)×2＝2n ，即2na n ＝2n . 所以a n ＝2n 2n ＝n 2n －1.解法二：(归纳法)：已知S n ＋a n ＝4－12n －2 ①，当n ＝1时，S 1＋a 1＝4－121－2＝2，解得a 1＝1；当n ＝2时，S 2＋a 2＝4－120，即2a 2＋a 1＝3，解得a 2＝1；当n ＝3时，S 3＋a 3＝4－12，即2a 3＋S 2＝72，解得a 3＝34；当n ＝4时，S 4＋a 4＝4－14，即2a 4＋S 3＝154，解得a 4＝12；当n＝5时，S 5＋a 5＝4－18，即2a 5＋S 4＝318，解得a 5＝516；…，a 1和a 2可以写成分数的形式，显然该数列中每一项的分母都是2的整数幂，分子对应项的序号，即a 1＝120，a 2＝221，a 3＝3，a 4＝423，a 5＝524，…，所以a n ＝n2n －1.[答案]n2n －114．已知函数y ＝f (x )满足：对任意a ，b ∈R ，a ≠b ，都有af (a )＋bf (b )>af (b )＋bf (a )，试证明：f (x )为R 上的单调递增函数．[证明] 设任意x 1，x 2∈R ，取x 1<x 2， 由题意得x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)>x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)，∴x 1[f (x 1)－f (x 2)]＋x 2[f (x 2)－f (x 1)]>0，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)>0， ∵x 1<x 2，∴f (x 2)－f (x 1)>0， 即f (x 2)>f (x 1)．∴y ＝f (x )为R 上的单调递增函数．15．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .(1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )； (2)若a ，b ，c 成等比数列，求cos B 的最小值． [解] (1)证明：∵a ，b ，c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b . 由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B . ∵sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )， ∴sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )． (2)∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac . 由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ≥2ac －ac 2ac ＝12，当且仅当a ＝c 时等号成立． ∴cos B 的最小值为12.[延伸拓展]中国古代十进位制的算筹记数法，在世界数学史上是一个伟大的创造．如图所示，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算．算筹的摆放形式有纵、横两种，据《孙子算经》记载，算筹记数法则是：凡算之法，先识其位，一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当．即表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空．例如2017用算筹表示就是，则87可表示为________．[解析] 千位数字8为模式，百位数字2为纵式，十位数字2为横式，个位数字7为纵式，所以87可表示为.[答案]。
课时跟踪训练(三十七)[基础巩固]一、选择题1．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2abD.b a ＋a b ≥2[解析] ∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，∴A 错误．对于B ，C ，当a <0，b <0时，明显错误．对于D ，∵ab >0，∴b a ＋ab ≥2b a ·a b ＝2.[答案] D2．(2017·福建福州外国语学校期中)在下列各函数中，最小值为2的函数是( )A ．y ＝x ＋1x (x ≠0) B ．y ＝cos x ＋1cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <π2 C ．y ＝x 2＋3x 2＋2(x ∈R )D ．y ＝e x＋4e x －2(x ∈R )[解析] 对于A 项，当x <0时，y ＝x ＋1x ≤－2，故A 错；对于B 项，因为0<x <π2，所以0<cos x <1，所以y ＝cos x ＋1cos x ≥2中等号不成立，故B 错；对于C 项，因为x 2＋2≥2，所以y ＝(x 2＋2)＋1x 2＋2＝x 2＋2＋1x 2＋2≥2中等号也不能取到，故C 错；对于D 项，因为e x >0，所以y ＝e x＋4e x －2≥2e x·4ex －2＝2，当且仅当e x ＝2，即x ＝ln2时等号成立．故选D.[答案] D3．(2017·陕西咸阳质检)已知x ＋y ＝3，则2x ＋2y 的最小值是( ) A ．8 B ．6 C ．3 2 D ．4 2[解析] 因为2x >0,2y >0，x ＋y ＝3，所以由基本不等式得2x ＋2y≥22x·2y＝22x ＋y ＝42，当且仅当2x＝2y，即x ＝y ＝32时等号成立，故选D.[答案] D4．(2017·湖南衡阳四校联考)设x ，y 为正实数，且x ＋2y ＝1，则1x ＋1y 的最小值为( )A ．2＋2 2B ．3＋2 2C ．2D ．3[解析] 因为x ，y 为正实数，且x ＋2y ＝1，所以1x ＋1y ＝(x ＋2y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ＝3＋2y x ＋xy ≥3＋22y x ·xy ＝3＋22，当且仅当x ＝2y ＝2－1时取等号．所以1x ＋1y 的最小值为3＋2 2.故选B.[答案] B5．(2017·江西九江一中期中)已知a >0，b >0，如果不等式2a ＋1b≥m 2a ＋b恒成立，那么m 的最大值等于( ) A ．10 B ．7 C ．8 D ．9[解析] 不等式2a ＋1b ≥m2a ＋b恒成立，即不等式m ≤(2a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b 恒成立，而(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝5＋2a b ＋2ba ≥5＋2 2ab ·2ba ＝9，当且仅当a ＝b 时“＝”成立，所以m ≤9，m 的最大值等于9，故选D.[答案] D6．(2015·陕西卷)设f (x )＝ln x,0<a <b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( )A ．q ＝r <pB ．p ＝r <qC ．q ＝r >pD ．p ＝r >q[解析] ∵0<a <b ，∴a ＋b2>ab ，又f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上单调递增，故f (ab )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋b 2，即q >p ，∵r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝ln ab ＝f (ab )＝p ，∴p ＝r <q .故选B.[答案] B 二、填空题7．(2017·山东卷)若直线x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)过点(1,2)，则2a ＋b 的最小值为________．[解析] ∵直线x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)过点(1,2)，∴1a ＋2b ＝1，∴2a ＋b ＝(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b ＝2＋b a ＋2＋4ab ≥4＋2b a ·4ab＝8(当且仅当b ＝2a ，即a ＝2，b ＝4时取等号)．[答案] 88．设b >a >0，且a ＋b ＝1，则12，2ab ，a 2＋b 2，b 四个数中最大的是________．[解析] 根据基本不等式知a 2＋b 2>2ab (b >a >0)，因为b >a >0，且a ＋b ＝1，所以b >12>a .因为b －a 2－b 2＝b (a ＋b )－a 2－b 2＝a (b －a )>0，所以12，2ab ，a 2＋b 2，b 四个数中最大的是b .[答案] b9．(2017·江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．[解析] 本题考查基本不等式及其应用． 设总费用为y 万元，则y ＝600x ×6＋4x ＝4⎝⎛⎭⎪⎫x ＋900x ≥240. 当且仅当x ＝900x ，即x ＝30时，等号成立． [答案] 30 三、解答题10．(1)已知a >0，b >0，c >0，且a ＋b ＋c ＝1，求证：1a ＋1b ＋1c ≥9.(2)设a 、b 均为正实数，求证：1a 2＋1b 2＋ab ≥2 2. [证明] (1)∵a >0，b >0，c >0，且a ＋b ＋c ＝1， ∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号． (2)∵1a 2＋1b 2≥21a 2·1b 2＝2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号．又2ab ＋ab ≥22，当且仅当ab ＝2时取等号，∴1a 2＋1b 2＋ab ≥22，当且仅当⎩⎨⎧a ＝b ，ab ＝2，即a ＝b ＝42时取等号．[能力提升]11．(2017·河北保定一模)司机甲、乙加油习惯不同，甲每次加定量的油，乙每次加固定钱数的油，恰有两次甲、乙同时加同单价的油，但这两次的油价不同，则从这两次加油的均价角度分析( )A ．甲合适B ．乙合适C ．油价先高后低甲合适D ．油价先低后高甲合适[解析] 设甲每次加m 升油，乙每次加n 元钱的油，第一次加油x 元/升，第二次加油y 元/升．甲的平均单价为mx ＋my 2m ＝x ＋y2，乙的平均单价为2n n x ＋n y ＝2xyx ＋y ，因为x ≠y ，所以x ＋y22xy x ＋y ＝x 2＋y 2＋2xy 4xy >4xy 4xy ＝1，即乙的两次平均单价低，乙的方式更合适，故选B.[答案] B12．(2018·贵州铜仁一中月考)若两个正实数x ，y 满足1x ＋2y ＝1，且不等式x ＋y 2<m 2－3m 有解，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1,4)B ．(－4,1)C ．(－∞，－1)∪(4，＋∞)D ．(－∞，－4)∪(1，＋∞)[解析] x ＋y 2＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 2⎝⎛⎭⎪⎫1x ＋2y ＝2＋y 2x ＋2xy ≥2＋2y 2x ·2xy ＝4.当且仅当y 2x ＝2x y ，即y ＝2x 时等号成立，所以x ＋y 2最小值为4.因为x ＋y 2<m 2－3m 有解，所以m 2－3m >4.解得m <－1或m >4.故选C.[答案] C13．已知正实数x ，y 满足xy ＋2x ＋y ＝4，则x ＋y 的最小值为________．[解析] 因为xy ＋2x ＋y ＝4，所以x ＝4－y y ＋2.由x ＝4－yy ＋2>0，得－2<y <4，又y >0, 则0<y <4，所以x ＋y ＝4－yy ＋2＋y ＝6y ＋2＋(y ＋2)－3≥26－3，当且仅当6y ＋2＝y ＋2(0<y <4)，即y ＝6－2时取等号．[答案] 26－314．(2017·四川资阳期末)已知函数f (x )＝x 3＋3x (x ∈R )，若不等式f (2m ＋mt 2)＋f (4t )<0对任意实数t ≥1恒成立，则实数m 的取值范围是________．[解析] 因为f (x )＝x 3＋3x (x ∈R )，满足f (－x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数且f (x )在R 上单调递增．因为不等式f (2m ＋mt 2)＋f (4t )<0对任意实数t ≥1恒成立，则2m ＋mt 2<－4t 在t ≥1时恒成立，分离参数得m <－4t t 2＋2＝－4t ＋2t .因为t ＋2t ≥2t ·2t ＝22(当且仅当t ＝2时取等号)，所以m <－ 2.[答案] (－∞，－2)15．(2017·河北唐山一模)已知x ，y ∈(0，＋∞)，x 2＋y 2＝x ＋y . (1)求1x ＋1y 的最小值．(2)是否存在x ，y 满足(x ＋1)(y ＋1)＝5？并说明理由．[解] (1)因为1x ＋1y ＝x ＋y xy ＝x 2＋y 2xy ≥2xyxy ＝2，当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立，所以1x ＋1y 的最小值为2.(2)不存在．理由如下：因为x 2＋y 2≥2xy ，所以(x ＋y )2≤2(x 2＋y 2)＝2(x ＋y )．又x ，y ∈(0，＋∞)，所以x ＋y ≤2.从而有(x ＋1)(y ＋1)≤⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤(x ＋1)＋(y ＋1)22≤4，因此不存在x ，y 满足(x ＋1)(y ＋1)＝5. 16．某品牌电脑体验店预计全年可以销售360台电脑，已知该品牌电脑的进价为3000元/台，为节约资金，经理决定分批购入，若每批都购入x 台(x 为正整数)，则每批需付运费300元，储存购入的电脑全年所付保管费与每批购入电脑的总价值(不含运费)成正比，且每批购入20台时，全年需用去运费和保管费7800元．(1)求全年所付运费和保管费之和y 关于x 的函数关系式； (2)若全年只有8000元资金可用于支付运费和保管费，则能否恰当地安排每批进货的数量，使资金够用？如果够用，求出每批进货的数量；如果不够用，最少还需多少？[解] (1)设储存购入的电脑全年所付保管费与每批购入电脑总价值的比例系数为k ，则y ＝360x ×300＋k (3000×x )＝108000x ＋3000kx .又当x ＝20时，y ＝7800，代入可得k ＝0.04.故所求y 关于x 的函数关系式为y ＝108000x ＋120x (x ∈N *)．(2)由(1)知，y ＝108000x ＋120x (x ∈N *)．根据基本不等式可得，y ＝108000x ＋120x ≥2108000x ×120x ＝2×3600＝7200，当且仅当108000x ＝120x ，即x ＝30时，等号成立．故当每批购入30台时，支付的运费和保管费最低，为7200元，此时资金够用．[延伸拓展](2017·内蒙古包头二模)已知各项均为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得 a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n 的最小值为( )A.32B.53C.94D.256[解析] 解法一(常数代换法)：设数列{a n }的公比为q (q >0)，由各项均为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，可得a 1q 6＝a 1q 5＋2a 1q 4，所以q 2－q －2＝0，所以q ＝2.因为a m a n ＝4a 1，所以q m ＋n －2＝16，所以2m ＋n －2＝24，所以m ＋n ＝6，所以1m ＋4n ＝16(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋4n ＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋n m ＋4m n ≥16×(5＋4)＝32，当且仅当n m ＝4mn 时，等号成立．所以1m ＋4n 的最小值为32，故选A.解法二(拼凑法)：由解法一可得m ＋n ＝6，所以n ＝6－m ， 又m ，n ≥1，所以1≤m ≤5.故1m ＋4n ＝1m ＋46－m ＝6－m ＋4m m (6－m )＝3(m ＋2)m (6－m )＝3m (6－m )m ＋2＝－3[(m ＋2)－2][(m ＋2)－8]m ＋2＝－3(m ＋2)＋16m ＋2－10. 由基本不等式可得(m ＋2)＋16m ＋2－10≥2(m ＋2)×16m ＋2－10＝－2(当且仅当m ＋2＝16m ＋2，即m ＝2时等号成立)，易知(m ＋2)＋16m ＋2－10<0， 所以1m ＋4n ≥－3－2＝32.故选A.[答案] A。
课时跟踪训练(三十八)[基础巩固]一、选择题1．观察下面关于循环小数化分数的等式：0.3·＝39＝13，0.1· 8·＝1899＝211，0.3· 5· 2·＝352999，0.0005· 9·＝11000×5999＝5999000，据此推测循环小数0.23·可化成分数( )A.2390B.9923C.815D.730[解析] 0.23·＝0.2＋0.1×0.3·＝15＋110×39＝730.选D.[答案] D2．已知数列{a n }为11，21，12，31，22，13，41，32，23，14，…，依它的前10项的规律，则a 99＋a 100的值为( )A.3724B.76C.1115D.715[解析] 由给出的数列{a n }的前10项得出规律，此数列中，分子与分母的和等于2的有1项，等于3的有2项，等于4的有3项，…，等于n 的有n －1项，且分母由1逐渐增大到n －1，分子由n －1逐渐减小到1(n ≥2)，当n ＝14时即分子与分母的和为14时，数列到91项，当n ＝15即分子与分母的和为15时，数列到104项，所以a 99与a 100是分子与分母和为15中的第8项与第9项，分别为78，69，∴a 99＋a 100＝78＋69＝3724，选A.[答案] A3．观察下列各式：55＝3125,56＝15625,57＝78125，…，则52018的末四位数字为( )A ．3125B ．5625C ．0625D ．8125[解析] ∵55＝3125,56＝15625,57＝78125，58＝390625,59＝1953125，…，∴最后四位应为每四个循环，2018＝4×504＋2，∴52018最后四位应为5625.[答案] B4．(2017·安徽合肥一中模拟)《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术．得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：223＝223，338＝338，4415＝4415，5524＝5524，…，则按照以上规律，若99n ＝99n 具有“穿墙术”，则n ＝( )A ．25B ．48C ．63D ．80[解析] 由223＝223，338＝338，4415＝4415，5524＝5524，…， 可得若99n ＝99n 具有“穿墙术”，则n ＝92－1＝80，故选D.[答案] D5．(2017·湖北宜昌一中、龙泉中学联考)老师带甲、乙、丙、丁四名学生去参加自主招生考试，考试结束后老师向四名学生了解考试情况，四名学生回答如下：甲说：“我们四人都没考好”；乙说：“我们四人中有人考得好”；丙说：“乙和丁至少有一人没考好”；丁说：“我没考好”．结果，四名学生中有两人说对了，则四名学生中说对了的两人是( )A ．甲 丙B ．乙 丁C ．丙 丁D ．乙 丙[解析] 如果甲对，则丙、丁都对，与题意不符，故甲错，乙对；如果丙错，则丁错，因此只能是丙对，丁错，故选D.[答案] D6．如图所示，面积为S 的平面凸四边形的第i 条边的边长记为a i (i ＝1,2,3,4)，此四边形内任一点P 到第i 条边的距离记为h i (i ＝1,2,3,4)，若a 11＝a 22＝a 33＝a 44＝k ，则1×h 1＋2×h 2＋3×h 3＋4×h 4＝2S k .类比以上性质，体积为V 的三棱锥的第i 个面的面积记为S i (i ＝1,2,3,4)，此三棱锥内任一点Q 到第i 个面的距离记为H i (i ＝1,2,3,4)，若S 11＝S 22＝S 33＝S 44＝k ，则H 1＋2H 2＋3H 3＋4H 4值为( )A.4V kB.3V kC.2V kD.V k[解析] ∵V ＝13S 1H 1＋13S 2H 2＋13S 3H 3＋13S 4H 4＝13(kH 1＋2kH 2＋3kH 3＋4kH 4)∴H 1＋2H 2＋3H 3＋4H 4＝3V k .[答案] B二、填空题7．半径为x (x >0)的圆的面积函数f (x )的导数等于该圆的周长的函数．对于半径为R (R >0)的球，类似的结论为________．[解析] 因为半径为x (x >0)的圆的面积函数f (x )＝πx 2，所以f ′(x ) ＝2πx .类似地，半径为R (R >0)的球的体积函数V (R )＝43πR 3，所以V ′(R )＝4πR 2.故对于半径为R (R >0)的球，类似的结论为半径为R (R >0)的球的体积函数V (R )的导数等于该球的表面积的函数．[答案] 半径为R (R >0)的球的体积函数V (R )的导数等于该球的表面积的函数8．(2017·河北卓越联盟月考)在平面内，三角形的面积为S ，周长为C ，则它的内切圆的半径r ＝2S C .在空间中，三棱锥的体积为V ，表面积为S ，利用类比推理的方法，可得三棱锥的内切球(球面与三棱锥的各个面均相切)的半径R ＝________.[解析] 若三棱锥表面积为S ，体积为V ，则其内切球半径R ＝3V S .理由如下：设三棱锥的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，由于内切球的球心到各面的距离等于内切球的半径，所以V ＝13S 1R ＋13S 2R ＋13S 3R ＋13S 4R ＝13SR ，所以内切球的半径R ＝3V S .[答案] 3V S9．某种平面分形图如图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为1，两两夹角为120°；二级分形图是在一级分段形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来13的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为120°，…，依此规律得到n 级分形图．n 级分形图中共有________条线段．[解析] 分形图的每条线段的末端出发再生成两条线段，由题图知，一级分形图有3＝(3×2－3)条线段，二级分形图有9＝(3×22－3)条线段，三级分形图中有21＝(3×23－3)条线段，按此规律n 级分形图中的线段条数a n ＝3×2n －3.[答案] 3×2n －3三、解答题10．(2017·山西运城4月模拟改编)宋元时期杰出的数学家朱世杰在其数学巨著《四元玉鉴》中提出了一个“茭草形段”问题：“今有茭草六百八十束，欲令‘落一形’(同垛)之，问底子几何？”他在这一问题中探讨了“垛积术”中的落一形垛(“落一形”即是指顶上一束，下一层3束，再下一层6束，……，)成三角锥的堆垛，故也称三角垛，如图，表示从上往下第二层开始的每层茭草束数，求本问题中三角垛倒数第二层茭草总束数为多少？[解析] 由题意得，从上往下第n 层茭草束数为1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，∴1＋3＋6＋…＋n (n ＋1)2＝680，即12⎣⎢⎡⎦⎥⎤16n (n ＋1)(2n ＋1)＋12n (n ＋1)＝16n (n ＋1)(n ＋2)＝680， ∴n (n ＋1)(n ＋2)＝15×16×17，∴n ＝15.故倒数第二层为第14层，该层茭草总束数为14×152＝105.[答案] 105[能力提升]11．(2017·江西赣州十四县联考)我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一．并五关所税，适重一下．问本持金几何？”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金12，第2关收税金为剩余的13，第3关收税金为剩余的14，第4关收税金为剩余的15，第5关收税金为剩余的16，5关所收税金之和，恰好重1斤，问原本持金多少？”若将“5关所收税金之和，恰好重1斤，问原本持金多少？”改成“假设这个人原本持金为x ，按此规律通过第8关”，则第8关所收税金为________x .[解析] 第1关收税金：12x ；第2关收税金：13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12x ＝x 6＝x 2×3； 第3关收税金：14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12－16x ＝x 12＝x 3×4； ……第8关收税金：x 8×9＝x 72. [答案] 17212．(2017·安徽合肥模拟)“已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为(1,2)，解关于x 的不等式cx 2＋bx ＋a >0.”给出如下的一种解法：解：由ax 2＋bx ＋c >0的解集为(1,2)，得a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋c >0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，即关于x 的不等式cx 2＋bx ＋a >0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. 类比上述解法：若关于x 的不等式b x ＋a ＋x ＋b x ＋c<0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，则关于x 的不等式b x －a －x －b x －c>0的解集为______________________．[解析] 根据题意，由b x ＋a ＋x ＋b x ＋c<0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1， 得b －x ＋a ＋－x ＋b －x ＋c<0的解集为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1， 即b x －a －x －b x －c>0的解集为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1. [答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 13．(2017·河北唐山三模)数列{a n }的前n 项和为S n .若S n ＋a n ＝4－12n －2(n ∈N *)，则a n ＝________. [解析] 解法一：已知S n ＋a n ＝4－12n －2 ①，当n ＝1时，S 1＋a 1＝4－121－2＝2，解得a 1＝1.当n ≥2时，用n －1代换n ，得S n －1＋a n －1＝4－12n －3 ②.①－②，得S n －S n －1＋a n －a n －1＝12n －3－12n －2，整理得2a n －a n －1＝12n －2.两边同时乘2n －1，得2n a n －2n －1a n －1＝2.令b n ＝2n a n ，则b n －b n －1＝2.所以数列{b n }是公差为2的等差数列，首项b 1＝21a 1＝2.所以b n ＝2＋(n －1)×2＝2n ，即2n a n ＝2n .所以a n ＝2n 2n ＝n 2n －1. 解法二：(归纳法)：已知S n ＋a n ＝4－12n －2 ①，当n ＝1时，S 1＋a 1＝4－121－2＝2，解得a 1＝1；当n ＝2时，S 2＋a 2＝4－120，即2a 2＋a 1＝3，解得a 2＝1；当n ＝3时，S 3＋a 3＝4－12，即2a 3＋S 2＝72，解得a 3＝34；当n ＝4时，S 4＋a 4＝4－14，即2a 4＋S 3＝154，解得a 4＝12；当n ＝5时，S 5＋a 5＝4－18，即2a 5＋S 4＝318，解得a 5＝516；…，a 1和a 2可以写成分数的形式，显然该数列中每一项的分母都是2的整数幂，分子对应项的序号，即a 1＝120，a 2＝221，a 3＝322，a 4＝423，a 5＝524，…，所以a n ＝n 2n －1. [答案]n 2n －1 14．已知函数y ＝f (x )满足：对任意a ，b ∈R ，a ≠b ，都有af (a )＋bf (b )>af (b )＋bf (a )，试证明：f (x )为R 上的单调递增函数．[证明] 设任意x 1，x 2∈R ，取x 1<x 2，由题意得x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)>x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)，∴x 1[f (x 1)－f (x 2)]＋x 2[f (x 2)－f (x 1)]>0，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)>0，∵x 1<x 2，∴f (x 2)－f (x 1)>0，即f (x 2)>f (x 1)．∴y ＝f (x )为R 上的单调递增函数．15．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .(1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )；(2)若a ，b ，c 成等比数列，求cos B 的最小值．[解] (1)证明：∵a ，b ，c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b .由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B .∵sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )，∴sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )．(2)∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac .由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac≥2ac －ac 2ac ＝12， 当且仅当a ＝c 时等号成立．∴cos B 的最小值为12.[延伸拓展]中国古代十进位制的算筹记数法，在世界数学史上是一个伟大的创造．如图所示，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算．算筹的摆放形式有纵、横两种，据《孙子算经》记载，算筹记数法则是：凡算之法，先识其位，一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当．即表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空．例如2017用算筹表示就是，则8227可表示为________．[解析] 千位数字8为模式，百位数字2为纵式，十位数字2为横式，个位数字7为纵式，所以8227可表示为.[答案]。
课时跟踪训练(三十八)[基础巩固]一、选择题1．观察下面关于循环小数化分数的等式：0.3·＝39＝13，0.1· 8·＝1899＝211，0.3· 5· 2·＝352999，0.0005· 9·＝11000×5999＝5999000，据此推测循环小数0.23·可化成分数( )A.2390B.9923C.815D.730[解析] 0.23·＝0.2＋0.1×0.3·＝15＋110×39＝730.选D.[答案] D2．已知数列{a n }为11，21，12，31，22，13，41，32，23，14，…，依它的前10项的规律，则a 99＋a 100的值为( )A.3724B.76C.1115D.715[解析] 由给出的数列{a n }的前10项得出规律，此数列中，分子与分母的和等于2的有1项，等于3的有2项，等于4的有3项，…，等于n 的有n －1项，且分母由1逐渐增大到n －1，分子由n －1逐渐减小到1(n ≥2)，当n ＝14时即分子与分母的和为14时，数列到91项，当n ＝15即分子与分母的和为15时，数列到104项，所以a 99与a 100是分子与分母和为15中的第8项与第9项，分别为78，69，∴a 99＋a 100＝78＋69＝3724，选A.[答案] A3．观察下列各式：55＝3125,56＝15625,57＝78125，…，则52018的末四位数字为( )A ．3125B ．5625C ．0625D ．8125[解析] ∵55＝3125,56＝15625,57＝78125，58＝390625,59＝1953125，…，∴最后四位应为每四个循环，2018＝4×504＋2，∴52018最后四位应为5625.[答案] B4．(2017·安徽合肥一中模拟)《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术．得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：223＝223，338＝338，4415＝4415，5524＝5524，…，则按照以上规律，若99n ＝99n 具有“穿墙术”，则n ＝( )A ．25B ．48C ．63D ．80[解析] 由223＝223，338＝338，4415＝4415，5524＝5524，…， 可得若99n ＝99n 具有“穿墙术”，则n ＝92－1＝80，故选D.[答案] D5．(2017·湖北宜昌一中、龙泉中学联考)老师带甲、乙、丙、丁四名学生去参加自主招生考试，考试结束后老师向四名学生了解考试情况，四名学生回答如下：甲说：“我们四人都没考好”；乙说：“我们四人中有人考得好”；丙说：“乙和丁至少有一人没考好”；丁说：“我没考好”．结果，四名学生中有两人说对了，则四名学生中说对了的两人是( )A ．甲 丙B ．乙 丁C ．丙 丁D ．乙 丙[解析] 如果甲对，则丙、丁都对，与题意不符，故甲错，乙对；如果丙错，则丁错，因此只能是丙对，丁错，故选D.[答案] D6．如图所示，面积为S 的平面凸四边形的第i 条边的边长记为a i (i ＝1,2,3,4)，此四边形内任一点P 到第i 条边的距离记为h i (i ＝1,2,3,4)，若a 11＝a 22＝a 33＝a 44＝k ，则1×h 1＋2×h 2＋3×h 3＋4×h 4＝2S k .类比以上性质，体积为V 的三棱锥的第i 个面的面积记为S i (i ＝1,2,3,4)，此三棱锥内任一点Q 到第i 个面的距离记为H i (i ＝1,2,3,4)，若S 11＝S 22＝S 33＝S 44＝k ，则H 1＋2H 2＋3H 3＋4H 4值为( )A.4V kB.3V kC.2V kD.V k[解析] ∵V ＝13S 1H 1＋13S 2H 2＋13S 3H 3＋13S 4H 4＝13(kH 1＋2kH 2＋3kH 3＋4kH 4)∴H 1＋2H 2＋3H 3＋4H 4＝3V k .[答案] B二、填空题7．半径为x (x >0)的圆的面积函数f (x )的导数等于该圆的周长的函数．对于半径为R (R >0)的球，类似的结论为________．[解析] 因为半径为x (x >0)的圆的面积函数f (x )＝πx 2，所以f ′(x ) ＝2πx .类似地，半径为R (R >0)的球的体积函数V (R )＝43πR 3，所以V ′(R )＝4πR 2.故对于半径为R (R >0)的球，类似的结论为半径为R (R >0)的球的体积函数V (R )的导数等于该球的表面积的函数．[答案] 半径为R (R >0)的球的体积函数V (R )的导数等于该球的表面积的函数8．(2017·河北卓越联盟月考)在平面内，三角形的面积为S ，周长为C ，则它的内切圆的半径r ＝2S C .在空间中，三棱锥的体积为V ，表面积为S ，利用类比推理的方法，可得三棱锥的内切球(球面与三棱锥的各个面均相切)的半径R ＝________.[解析] 若三棱锥表面积为S ，体积为V ，则其内切球半径R ＝3V S .理由如下：设三棱锥的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，由于内切球的球心到各面的距离等于内切球的半径，所以V ＝13S 1R ＋13S 2R ＋13S 3R ＋13S 4R ＝13SR ，所以内切球的半径R ＝3V S .[答案] 3V S9．某种平面分形图如图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为1，两两夹角为120°；二级分形图是在一级分段形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来13的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为120°，…，依此规律得到n 级分形图．n级分形图中共有________条线段．[解析]分形图的每条线段的末端出发再生成两条线段，由题图知，一级分形图有3＝(3×2－3)条线段，二级分形图有9＝(3×22－3)条线段，三级分形图中有21＝(3×23－3)条线段，按此规律n级分形图中的线段条数a n＝3×2n－3.[答案]3×2n－3三、解答题10．(2017·山西运城4月模拟改编)宋元时期杰出的数学家朱世杰在其数学巨著《四元玉鉴》中提出了一个“茭草形段”问题：“今有茭草六百八十束，欲令‘落一形’(同垛)之，问底子几何？”他在这一问题中探讨了“垛积术”中的落一形垛(“落一形”即是指顶上一束，下一层3束，再下一层6束，……，)成三角锥的堆垛，故也称三角垛，如图，表示从上往下第二层开始的每层茭草束数，求本问题中三角垛倒数第二层茭草总束数为多少？[解析] 由题意得，从上往下第n 层茭草束数为1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，∴1＋3＋6＋…＋n (n ＋1)2＝680，即12⎣⎢⎡⎦⎥⎤16n (n ＋1)(2n ＋1)＋12n (n ＋1)＝16n (n ＋1)(n ＋2)＝680， ∴n (n ＋1)(n ＋2)＝15×16×17，∴n ＝15.故倒数第二层为第14层，该层茭草总束数为14×152＝105.[答案] 105[能力提升]11．(2017·江西赣州十四县联考)我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一．并五关所税，适重一下．问本持金几何？”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金12，第2关收税金为剩余的13，第3关收税金为剩余的14，第4关收税金为剩余的15，第5关收税金为剩余的16，5关所收税金之和，恰好重1斤，问原本持金多少？”若将“5关所收税金之和，恰好重1斤，问原本持金多少？”改成“假设这个人原本持金为x ，按此规律通过第8关”，则第8关所收税金为________x .[解析] 第1关收税金：12x ；第2关收税金：13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12x ＝x 6＝x 2×3；第3关收税金：14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12－16x ＝x 12＝x 3×4； ……第8关收税金：x 8×9＝x 72. [答案] 17212．(2017·安徽合肥模拟)“已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为(1,2)，解关于x 的不等式cx 2＋bx ＋a >0.”给出如下的一种解法：解：由ax 2＋bx ＋c >0的解集为(1,2)，得a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋c >0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，即关于x 的不等式cx 2＋bx ＋a >0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. 类比上述解法：若关于x 的不等式b x ＋a ＋x ＋b x ＋c<0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，则关于x 的不等式b x －a －x －b x －c>0的解集为______________________．[解析] 根据题意，由b x ＋a ＋x ＋b x ＋c<0的解集为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1， 得b －x ＋a ＋－x ＋b －x ＋c<0的解集为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1，即b x －a －x －b x －c>0的解集为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1. [答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 13．(2017·河北唐山三模)数列{a n }的前n 项和为S n .若S n ＋a n ＝4－12n －2(n ∈N *)，则a n ＝________. [解析] 解法一：已知S n ＋a n ＝4－12n －2 ①，当n ＝1时，S 1＋a 1＝4－121－2＝2，解得a 1＝1.当n ≥2时，用n －1代换n ，得S n －1＋a n －1＝4－12n －3 ②.①－②，得S n －S n －1＋a n －a n －1＝12n －3－12n －2，整理得2a n －a n －1＝12n －2.两边同时乘2n －1，得2n a n －2n －1a n －1＝2. 令b n ＝2n a n ，则b n －b n －1＝2.所以数列{b n }是公差为2的等差数列，首项b 1＝21a 1＝2. 所以b n ＝2＋(n －1)×2＝2n ，即2n a n ＝2n .所以a n ＝2n 2n ＝n 2n －1. 解法二：(归纳法)：已知S n ＋a n ＝4－12n －2 ①，当n ＝1时，S 1＋a 1＝4－121－2＝2，解得a 1＝1；当n ＝2时，S 2＋a 2＝4－120，即2a 2＋a 1＝3，解得a 2＝1；当n ＝3时，S 3＋a 3＝4－12，即2a 3＋S 2＝72，解得a 3＝34；当n ＝4时，S 4＋a 4＝4－14，即2a 4＋S 3＝154，解得a 4＝12；当n ＝5时，S 5＋a 5＝4－18，即2a 5＋S 4＝318，解得a 5＝516；…，a 1和a 2可以写成分数的形式，显然该数列中每一项的分母都是2的整数幂，分子对应项的序号，即a 1＝120，a 2＝221，a 3＝322，a 4＝423，a 5＝524，…，所以a n ＝n 2n －1. [答案] n2n －114．已知函数y ＝f (x )满足：对任意a ，b ∈R ，a ≠b ，都有af (a )＋bf (b )>af (b )＋bf (a )，试证明：f (x )为R 上的单调递增函数．[证明] 设任意x 1，x 2∈R ，取x 1<x 2，由题意得x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)>x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)，∴x 1[f (x 1)－f (x 2)]＋x 2[f (x 2)－f (x 1)]>0，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)>0， ∵x 1<x 2，∴f (x 2)－f (x 1)>0，即f (x 2)>f (x 1)．∴y ＝f (x )为R 上的单调递增函数．15．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .(1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )；(2)若a ，b ，c 成等比数列，求cos B 的最小值．[解] (1)证明：∵a ，b ，c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b .由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B .∵sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )，∴sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )．(2)∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac .由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac≥2ac －ac 2ac ＝12， 当且仅当a ＝c 时等号成立．∴cos B 的最小值为12.[延伸拓展]中国古代十进位制的算筹记数法，在世界数学史上是一个伟大的创造．如图所示，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算．算筹的摆放形式有纵、横两种，据《孙子算经》记载，算筹记数法则是：凡算之法，先识其位，一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当．即表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空．例如2017用算筹表示就是，则8227可表示为________．[解析]千位数字8为模式，百位数字2为纵式，十位数字2为横式，个位数字7为纵式，所以8227可表示为.[答案]。
