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高等数学a习题册答案解析《高等数学A习题册答案解析》高等数学A习题册是大学高等数学课程的重要教材之一，通过习题册的学习，学生可以更好地掌握高等数学的基本理论和方法。
然而，习题册中的题目通常较为复杂，有些题目的解答过程也比较繁琐，因此学生在自学或者课后复习时可能会遇到一些困难。
为了帮助学生更好地理解和掌握高等数学知识，下面我们将针对习题册中的一些典型题目进行解析。
1. 题目：求解函数f(x)=x^2+2x+1的极值点。
解析：首先，我们需要求出函数的导数f'(x)，然后令f'(x)=0，解出x的值。
接着，将这些x值代入原函数f(x)中，求出对应的y值，这些点就是函数的极值点。
最后，通过二阶导数的符号来判断这些极值点是极大值点还是极小值点。
2. 题目：计算定积分∫(0,1) x^2 dx。
解析：这是一个定积分的计算题目，我们可以通过积分的性质和公式来解答。
首先，我们将被积函数x^2进行积分，得到x^3/3，然后将上下限代入得到结果为1/3。
3. 题目：求解微分方程y''-y=0。
解析：这是一个二阶常系数齐次线性微分方程，我们可以通过特征方程来求解。
首先，求出特征方程的根，然后根据不同情况来写出通解。
在这个例子中，特征方程的根为1和-1，因此通解为y=c1*e^x+c2*e^(-x)。
通过以上题目的解析，我们可以看到高等数学A习题册中的题目涵盖了微积分、微分方程等多个知识点，而解答这些题目需要我们熟练掌握数学知识，并且灵活运用数学方法。
希望同学们在学习高等数学A习题册时，能够多加思考，多进行练习，从而更好地掌握高等数学知识。
2023年高考理科数学B卷真题及答案详解2023 年高考已经落下帷幕，对于理科考生来说，数学试卷的难度和题型一直是大家关注的焦点。
下面我们就来详细分析一下 2023 年高考理科数学 B 卷的真题及答案。
首先来看选择题部分。
第 1 题考查了集合的基本运算。
题目给出了两个集合，要求求出它们的交集。
这道题属于基础知识的考查，只要掌握了集合交集的定义，就能轻松得出答案。
第 2 题是关于复数的计算。
需要将复数进行化简，然后判断其所在的象限。
对于这道题，需要熟练掌握复数的四则运算以及复数在复平面内的表示。
第 3 题考查了函数的性质。
给出一个函数表达式，判断其奇偶性。
通过对函数表达式进行变形，然后根据奇偶性的定义来判断。
第 4 题是一道三角函数的题目。
涉及到三角函数的诱导公式以及特殊角的三角函数值。
第 5 题考查了向量的运算。
需要根据已知条件计算向量的数量积。
选择题的后几道题难度逐渐增加，对知识点的综合运用能力要求较高。
接下来是填空题部分。
第 11 题考查了数列的通项公式。
需要根据给出的数列前几项，找出规律，推导出通项公式。
第 12 题是关于立体几何的。
给出一个几何体，要求计算其体积或表面积。
第 13 题考查了线性规划。
需要画出可行域，然后求出目标函数的最值。
第14 题是一道概率统计的题目。
需要根据题目中的条件计算概率。
填空题部分注重对基础知识的灵活运用和对数学思维的考察。
再看解答题部分。
第 17 题通常是数列题。
要求证明数列的通项公式或者求和。
这道题需要掌握数列的基本方法，如等差数列和等比数列的通项公式和求和公式。
第 18 题是三角函数的综合应用。
可能涉及到解三角形、三角函数的图像和性质等知识点。
第 19 题往往是立体几何题。
需要证明线面平行、垂直关系，或者计算空间角和距离。
第 20 题一般是概率统计题。
可能会要求根据样本数据进行分析、计算期望和方差等。
第 21 题通常是解析几何题。
涉及到直线与圆锥曲线的位置关系，计算弦长、中点坐标等。
高等数学3教材答案解析本文将对高等数学3教材中的题目进行答案解析和详细讲解，以帮助读者更好地理解和掌握相关知识。
1. 极限和连续在高等数学3教材中，极限和连续是一项重要的内容。
在解答相关题目时，我们需要掌握极限的定义和性质，以及连续函数和间断点的判定方法。
通过具体的例题演练，可以更好地理解这些概念，并掌握运用的技巧。
2. 一元函数的微分学微分学是高等数学中的一个重要分支，它研究了函数的变化率和极值问题。
在解答微分学相关题目时，我们需要运用导数的定义和性质，掌握求导法则和常用函数的导数公式。
通过例题的分析和解答，可以帮助读者更好地理解微分学的概念和方法。
3. 一元函数的积分学积分学是微分学的逆运算，它研究了曲线下面积和函数的原函数问题。
在解答积分学相关题目时，我们需要了解不定积分和定积分的定义和性质，掌握常用函数的积分公式和积分换元法。
通过具体的例题演练和积分公式的推导，可以帮助读者深入理解积分学的原理和应用。
4. 二元函数的微分学与积分学在高等数学3教材中，还介绍了二元函数的微分学和积分学。
这部分内容需要读者了解偏导数和全微分的定义和计算方法，熟悉二元函数的求极值和最值问题。
同时，还需要了解二重积分的概念和计算方法，以及在几何和物理问题中的应用。
通过相关例题的分析和解答，可以帮助读者更好地理解二元函数的微分学与积分学。
5. 无穷级数无穷级数也是高等数学中的一项重要内容，在教材中也有相关的题目。
解答这类题目时，我们需要了解正项级数和一般级数的性质，掌握收敛级数和发散级数的判定方法。
同时，还需要了解级数的运算法则和收敛级数的性质。
通过具体的例题分析和求解，可以帮助读者更好地理解无穷级数的概念和应用。
以上是对高等数学3教材中的题目进行答案解析和详细讲解的内容。
通过对这些题目的学习和掌握，读者可以更好地理解高等数学的概念和方法，提高解题能力，为日后的学习和应用奠定坚实的基础。
同时，希望读者在学习过程中能够注重基础知识的理解和扎实的练习，培养逻辑思维和问题解决能力，提升数学素养。
一、选择题1. 本题主要考查函数的性质。
选项A、B、D都是函数的基本性质，而选项C是函数的周期性质，符合题意。
答案：C2. 本题考查数列的通项公式。
根据题意，数列的通项公式为an = n^2 + 1。
答案：C3. 本题考查解析几何中的直线方程。
由题意可知，直线的斜率为2，过点（1，3），所以直线的方程为y = 2x + 1。
答案：B4. 本题考查三角函数的性质。
根据题意，sinθ = cos(π/2 - θ)，所以选项A 正确。
答案：A5. 本题考查空间几何中的线面关系。
由题意可知，直线与平面垂直，所以选项C 正确。
答案：C二、填空题6. 本题考查三角恒等变换。
根据题意，cos2θ = 1 - 2sin^2θ，所以sin^2θ = 1/2。
答案：1/27. 本题考查数列的求和。
由题意可知，数列的前n项和为S_n = n(n+1)/2。
答案：n(n+1)/28. 本题考查复数的运算。
由题意可知，复数z = 1 + i，所以z的模为|z| =√(1^2 + 1^2) = √2。
答案：√29. 本题考查解析几何中的圆的方程。
由题意可知，圆的圆心为（2，3），半径为r = √(2^2 + 3^2) = √13。
答案：√1310. 本题考查空间几何中的体积计算。
由题意可知，长方体的长、宽、高分别为2，3，4，所以体积为V = 2×3×4 = 24。
答案：24三、解答题11. 本题考查数列的通项公式和求和。
首先，根据题意，数列的通项公式为an =n^2 + 1。
接下来，计算数列的前n项和S_n = n(n+1)/2。
解答：数列的通项公式为an = n^2 + 1，所以数列的前n项和为S_n = n(n+1)/2。
12. 本题考查解析几何中的直线方程和圆的方程。
首先，根据题意，直线的斜率为2，过点（1，3），所以直线的方程为y = 2x + 1。
接下来，根据圆的方程x^2 +y^2 - 4x - 6y + 9 = 0，求出圆的圆心和半径。
一、选择题1. 答案：C解析：此题考查了函数的奇偶性。
首先，将函数f(x) = x^3 + 2x^2 - 3x在x=0处代入，得到f(0) = 0，说明函数在原点有定义。
然后，将x替换为-x，得到f(-x) = (-x)^3 + 2(-x)^2 - 3(-x) = -x^3 + 2x^2 + 3x。
由于f(-x) ≠ f(x)，说明函数不是偶函数；同时，f(-x) ≠ -f(x)，说明函数也不是奇函数。
因此，选项C正确。
2. 答案：A解析：此题考查了数列的通项公式。
根据题意，数列{an}是一个等差数列，首项a1 = 1，公差d = 2。
因此，数列的通项公式为an = a1 + (n - 1)d = 1 + 2(n - 1) = 2n - 1。
代入n = 10，得到a10 = 210 - 1 = 19。
所以，选项A正确。
3. 答案：B解析：此题考查了复数的运算。
根据题意，已知复数z = 1 + i，求复数z的平方。
计算z^2 = (1 + i)^2 = 1^2 + 21i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i。
因此，选项B正确。
4. 答案：D解析：此题考查了三角函数的性质。
根据题意，已知sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ，sin(α - β) = sinαcosβ - cosαsinβ。
将这两个式子相加，得到sin(α + β) + sin(α - β) = 2sinαcosβ。
由于cosβ ≠ 0，可以除以cosβ，得到sin(α + β) + sin(α - β) = 2sinα。
因此，选项D正确。
5. 答案：C解析：此题考查了平面几何中的线段比例。
根据题意，已知三角形ABC中，D、E、F分别为AB、BC、AC上的点，且AD:DB = 2:1，BE:EC = 3:1。
根据线段比例的性质，可以得到AD:AB = 2:3，BE:BC = 3:4。
因此，选项C正确。
高数A(三)08-10AB卷试题、答案汇总-- -- - -- -- - -- -- -- - -- -- -- - --号---学---- -- - -- -- 线- -- -- -- -- -- -- --名线----姓- - -- -- 订-- -- -- -- 装 -- -- -- 超 - 订 -- 勿-- --业题-- --专 -- -- 答-- -- -- -- -- -- -- -- --级----年---- -- -- - 装 -- -- - -- -- -- - -- --系---/--院---------安徽大学20XX—20XX学年第一学期《高等数学A》考试试卷题号一二三四五总分得分阅卷人一、单项选择题得分1、下列陈述正确的是。
(A) 若方程组Amnx0有唯一解，则方程组Amnxb有唯一解 (B) 若方程组Amnxb有唯一解，则方程组Amnx0有唯一解 (C) 若方程组Amnx0有无穷多解，则方程组Amnxb有无穷多解 (D) 若方程组Amnxb无解，则方程组Amnx0无解2、已知n维向量组1,2,,s(s2)线性相关，则下列选项中必正确的是( )。
(A) 对于任何一组不全为零的数k1,k2,,ks，使得k11k22kss0 (B) 1,2,,s中任何两个向量线性相关 (C) 存在一组不全为零的数k1,k2,,ks，使得k11k22kss0 (D) 对于每一个i都可以其余向量线性表出3、设0P(A)1,0P(B)1，且P(A|B)P(A|B)1，则 ( )。
(A) 事件A与事件B互不相容(B) 事件A与事件B对立(C) 事件A与事件B不独立(D) 事件A与事件B独立4、设X~E ，X1,X2,,Xn是总体X的样本，则参数的矩估计是( )(A) max1in{Xi} (B) 2X (C) X (D) 1/X5、设X1,X2,,X2n是来自正态总体N(,)的样本，则下列结论正确的是( )。
高三数学真题加解析答案高中数学是学生们必修的一门重要课程，也是各个高考文理科目的重点之一。
对于高三学生来说，备考数学是他们备考高考的一项关键任务。
为了帮助同学们更好地备考数学，本文将对高三数学真题进行详细解析，希望对大家有所帮助。
第一部分高考真题解析1.解析题目一题目：如图，已知四边形ABCD为矩形，O为矩形的中心，∠AOC ＝25°，求∠ABE的度数。
解析：首先，我们可以根据题目中的信息得到AO和OC两条边的夹角为25°。
因为ABCD是一个矩形，所以我们可以知道AO和OC两条边是相等的，即AO=OC。
根据等腰三角形的性质，我们可以得到∠AOC 的度数为90°，即∠AOC＝90°。
又因为∠AOC＝∠BOE，所以∠BOE的度数也为90°。
如此，我们可以得到∠ABE的度数为180°-90°-25°=65°。
2.解析题目二题目：已知集合A={x|x=2n-1,n为正整数}，集合B={x|x=3k,k 为整数}，若x∈A∩B，则x的取值范围是（__________）。
解析：我们分别来分析集合A和集合B的元素的特点。
集合A的元素满足x=2n-1，其中n为正整数。
显然，当n取1时，得到的数为1。
当n取2时，得到的数为3，当n取3时，得到的数为5，以此类推。
因此，集合A的元素为奇数集合。
集合B的元素满足x=3k，其中k为整数。
同理可得，集合B的元素为3的倍数集合。
根据题目中的条件x∈A∩B，即x同时属于集合A和集合B。
综合分析集合A和B的元素特点可知，x的取值范围为奇数且为3的倍数。
3.解析题目三题目：已知函数f(x)＝ax²＋2bx＋c，且f(1)＝0，f(2)＝0，求abc的值。
解析：根据题目中的条件，我们可以得到以下两个方程：f(1)＝0，即a(1)²＋2b(1)＋c＝0，即a+2b+c＝0；f(2)＝0，即a(2)²＋2b(2)＋c＝0，即4a+4b+c＝0。
总习题五1.求过点,平行于平面(1,0,4M -):34100x y z ∏-+-=,并且与直线:132zL x y +=-=相交的直线方程. 解.设交点为()1,3,2Q t t t -+,由//PQ ∏,即()(),3,243,4,1t t t 0+-⋅-=,得,故,16t =()16,19,28PQ = 14:161928x y z L +-==. 2.已知,,求轴上一点,使得()1,0,0A ()0,2,1B z C ABC ∆的面积最小.解.设所求的点为,则()0,0,C z ()1,0,AC z =- ,()0,2,1BC z =--, ()2,1,2AC BC z z ⨯=- ,故ABC S ∆==当15z =时最小,即10,0,5C ⎛⎫⎪⎝⎭. 3.问在什么条件下直线000:x x m L y y n z z pttt =+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩与平面0Ax By Cz D +++=有 唯一的交点?无穷多个交点?没有交点?给出几何解释. 解.直线与平面不平行,即0Am Bn Cp ++≠时有唯一交点; 平面包含直线,即,且0Am Bn Cp ++=0000Ax By Cz D +++=时有无穷 多个交点;直线与平面平行,但平面不包含直线,即0Am Bn Cp ++=,且0000Ax By Cz D +++≠时,没有交点.4.设直线位于平面上,过点L :2349x y z ∏++=()1,1,1并且与xOy 面 有最大的交角,求的方程.L 解.注意垂直于与L :2349x y z ∏++=xOy 面的交线;()()(2,3,40,0,13,2,0n =⨯=-),过()1,1,1,垂直于∏及xOy 面的平面为()()3121x y ---=00--=9,即,故321x y 234:3210x y z L x y ++=⎧⎨--=⎩,或者 11812113x y z ---==-. 5.求过点,与(2,3,1P --)x 轴夹角为3π,且与直线731252x y z ---==相交的直线方程.解.设交点()7,23,25Q t t t +++,则()5,26,26PQ t t t =+++,由1122PQ i t PQ ⋅-±=⇒=⇒= 95,于是 ((4344,1,155PQ ±⎛⎫=±±=± ⎪ ⎪⎝⎭3,故 3331y z +==+222. 6.求过,且与球面20:4236x y L x y z +=⎧⎨++=⎩4x y z ++=相切的平面方程.解.设,则()423620x y z x y λ++-++=22λ=⇒=-,故2z =.7.已知a = ,1b = ,^,6a b π⎛⎫= ⎪⎝⎭ ,求^,a b a b ⎛⎫+- ⎪⎝⎭.解.()()23176a b a b a b π+=+⋅+=++=,()()23116a b a b a b π-=-⋅-=+-=,于是()()cos a b a b a b a bθ+⋅-==+-=θ=8.设,,并且,0a ≠ 0b ≠375a b a b +⊥-472a b a b -⊥- ,求^,a b ⎛⎫⎪⎝⎭.解.()()()()2222223757161502247273080a b a b a a b b a a b a a b a b a a b b ⎧⎧+⋅-=+⋅-=b b =⋅⎪⎪⇒⎨⎨=⋅⎪⎪-⋅-=-⋅+=⎩⎩,故 1cos 23a b a b πθθ⋅==⇒= .9.设,,()2,3,1a =-()1,2,3b =- ()2,1,2c = ,若r a ⊥ ,r b ⊥ ,Pr ,j 14c r = 求.r解.设,则,故(),,r x y z = 022301423012242x y z x x y z y x y z z -+==⎧⎧⎪⎪-+=⇒=⎨⎨⎪⎪++==⎩⎩()14,10,2r = . 10.求垂直于平面,过0z =()1,1,1P -到直线10:0y z L x -+=⎧⎨=⎩的垂线的平面方程.解.()()()0,1,11,0,00,1,1s =-⨯=--,过且垂直于的平面为,P L 0y z +=由得垂足为1000y z x y z -+=⎧⎪=⎨⎪+=⎩110,,22Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭,故()0,0,1Q n P =⨯=()1111,,0,0,1,1,0222⎛⎫⎛⎫⎪⎭--⨯= ⎪ ⎝⎭⎝,得()()1:112x y 0∏-++=,即21x y 0++=.11.求平行与直线1:411x y zL ==,且与256:43z x L z y -=-⎧⎨-=⎩与 324:35y x L z y -=⎧⎨-=⎩均相交的直线方程. 解.过,平行与256:43z x L z y -=-⎧⎨-=⎩()4,1,1的平面为157616750x y z -+-=)0,过,平行与的平面为324:35y x L z y -=⎧⎨-=⎩(4,1,1423727x y z -++=,故1576167504237270x y z x y z -+-=⎧⎨-++=⎩. 12.求直线131:216x y z L --==与212:161x y L z+-==的公垂线方程. 解.,过平行于()()(2,1,61,6,135,4,11s =⨯=-)1L s的平面为31216013232434035411x y z x y z --=⇒+-+=-,过平行于s的平面为2L 121610312310777035411x y zx y z +-=⇒-++=-,故所求公垂线方程为 1323243403123107770x y z x y z +-+=⎧⎨-++=⎩. 13.设有直线13:212x y z L --==-,求:(1)与关于原点对称的直线方程; L 解.()(,,,,)x y z x y z ↔---,故13:212x y z L ++'==-.(2)与关于L xOy 面对称的直线方程. 解.()(,,,,)x y z x y z ↔-,故13:212x y z L -+'==. 14.画出下列各组曲面围成立体的图形: (1)21x z =-,0y =,,0z =1x y +=;(2)z =,; 22z x =--2y (3)22y x =,,0z =1422xy z ++=; (4),22z x y =+2x y =,,0z =1x =.。
高考三卷真题数学答案解析高考数学是许多学生最担心的科目之一。
特别是面对真题，很多学生往往感到无从下手。
为了帮助大家更好地应对高考数学，下面将对高考三卷真题中的数学题目进行解析，希望能给大家一些指导和启发。
综合题部分：综合题往往被认为是高考数学中最难的一部分，需要学生在短时间内分析和解决多种不同类型的问题。
看似简单的题目背后，隐藏着许多不同层次的思维。
解决综合题的关键在于理清思路和运用灵活的方法。
以下是一道高考三卷综合题的解析。
题目：设函数f(x)满足方程f(x+1)－af(x)－(a+1)x^3＋x＝0，（1）若f(-1)－3f(0)＝1，求该函数的表达式；（2）设函数f(x)满足条件f(x+m)－af(x)＝0，其中a，m为常数，如果f(0)≠0，证明f(x)为奇函数。
解析：首先，我们将方程（1）中的x分别换成x-1和x+1，并相减得到：f(x+1) - f(x-1) = af(x) + (a-1)(x-1)^3 - (a+1)(x+1)^3 + x - 1= af(x) + (a-1)(x^3-3x^2+3x-1) -(a+1)(x^3+3x^2+3x+1) + x - 1= -2ax^3 - 6ax^2 - 2a将x=0代入上式，得到：f(1) - f(-1) = -2a代入题干的条件f(-1) - 3f(0) = 1，可以得到：2f(0) + 4f(1) = 1进一步地，我们将a的值代入上式，计算得到：4f(1) = 1 + 2f(0)将这个结果代入到第一个方程中，可以得到f(x+1)的表达式为：f(x+1) = -2ax^3 - 6ax^2 - 2a + f(x-1) - af(x) - (a-1)(x-1)^3 + (a+1)(x+1)^3 - x + 1通过整理，将同类项合并，得到：f(x+1) = -6ax^2 + 6ax^3 - (a+1)x^3 - (a-1)x + 2a + (a-1)= 6ax^3 - 7ax^3 - (a-1)x - x^3 + (3a-1)= -ax^3 - (a-1)x + (3a-1)因此，该函数的表达式为：f(x) = -a(x-1)^3 - (a-1)(x-1) + (3a-1)对于第二部分的证明，我们可以通过数学归纳法来进行。
高等数学A （3）B 卷中典型试题的解答与分析高等数学A （3）的教学内容是四川大学数学系编著的《高等数学》第二册中的2章（幂级数和傅里叶级数、广义积分和含参变量积分），第三册线性代数的全部内容共7章（行列式，矩阵代数，线性方程组、线性空间、线性变换、欧几里得空间、n 元实二次型）。
本次期末试题的覆盖面较广，现将几个较典型的试题给予解答与分析。
1．已知二次型32312123222132166255),,(x x x x x x cx x x x x x f -+-++=的秩为2,求参数.c解一： 设二次型的矩阵为A ,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=c A 33351315二次型的秩即为二次型相应矩阵的秩.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=c c c c A 2600912035191201224035133351315由已知A 的秩为2, 所以.3,026==-c c解二：由于A 的秩为2, 由矩阵秩的定义有0||=A . 由051153135335313=--+--+--=cA ，解得3=c ,且易验证3=c 时, 矩阵对应的行列式A 有二阶子式不为零，因此A 的秩为2，故所求二次型的秩为2.分析：本题考核二次型秩的概念.解一利用二次型秩的定义求解。
即利用二次型相应矩阵的秩称为二次型的秩,将原问题转化为求相应矩阵的秩,利用初等变换求得c .解二利用矩阵秩的定义直接求得c .在本题的求解中,典型的错误有：1)矩阵初等变换的符号“→”与运算符号“=”混淆,由此看出对初等变换的理解还不够.2)由行列式0||=A ,直接就确定了.3=c 实际上,由矩阵秩的定义,还应验证3=c 时,行列式有二阶子式不为零,这样才能得出矩阵的秩为2,从而二次型的秩为2.2.求幂级数∑∞=-⎪⎭⎫ ⎝⎛117n n x n 的和函数，并指出收敛域.本题是考核求幂级数的和函数与收敛域.一般来说利用已知级数求和函数的公式以及幂级数的性质就可求得和函数,在确定收敛半径后应讨论在端点处的收敛性,求得收敛区域.解一：令∑∞=-=11)(n n nt t S ，其中)1,1(-∈t ，逐项积分：,1)(11010tt t dt nt dt t S n n n tn t-===∑∑⎰⎰∞=∞=-故：22)1(1)1(1)1()(t t t t tt dt d t S -=-+-=-=, 由于1±=t 时，当∞→n 时，级数的一般项()n n1-和n 均不趋于零，故()∑∞=-11n nn 和∑∞=1n n 发散，所以)7(7 11x S x n n n =⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∞=-22)7(49)71(1x x -=-=，收敛域为(-7,7) .解二：令∑∞=-=11)7()(n n x n x S ，则：.17,777177)7(77)7(7)(11010<-=-===∑∑⎰⎰∞=∞=-xx x x xx x d x n dx x S n n n xn x由于当7±=x 时，级数的一般项分别为()n n1-和n ,显然均不趋于零，故()∑∞=-11n nn 和∑∞=1n n 发散，所以,)7(49)77()(2x x x dx d x S -=-=收敛域为.77<<-x以上两种解法的思路是相同的,都是利用几何级数求和函数的公式以及幂级数在收敛区间内可逐项求导和求积分的性质,先逐项求积分,再逐项求导,求得和函数,然后通过讨论级数在端点处的敛散性,确定收敛区域.不同之处是解一是通过明确的变量替换7xt =先将级数变为标准型级数,11-∞=∑n n t n 由求得此级数的和函数与收敛区域,从而求得原级数的和函数与收敛区域.解二是用凑微分法直接进行逐项求积分, 然后同理求得级数的和函数与收敛区域.在本题的求解中,典型的错误有：1)对于端点处级数的敛散性没有讨论,这实际上是然后混淆了收敛区间和收敛区域的概念.2)凑微分法运算或求导运算有误，造成和函数有误.3．讨论无穷积分⎰-90311dx x 的收敛性. 解一：点1=x 是函数311-x 的奇点，讨论以下两个无界函数的积分： ,23)1)((23lim 11lim113210100303-=--=-=-⎰⎰-+→+→εεεεdx x dx x,6)4(23lim 11lim113291910303=-=-=-⎰⎰++→+→εεεεdx x dx x …………于是，由无界函数收敛的定义知⎰-90311dx x 收敛.解二： 点1=x 是函数 311-x 的奇点， 由于1>x 时, ,31,)1(1113=-≤-p x x p故⎰-91311dx x 收敛, 由于10<<x 时, ,31,)1(1113=-≤-p x x p故⎰-10311dx x 收敛,于是⎰-90311dx x =⎰-10311dx x +⎰-91311dx x 收敛.解三： 点1=x 是函数311-x 的奇点，令⎰-90311dx x =⎰-10311dx x +,1121913I I dx x +=-⎰当10<<x 时,,0113>--x 且1)11()1(lim 33111=----→x x x ,故1I -收敛,从而1I 收敛.类似地, 当91<<x 时, 由,0113>-x 且1)11()1(lim 3311=--+→x x x ,故2I 收敛,于是⎰-90311dx x 收敛.本题考核对无穷积分敛散性的判别.解一直接利用奇点位于积分区间中间的无界函数积分的定义,通过计算两个极限来判断该无穷积分的敛散性.解二和解三分别利用判别法和判别法的极限形式结合无界函数积分的定义来判断该无穷积分的敛散性.在本题的求解中,典型的错误有： 1)直接用31,)1(2113=-<-p x x p判断无穷积分的敛散性,实际上,这是行不通的,因为当10<<x 时,以上不等式的右边,0<故此不等式是不成立的.应如以上解二,结合奇点位于积分区间中间的无界函数积分的定义,将原积分分成两部分,再分别应用判别法进行判别.2) 对判别法或判别法的极限形式的条件没有完全验证或掌握不完全.4．讨论当k 取何值时，方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=++2251823532321321x x k kx x x x x kx 有唯一解、无限多解或无解，在有解的情况下，求出其全部解.解：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=3314351313400221051440322105182351122k k k k k k k k k A （1） 当0131342≠--k k 时，即当1≠k 并且3≠k 时，()()3==A r A r ，方程组有唯一解. 由克莱姆法则,得,,,312111DD x D Dx D D x ===其中,342-+-=k k D ,221k D +-=,24361222-+-=k k D .24361223-+-=k k D（2）当1=k 时，有()(),32<==A r A r 方程组有无限多解，并且方程组可化为⎩⎨⎧=+=-229333231x x x x ，解之得T T C x ]121[]023[-+= .(3)当3=k ，时，()()A r A r =<=32，方程组无解.这是一道综合题,涉及到线性方程组的解理论、解结构、矩阵初等变换和行列式运算等.在本题的求解中,典型的错误有：1) 当1≠k 并且3≠k 时,能得出此方程组有唯一解的结论,但对解的唯一性的理解不够,相当一部分学生理解为这儿的解是一组确定的有序三数组,这是不正确的.而应该是对于不同的k ,其解为与k 有关的有序三数组.2) 当1=k 时，得出了方程组有无限多个解，但解公式的表达不准确,反应出对线性方程组的基础解系和解结构的掌握还有欠缺.以上这几题都不是难题，之所以产生这样那样的错误，其主要原因是对基本概念和结论的理解不透彻。
如果在课堂教学和课后复习中加强对基本理论的理解和梳理，一定会收到较好的效果。
