高等数学A(3)B卷中典型试题的解答与分析

高等数学a习题册答案解析《高等数学A习题册答案解析》高等数学A习题册是大学高等数学课程的重要教材之一，通过习题册的学习，学生可以更好地掌握高等数学的基本理论和方法。

然而，习题册中的题目通常较为复杂，有些题目的解答过程也比较繁琐，因此学生在自学或者课后复习时可能会遇到一些困难。

为了帮助学生更好地理解和掌握高等数学知识，下面我们将针对习题册中的一些典型题目进行解析。

1. 题目：求解函数f(x)=x^2+2x+1的极值点。

解析：首先，我们需要求出函数的导数f'(x)，然后令f'(x)=0，解出x的值。

接着，将这些x值代入原函数f(x)中，求出对应的y值，这些点就是函数的极值点。

最后，通过二阶导数的符号来判断这些极值点是极大值点还是极小值点。

2. 题目：计算定积分∫(0,1) x^2 dx。

解析：这是一个定积分的计算题目，我们可以通过积分的性质和公式来解答。

首先，我们将被积函数x^2进行积分，得到x^3/3，然后将上下限代入得到结果为1/3。

3. 题目：求解微分方程y''-y=0。

解析：这是一个二阶常系数齐次线性微分方程，我们可以通过特征方程来求解。

首先，求出特征方程的根，然后根据不同情况来写出通解。

在这个例子中，特征方程的根为1和-1，因此通解为y=c1*e^x+c2*e^(-x)。

通过以上题目的解析，我们可以看到高等数学A习题册中的题目涵盖了微积分、微分方程等多个知识点，而解答这些题目需要我们熟练掌握数学知识，并且灵活运用数学方法。

希望同学们在学习高等数学A习题册时，能够多加思考，多进行练习，从而更好地掌握高等数学知识。

高等数学3教材答案解析本文将对高等数学3教材中的题目进行答案解析和详细讲解，以帮助读者更好地理解和掌握相关知识。

1. 极限和连续在高等数学3教材中，极限和连续是一项重要的内容。

在解答相关题目时，我们需要掌握极限的定义和性质，以及连续函数和间断点的判定方法。

通过具体的例题演练，可以更好地理解这些概念，并掌握运用的技巧。

2. 一元函数的微分学微分学是高等数学中的一个重要分支，它研究了函数的变化率和极值问题。

在解答微分学相关题目时，我们需要运用导数的定义和性质，掌握求导法则和常用函数的导数公式。

通过例题的分析和解答，可以帮助读者更好地理解微分学的概念和方法。

3. 一元函数的积分学积分学是微分学的逆运算，它研究了曲线下面积和函数的原函数问题。

在解答积分学相关题目时，我们需要了解不定积分和定积分的定义和性质，掌握常用函数的积分公式和积分换元法。

通过具体的例题演练和积分公式的推导，可以帮助读者深入理解积分学的原理和应用。

4. 二元函数的微分学与积分学在高等数学3教材中，还介绍了二元函数的微分学和积分学。

这部分内容需要读者了解偏导数和全微分的定义和计算方法，熟悉二元函数的求极值和最值问题。

同时，还需要了解二重积分的概念和计算方法，以及在几何和物理问题中的应用。

通过相关例题的分析和解答，可以帮助读者更好地理解二元函数的微分学与积分学。

5. 无穷级数无穷级数也是高等数学中的一项重要内容，在教材中也有相关的题目。

解答这类题目时，我们需要了解正项级数和一般级数的性质，掌握收敛级数和发散级数的判定方法。

同时，还需要了解级数的运算法则和收敛级数的性质。

通过具体的例题分析和求解，可以帮助读者更好地理解无穷级数的概念和应用。

以上是对高等数学3教材中的题目进行答案解析和详细讲解的内容。

通过对这些题目的学习和掌握，读者可以更好地理解高等数学的概念和方法，提高解题能力，为日后的学习和应用奠定坚实的基础。

同时，希望读者在学习过程中能够注重基础知识的理解和扎实的练习，培养逻辑思维和问题解决能力，提升数学素养。

一、选择题1. 本题主要考查函数的性质。

选项A、B、D都是函数的基本性质，而选项C是函数的周期性质，符合题意。

答案：C2. 本题考查数列的通项公式。

根据题意，数列的通项公式为an = n^2 + 1。

答案：C3. 本题考查解析几何中的直线方程。

由题意可知，直线的斜率为2，过点（1，3），所以直线的方程为y = 2x + 1。

答案：B4. 本题考查三角函数的性质。

根据题意，sinθ = cos(π/2 - θ)，所以选项A 正确。

答案：A5. 本题考查空间几何中的线面关系。

由题意可知，直线与平面垂直，所以选项C 正确。

答案：C二、填空题6. 本题考查三角恒等变换。

根据题意，cos2θ = 1 - 2sin^2θ，所以sin^2θ = 1/2。

答案：1/27. 本题考查数列的求和。

由题意可知，数列的前n项和为S_n = n(n+1)/2。

答案：n(n+1)/28. 本题考查复数的运算。

由题意可知，复数z = 1 + i，所以z的模为|z| =√(1^2 + 1^2) = √2。

答案：√29. 本题考查解析几何中的圆的方程。

由题意可知，圆的圆心为（2，3），半径为r = √(2^2 + 3^2) = √13。

答案：√1310. 本题考查空间几何中的体积计算。

由题意可知，长方体的长、宽、高分别为2，3，4，所以体积为V = 2×3×4 = 24。

答案：24三、解答题11. 本题考查数列的通项公式和求和。

首先，根据题意，数列的通项公式为an =n^2 + 1。

接下来，计算数列的前n项和S_n = n(n+1)/2。

解答：数列的通项公式为an = n^2 + 1，所以数列的前n项和为S_n = n(n+1)/2。

12. 本题考查解析几何中的直线方程和圆的方程。

首先，根据题意，直线的斜率为2，过点（1，3），所以直线的方程为y = 2x + 1。

接下来，根据圆的方程x^2 +y^2 - 4x - 6y + 9 = 0，求出圆的圆心和半径。

一、选择题1. 答案：C解析：此题考查了函数的奇偶性。

首先，将函数f(x) = x^3 + 2x^2 - 3x在x=0处代入，得到f(0) = 0，说明函数在原点有定义。

然后，将x替换为-x，得到f(-x) = (-x)^3 + 2(-x)^2 - 3(-x) = -x^3 + 2x^2 + 3x。

由于f(-x) ≠ f(x)，说明函数不是偶函数；同时，f(-x) ≠ -f(x)，说明函数也不是奇函数。

因此，选项C正确。

2. 答案：A解析：此题考查了数列的通项公式。

根据题意，数列{an}是一个等差数列，首项a1 = 1，公差d = 2。

因此，数列的通项公式为an = a1 + (n - 1)d = 1 + 2(n - 1) = 2n - 1。

代入n = 10，得到a10 = 210 - 1 = 19。

所以，选项A正确。

3. 答案：B解析：此题考查了复数的运算。

根据题意，已知复数z = 1 + i，求复数z的平方。

计算z^2 = (1 + i)^2 = 1^2 + 21i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i。

因此，选项B正确。

4. 答案：D解析：此题考查了三角函数的性质。

根据题意，已知sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ，sin(α - β) = sinαcosβ - cosαsinβ。

将这两个式子相加，得到sin(α + β) + sin(α - β) = 2sinαcosβ。

由于cosβ ≠ 0，可以除以cosβ，得到sin(α + β) + sin(α - β) = 2sinα。

因此，选项D正确。

5. 答案：C解析：此题考查了平面几何中的线段比例。

根据题意，已知三角形ABC中，D、E、F分别为AB、BC、AC上的点，且AD:DB = 2:1，BE:EC = 3:1。

根据线段比例的性质，可以得到AD:AB = 2:3，BE:BC = 3:4。

因此，选项C正确。

高数A(三)08-10AB卷试题、答案汇总-- -- - -- -- - -- -- -- - -- -- -- - --号---学---- -- - -- -- 线- -- -- -- -- -- -- --名线----姓- - -- -- 订-- -- -- -- 装 -- -- -- 超 - 订 -- 勿-- --业题-- --专 -- -- 答-- -- -- -- -- -- -- -- --级----年---- -- -- - 装 -- -- - -- -- -- - -- --系---/--院---------安徽大学20XX—20XX学年第一学期《高等数学A》考试试卷题号一二三四五总分得分阅卷人一、单项选择题得分1、下列陈述正确的是。

(A) 若方程组Amnx0有唯一解，则方程组Amnxb有唯一解 (B) 若方程组Amnxb有唯一解，则方程组Amnx0有唯一解 (C) 若方程组Amnx0有无穷多解，则方程组Amnxb有无穷多解 (D) 若方程组Amnxb无解，则方程组Amnx0无解2、已知n维向量组1,2,,s(s2)线性相关，则下列选项中必正确的是( )。

(A) 对于任何一组不全为零的数k1,k2,,ks，使得k11k22kss0 (B) 1,2,,s中任何两个向量线性相关 (C) 存在一组不全为零的数k1,k2,,ks，使得k11k22kss0 (D) 对于每一个i都可以其余向量线性表出3、设0P(A)1,0P(B)1，且P(A|B)P(A|B)1，则 ( )。

(A) 事件A与事件B互不相容(B) 事件A与事件B对立(C) 事件A与事件B不独立(D) 事件A与事件B独立4、设X~E ，X1,X2,,Xn是总体X的样本，则参数的矩估计是( )(A) max1in{Xi} (B) 2X (C) X (D) 1/X5、设X1,X2,,X2n是来自正态总体N(,)的样本，则下列结论正确的是( )。

总习题五1.求过点,平行于平面(1,0,4M -):34100x y z ∏-+-=,并且与直线:132zL x y +=-=相交的直线方程. 解.设交点为()1,3,2Q t t t -+,由//PQ ∏,即()(),3,243,4,1t t t 0+-⋅-=,得,故,16t =()16,19,28PQ = 14:161928x y z L +-==. 2.已知,,求轴上一点,使得()1,0,0A ()0,2,1B z C ABC ∆的面积最小.解.设所求的点为,则()0,0,C z ()1,0,AC z =- ,()0,2,1BC z =--, ()2,1,2AC BC z z ⨯=- ,故ABC S ∆==当15z =时最小,即10,0,5C ⎛⎫⎪⎝⎭. 3.问在什么条件下直线000:x x m L y y n z z pttt =+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩与平面0Ax By Cz D +++=有 唯一的交点?无穷多个交点?没有交点?给出几何解释. 解.直线与平面不平行,即0Am Bn Cp ++≠时有唯一交点; 平面包含直线,即,且0Am Bn Cp ++=0000Ax By Cz D +++=时有无穷 多个交点;直线与平面平行,但平面不包含直线,即0Am Bn Cp ++=,且0000Ax By Cz D +++≠时,没有交点.4.设直线位于平面上,过点L :2349x y z ∏++=()1,1,1并且与xOy 面 有最大的交角,求的方程.L 解.注意垂直于与L :2349x y z ∏++=xOy 面的交线;()()(2,3,40,0,13,2,0n =⨯=-),过()1,1,1,垂直于∏及xOy 面的平面为()()3121x y ---=00--=9,即,故321x y 234:3210x y z L x y ++=⎧⎨--=⎩,或者 11812113x y z ---==-. 5.求过点,与(2,3,1P --)x 轴夹角为3π,且与直线731252x y z ---==相交的直线方程.解.设交点()7,23,25Q t t t +++,则()5,26,26PQ t t t =+++,由1122PQ i t PQ ⋅-±=⇒=⇒= 95,于是 ((4344,1,155PQ ±⎛⎫=±±=± ⎪ ⎪⎝⎭3,故 3331y z +==+222. 6.求过,且与球面20:4236x y L x y z +=⎧⎨++=⎩4x y z ++=相切的平面方程.解.设,则()423620x y z x y λ++-++=22λ=⇒=-,故2z =.7.已知a = ,1b = ,^,6a b π⎛⎫= ⎪⎝⎭ ,求^,a b a b ⎛⎫+- ⎪⎝⎭.解.()()23176a b a b a b π+=+⋅+=++=,()()23116a b a b a b π-=-⋅-=+-=,于是()()cos a b a b a b a bθ+⋅-==+-=θ=8.设,,并且,0a ≠ 0b ≠375a b a b +⊥-472a b a b -⊥- ,求^,a b ⎛⎫⎪⎝⎭.解.()()()()2222223757161502247273080a b a b a a b b a a b a a b a b a a b b ⎧⎧+⋅-=+⋅-=b b =⋅⎪⎪⇒⎨⎨=⋅⎪⎪-⋅-=-⋅+=⎩⎩,故 1cos 23a b a b πθθ⋅==⇒= .9.设,,()2,3,1a =-()1,2,3b =- ()2,1,2c = ,若r a ⊥ ,r b ⊥ ,Pr ,j 14c r = 求.r解.设,则,故(),,r x y z = 022301423012242x y z x x y z y x y z z -+==⎧⎧⎪⎪-+=⇒=⎨⎨⎪⎪++==⎩⎩()14,10,2r = . 10.求垂直于平面,过0z =()1,1,1P -到直线10:0y z L x -+=⎧⎨=⎩的垂线的平面方程.解.()()()0,1,11,0,00,1,1s =-⨯=--,过且垂直于的平面为,P L 0y z +=由得垂足为1000y z x y z -+=⎧⎪=⎨⎪+=⎩110,,22Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭,故()0,0,1Q n P =⨯=()1111,,0,0,1,1,0222⎛⎫⎛⎫⎪⎭--⨯= ⎪ ⎝⎭⎝,得()()1:112x y 0∏-++=,即21x y 0++=.11.求平行与直线1:411x y zL ==,且与256:43z x L z y -=-⎧⎨-=⎩与 324:35y x L z y -=⎧⎨-=⎩均相交的直线方程. 解.过,平行与256:43z x L z y -=-⎧⎨-=⎩()4,1,1的平面为157616750x y z -+-=)0,过,平行与的平面为324:35y x L z y -=⎧⎨-=⎩(4,1,1423727x y z -++=,故1576167504237270x y z x y z -+-=⎧⎨-++=⎩. 12.求直线131:216x y z L --==与212:161x y L z+-==的公垂线方程. 解.,过平行于()()(2,1,61,6,135,4,11s =⨯=-)1L s的平面为31216013232434035411x y z x y z --=⇒+-+=-,过平行于s的平面为2L 121610312310777035411x y zx y z +-=⇒-++=-,故所求公垂线方程为 1323243403123107770x y z x y z +-+=⎧⎨-++=⎩. 13.设有直线13:212x y z L --==-,求:(1)与关于原点对称的直线方程; L 解.()(,,,,)x y z x y z ↔---,故13:212x y z L ++'==-.(2)与关于L xOy 面对称的直线方程. 解.()(,,,,)x y z x y z ↔-,故13:212x y z L -+'==. 14.画出下列各组曲面围成立体的图形: (1)21x z =-,0y =,,0z =1x y +=;(2)z =,; 22z x =--2y (3)22y x =,,0z =1422xy z ++=; (4),22z x y =+2x y =,,0z =1x =.。

《高等数学》考试试卷A 卷及答案解析一．填空题（共24分，每小题3分）1．设函数x y z =，则__________________________=dz .2．方程333z e xyz e -=确定()y x z z ,=，则__________________=∂∂x z. 3. 曲线t t x sin -=，t y cos 1-=，2sin 2tz =在π=t 处切线方程为_________________________________________.4. 函数2u x y z =+在点(2,1,0)M 处最大的方向导数为__________________.5. 交换二次积分222(,)y y I dy f x y dx =⎰⎰的积分次序，得__________________=I .6.设平面曲线)10(:2≤≤=x x y L ，则曲线积分__________________=⎰ds x L.7. 幂级数∑∞=12n n n x n的收敛域是 ________________________.8. 微分方程022=+'-''y y y 的通解为___________________________.二、选择题（共12分，每小题3分）1. 设曲面2232y x z +=在点)5 , 1 , 1(M 处的切平面方程为064=+-+λz y x ，则λ=（ ）.(A) 15- (B) 0 (C) 5- (D) 52. 函数),(y x f 在点),(y x 处可微是函数),(y x f 在该点处存在偏导数的（ ）. (A) 必要条件 (B) 充分条件(C) 充要条件 (D) 既非充分又非必要条件3. 设曲线L 是单位圆周122=+y x 按逆时针方向，则下列曲线积分不等于零的是（ ）.(A) ds y L⎰ (B) ds x L⎰ (C) dx y xdy L⎰+ (D) ⎰+-L y x ydxxdy 224. 下列级数中收敛的是（ ）.(A) ∑∞=122n n n (B) ∑∞=+12n n n(C) ∑∞=+1)2121(n n n (D) ∑∞=133n n n三、解答题：(共59分)1.（7分）求二元函数()3132,23---=y x xy y x f 的极值. 2. （7分）设函数2,x z f x y y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中()v u f ,具有二阶连续偏导数，求yx zx z ∂∂∂∂∂2 , .3．（7分）计算二重积分dxdy xy D⎰⎰2，其中D 是由圆周422=+y x 与y 轴所围成的右半区域.4．（7分）将函数())1ln(x x f +=展成1-x 的幂级数，并写出可展区间5．（7分）计算曲面积分(2)I xy x y z dS ∑=+++⎰⎰，其中∑为平面1x y z ++=在第一卦限中的部分.6. （8分） 求微分方程x xe y y y 223=+'-''的通解.7． （8分）计算曲线积分()()y d y xy dx yx x I L⎰+-+-=2322其中L 为曲线22x x y -=从)0,2(A 到)0,0(O 的弧段.8．（8分）利用高斯公式计算曲面积分()()d xdy x z dzdx y dydz x I ⎰⎰∑-+++=33332,其中∑为由上半球面224y x z --=与锥面22y x z +=围成的空间闭区域的整个边界曲面的外侧.四．（5分）设()f x 是在(,)-∞+∞内的可微函数, 且()()f x f x α'<, 其中01α<<. 任取实数0a , 定义1ln (),1,2,3n n a f a n -==.证明：级数11()n n n a a ∞-=-∑绝对收敛.《高等数学》考试试卷A 卷答案一、填空题（共24分，每小题3分） 1. dy xy ydx y dz x x 1ln -+= 2. 3z z yzx e xy ∂=∂- 3.2022-=-=-z y x π4.5. 2(,)xI dx f x y dy =⎰⎰6.()11127. )21, 21[- 8. )sin cos (21x c x c e y x +=二、选择题（共12分，每小题3分） 1. C 2. B 3. D 4. D 三、解答题（共64分） 1. （7分）解： 令⎪⎩⎪⎨⎧=-==-=022022y x f x y f yx 得驻点⎩⎨⎧==00y x ，⎩⎨⎧==22y x 2 分 x f xx 2-=，2=xy f ，2-=yy f 4 分 在（0，0）处， 2 , 2 , 0-===C B A04 2<-=-B AC ， ∴（0，0）为非极值点. 5 分在（2，2）处 2 , 2 , 04-==<-=C B A04 2>=-B AC ∴ 1)2 , 2(=f 为函数),(y x f 的极大值. 7 分2.（7分） 解：2121f xy f yx z '+'=∂∂ 3分)21(212f xy f yy y x z '+'∂∂=∂∂∂ ])([ 22])([11222212221221112x f yx f xy f x x f y x f y f y ''+-''+'+''+-''+'-= 223122113212221f y x f y x f yx f x f y ''+''-''-'+'-= 7 分3. （7分） 解：⎰⎰⎰⎰--=224 0222y Dxdx dy y dxdy xy3分⎰--=2 2 22)4(21dy y y 5 分 1564)4(2 0 42=-=⎰dy y y 7 分4. （7分）解：1(1)ln(1)1n n n x x n ∞+=-+=+∑ 11≤<-x 1 分)211ln(2ln )]1(2ln[)1ln(-++=⋅-+=+x x x 3分10)21(1)1(2ln +∞=∑-+-+=n n n x n∑∞=++-+-+=011)1(2)1()1(2ln n n n nx n 6分 1211≤-<-x ⇒ 31≤<-x 7分5.（7分）解：:1z x y ∑=--dS ∴== 2分(2DI xy ∴=+⎰⎰4分1102xDdx xydy dxdy -=+⎰5分()13202xx x dx =-++6分12=7分6.（8分）解 （1）先求微分方程023=+'-''y y y 的通解Y特征方程 0232=+-r r 即 0)1)(2(=--r r ，21=r ，12=rx x e c e c Y 221+= 3 分（2）求原方程的一个特解*y 2 =λ 是特征方程的根，故设 x x e bx ax e b ax x y 222)()(+=+=*5分令bx ax x Q +=2)(，则b ax x Q +='2)(，a x Q 2)(=''将)(x Q '，)(x Q ''代入方程x x Q p x Q ='++'')()2()(λ 得 x b ax a =++22则 ⎩⎨⎧=+=1212b a a ， 解之得⎪⎩⎪⎨⎧==021b a ， x xe y 221=*7 分 所求通解 x x x xe e c e c y 222121++= 8 分7.（8分） 解：⎰++-+-OAL dy y xy dx yx x )2()(322dxdy x y dxdy y Px Q DD)()(22⎰⎰⎰⎰+=∂∂-∂∂= 3 分 ⎰⎰⋅=θd ρd cos 2 0220 ρρθπ5 分⎰==20 443cos 4ππθθd 6 分dy y xy dx yx x I OA ⎰+-+--=)2()(43322π 7 分2434320-=-=⎰ππxdx 8 分8. （8分） 解：由高斯公式dV z y x I )333(222⎰⎰⎰Ω++= 3 分2244 03 sin d d r dr ππθφφ=⎰⎰⎰ 6 分192(152π=- 8 分9.（5分）解：对任意设2n ≥,由拉格朗日中值定理，有111212121'()ln ()ln (),()n n n n n n n n n n f a a f a f a a a a a f ξαξ----------=-=-<-2 分其中1n ξ-介于1n a -与2n a -之间. 于是有11101,2,.n n n a a a a n α---<-=3分又级数1101n n a a α∞-=-∑收敛, 由比较审敛法知级数11()n n n a a ∞-=-∑绝对收敛.5分。