高中数学北师大版选修2-1课时作业3.3.3 双曲线的简单性质(1) Word版含解析

§双曲线的简单性质教材版本：北师大版（选修2-1）教材分析：双曲线是圆锥曲线之一，圆锥曲线是选修内容，但是高考必考内容，同时又是高考的热点问题。

双曲线的简单性质是北师大版选修2-1第三章第三节第二课时。

本节课是学生在已掌握椭圆及椭圆的简单性质和双曲线的定义及标准方程之后，类比椭圆的研究方法，再利用双曲线的标准方程和图形研究其简单性质。

双曲线的简单性质是教学大纲要求学生必须掌握的知识点；又是深入研究双曲线，并能灵活运用它解题的基础。

通过本节课的学习进一步使学生理解、掌握解析几何这门学科的研究方法，培养学生的解析几何观念，提高学生的数学素养。

双曲线特有的性质--渐近线，课本上是小体字并带有星号部分。

本节课就没有证明，只是通过“动画”，让学生直观感受，需要学习渐近线的必要性。

学情分析：必修2中学生已经学习了《解析几何初步》，已有些研究解析几何的经验了。

本章学生首先系统地学习了椭圆的概念及标准方程和性质，学生以这些知识为基础，类比椭圆的研究方法，再利用双曲线的标准方程研究其简单性质，相对来说比较轻松。

在课堂中，可以充分以学生为主体，通过与椭圆的类比，启发学生自己找出双曲线的简单性质。

三维目标：1、知识与技能（1）结合图形利用双曲线标准方程了解双曲线的简单性质。

（2）能由双曲线标准方程求出双曲线的顶点坐标、实、虚轴长，渐近线方程和离心率。

（3）能由双曲线的简单性质得出相应的双曲线方程。

（4）理解离心率对双曲线开口大小的影响，能正确说出其中的规律。

2、过程与方法利用研究椭圆的简单性质方法类比获得双曲线的简单性质，培养学生的观察能力，想象能力，数形结合能力和分析、归纳、研究问题能力，以及类比的学习方法。

3、情感、态度与价值观培养学生主动探求知识、合作交流的意识，增强学生数学交流能力，提高学生的合作精神。

教学重点：双曲线的简单性质的探究及其应用。

教学难点：双曲线的简单性质的灵活应用。

教学方法：启发诱导，自主探究，类比分析法．即结合本节内容的特征，主要采用启发诱导式教学方式，学生类比椭圆自主地去探求出双曲线的简单性质，适当借助多媒体等教学辅助手段。

3.2双曲线的简单性质
1．结合双曲线的图形掌握双曲线的简单几何性质．(重点)
2．感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用，体会数形结合思想．(难点)
[基础·初探]
教材整理双曲线的简单性质
阅读教材P80“练习以下”～P82“例3”以上的部分，完成下列问题．
续表
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)双曲线是轴对称图形．()
(2)双曲线的离心率越大，它的开口越小．()
(3)双曲线x2
4－
y2
9＝1的虚轴长为4.()
【解析】(1)双曲线关于x轴，y轴对称．(2)双曲线的离心率越大，它的开口越大．
(3)x2
4－
y2
9＝1中b＝3，∴虚轴长为2b＝6.
【答案】(1)√(2)×(3)×
2．双曲线2x2－y2＝－8的实轴长是() A．22B．4 2 C．2 D．4
【解析】双曲线标准方程为y2
8－
x2
4＝1
故实轴长为2a＝4 2.
【答案】 B
3．双曲线x2－y2＝3的离心率为________．
【解析】x2－y2＝3可化为x2
3－
y2
3＝1，。

课时作业17 双曲线的简单性质时间：45分钟 ——基础巩固类——一、选择题1．双曲线3x 2－y 2＝9的实轴长是( A ) A ．2 3 B ．2 2 C ．4 3D ．4 2解析：将方程3x 2－y 2＝9变形为x 23－y 29＝1，则a 2＝3，解得a ＝3，即2a ＝2 3.故选A.2．已知双曲线x 2a2－y 2＝1(a >0)的实轴长、虚轴长、焦距长成等差数列，则该双曲线的渐近线方程为( D )A ．y ＝±35xB ．y ＝±53xC ．y ＝±34xD ．y ＝±43x解析：由题意得实轴长为2a ，虚轴长为2，焦距长为2a 2＋1.因为实轴长、虚轴长、焦距长成等差数列，所以4＝2a ＋2a 2＋1，解得a ＝34，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±1a x ＝±43x . 3．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则双曲线的方程为( A ) A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1C.x 210－y 26＝1 D.x 26－y 210＝1 解析：由已知e ＝2，c ＝4，得a ＝2，得b 2＝12，故双曲线的方程为x 24－y 212＝1.4．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (3,0)，离心率等于32，则C 的方程是( B )A.x 24－y 25＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 22－y 25＝1 D.x 22－y 25＝1 解析：∵e ＝32，c ＝3，∴a ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝5，即双曲线C 的标准方程为x 24－y 25＝1.5．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b ＞0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( C )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12xD ．y ＝±x解析：∵e ＝c a ＝52，∴c 2a 2＝54，∴b 2＝54a 2－a 2＝a24，∴b a ＝12， 即渐近线方程为y ＝±12x .6．设双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为( C )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：本小题考查内容为双曲线的渐近线． 双曲线的渐近线方程为y ＝±3a x ，比较y ＝±32x ，∴a ＝2.7．若双曲线x 23－y 2b 2＝1(b >0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的14，则该双曲线的虚轴长是( A )A ．2B ．1 C.55D.255解析：由题意知双曲线x 23－y 2b 2＝1(b >0)的一个焦点到一条渐近线的距离为|bc |3＋b 2＝b .∵双曲线x 23－y 2b 2＝1(b >0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的14，∴b ＝14·2c ，即b ＝12c＝123＋b 2，解得b ＝1.∴该双曲线的虚轴长是2.故选A. 8．已知A ，B 分别为双曲线E 的左、右顶点，点M 在双曲线E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则双曲线E 的离心率为( D )A. 5 B ．2 C. 3D. 2解析：设双曲线E 的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，示意图如下图，|AB |＝|BM |，∠ABM＝120°.过点M 作MN ⊥x 轴，垂足为点N .在Rt △BMN 中，|BN |＝a ，|MN |＝3a ，故点M 的坐标为M (2a ，3a )，代入双曲线E 的方程得a 2＝b 2＝c 2－a 2，即c 2＝2a 2，所以e ＝ 2.故选D.二、填空题9．双曲线x 216－y 29＝1的两条渐近线的方程为y ＝±34x .解析：由a 2＝16，b 2＝9，∴渐近线方程y ＝±b a x ＝±34x .10．双曲线x 216－y 2m ＝1的离心率为54，则m 等于9.解析：c a ＝16＋m 4＝54，∴m ＝9. 11．设F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使∠F 1AF 2＝90°，且|AF 1|＝3|AF 2|，则双曲线的离心率为102. 解析：设|AF 2|＝x ，则|AF 1|＝3x .则2a ＝|AF 1|－|AF 2|＝2x,2c ＝|AF 1|2＋|AF 2|2＝10x ，故离心率e ＝c a ＝10x 2x ＝102. 三、解答题12．求满足下列条件的双曲线的标准方程．(1)与双曲线y 24－x 23＝1具有相同的渐近线，且过点M (3，－2)；(2)与双曲线x 216－y 29＝1有公共顶点，且过点A (6，5)；(3)过点(2,0)，与双曲线y 264－x 216＝1离心率相等；(4)与椭圆x 249＋y 224＝1有公共焦点，离心率为54.解：(1)设所求双曲线方程为y 24－x 23＝λ(λ≠0)．由点M (3，－2)在双曲线上，得44－93＝λ，即λ＝－2.故所求双曲线的标准方程为x 26－y 28＝1.(2)∵所求双曲线与双曲线x 216－y 29＝1有公共顶点，故可设所求双曲线的方程为x 216－y 2m＝1(m >0)．将点A (6，5)的坐标代入方程x 216－y 2m＝1，解得m ＝4.∴所求双曲线的方程为x 216－y 24＝1.(3)当所求双曲线的焦点在x 轴上时，可设其方程为x 264－y 216＝λ(λ>0)，将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝116，故所求双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1；当所求双曲线的焦点在y 轴上时，可设其方程为y 264－x 216＝λ(λ>0)，将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝－14<0(舍去)．综上可知，所求双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.(4)方法1：由椭圆方程可得焦点坐标为(－5,0)和(5,0)，即c ＝5且焦点在x 轴上．设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．∵e ＝c a ＝54，∴a ＝4，∴b 2＝c 2－a 2＝9.∴所求双曲线的标准方程为x 216－y 29＝1. 方法2：∵椭圆的焦点在x 轴上， ∴可设双曲线的标准方程为x 249－λ－y 2λ－24＝1(24<λ<49)． 又e ＝54，∴λ－2449－λ＝2516－1，解得λ＝33.∴所求双曲线的标准方程为x 216－y 29＝1.13．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，一条渐近线方程为y ＝x ，且过点(4，－10)．(1)求双曲线方程；(2)若点M (3，m )在此双曲线上，求MF 1→·MF 2→.解：(1)∵双曲线的一条渐近线方程为y ＝x ， ∴设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)．把点(4，－10)代入双曲线方程得42－(－10)2＝λ，∴λ＝6. ∴所求双曲线方程为x 2－y 2＝6， 即x 26－y 26＝1. (2)由(1)知双曲线方程为x 2－y 2＝6，∴双曲线的焦点F 1(－23，0)，F 2(23，0)． ∵M 点在双曲线上， ∴32－m 2＝6，m 2＝3. ∴MF 1→·MF 2→＝(－23－3，－m )·(23－3，－m )＝(－3)2－(23)2＋m 2＝－3＋3＝0.——能力提升类——14．已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π3，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( A )A.433B.233C ．3D ．2解析：方法1：(利用离心率的三角公式)在△F 1PF 2中，不妨设∠PF 1F 2＝α，∠PF 2F 1＝β，α>β，则椭圆的离心率e 1＝sin60°sin α＋sin β，双曲线的离心率e 2＝sin60°sin α－sin β，于是1e 1＋1e 2＝2sin αsin60°＝433sin α≤433，当且仅当α＝90°时等号成立． 方法2：设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，且r 1>r 2，椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的实半轴长为a 2，椭圆与双曲线焦距的一半为c ，椭圆与双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则由椭圆和双曲线的定义可得r 1＋r 2＝2a 1，r 1－r 2＝2a 2，两边平方得4a 21＝r 21＋r 22＋2r 1r 2 ①，4a 22＝r 21＋r 22－2r 1r 2 ②，联立①②可得r 21＋r 22＝2a 21＋2a 22 ③，r 1r 2＝a 21－a 22 ④，由余弦定理可得4c 2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos π3 ⑤，联立③④⑤可得a 21＋3a 22＝4c 2，即1e 21＋3e 22＝4.设1e 1＝2cos θ，3e 2＝2sin θ，则1e 1＋1e 2＝2cos θ＋23sin θ＝433sin(θ＋π3)，所以1e 1＋1e 2的最大值为433.方法3：同方法2得到1e 21＋3e 22＝4后，由柯西不等式得(1e 1＋1e 2)2＝(1e 1＋13·3e 2)2≤(1e 21＋3e 22)(1＋13)＝163(当且仅当1e 1·13＝3e 2·1，即e 2e 1＝3时等号成立)，所以1e 1＋1e 2≤433. 15．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >1，b >0)的焦距为2c ，直线l 过点(a,0)和(0，b )，且点(1,0)到直线l 的距离与点(－1,0)到直线l 的距离之和s ≥45c ，求双曲线的离心率e 的取值范围．解：直线l 的方程为x a ＋y b＝1， 即bx ＋ay －ab ＝0.由点到直线的距离公式，且a >1，得到点(1,0)，(－1,0)到直线l 的距离分别为d 1＝b a －1a 2＋b 2，d 2＝b a ＋1a 2＋b 2. s ＝d 1＋d 2＝2aba 2＋b2＝2abc. 由s ≥45c ，得2ab c ≥45c ，即5a c 2－a 2≥2c 2. 于是，得5e 2－1≥2e 2， 即4e 4－25e 2＋25≤0.解不等式，得54≤e 2≤5.∵e >1，∴e 的取值范围是52≤e ≤ 5.。

双曲线的简单性质
．结合双曲线的图形掌握双曲线的简单几何性质．(重点)
)
．感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用，体会数形结合思想．(难点
阅读教材“练习以下”～“例”以上的部分，完成下列问题．
续表
．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
()双曲线是轴对称图形．( )
()双曲线的离心率越大，它的开口越小．( )
()双曲线－＝的虚轴长为.( )
【解析】()双曲线关于轴，轴对称．
()双曲线的离心率越大，它的开口越大．
()－＝中＝，∴虚轴长为＝.
【答案】()√()×()×
．双曲线－＝－的实轴长是( )
．
．
．
．
【解析】双曲线标准方程为－＝
故实轴长为＝.
【答案】
．双曲线－＝的离心率为．
【解析】－＝可化为－＝，
∴＝＝，＝＋＝，
∴＝＝＝.
【答案】
．求双曲线－＝的焦点坐标，实轴长、虚轴长、离心率．
【导学号：】【解】∵＝，＝，∴＝＋＝，
∴焦点坐标为()，(－)，
实轴长＝，虚轴长＝，
离心率＝＝.。

1．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)既关于坐标轴对称，又关于坐标原点对称；其顶点为(±a,0)，实轴长为2a ，虚轴长为2b ；其上任一点P (x ，y )的横坐标均满足|x |≥a .2．双曲线的离心率e ＝c a 的取值范围是(1，＋∞)，其中c 2＝a 2＋b 2，且b a ＝e 2－1，离心率e 越大，双曲线的开口越大．可以通过a 、b 、c 的关系，列方程或不等式求离心率的值或范围．3．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±b a x ，也可记为x 2a 2－y 2b 2＝0；与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1具有相同渐近线的双曲线的方程可表示为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)． ————————————————————————————————————— —————————————————————————————————————[A 级 基础夯实]1．已知双曲线x 2－y 23＝1，那么它的焦点到渐近线的距离为( ) A ．1 B. 3 C ．3 D ．4解析：依题意得，双曲线的右焦点坐标是(2,0)，一条渐近线方程是y ＝3x ，即3x －y ＝0，因此焦点到渐近线的距离为23(3)2＋1＝ 3. 答案：B2．若双曲线x 2a 2－y 23＝1(a >0)的离心率为2，则a 等于( ) A ．2B. 3C.32D ．1 解析：∵c 2＝a 2＋3，∴c 2a 2＝a 2＋3a 2＝4，得a ＝1. 答案：D3．若双曲线经过点(6，3)，且渐近线方程是y ＝±13x ，则这条双曲线的方程是( ) A.x 236－y 29＝1 B.x 281－y 29＝1C.x 29－y 2＝1 D.x 218－y 23＝1 解析：设双曲线的方程为y 2－x 29＝λ(λ≠0)，将(6，3)代入该方程可得λ的值． 答案：C4．已知双曲线x 24－y 2＝1，则其渐近线方程是________，离心率e ＝________. 解析：因为a 2＝4，b 2＝1，所以c 2＝5.即a ＝2，c ＝ 5.e ＝52.将x 24－y 2＝1中右边的“1”换为“0”，可解出渐近线方程． 答案：y ＝±12x 525．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝ 3x ，它的一个焦点与抛物线y 2＝16x 的焦点相同，则双曲线的方程为________．解析：由双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝3x 得b a ＝ 3，∴b ＝ 3a .∵抛物线y 2＝16x 的焦点为F (4,0)，∴c ＝4.又∵c 2＝a 2＋b 2，∴16＝a 2＋(3a )2，∴a 2＝4，b 2＝12.∴所求双曲线的方程为x 24－y 212＝1. 答案：x 24－y 212＝1 6．求过点(2，－2)且与x 22－y 2＝1有公共渐近线的双曲线方程． 解析：解法一 当焦点在x 轴上时，由于b a ＝22，故可设方程为x 22b 2－y 2b2＝1，代入点(2，－2)，得b 2＝－2(舍)．当焦点在y 轴上时，可知a b ＝22，故可设方程为y 2a 2－x 22a 2＝1，代入点(2，－2)，得a 2＝2，故所求双曲线的方程为y 22－x 24＝1. 解法二 因为与双曲线x 22－y 2＝1有公共的渐近线，可设双曲线的方程为x 22－y 21＝λ(λ≠0)，代入点(2，－2)，得λ＝－2.所以双曲线的方程为x 22－y 2＝－2，即y 22－x 24＝1.[B 级 能力提升]7．中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为( ) A. 6 B. 5 C.62 D.52解析：由题意知，过点(4，－2)的渐近线方程为y ＝－b ax ， ∴－2＝－b a×4，∴a ＝2b .设b ＝k ，则a ＝2k ，c ＝5k ， ∴e ＝c a ＝5k 2k ＝52. 答案：D8．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为( )A.x 25－y 24＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 23－y 26＝1 D.x 26－y 23＝1 解析：∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b ax ， 圆C 的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4，∴圆心为C (3,0)．又渐近线方程与圆C 相切，即直线bx ±ay ＝0与圆C 相切． ∴3b a 2＋b2＝2，∴5b 2＝4a 2.① 又∵x 2a 2－y 2b2＝1的右焦点F 2(a 2＋b 2，0)为圆心C (3,0)， ∴a 2＋b 2＝9.②由①②得a 2＝5，b 2＝4.∴双曲线的标准方程为x 25－y 24＝1. 答案：A 9．设双曲线x 29－y 216＝1的右顶点为A ，右焦点为F .过点F 平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，求△AFB 的面积．解析：。

3.2 双曲线的简单性质知识点 双曲线的简单性质[填一填]设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，其简单性质如下： (1)双曲线是以x 轴和y 轴为对称轴的轴对称图形，也是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心．(2)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)都在两条平行直线x ＝－a 和x ＝a 的两侧，因此双曲线上点的横坐标满足x ≤－a 或x ≥a .(3)双曲线与它的对称轴的交点A 1(－a,0)，A 2(a,0)叫作双曲线的顶点．显然顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点．两个顶点间的线段A 1A 2叫作双曲线的实轴，它的长度等于2a .设B 1(0，－b )，B 2(0，b )为y 轴上的两个点，我们把线段B 1B 2叫作双曲线的虚轴，它的长度为2b .a 为实半轴长，b 为虚半轴长．(4)c a ＝e 叫作双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率，因为c >a >0，所以e ＝c a >1.b a 决定双曲线的开口大小，ba 越大，双曲线的开口就越大．(5)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±ba x .[答一答]1．等轴双曲线(实轴长与虚轴长相等的双曲线)的离心率和渐近线方程分别是什么？提示：等轴双曲线是一种特殊的双曲线，离心率为e ＝2，渐近线方程为y ＝±x .2．双曲线与椭圆的离心率有哪些异同？提示：双曲线的离心率算法与椭圆相同，都是e ＝ca ，但因c >a ，所以e >1.又因为双曲线与椭圆的形状不同，所以离心率的几何意义不同，对于椭圆，它决定其“扁平”程度，而对于双曲线，它决定其“张口”大小．1．关于双曲线的几何性质的几个方面：(1)双曲线的对称性与椭圆的对称性完全相同，并且含对称中心的区域称为双曲线的内部．(2)双曲线只有两个顶点，即实轴的两个端点，而椭圆有四个顶点，这与椭圆不同．(3)利用双曲线的渐近线，可以帮助我们准确地画出双曲线的草图．具体做法是：画出双曲线的渐近线，先确定双曲线的顶点及第一象限内任意一点的位置，然后过这两点并根据双曲线在第一象限从渐近线下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的一部分，最后利用双曲线的对称性画出完整的双曲线．(4)根据关系式：c 2＝a 2＋b 2，b 2a 2＝e 2－1，e ＝ca ，可知在a ，b ，c ，e四个参数中，已知其中两个就可求得另外两个．(5)若双曲线的焦点在x 轴上，渐近线的倾斜角为α(0<α<π2)，则cos α＝a c ＝1e ，即e ＝1cos α.(6)抛物线和双曲线的一支的区别：当抛物线上的点趋向于无穷远时，抛物线在这一点的斜率(曲线在某一点的斜率是指曲线在这一点的切线的斜率)接近于坐标轴所在直线的斜率，也就是抛物线接近于和坐标轴所在直线平行；而双曲线上的点趋向于无穷远时，它的斜率接近于它的渐近线的斜率．2．两条特殊双曲线： (1)共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，与原双曲线是一对共轭双曲线．如双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与y 2b 2－x 2a 2＝1是一对共轭双曲线．共轭双曲线有公共的渐近线，且焦点在以中心为圆心，半焦距c 为半径的圆上．求双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的共轭双曲线方程 ，只需将方程中的“1”改为“－1”即可．(2)等轴双曲线：实轴长与虚轴长相等的双曲线，叫作等轴双曲线，方程记为x 2－y 2＝a 2.所有的等轴双曲线的渐近线方程均为y ＝±x ，并且离心率e ＝ 2.特别地xy ＝1是一条等轴双曲线．3．关于双曲线的标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)有以下几个结论： (1)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有共同渐近线的双曲线方程可表示为x 2a 2－y 2b 2＝t (t ≠0)；(2)若双曲线的渐近线方程是y ＝±b a x ，则双曲线的方程可表示为x 2a 2－y 2b 2＝t (t ≠0)；(3)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共焦点的双曲线方程可表示为x 2a 2－k －y 2b 2＋k ＝1(－b 2<k <a 2)；(4)过两个已知点的双曲线的标准方程可设为x 2m ＋y 2n ＝1(mn <0)；(5)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)有共同焦点的双曲线方程可表示为x 2a 2－λ＋y 2b 2－λ＝1(b 2<λ<a 2)． 利用上述结论求关于双曲线的标准方程，可简化解题过程，提高解题速度．类型一 由双曲线的性质求标准方程【例1】 求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)实轴长为16，离心率为54；(2)双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)．【思路探究】 由双曲线的几何性质，列出关于a ，b ，c 的方程，求出a ，b ，c 的值．【解】 (1)设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)．由题意知2a ＝16，c a ＝54，c 2＝a 2＋b 2， 解得c ＝10，a ＝8，b ＝6，所以双曲线的标准方程为x 264－y 236＝1或y 264－x 236＝1. (2)设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)． 由已知得a ＝3，c ＝2， ∴b 2＝c 2－a 2＝1.∴双曲线的标准方程为：x 23－y 2＝1.规律方法 根据双曲线的性质求双曲线的标准方程时，一般采用待定系数法．首先要根据题目中给出的条件，确定焦点所在的位置，然后设出标准方程的形式，找出a，b，c的关系，列出方程求值，从而得到双曲线的标准方程．(1)已知双曲线的焦点在y轴，实轴长与虚轴长之比为23，且经过P(6，2)，求双曲线方程；(2)求焦点在x轴上，离心率为53，且经过点M(－3，23)的双曲线方程．解：(1)设双曲线方程为y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)．依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ab＝23，4a2－6b2＝1⇒⎩⎨⎧a2＝43，b2＝3.故所求双曲线方程为y243－x23＝1.(2)设所求双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)．∵e＝53，∴e2＝c2a2＝a2＋b2a2＝1＋b2a2＝259，∴ba＝43.9a2－12b2＝1，解得⎩⎨⎧a2＝94，b2＝4.∴所求的双曲线方程为x294－y24＝1.类型二 双曲线的渐近线【例2】 求过点(2，－2)且与x 22－y 2＝1有公共渐近线的双曲线方程．【思路探究】 由于双曲线x 22－y 2＝1的渐近线方程为y ＝±22x ，但焦点的位置不确定，所以应进行分类讨论．【解】 方法1：当焦点在x 轴上时，由于b a ＝22，故可设方程为x 22b 2－y 2b2＝1，将(2，－2)代入方程，得b 2＝－2(舍)．当焦点在y 轴上时，可知a b ＝22，故可设方程为y 2a 2－x 22a 2＝1，将(2，－2)代入方程，得a 2＝2，故所求双曲线的方程为y 22－x 24＝1.方法2：因为与双曲线x 22－y 2＝1有公共的渐近线，可设双曲线的方程为x 22－y 21＝λ(λ≠0)，将(2，－2)代入方程，得λ＝－2.所以双曲线的方程为x 22－y 2＝－2， 即y 22－x 24＝1.规律方法 求解双曲线的方程主要依据双曲线的焦点所在的坐标轴，设双曲线的方程．或者利用与已知双曲线有公共渐近线的双曲线系较为方便．已知双曲线的渐近线方程为y ＝±23x ，焦距为226，求双曲线的标准方程．解：当双曲线的焦点在x 轴上时，由⎩⎨⎧ b a ＝23，c 2＝a 2＋b 2＝26，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝18，b 2＝8，所以所求双曲线的标准方程为x 218－y 28＝1； 当双曲线的焦点在y 轴上时，由⎩⎨⎧a b ＝23，c 2＝a 2＋b 2＝26，解得⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝18，a 2＝8，所以所求双曲线的标准方程为y 28－x 218＝1.综上可知，所求双曲线的标准方程为x 218－y 28＝1或y 28－x 218＝1. 类型三 求双曲线的离心率【例3】 求符合下列条件的双曲线的离心率． (1)双曲线的渐近线方程为y ＝±32x ；(2)过焦点且垂直于实轴的弦的两个端点与另一焦点的连线所成角为90°；(3)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(0<a <b )的半焦距为c ，直线l 过(a,0)，(0，b )两点，且原点到直线l 的距离为34c .【思路探究】 由题设条件直接求a ，c 的值或把ca 作为整体转化为e 的方程，解方程求之．【解】 (1)若焦点在x 轴上，则b a ＝32，∴e ＝b 2a 2＋1＝132；若焦点在y 轴上，则a b ＝32， 即b a ＝23，∴e ＝b 2a 2＋1＝133.综上，双曲线的离心率为132或133. (2)如图所示，∠AF 1B ＝90°，∴|F 1F 2|＝12|AB |. ∴2c ＝b 2a ，即2c a ＝b 2a 2， ∴2e ＝e 2－1.即e 2－2e －1＝0， ∴e ＝1＋2或e ＝1－2(舍)． ∴离心率为1＋ 2.(3)方法1：由l 过两点(a,0)，(0，b )，得l 的方程为bx ＋ay －ab ＝0.由原点到l 的距离为34c ， 得ab a 2＋b2＝34c .将b ＝c 2－a 2代入，平方后整理，得 16(a 2c 2)2－16×a 2c 2＋3＝0.令a 2c 2＝x ， 则16x 2－16x ＋3＝0，解得x ＝34或x ＝14. 即e ＝ca ，有e ＝1x .∴e ＝233或e ＝2.∵0<a <b ，∴e ＝ca ＝a 2＋b 2a ＝1＋b 2a 2>2，∴离心率为2.方法2：依题意，直线l ：bx ＋ay －ab ＝0. 由原点到l 的距离为34c ， 得ab a 2＋b2＝34c ，即ab ＝34c 2. ∴16a 2b 2＝3(a 2＋b 2)2， 即3b 4－10a 2b 2＋3a 4＝0. ∴3(b 2a 2)2－10b 2a 2＋3＝0. 解得b 2a 2＝13或b 2a 2＝3. 又0<a <b ，∴b 2a 2＝3. ∴e ＝1＋b 2a 2＝2.方法3：如图，设A (a,0)，B (0，b )，则|AB |＝c .令∠BAO＝α，则cosα＝a c＝1e，sinα＝34ca＝34e.又sin2α＋cos2α＝1，∴316e2＋1e2＝1，即3e4－16e2＋16＝0.∴e2＝43或e2＝4，即e＝233或e＝2.又0<a<b，∴ba>1，∴e＝1＋b2a2> 2.∴离心率e＝2.规律方法求双曲线的离心率，通常先由题设条件得到a，b，c的关系式，再根据c2＝a2＋b2，直接求a，c的值．而在解题时常把ca或ba视为整体，把关系式转化为关于ca或ba的方程，解方程求之，从而得到离心率的值．在本题的第(3)小题中，要注意条件0<a<b对离心率的限制，保证题目结果的准确性．(1)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)与抛物线y2＝8x有公共焦点，且双曲线上的点到坐标原点的最短距离为1，则该双曲线的离心率为(C)A. 2B. 3C．2 D.4(2)中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线过点(4，－2)，则它的离心率为(D)A. 6B. 5C.62 D.52解析：(1)因为抛物线y2＝8x的焦点坐标为(2,0)，所以双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)中c＝2.又双曲线上的点到坐标原点的最短距离为1，所以a＝1.故该双曲线的离心率e＝ca＝2.(2)设过点(4，－2)的渐近线方程为y ＝－ba x ， ∴－2＝－ba ×4，∴a ＝2b .方法1：设b ＝k (k >0)，则a ＝2k ，c ＝5k ， ∴e ＝c a ＝5k 2k ＝52.方法2：e 2＝b 2a 2＋1＝14＋1＝54，故e ＝52.——多维探究——巧妙运用双曲线的标准方程及其性质通过近三年的高考试题分析，对双曲线的标准方程与几何性质的考查主要是：焦点、顶点、离心率、渐近线方程等知识，均以选择题、填空题的形式出现，一般不会在解答题中出现，难度中等偏下．【例4】 设双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的坐标为(15，4)，则此双曲线的标准方程是________．【思路分析】 第1步：求出双曲线的焦点坐标； 第2步：根据双曲线的定义求a ，b .【解析】 方法1：椭圆x 227＋y 236＝1的焦点坐标是(0，±3)，设双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，根据定义2a ＝|(15－0)2＋(4－3)2－(15－0)2＋(4＋3)2|＝4，故a ＝2.又b 2＝32－a 2＝5，故所求双曲线方程为y 24－x 25＝1.方法2：设双曲线方程为x 227－λ＋y 236－λ＝1(27<λ<36)，由于曲线过点(15，4)，故1527－λ＋1636－λ＝1，解得λ1＝32，λ2＝0(舍去)．故所求双曲线方程为y 24－x 25＝1.【答案】 y 24－x 25＝1规律方法 求解双曲线的标准方程最常用的方法是定义法和待定系数法．但本例可利用共焦点的曲线系方程求解，其要点是根据题目中的一个条件写出含一个参数的共焦点的二次曲线方程，再根据另外一个条件求出这个系数．若双曲线x 2a 2－y 23＝1(a >0)的离心率为2，则它的一条渐近线方程为( D )A ．y ＝3x ＋1B ．y ＝3x －1C ．y ＝－3x ＋1D.y ＝3x解析：由x 2a 2－y 23＝1，可知虚半轴长b ＝3，而离心率e ＝ca ＝a 2＋3a ＝2，解得a ＝1.故渐近线方程为y ＝±3x .1．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝43x ，则双曲线的离心率为( A )A.53B.43C.54D.32解析：由已知得b a ＝43，又c 2＝a 2＋b 2，∴e ＝c a ＝53.2．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为( A )A.x 220－y 25＝1 B.x 25－y 220＝1 C.x 280－y 220＝1D.x 220－y 280＝1解析：由题意知，焦距为10，∴c ＝5， 又∵P (2,1)在双曲线的渐近线上， ∴a ＝2b ，联立得a 2＝20，b 2＝5， 故双曲线方程x 220－y 25＝1.3．已知双曲线x 24－y 2b 2＝1的右焦点与抛物线y 2＝12x 的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于( A )A. 5 B ．4 2 C ．3D.5解析：由y 2＝12x ，焦点坐标为(3,0)．∴a 2＋b 2＝9，∴b ＝ 5. 双曲线的一条渐近线为y ＝52x . ∴d ＝353＝ 5.4．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率为5，则m 的值为2.解析：由双曲线标准方程x 2m －y 2m 2＋4＝1知a 2＝m >0，b 2＝m 2＋4，∴c 2＝a 2＋b 2＝m ＋m 2＋4，由e ＝5得c2a 2＝5，∴m >0且m ＋m 2＋4m＝5，∴m ＝2.经检验符合题意．5．已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别为l 1：y ＝2x ，l 2：y ＝－2x .求双曲线E 的离心率．解：∵双曲线E 的渐近线分别为y ＝2x ，y ＝－2x ， ∴ba ＝2，∴c 2－a 2a ＝2，故c ＝5a ， 从而双曲线E 的离心率e ＝ca ＝ 5.。

双曲线的简单性质课时目标了解双曲线的范围、对称性、顶点、离心率、渐近线等几何性质，会根据几何性质求双曲线方程，及学会由双曲线的方程研究几何性质．．双曲线的简单几何性质.()()双曲线－＝的两个顶点为(－)、(，)．设(，－)、(，)，线段叫做双曲线的，它的长等于，叫做双曲线的半实轴长，线段叫做双曲线的，它的长等于，叫做双曲线的半虚轴长．实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，等轴双曲线的渐近线方程为＝±.()当双曲线的离心率由小变大时，双曲线的形状就从扁狭逐渐变得，原因是＝，当增大时，也增大，渐近线的斜率的绝对值．一、选择题．下列曲线中离心率为的是( )－＝－＝－＝－＝．双曲线－＝的渐近线方程是( )．＝±．＝±．＝±．＝±．双曲线与椭圆＋＝有相同的焦点，它的一条渐近线方程为＝，则双曲线的方程为( ) ．－＝．－＝．－＝．－＝．设双曲线－＝(>，>)的虚轴长为，焦距为，则双曲线的渐近线方程为( )．＝±．＝±．＝±．＝±．直线过点(，)且与双曲线－＝仅有一个公共点，则这样的直线有( ) ．条．条．条．条．已知双曲线－＝ (>，>)的左、右焦点分别为、，点在双曲线的右支上，且＝，则此双曲线的离心率的最大值为( )．二、填空题．两个正数、的等差中项是，一个等比中项是，且>，则双曲线－＝的离心率＝.．在△中，，，分别是∠，∠，∠的对边，且＝，－＝，则顶点运动的轨迹方程是．．与双曲线－＝有共同的渐近线，并且经过点(－，)的双曲线方程为．三、解答题．根据下列条件，求双曲线的标准方程．()经过点，且一条渐近线为＋＝；()()与两个焦点连线互相垂直，与两个顶点连线的夹角为.．已知双曲线的中心在原点，焦点、在坐标轴上，离心率为，且过点(，－)．()求此双曲线的方程；()若点(，)在双曲线上，求证：⊥；()求△的面积．能力提升．设双曲线的一个焦点为，虚轴的一个端点为，如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )．、是双曲线的左、右焦点，是双曲线上一点，且∠＝°，△＝，又离心率为，求双曲线的方程．。

3.2 双曲线的简单性质自主整理双曲线2222by a x -=1(a>0,b>0)的简单性质1.对称性双曲线2222by a x -=1(a>0,b>0)是以____________和____________为对称轴的轴对称图形,又是以____________为对称中心的中心对称图形,这个对称中心称为双曲线的____________.2.范围双曲线2222by a x -=1(a>0,b>0)都在两条平行直线____________和____________的两侧,因此双曲线上点的横坐标满足____________或____________.3.顶点我们把双曲线与它的对称轴的交点A 1(-a,0),A 2(a,0)叫作双曲线的____________.顶点是双曲线两支上的点中距离____________的点.两个顶点间的线段叫作双曲线的____________,它的长度等于____________.设B 1(0,-b),B 2(0,b)为y 轴上的两个点.我们把线段B 1B 2叫作双曲线的____________,它的长度等于____________.a 叫作双曲线的____________,b 叫作双曲线的____________. 4.离心率我们把a c =e 叫作双曲线2222by a x -=1(a>0,b>0)的____________.因为c>a>0,所以e=a c____________. a b 决定双曲线的开口大小,ab 越大,双曲线的开口就____________.因为11)(22222-=-=-e a c a a c ,所以a b 越大,e 也,从而离心率可以用来表示双曲线开口的程度.5.渐近线我们把直线____________和____________叫作双曲线的渐近线. 高手笔记1.双曲线的对称性与椭圆完全相同,要联想记忆.2.双曲线的范围.在双曲线2222by a x -=1中,22a x =1+22b y ≥1,所以x 2≥a 2,即x≤-a 或x≥a.故双曲线在两直线x=a 和x=-a 的外侧,是无限延伸的.双曲线在x=-a,x=a 之间没有图像,当|x|无限增大时,|y|也无限增大,所以曲线是无限延展的,不像椭圆那样是封闭曲线.3.双曲线只有两个顶点,而椭圆有四个顶点,这与椭圆不同,更不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆.双曲线的焦点总在实轴上,实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线.4.双曲线的离心率.双曲线的焦距与实轴长的比ac叫作双曲线的离心率. 因为c>a>0,所以双曲线的离心率e=ac>1.由等式c 2=a 2+b 2,可得a b =1122222-=-=-e ac aa c . 因此e 越大,a b 也越大,即渐近线y=±abx 的斜率的绝对值越大,这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔.5.双曲线的渐近线对于双曲线经过点A 2,A 1作y 轴的平行线x=±a,经过点B 1,B 2作x 轴的平行线y=±b,四条直线围成一个矩形(如图).矩形的两条对角线所在直线的方程是y=±abx.从图中可以看出双曲线2222b y a x -=1的各支向外延伸时,与这两条直线逐渐接近,我们把这两条直线叫作双曲线的渐近线.(1)双曲线2222b y a x -=1的渐近线为y=±a b x,双曲线2222by a x -=1的渐近线为y=±b a ,两者容易记混,可将双曲线方程中的“1”换成“0”,然后因式分解即得渐近线方程,这样就不至于记错了.(2)双曲线与它的渐近线无限接近,但永不相交. (3)若已知渐近线方程为mx±ny=0,求双曲线方程.双曲线的焦点可能在x 轴上,也可能在y 轴上,可用下面的方法来解决.方法1:分两种情况设出方程进行讨论.方法2:依据渐近线方程,设出双曲线为m 2x 2-n 2y 2=λ(λ≠0),求出λ即可.(4)与2222b y a x -=1共渐近线的双曲线的方程可设为2222by a x -=λ(λ≠0).名师解惑1.如何解决与特征△PF 1F 2(P 为双曲线上的点)有关的计算问题?剖析：一般涉及与△PF 1F 2有关的计算或判定问题时,常考虑双曲线的定义,正,余弦定理,面积公式相结合的方法解决问题.2.如何确定离心率e 的取值情况与双曲线形状的关系?剖析：离心率e=ac与a,b,c 之间的关系c 2=a 2+b 2转化为e 与渐近线斜率的关系,以此说明双曲线开口的大小.双曲线的离心率e=a c =2)(1ab +,当e 越大时,a b 越大,即渐近线夹角(含x 轴)越大,故开口越大;反之,e 越小,开口越小.离心率反映了双曲线开口的大小,从上面的公式中可以看出e>1. 讲练互动 【例1】求一条渐近线方程是3x+4y=0,一个焦点是(4,0)的双曲线的标准方程,并求此双曲线的离心率.解析：用双曲线的标准方程与几何性质,由渐近线方程与双曲线方程之间的关系,以及待定系数法求解.解：因为c=4,且由渐近线方程知a b =43, 所以⎪⎩⎪⎨⎧==+.43,1622a b b a 解之,得a 2=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.512,516,25144,2525622b a b a 即 所以所求双曲线方程为144252562522y x -=1,离心率e=45.绿色通道求双曲线的标准方程,应首先根据焦点所在的坐标轴,确定方程的形式,再由待定系数法,依据其条件确定参数.本题也可以由渐近线方程3x+4y=0,设所求双曲线方程为91622y x -=λ(λ≠0),由焦点坐标再确定λ即可. 变式训练1.已知双曲线的渐近线方程是y=±21x,焦距为10,求双曲线方程.解:当焦点在x 轴上时,设所求双曲线方程为2222by a x -=1(a>0,b>0).由渐近线方程为y=±21x,得a b =21.2c=10,由c 2=a 2+b 2,得a 2=20,b 2=5. 所以双曲线方程为52022y x -=1. 同理,当焦点在y 轴上时,可得双曲线方程为20522x y -=1,即所求双曲线方程为52022y x -=1,或20522x y -=1. 【例2】求双曲线9y 2-16x 2=144的实轴长,虚轴长,焦点坐标,顶点坐标,渐近线方程,离心率.解析：先将所给双曲线方程化为标准方程,再根据标准方程求出各有关量.解：双曲线9y 2-16x 2=144,可化为91622y x -=1. 因为a=4,b=3,c 2=a 2+b 2=25,所以c=5.所以实轴长2a=8,虚轴长2b=6;焦点坐标为F 1(0,-5),F 2(0,5);顶点坐标为(0,-4),(0,4);渐近线方程为y=±34x,离心率e=a c =45. 绿色通道要注意正确判断焦点所在的坐标轴.焦点所在坐标轴不同时,顶点坐标,渐近线方程形式也是不同的,焦点在x 轴上时,渐近线方程为y=±a b x,焦点在y 轴上时,渐近线方程为y=±ba x. 变式训练2.求双曲线9x 2-y 2=81的实轴长,虚轴长,顶点坐标,焦点坐标,离心率,渐近线方程.解:将9x 2-y 2=81变形为81922x y -=1, 即222293y x -=1. 所以实轴长2a=6,虚轴长2b=18;顶点坐标为(3,0),(-3,0); 焦点坐标为(310,0),(-310,0);离心率e=10; 渐近线方程为y=±3x.【例3】设双曲线2222by a x -=1(b>a>0)的半焦距为c,直线l 过(a,0),(0,b)两点.已知原点到直线l的距离为43c,则双曲线的离心率为( ) A.2 B.3 C.2 D.332 解析：写出直线l 的方程,利用点到直线的距离公式建立关于e 的方程求解. 直线l 的方程为bya x +=1,即bx+ay-ab=0. 于是有43|00|22=+-∙+∙b a ab a b c,即ab=43c 2.两边平方得16a 2b 2=3c 4,所以16a 2(c 2-a 2)=3c 4,即3c 4-16a 2c 2+16a 4=0,3e 4-16e 2+16=0.解之,得e 2=4或e 2=34. 因为b>a>0,所以22ab >1.222221a b a b a +=+>2. 故e 2=4.所以e=2.答案:A 绿色通道求双曲线的离心率就是要构造出关于a,b,c 的一个方程,进而转化为关于e 的方程求出结果,同时要利用好隐含条件b>a>0,确定e 的取值范围. 变式训练3.双曲线2222by a x -=1(a>0,b>0)的两焦点分别为F 1,F 2,以F 1F 2为边作等边三角形,若双曲线恰平分三角形的另两边,则双曲线的离心率为( )A.1+3B.4+23C.23-2D.23+2解析:如图所示,|NF 1|=23×2c=3c,|NF 2|=c. 而|NF 1|-|NF 2|=2a,即(3-1)c=2a. 所以e=132-=a c =3+1.答案:A。