初三数学：26.2用函数观点看一元二次方程

度为20 m呢？20.5 m？
h
(2) 球从 飞出到落地 要用多少时间 ?
20
10
h
o
1 2 3 4t
th 20t 5t2
练习一：
想一想，这一个旋转喷水
头，水流落地覆盖的最大
如图设水管AB的高出地面面积2.为5m多，少在B呢处？有一自动旋
转的喷水头，喷出的水呈抛物线状，可用二次函数
y=+2x+2.5描述，在所有的直角坐标系中，求
水流的落地点D到A的距离是多少？
分析：根据图象可知，水流的
y
落地点D的纵坐标为0，横坐
标即为落地点D到A的距离。
B
即：y=0 。
-1 A 0
Dx
例2：王强在一次高尔夫球的练习中，在某处击 球，其飞行路线满足抛物线 y 1 x2 8 x，其 中y（m）是球的飞行高度,x（m）5是球飞5出的水 平距离，结果球离球洞的水平距离还有2m． （1）请写出抛物线的开口方向、 顶点坐标、对称轴． （2）请求出球飞行 的最大水平距离．
复习.
1、一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情 况可由 b2- 4ac 确定。
＞0
有两个不相等的实数根
=0
有两个相等的实数根
＜0
没有实数根
2、在式子h=50-20t2中，如果h=15，那么 50-20t2= 15 ，如果h=20，那50-20t2= 20 ， 如果h=0，那50-20t2= 0 。如果要想求t的值，那么我 们可以求 方程 的解。
问题1:如图,以 40 m /s的速度将小球沿与地面成 30度
角的方向击出时,球的飞行路线是一条抛物线,如果不考虑 空气阻力,球的飞行高度 h (单位:m)与飞行时间 t (单

右图中二次函数的图象与x 右图中二次函数的图象与 轴有公共点吗？如果有， 轴有公共点吗？如果有， 公共点的横坐标是多少？ 公共点的横坐标是多少？
1
y = x2－6x＋9 ＋
.
3
（2）y = x2－6x＋9 ） ＋
抛物线y 轴有一个公共点， 抛物线 = x2－6x＋9与x轴有一个公共点，这 ＋ 与 轴有一个公共点 点的横坐标是 横坐标是3. 点的横坐标是 函数值y=0． 当x = 3 时，函数值 ． 由此可知： 是方程 的根. 由此可知：3是方程 x2－6x＋9＝0的根 ＋ ＝ 的根
例2：已知抛物线 y = x + (2k + 1) x − k + k ： 轴的交点个数； （1）试判断该抛物线与 轴的交点个数； ）试判断该抛物线与x轴的交点个数 （2）当k= -1时，求此抛物线与坐标轴的交 ） 点坐标。 点坐标。
2 2
思路： 判断抛物线与X轴的交点个数问题 思路： 判断抛物线与 轴的交点个数问题” “判断抛物线与 轴的交点个数问题” 转化为“判断方程有无实根的问题” 转化为“判断方程有无实根的问题”， 实质就是要求判别式的值。 实质就是要求判别式的值。
的函数值恒为正， 二次函数 y = ax + bx + c 的函数值恒为正， 2 则需满足条件____________________． 则需满足条件 a > 0且 b − 4 ac < 0．
2
变式： 变式： 二次函数 y = ax + bx + c 的函数值 2 恒为负 则需满足条件__________________． 恒为负，则需满足条件a < 0且 b − 4 ac < 0 ．
2
函数 y = ax + bx + c( a ≠ 0) ，当y = m时， 时 2 对应的x值就是方程 对应的 值就是方程 ax + bx + c = m(a ≠ 0) 的根。 的根。

●请你把这节课你学到了东西告诉你的同 请你把这节课你学到了东西告诉你的同 讨 论 然后告诉老师？ 桌，然后告诉老师？
这节课应有以下内容： 节课应有以下内容：
二次函数与一 元二次方程的 关系
二 次 函 数 与
当二次函数y=ax2+bx+c中y的值 当二次函数 中 的值 确定， 的值时， 确定，求x的值时，二次函数就变 的值时 为一元二次方程。即当y取定值时 取定值时， 为一元二次方程。即当 取定值时， 二次函数就为一元二次方程。 二次函数就为一元二次方程。
y
y = x2 + x − 2
O
y = x2 − 6x + 9
y
(a)
O
(b)
(c)
对应二次函数(1)-(3)得到图象(a)-(c)。
x
O
x y
y = x2 − x + 1
x
y
O
y = x + x−2
2
y = x2 − 6 x + 9
y y
O O
y = x2 − x + 1
y = x 2 + x − 2 的函数图象与 轴的公共点的横坐标是 和1， 的函数图象与x轴的公共点的横坐标是 轴的公共点的横坐标是-2和 ， （1） ）
两个交点
轴 的 交 点
交 一个交点 点 没有交点 的交点的
b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0 一元二次方程的
二次函数与x 二次函数与
x
练习:看谁算的又快又准。 练习 看谁算的又快又准。 看谁算的又快又准 1.不与 轴相交的抛物线是 D ) 不与x轴相交的抛物线是 不与 轴相交的抛物线是( A y=2x2 – 3 B y= - 2 x2 + 3 D y=-2(x+1)2 - 3 C y= - x2 – 2x 2.如果关于 的一元二次方程 x2-2x+m=0有两个相等的实 如果关于x的一元二次方程 如果关于 有两个相等的实 1 数根,则 ＿＿ ＿＿,此时抛物线 轴有＿ 数根 则m=＿＿ 此时抛物线 y=x2-2x+m与x轴有＿ 个 与 轴有 1 交点. 交点 16 3.已知抛物线 y=x2 – 8x +c的顶点在 x轴上 则c=＿＿＿＿ 已知抛物线 轴上,则 ＿＿＿＿ ＿＿＿＿. 的顶点在 轴上 (0,2) 4.抛物线 抛物线y=x2-3x+2 与y轴交于点＿＿＿＿ 与x轴交 轴交于点＿＿＿＿ 抛物线 轴交于点＿＿＿＿,与 轴交 (1,0) 于点＿＿＿ 于点＿＿＿ (2,0) . ＿

26.2 用函数观点看一元二次方程基础训练1.二次函数y=-x 2+4x-3的图象交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于C 点，则△ABC 的面积为( )A ．6B ．4C ．3D ．12．当a ＞0，Δ=b 2-4ac__________0时，二次函数y=ax 2+bx+c 的值恒为正；当a__________0，Δ= b 2-4ac__________0时，二次函数y=ax 2+bx+c 的值恒为负．3．已知一抛物线与x 轴的交点为A （-1，0）、B （m ，0），且过第四象限内的点C （1，n ），而m+n=-1，mn=-12，则此抛物线关系式是__________．强化训练1．抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）和直线y=kx+d （k≠0）有两个交点的条件是__________，只有一个交点的条件是__________，没有交点的条件是__________．2．抛物线y=ax 2+bx+c （a ＞0）与x 轴交于A （x 1，0），B （x 2，0），x 1<x 2，则不等式ax 2+bx+c ＞0的解集为__________，不等式ax 2+bx+c<0的解集为__________．3．利用图象求下列一元二次方程的近似值. (1)x 2+x-10=0; (2)2x 2-3x+1=0．4．(2010上海抽考)已知抛物线y=x 2+(n-3)x+n+1经过坐标原点O ．（1）求这条抛物线的顶点P 的坐标；（2）设这条抛物线与x 轴的另一个交点为A ，求以直线PA 为图象的一次函数的解析式．5．已知抛物线y=x 2-mx+22m 与抛物线y=x 2+mx-43m 2在平面直角坐标系中的位置如图26-2-1,其中一条与x 轴交于A 、B 两点．图26-2-1（1）试判断哪一条抛物线经过A 、B 两点？并说明理由．（2）若A 、B 两点到原点的距离OA 、OB 满足3211=-OA OB ，求经过A 、B 两点的抛物线的关系式．巩固训练1．二次函数的二次项系数为2,它与x 轴交点的横坐标分别为1和4,则二次函数的解析式是( )A ．y=2(x-4)(x+2)B ．y=2(x+4)(x-1)C ．y=2(x-4)(x-1)D ．y=2(x-4)(x+1)2．已知抛物线的顶点到x 轴的距离为3，且与x 轴两交点的横坐标为4、2，则该抛物线的关系式为__________________．3．求下列二次函数与x 轴的交点：(1) y=x 2+4x-5; (2) y=-x 2+x+2; (3) y=x 2-3x; (4)y=x 2-6x+10.4．已知二次函数的图象经过点A （1，0）和B （2，1），且与y 轴交点的纵坐标为m ．(1)若m 为定值，求此二次函数的解析式；(2)若二次函数的图象与x 轴还有异于点A 的另一个交点，求m 的取值范围.5．如图26-2-2，抛物线y=21(x+1)2-2，图26-2-2（1）设此抛物线与x 轴交点为A 、B （A 在B 的左边），请你利用图象求出A 、B 两点的坐标；（2）有一条直线y=x-1，试利用图象法求出该直线与抛物线的交点坐标；（3）P 是抛物线上的一个动点，问是否存在一点P ，使S △ABP =2?若存在,则有几个这样的点P?并写出它们的坐标．6．已知抛物线y=2x 2和直线y=ax+5．（1）求证：抛物线与直线一定有两个不同的交点；（2）设A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）是抛物线与直线的两个交点，点P 是线段AB 的中点，且点P 的横坐标为221x x +，试用含a 的代数式表示点P 的纵坐标； (3)设A,B 两点的距离d=21a +·｜x 1-x 2｜,试用含a 的代数式表示d.7．画出函数y=x 2-4x-3的图象，根据图象回答下列问题：（1）图象与x 轴交点的坐标是什么？（2）方程x 2-4x-3=0的解是什么？（3）不等式x 2-4x-3>0，x 2-4x-3<0的解是什么？8．某医药研究所进行某一新药研发，经过大量的服用试验知：成年人按规定剂量服用后，每毫升血液中药物含量y微克（1微克=10-3毫克）,随时间x小时的变化规律与某一个二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)相吻合，并测得服用时每毫升血液中药物含量为0微克，服用2小时后每毫升血液中药物含量为6微克；服用3小时后，每毫升血液中药物含量为7．5微克．（1）试求出y与x的函数关系，并画出0≤x≤8内的图象．（2）求服用后几小时，才能使每毫升血液中药物含量最大？并求出血液中的最大药物含量. （3）结合图象说明一次服药后的有效时间是多少？（有效时间是血液中药物含量不为0的总时间）9．(福建三明模拟)已知二次函数y=x2+px+q(p,q为常数，Δ=p2-4q>0)的图象与x轴相交于A(x1,0)，B(x2,0)两点，且A，B两点间的距离为d，例如，通过研究其中一个函数y=x2-5x+6及图象(如图26-2-3)，可得出表中第2行的相关数据．10．(2010重庆模拟，27)已知m,n 是方程x 2-6x+5=0的两个实数根，且m<n ，抛物线y=-x 2+bx+c 的图象经过点A(m,0)、B(0,n)．(1)求这个抛物线的解析式；(2)设（1）中抛物线与x 轴的另一交点为C,抛物线的顶点为D ，试求出点C 、D 的坐标和△BCD的面积；〔注：抛物线y=ax 2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为(a b ac a b 44,22--)〕 (3)P 是线段OC 上的一点，过点P 作PH ⊥x 轴，与抛物线交于H 点，若直线BC 把△PCH 分成面积之比为2 3的两部分，请求出P 点的坐标．图26-2-4。