用函数观点看一元二次方程

复习

1.二次函数图象的一部分如图所示，其对称轴为直线，且过点．下列说法：①；①；①；①若是抛物线上的两点，则．其中正确的是( )

A.①① B.①① C.①①① D.①①①

2.小轩从如图所示的二次函数的图象中，观察得到如下四个结论：①；①；①；①．其中正确的结论是( )

A.①①① B.①①① C.①①① D.①①①①

3.已知二次函数的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为(-1，0)，(3，0)．下列结论：①；①b-2a=0；①；①．

其中正确的是( )

A.① B.①① C.①① D.①①

4.已知二次函数的图象如图所示，有下列结论： ①；①2a+b=0；①；①．其中正确的有( )

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

5.抛物线的顶点为D(-1，2)，与x轴的一个交点A在点(-3，0)和(-2，0)之间，其部分图象如图．则以下结论：①；①；①c-a=2；①方程有两个相等的实数根．其中正确的有( )

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

6.已知二次函数的图象经过()，(2，0)两点，且，图象与y轴正半轴的交点在(0，2)的下方．则下列结论：①；①；①；①．其中正确的是( )

A.①① B.①① C.①①① D.①①①①

二次函数与一元二次方程（讲义）

➢ 课前预习

1. 学习一次函数与二元一次方程（组）的关系时，有以下结论：两个一次函数交点的坐标即为对应的二元一次方程组的解．

如：已知方程组3302360yxyx的解为431xy，则一次函数y=3x-3与332yx的交点P的坐标是________．

请思考：一元二次方程20axbxc的根，可否看作是二次函数2yaxbxc与x轴交点的横坐标，即方程组20yaxbxcy的解中x的值.

讲 义 内 容 知识概括

知识点一：

一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解的情况等价于抛物线y=ax2+bx+c(c≠0)与直线y=0(即x轴)的公共点的个数。抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的公共点有三种情况：两个公共点（即有两个交点），一个公共点，没有公共点，因此有：

(1)抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个公共点(x1，0)(x2，0)一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等实根△=b2-4ac>0。

(2)抛物线y=ax2+bx+c与x轴只有一个公共点时，此公共点即为顶点一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等实根，

(3)抛物线y=ax2+bx+c与x轴没有公共点一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根△=b2-4ac<0.

(4)事实上，抛物线y=ax2+bx+c与直线y=h的公共点情况方程ax2+bx+c=h的根的情况。

抛物线y=ax2+bx+c与直线y=mx+n的公共点情况方程ax2+bx+c=mx+n的根的情况。

方法总结：

⑴ 求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；

⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；

⑶ 根据图象的位置判断二次函数2yaxbxc中a，b，c的符号，或由二次函数中a，b，c的符号判断图象的位置，要数形结合；

⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.

⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)axbxca本身就是所含字母x的二次函数；下面以0a时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：

0 抛物线与x轴有两个交点 二次三项式的值可正、可零、可负 一元二次方程有两个不相等实根

0 抛物线与x轴只有一个交点 二次三项式的值为非负 一元二次方程有两个相等的实数根

用函数的观点看一元二次方程(1)

1．若函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则常数m的值是___．

2．抛物线y=x2-4x+m与x轴的一个交点的坐标为（1，0），则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标是______．

3．把抛物线y=-x2先向上平移2个单位，再向右平移100个单位，那么所得抛物线与x轴的两个交点之间的距离是________．

4．二次函数y=x2-6x+n的部分图象如图所示，若关于x的一元二次方程x2-6x+n=0的一个解为x1=1，则另一个解x2=_____．

5．二次函数y=x2-2x-3的图象如图所示．当y＜0时，自变量x的取值范围是_____．

6．抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：

x … -2 -1 0 1 2 …

y … 0 4 6 6 4 …

从上表可知，下列说法中正确的是_______．（填写序号）

①抛物线与x轴的一个交点为（3，0）； ②函数y=ax2+bx+c的最大值为6；

③抛物线的对称轴是直线x＝12； ④在对称轴左侧，y随x增大而增大．

答案：1. 0或1 2.（3，0） 3. 22 4. 5 5. -1＜x＜3 6. ①③④

用函数的观点看一元二次方程(2)

1．二次函数y=x2-mx+3的图象与x轴的交点如图所示，根据图中信息可得到m的值是_______．

2．如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过点（0，-3），请你确定一个b的值，使该抛物线与x轴的一个交点在（1，0）和（3，0）之间．你确定的b的值是______．

3．如图是抛物线y=ax2+bx+c的一部分，其对称轴为直线x=1，若其与x轴一交点为B（3，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＞0的解集是____．

4．如图，是二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，给出下列命题：①a+b+c=0；②b＞2a；③ax2+bx+c=0的两根分别为-3和1；④a-2b+c＞0．其中正确的命题是_____．（只要求填写正确命题的序号）

用函数观点看一元二次方程一知识讲解（提高）

【学习目标】

1 .会用图象法求一元二次方程的近似解；掌握二次函数与一元二次方程的关系；

2 .会求抛物线与x轴交点的坐标，掌握二次函数与不等式之间的联系；

3 .经历探索验证二次函数y=o?+法+w0）与一元二次方程的关系的过程，学会用函数的观点去看

方程和用数形结合的思想去解决问题.

【要点梳理】

要点一、二次函数与一元二次方程的关系

1 .二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况

求二次函数y=心？+"+c（aWO）的图象与x轴的交点坐标，就是令y=0,求^,+人工+0二。中

x的值的问题.此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴

的交点的个数，它们的关系如下表：

判别式

△=b1-4ac 二次函数y=〃x2+bx+c（。wO） 一元二次方程

ax2+hx+c=0（。+0）

图象 与X轴的交点坐标 根的情况

△>0 Q>（） ° y

x\^^X2X 抛物线y=。氏2+/zx+c（。w0）与x

轴交于（石,0）,（%2,0）（芭<%2）两

上口 -b±^b2-4ac

点，且X.2- c ，

2a

此时称抛物线与X轴相交 一元二次方程

ax1+fex+c=O（aw0）

有两个不相等的实数根

-b±\Jb2-4ac

和=2a a<0 ° ^x^x^x'

△=0 a>Q p

抛物线y=ax?+hx+c（。w。）与x

/ J \

轴交切于-一,0这一点，此时称 1267J

抛物线与X轴相切 一元二次方程

ax1+fev+c=O（aw0）

有两个相等的实数根

b 菁=X[=

122a a<0 [TV

△<0 a>0

k 抛物线y=4小+/zx+c（。工0）与x

轴无交点，此时称抛物线与X轴相离 一元一次方程

ax1+fev+c=O（aw0）

在实数范围内无解（或称

无实数根） Q<0 c y

八 要点诠释：

二次函数图象与X轴的交点的个数由&2一 的值来确定的.

(1)当二次函数的图象与X轴有两个交点时，A=i-2-4t7C>0,方程有两个不相等的实根；

(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，A=i2-4^=0,方程有两个相等的实根；

(3)当二次函数的图象与x轴没有交点时，A=A2-4^<0,方程没有实根.

2 .抛物线与直线的交点问题

抛物线与x轴的两个交点的问题实质就是抛物线与直线的交点问题.我们把它延伸到求抛物线

J=ax2+/?x+c(aWO)与y轴交点和一次函数与一次函数y=丘+4(Z。0)的交点问题.

抛物线y+bx+c(a#0)与y轴的交点是(0,c).

, [y=kx+bx,

抛物线y=+法+。(aWO)与一次函数y=阮+4(kWO)的交点个数由方程组< ,

[y=ax+bx+c

的解的个数决定.

当方程组有两组不同的解时o两函数图象有两个交点；

当方程组有两组相同的解时o两函数图象只有一个交点；

当方程组无解时o两函数图象没有交点.

总之，探究直线与抛物线的交点的问题，最终是讨论方程(组)的解的问题.

要点诠释：

求两函数图象交点的问题主要运用转化思想,即将函数的交点问题转化为求方程组解的问题或者将求

方程组的解的问题转化为求抛物线与直线的交点问题.

要点二、利用二次函数图象求一元二次方程的近似解

用图象法解一元二次方程+W+c=0(以=0)的步骤：

1 .作二次函数y=ax+M4-C(LZH0)的图象，由图象确定交点个数，即方程解的个数；

2 .确定一元二次方程+岳:+c=0(。H0)的根的取值范围.即确定抛物线

y-ax2 h0)与x轴交点的横坐标的大致范围；

3 .在⑵确定的范围内，用计算器进行探索.即在⑵确定的范围内，从大到小或从小到大依次取值，用

表格的形式求出相应的y值.

4 .确定一元二次方程•一+坛+<7=0(aH0)的近似根.在⑶中最接近0的y值所对应的x值即是一元

二次方ax"4-bx+c=0(a0)的近似根.

要点诠释: 求一元二次方程加:+，=0（。=0）的近似解的方法（图象法）：

（1）直接作出函数y=。/+岳;+C的图象，则图象与X轴交点的横坐标就是方程必r+历;+C=0的

根；

（2）先将方程变为奴工+乐=-c再在同一坐标系中画出抛物线y +麻和直线）”f图象交点

的横坐标就是方程的根；

⑶将方程化为一+日彳+£=0,移项后得/二一二文一上，设），=/和）,二一三五一£,在同一坐

aa aa aa

标系中画出抛物线y二一和直线了二-'彳-士的图象，图象交点的横坐标即为方程白产+."•+c=o的 aa

根.

要点三、抛物线与X轴的两个交点之间的距离公式

当△>（）时，设抛物线了=。/+以+。与X轴的两个交点为A（X],0）,B（x2,0）,则占、士是一

14nliIRZ2r ~： \(b\Aclb2-4acy]b2-4ac

IAB\=\一%|= -%)=J(%+M)- =J——4x-=J- = "■ 4V7 |a|

即|A3|=叵(A>0).

\ci\

要点四、抛物线与不等式的关系

二次函数y= +bx+c(aWO)与一元二次不等式以2+bx+c>0(aWO)及ox2+/?x+c<0(aW

0）之间的关系如下（为<工2）：

判别式 Q>0

抛物线y=以2+/?x+c与

X轴的交点 不等式o?+法+c>0的解集 不等式分2+Zzr+c<0的解

集

△>0 P

OxS^X2X

有两个交点 X<%或X>工2 X

△=0 O

为 X\(X2)X

一一个交点 XWX1(或工。工2) 无解 元二次方程以2+公+。=0的两个根. 由根与系数的关系得不+/=—

a △<0 、

O ■… r

无交点 全体实数 无解

注：aVO的情况请同学们自己完成.

要点诠释：

抛物线> 在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式

以2+〃x+c>0的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标都为负，所对应的x的所有值就是不等式

办2+法+。<。的解集.不等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号.

【典型例题】

类型一、二次函数图象与坐标轴交点

C1.己知抛物线了=2(4+1)/+4日+2左-3.求：(l)k为何值时，抛物线与X轴有两个交点；

(2)k为何值时，抛物线与x轴有唯一交点；(3)k为何值时，抛物线与x轴没有交点.

【答案与解析】

〃一 =(44)2一4x2(A+1)(2%—3)=16攵2-8(2二一&-3)=8A+24.

(1)当Z?2—4〃C=8R+24>0,且2伏+1)w0,即当k>-3且kWT时，抛物线与x轴有两个交点.

(2)当/72-4。。=8%+24=0,且2(k+l)#0.即当k=-3时，抛物线与x轴有唯一交点.

(3)当b,-4ac=8k+24V0,且2(k+l)W0.即当kV-3时，抛物线与x轴不相交.

【总结升华】根据抛物线与x轴的交点个数可确定字母系数的取值范围，其方法是根据抛物线与x轴的

交点个数，推出△值的性质，即列出关于字母系数的方程(或不等式)，通过方程(或不等式)求

解.

特别提醒：易忽视二次项系数2(k+1)W0这一隐含条件.

举一反三：

【高清课程名称： 用函数观点看一元二次方程

高清ID号：356568关联的位置名称(播放点名称)：例1-21

【变式】二次函数)，二⑪2+法+。(。M0)的图象如图所示，根据图象解答下列问题： (1)写出方程以2+/+。=。的两个根；

(2)写出不等式以2+灰+。＞。的解集；

(3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；

(4)若方程+C=A有两个不相等的实数根，求左的取值范围.

【答案】(1)%,=1,x2=3；(2)l2；(4)k<2.

类型二、利用图象法求一元二次方程的解

[y=3x4-6, .利用函数的图象，求方程组、...」的解. y=父+2x.

【答案与解析】

在同一直角坐标系中画出函数y=X2+2工和y=%+6的图象,

如图，得到它们的交点坐标(-2,0),(3,15),

fy=3x+6 |x,=-2 =3

则方程组,、的解为】一《2

y=??4-2x'i=U1内=15

【总结升华】可以通过画出函数y=%+6和少=/+2元的图象，得到它们的交点，从而得到方程组

的解.

类型三、二次函数与一元二次方程的综合运用

3.已知关于x的二次函数y二/一(2加一1)工+〃?2+3〃2+4. (1)探究m满足什么条件时，二次函数y的图象与x轴的交点的个数为2,1,0.

(2)设二次函数y的图象与x轴的交点为A($,0),B(X2,0),且与y轴的交点为C,

它的顶点为M,求直线CM的解析式.

【答案与解析】

(1)令y=0,得：x2-(2m-l)%+m2+3x+4=0,△=[-(2/T?-1)]2-4(m2+3m+4)=-16m-15,

当△>()时，方程有两个不相等的实数根，即一16仅一15>(),Jm<-—. 16

此时，y的图象与x轴有两个交点.

当△=()时，方程有两个相等的实数根，即—16m—15=0,Jm=--. 16

此时，y的图象与x轴只有一个交点.

当△<()时.，方程没有实数根，即一16机一15<0,Jm>-—. 16

此时，y的图象与x轴没有交点.

・・.当〃2 "时，y的图象与x轴的交点的个数为2； 16

当加二时，y的图象与X轴的交点的个数为1; 16

当〃时，y的图象与x轴的交点的个数为0. 16

(2)由根与系数的关系得X]+々=2〃2-1,玉％2="2+3〃2+4.

X；+石=(%+々)2一2%1工2=(2/7?-I)2-2(77?2+3/7?+4)=2m2-10m-7.

x；+x；=5,，2/T?2—10—7-59，trT—5机—6=0,

解得：班=6,m2=—1.

15 - 0 /m< ---------- ,/•m=-L••y=x+3x+2・ 16

令x=0,得>=2,・・・二次函数y的图象与y轴的交点C的坐标为(0,2).

(3 1、

设过C(0,2)与M-二,——的直线解析式为丁二"+〃,

(24， =厂+ 3x + 2= x H——

I 2J 4 (3 1)

顶点M的坐标为-二，-一

I 2 4)

2= b,

则」

-4 -= -k + h, 2 k=)

解得~2

b = 2.