高中数学第三章导数及其应用3.2.1常见函数的导数学案苏教版选修1_1
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3．2.1 常见函数的导数
学习目标 1.能用导数的定义求比较简单的幂函数的导数.2.准确记忆基本初等函数的导数公式，并灵活运用公式求某些函数的导数．
知识点一 幂函数与一次函数的导数
思考1 函数y ＝kx (k ≠0)增(减)的快慢与什么有关？
思考2 你能结合x ′＝1，(x 2
)′＝2x ，(x －1
)′＝－x －2
及(x 12
)′＝12
x 1
2 归纳出f (x )＝x
n
的导数有怎样的规律吗？
梳理 (1)(kx ＋b )′＝k (k ，b 为常数)，特别地C ′＝0(C 为常数)． (2)(x α
)′＝α·x α－1
(α为常数)．
知识点二 基本初等函数的求导公式
思考1 计算过程(cos π6)′＝－sin π6＝－1
2正确吗？
思考2 如何利用(ln x )′推出(log a x )′？
梳理
类型一 利用导数公式求函数的导数 例1 求下列函数的导数： (1)y ＝x 12
；(2)y ＝1x
；(3)y ＝5x 3；
(4)y ＝2sin x 2cos x
2
；(5)y ＝log 12
x ；(6)y ＝3x
.
反思与感悟 若题目中所给出的函数解析式不符合导数公式，需通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式化成指数幂的形式求导．
跟踪训练1 求下列函数的导数： (1)y ＝(1－x )(1＋1
x
)＋x ；
(2)y ＝2cos 2
x
2－1.
类型二 导数公式的综合应用
命题角度1 利用导数公式解决切线问题
例2 已知点P (－1,1)，点Q (2,4)是曲线y ＝x 2
上两点，是否存在与直线PQ 垂直的切线，若有，求出切线方程；若没有，说明理由． 引申探究
若本例条件不变，求与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程．
反思与感悟 解决切线问题，关键是确定切点，要充分利用： (1)切点处的导数是切线的斜率； (2)切点在切线上；
(3)切点又在曲线上这三个条件联立方程解决．
跟踪训练2 已知两条曲线y ＝sin x ，y ＝cos x ，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．
命题角度2 利用导数公式求最值问题
例3 求抛物线y ＝x 2
上的点到直线x －y －2＝0的最短距离．
反思与感悟 利用基本初等函数的求导公式，可求其图象在某一点P (x 0，y 0)处的切线方程，可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题，一般都与函数图象的切线有关．解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算．
跟踪训练3 已知直线l: 2x －y ＋4＝0与抛物线y ＝x 2
相交于A 、B 两点，O 是坐标原点，试求与直线l 平行的抛物线的切线方程，并在弧 AOB 上求一点P ，使△ABP 的面积最大．
1．设函数f (x )＝log a x ，f ′(1)＝－1，则a ＝________. 2．下列结论：①(sin x )′＝－cos x ；②⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x
′＝1x
2；
③(log 3x )′＝13ln x ；④(ln x )′＝1
x .
其中正确的结论是________．
3．在曲线y ＝4
x
2上求一点P ，使得曲线在该点处的切线倾斜角为135°，则点P 的坐标为
__________．
4．设正弦函数y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是________．
5．求下列函数的导数．
(1)y ＝cos π6；(2)y ＝1x 5；(3)y ＝x 2
x ；
(4)y ＝lg x ；(5)y ＝5x
；(6)y ＝cos(π2－x )．
1．利用常见函数的导数公式可以比较简便地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归． 2．有些函数可先化简再应用公式求导．
如求y ＝1－2sin 2
x
2的导数．因为y ＝1－2sin 2
x
2＝cos x ，
所以y ′＝(cos x )′＝－sin x .
3．对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化．
提醒：完成作业 第3章 §3.2 3.2.1
答案精析
问题导学 知识点一
思考1 当k >0时，函数增加的快慢与系数k 有关，k 越大，增加的越快； 当k <0时，函数减少的快慢与|k |有关，|k |越大，函数减少的越快． 思考2 f ′(x )＝(x n )′＝nx n －1
.
知识点二
思考1 不正确．因为cos π6＝3
2为常数，其导数为0.
思考2 (log a x )′＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫ln x ln a ′＝1ln a (ln x )′＝1ln a ·1x ＝1x ·ln a .
题型探究
例1 解 (1)y ′＝(x 12
)′＝12x 12－1
＝12x 11
.
(2)y ′＝(x －4
)′＝－4x －4－1＝－4x －5
＝－4
x
5.
(3)y ′＝(5
x 3
)′＝(x 35
)′＝35
x 3
1
5-
＝35x 2
5-＝355x
2
. (4)∵y ＝2sin x 2cos x
2＝sin x ，
∴y ′＝cos x . (5)y ′＝(log 12
x )′＝
1
x ln
12
＝－1
x ln 2. (6)y ′＝(3x
)′＝3x
ln 3.
跟踪训练1 解 (1)∵y ＝(1－x )(1＋
1
x
)＋x
＝1－x x ＋x ＝1
x
＝x 1
2-，
∴y ′＝－12
x 3
2-.
(2)∵y ＝2cos 2
x
2－1＝cos x ，
∴y ′＝(cos x )′＝－sin x .
例2 解 因为y ′＝(x 2
)′＝2x ，假设存在与直线PQ 垂直的切线． 设切点为(x 0，y 0)，则PQ 的斜率为k ＝4－1
2＋1＝1，
而切线与PQ 垂直，所以2x 0＝－1， 即x 0＝－1
2
.
所以切点为(－12，1
4)．
所以所求切线方程为
y －1
4＝(－1)(x ＋12
)，
即4x ＋4y ＋1＝0. 引申探究
解 因为y ′＝(x 2
)′＝2x ， 设切点为M (x 0，y 0)， 则y ′|0x x ＝＝2x 0，
又因为PQ 的斜率为k ＝4－1
2＋1＝1，
而切线平行于PQ ，所以k ＝2x 0＝1， 即x 0＝12
.
所以切点为M (12，1
4
)．
所以所求切线方程为y －14＝x －1
2，
即4x －4y －1＝0.
跟踪训练2 解 设存在一个公共点(x 0，y 0)，使两曲线的切线垂直，
则在点(x 0，y 0)处的切线斜率分别为k 1＝y ′|0x x ＝＝cos x 0，k 2＝y ′|0x x ＝＝－sin x 0. 要使两切线垂直，必须有k 1k 2＝cos x 0(－sin x 0)＝－1， 即sin 2x 0＝2，这是不可能的．
所以两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直．
例3 解 依题意知抛物线y ＝x 2
与直线x －y －2＝0平行的切线的切点到直线x －y －2＝0的距离最短，设切点坐标为(x 0，x 20)．
∵y ′＝(x 2
)′＝2x ，∴2x 0＝1， ∴x 0＝12
，
∴切点坐标为(12，1
4
)，
∴所求的最短距离d ＝|12－14－2|2
＝72
8.
跟踪训练3 解 设M (x 0，y 0)为切点，过点M 与直线l 平行的直线斜率k ＝ y ′＝2x 0， ∴k ＝2x 0＝2，∴x 0＝1，y 0 ＝1. 故可得M (1,1)，
∴切线方程为2x －y －1＝0.
由于直线l: 2x －y ＋4＝0与抛物线y ＝x 2
相交于A 、B 两点， ∴AB 为定值，要使△ABP 的面积最大，只要P 到AB 的距离最大， 故点M (1,1)即为所求弧 AOB 上的点，使△ABP 的面积最大． 当堂训练
1.1
e 2.④ 3.(2,1) 4．[0，π4]∪[3π
4，π)
5．解 (1)y ′＝0. (2)∵y ＝1x
5＝x －5
，
∴y ′＝(x －5)′＝－5x －6
＝－5x
6.
(3)∵y ＝x 2
x
＝x 3
2，
∴y ′＝(x 32
)′＝32x 1
2＝3
2x .
(4)y ′＝
1
x ln 10
. (5)y ′＝5x
ln 5.
(6)∵y ＝cos(π
2－x )＝sin x ，
∴y ′＝(sin x )′＝cos x .。
