2019高中数学 第三章 导数及其应用 3.2.1 常见函数的导数作业 苏教版选修1-1
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1 3.2.1 常见函数的导数
[基础达标]
1．若函数f(x)＝10x，则f′(1)＝________.
解析：∵f′(x)＝(10x)′＝10xln 10，∴f′(1)＝10ln 10.
答案：10ln 10
2．给出下列结论：
①若y＝1x3，则y′＝－3x4；②若y＝3x，则y′≠133x；
③若y＝1x2，则y′＝－2x－3；④若f(x)＝3x，则f′(1)＝3.
其中正确的序号是________．
解析：①y′＝(x－3)′＝－3x－4＝－3x4，正确．
②y′＝(x13)′＝13x－23＝133x2≠133x，不正确．
③y′＝(x－2)′＝－2x－3，正确．
④f′(x)＝(3x)′＝3，∴f′(1)＝3，正确．
答案：①③④
3．过曲线y＝1x上一点P的切线的斜率为－4，则点P的坐标为________．
解析：∵y′＝(x－1)′＝－1x2＝－4，
∴x2＝14，x＝±12.
∴切点坐标为(12，2)或(－12，－2)．
答案：(12，2)或(－12，－2)
4．已知f(x)＝xa(a∈Z)，若f′(－1)＝－4，则a的值等于________．
解析：∵f′(x)＝axa－1∴f′(－1)＝a·(－1)a－1＝－4，
∴a＝4.
答案：4
5．设正弦曲线y＝sin x上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是________．
解析：∵y′＝(sin x)′＝cos x∈[－1,1]，
∴在P点处的切线l的斜率k∈[－1,1]，
设其倾斜角为α，则－1≤tan α≤1，
∴0≤α≤π4或3π4≤α<π.
答案：[0，π4]∪[3π4，π)
6．函数f(x)＝x3的斜率等于1的切线有________条．
解析：∵y′＝3x2，设切点为(x0，y0)，则3x20＝1，得x0＝±33，即在点(33，39)和2 点(－33，－39)处有斜率为1的切线．
答案：2
7．求下列函数的导数：
(1)y＝5x3；(2)y＝4x；(3)y＝log9x；
(4)y＝sin2x＋cos2x；(5)y＝sin(π2＋x)．
解：(1)y′＝(x35)′＝35x－25.
(2)y′＝4xln 4＝2(ln 2)·4x.
(3)y′＝1xln 9＝12xln 3.
(4)∵y＝sin2x＋cos2x＝1，∴y′＝1′＝0.
(5)∵y＝sin(π2＋x)＝cos x，∴y′＝－sin x.
8．求曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积．
解：∵f′(x)＝(ex)′＝ex，∴f′(2)＝e2.
∴切线方程为y－e2＝e2(x－2)．
令x＝0，则y＝－e2，
令y＝0，则x＝1，
∴切线与坐标轴交点坐标为(1,0)和(0，－e2)，
∴S＝12×1×e2＝12e2.
[能力提升]
1．曲线y＝x3在点(0,0)处的切线方程是________．
解析：∵y′＝(x3)′＝3x2，∴k＝y′|x＝0＝0.
∴y＝x3在点(0,0)处的切线方程是y＝0.
答案：y＝0
2．若函数y＝f(x)满足f(x－1)＝1－2x＋x2，则y′＝f′(x)＝________.
解析：∵f(x－1)＝1－2x＋x2＝(x－1)2，
∴f(x)＝x2，∴f′(x)＝(x2)′＝2x.
答案：2x
3．求函数y＝cos x在点x＝－π4处的切线方程．
解：∵y′＝(cos x)′＝－sin x，
∴y＝cos x在点x＝－π4处的切线斜率k＝－sin(－π4)＝22，
又当x＝－π4时，y＝cos(－π4)＝22.
∴切点坐标为(－π4，22)，
由点斜式得切线方程为y－22＝22(x＋π4)，即x－2y＋π4＋1＝0.
4．已知抛物线y＝x2，直线x－y－2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离．
解：根据题意可知与直线x－y－2＝0平行的抛物线y＝x2的切线，对应的切点到直线x－y－2＝0的距离最短，设切点坐标为(x0，x20)，则切线斜率k＝2x0＝1，
所以x0＝12，所以切点坐标为(12，14)， 3 切点到直线x－y－2＝0的距离
d＝|12－14－2|2＝728.
所以抛物线上的点到直线x－y－2＝0的最短距离为728.
