高中数学第三章导数及其应用3-3导数在研究函数中的应用学案苏教版选修1

1 1.3.2函数的极值与导数

一、教材分析

《函数极值>>是高中数学人教版版新教材选修2-2第一章第三节，在此之前我们已经学习了导数，这为我们学习这一节起着铺垫作用。

二、教学目标

1. 教学目标

（1） 知识技能目标：

掌握函数极值的定义，会从几何图形直观理解函数的极值与其导数的关系，增强学生的数形结合意识，提升思维水平；掌握利用导数求可导函数的极值的一般方法及步骤；了解可导函数极值点与=0的逻辑关系；培养学生运用导数的基本思想去分析和解决实际问题的能力.

（2）过程与方法目标：

培养学生观察、分析、探究、归纳得出数学概念和规律的学习能力。

（3）情感与态度目标：

培养学生层层深入、一丝不苟研究事物的科学精神；

体会数学中的局部与整体的辨证关系.

2．教学重点和难点

重点：掌握求可导函数的极值的一般方法.

难点：(1)为函数极值点与=0的逻辑关系

(2)函数的导数与函数最值的区别及联系。

3．教学方法与教学手段

师生互动探究式教学，遵循“教师为主导、学生为主体”的原则，结合高中学生的求知心理和已有的认知水平开展教学。由于学生对极限和导数的知识学习还十分的有限（大学里还将继续学习），因此教学中更重视的是从感性认识到理性认识的探索过程，而略轻严格的理论证明，教师的主导作用和学生的主体作用都必须得到充分发挥.

利用多媒体辅助教学.电脑演示动画图形，直观形象，便于学生观察.幻灯片打出重要结论，清楚明了，节约时间，提高课堂效率.

4、教学过程 2 1.引入 情景创设 学生活动 教师活动 设计理由

利用学生们熟悉的海边体育运动—冲浪，直观形象地引入函数极值的定义. 学生感性认识运动员的运动过程，体会函数极值的定义. 引导学生想象冲浪的过程引入极值的现象。 直观形象，立即抓住学生.

2

函数极值

的定义 掌握函数极值的定义.

着重理解：“在点附近”的含义。

体会：极大值与极小值没有必然关系，极大值可能比极小值还小. 教师给出函数极值的定义:

专题5. 3导数在研究函数中的应用（2）（A卷基础篇）

（新教材人教A版,浙江专用）

参考答案与试题解析

第Ⅰ卷（选择题）

一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）

1．（2020·全国高二课时练习）设()fx是区间[,]ab上的连续函数，且在(,)ab内可导，则下列结论中正确的是（ ）

A．()fx的极值点一定是最值点

B．()fx的最值点一定是极值点

C．()fx在区间[,]ab上可能没有极值点

D．()fx在区间[,]ab上可能没有最值点

【答案】C

【解析】

根据函数的极值与最值的概念知，()fx的极值点不一定是最值点，()fx的最值点不一定是极值点．可能是区间的端点，连续可导函数在闭区间上一定有最值，所以选项A，B，D都不正确，若函数()fx在区间[,]ab上单调，则函数()fx在区间[,]ab上没有极值点，所以C正确．

故选：C.

2．（2020·全国高二单元测试）如图是函数y＝f（x）的导数y＝f'（x）的图象，则下面判断正确的是（ ）

A．在（﹣3，1）内f（x）是增函数

B．在x＝1时，f（x）取得极大值

C．在（4，5）内f（x）是增函数

D．在x＝2时，f（x）取得极小值

【答案】C 【解析】

根据题意，依次分析选项：

对于A，在（﹣3，32）上，f′（x）＜0，f（x）为减函数，A错误；

对于B，在（32，2）上，f′（x）＞0，f（x）为增函数，x＝1不是f（x）的极大值点，B错误；

对于C，在（4，5）上，f′（x）＞0，f（x）为增函数，C正确；

对于D，在（32，2）上，f′（x）＞0，f（x）为增函数，在（2，4）上，f′（x）＜0，f（x）为减函数，则在x＝2时f（x）取得极大值，D错误；

故选：C．

3．（2020·横峰中学高三月考（文））已知函数()lnfxxax在2x处取得极值，则a（ ）

A．1 B．2 C．12 D．-2

3.2 导数的计算

[教材研读]

预习课本P81～85，思考以下问题

1．幂函数f(x)＝x2，f(x)＝x 12 的导数是什么？

2．根据导数的运算法则，积f(x)g(x)的导数与f′(x)，g′(x)有何关系？

[要点梳理]

1．基本初等函数的导数公式

2.导数运算法则

(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；

(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；

当g(x)＝c时，[cf(x)]′＝cf′(x)．

(3)fxgx′＝f′xgx－fxg′x[gx]2(g(x)≠0)．

[自我诊断] 判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

1．y＝1x，y＝x，y＝x2等求导函数，都可以看成y＝xα(α∈Q*)，并用其导数公式求导．( )

2．y＝lnx在x＝2处的切线的斜率为12.( )

3．f(x)＝ex在点(0,1)处的切线的方程为x－y＋1＝0.( )

[答案] 1.√ 2.√ 3.√

题型一 利用导数公式求函数的导数

思考：如何充分利用基本初等函数的导数公式？

提示：若函数解析式不能直接使用导数公式，则化成能应用导数公式的形式．

求下列函数的导数：

(1)y＝10x；

(2)y＝lgx；

(4)y＝4x3；

(5)y＝sinx2＋cosx22－1.

[思路导引] 把解析式化简成能应用公式的形式．

[解] (1)y′＝(10x)′＝10xln10.

(2)y′＝(lgx)′＝1xln10.

(5)∵y＝sinx2＋cosx22－1

＝sin2x2＋2sinx2cosx2＋cos2x2－1＝sinx，

∴y′＝(sinx)′＝cosx. (1)若给出的函数解析式符合基本初等函数的导数公式，则直接利用公式求导．

(2)若给出的函数解析式不符合导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式要化成指数幂的形式求导．

极大值与极小值(1)

教学过程

一、 问题情境

(图1)

观察给定函数图象,在P和Q两侧图象的单调性变化:

P点处从左侧到右侧由上升变为下降(函数由单调递增变为单调递减),这时在点P附近,点P的位置最高;

Q点处从左侧到右侧由下降变为上升(函数由单调递减变为单调递增),这时在点Q附近,点Q的位置最低.[1]

二、 数学建构

问题1 上述的结论如果用数学语言该怎样来描述?[2]

解 1. 极大值点:已知函数f(x),设x1是定义域内一点,如果在x1附近的所有的x,都有f(x)

极小值点:已知函数f(x),设x2是定义域内一点,如果在x2附近的所有的x,都有f(x)>f(x2),就说函数f(x)在x2处取得极小值,把x2称为f(x)的一个极小值点.

2. 极大值:称f(x1)为函数f(x)的一个极大值;

极小值:称f(x2)为函数f(x)的一个极小值.

极大值与极小值统称为极值.

问题2 在定义域内,函数的极大值是唯一的吗?函数的极大值一定大于其极小值吗? 函数的极值点可能在区间的端点产生吗?试作图说明.[3]

问题3 极值点处导数有何特点?当f'(x0)=0时,能否肯定函数f(x)在x0处取得极值?[4]

问题4 函数的极值与函数的导数有怎样的关系?[5] 3. 函数极值与导数关系:

如果f'(x0)=0,且在x0的附近的左侧f'(x0)>0,右侧f'(x0)<0,那么f(x0)是极大值;如果f'(x0)=0,且在x0的附近的左侧f'(x0)<0,右侧f'(x0)>0,那么f(x0)是极小值.

表1

x x1左侧 x1 x1右侧

f'(x) f'(x)>0 f'(x)=0 f'(x)<0

f(x) 增↗ 极大值f(x1) ↘减

表2

x x2左侧 x2 x2右侧

f'(x) f'(x)<0 f'(x)=0 f'(x)>0

f(x) ↘减 极小值f(x2) 增↗

概念理解

1. 取得极值的点称为极值点,极值点是自变量的值,极值指的是函数值.