高中数学第三章导数及其应用3.2.1常见函数的导数作业苏教版选修1-1(2021年整理)
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2018-2019学年高中数学 第三章 导数及其应用 3.2.1 常见函数的导数作业 苏教版选修1-1
1 / 31 2018-2019学年高中数学 第三章 导数及其应用 3.2.1 常见函数的导数作业
苏教版选修1-1
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2018-2019学年高中数学 第三章 导数及其应用 3.2.1 常见函数的导数作业 苏教版选修1-1
2 / 32 3.2。1 常见函数的导数
[基础达标]
1．若函数f（x）＝10x，则f′（1）＝________.
解析：∵f′(x）＝（10x）′＝10xln 10，∴f′（1）＝10ln 10.
答案：10ln 10
2．给出下列结论：
①若y＝错误!，则y′＝－错误!；②若y＝错误!，则y′≠错误!错误!；
③若y＝错误!,则y′＝－2x－3；④若f(x）＝3x，则f′(1)＝3。
其中正确的序号是________．
解析：①y′＝(x－3)′＝－3x－4＝－错误!，正确．
②y′＝（x错误!)′＝错误!x－错误!＝错误!≠错误!错误!，不正确．
③y′＝(x－2)′＝－2x－3，正确．
④f′(x)＝(3x）′＝3，∴f′（1)＝3，正确．
答案：①③④
3．过曲线y＝错误!上一点P的切线的斜率为－4，则点P的坐标为________．
解析：∵y′＝(x－1)′＝－错误!＝－4，
∴x2＝错误!，x＝±错误!。
∴切点坐标为（错误!，2）或（－错误!，－2)．
答案：（错误!,2）或(－错误!，－2）
4．已知f(x）＝xa(a∈Z）,若f′（－1)＝－4，则a的值等于________．
解析：∵f′（x）＝axa－1∴f′（－1）＝a·(－1）a－1＝－4，
∴a＝4。
答案：4
5．设正弦曲线y＝sin x上一点P,以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是________．
解析:∵y′＝（sin x）′＝cos x∈[－1,1］，
∴在P点处的切线l的斜率k∈[－1，1］，
设其倾斜角为α,则－1≤tan α≤1,
∴0≤α≤错误!或错误!≤α〈π.
答案:［0，错误!］∪[错误!，π）
6．函数f（x)＝x3的斜率等于1的切线有________条．
解析:∵y′＝3x2,设切点为(x0，y0)，则3x错误!＝1，得x0＝±错误!，即在点（错误!，错误!)和点（－错误!,－错误!）处有斜率为1的切线．
答案:2
7．求下列函数的导数:
(1）y＝错误!；（2）y＝4x；(3）y＝log9x；
（4）y＝sin2x＋cos2x;（5)y＝sin（错误!＋x）．
解:(1）y′＝(x错误!）′＝错误!x－错误!.
（2)y′＝4xln 4＝2(ln 2）·4x。
（3）y′＝错误!＝错误!.
(4）∵y＝sin2x＋cos2x＝1，∴y′＝1′＝0. 2018-2019学年高中数学 第三章 导数及其应用 3.2.1 常见函数的导数作业 苏教版选修1-1
3 / 33 (5)∵y＝sin(错误!＋x)＝cos x,∴y′＝－sin x。
8．求曲线y＝ex在点（2，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积．
解:∵f′（x)＝(ex)′＝ex，∴f′（2）＝e2.
∴切线方程为y－e2＝e2（x－2）．
令x＝0,则y＝－e2，
令y＝0，则x＝1，
∴切线与坐标轴交点坐标为（1，0)和(0，－e2)，
∴S＝12×1×e2＝错误!e2。
［能力提升]
1．曲线y＝x3在点（0，0）处的切线方程是________．
解析:∵y′＝（x3）′＝3x2,∴k＝y′|x＝0＝0。
∴y＝x3在点（0,0)处的切线方程是y＝0.
答案：y＝0
2．若函数y＝f(x）满足f（x－1)＝1－2x＋x2，则y′＝f′(x）＝________。
解析：∵f（x－1）＝1－2x＋x2＝（x－1）2，
∴f（x)＝x2，∴f′（x）＝（x2）′＝2x.
答案：2x
3．求函数y＝cos x在点x＝－错误!处的切线方程．
解：∵y′＝(cos x）′＝－sin x，
∴y＝cos x在点x＝－错误!处的切线斜率k＝－sin（－错误!)＝错误!，
又当x＝－错误!时，y＝cos(－错误!)＝错误!.
∴切点坐标为(－错误!，错误!),
由点斜式得切线方程为y－错误!＝错误!（x＋错误!），即x－错误!y＋错误!＋1＝0。
4．已知抛物线y＝x2,直线x－y－2＝0,求抛物线上的点到直线的最短距离．
解：根据题意可知与直线x－y－2＝0平行的抛物线y＝x2的切线，对应的切点到直线x－y－2＝0的距离最短,设切点坐标为（x0，x错误!），则切线斜率k＝2x0＝1,
所以x0＝错误!，所以切点坐标为（错误!，错误!),
切点到直线x－y－2＝0的距离
d＝错误!＝错误!。
所以抛物线上的点到直线x－y－2＝0的最短距离为错误!。
