[原创]2013年《随堂优化训练》数学 人教版下册 第二十八章锐角三角函数解直角三角形[配套课件]

人教版数学九年级下册第28章锐角三角函数锐角三角函数同步训练题含答案1. 把Rt △ABC 各边的长度都扩展3倍失掉Rt △A′B′C′，那么锐角∠A 、∠A′的余弦值的关系是( )A ．cosA ＝cosA′B ．cosA ＝3cosA′C ．3cosA ＝cosA′D ．不能确定2. 以下式子错误的选项是( )A ．cos40°＝sin50°B ．tan15°·tan75°＝1C.sin 225°＋cos 225°＝1 D ．sin60°＝2s in30°3. 在Rt △ABC ，∠ACB ＝90°，BC ＝1，AB ＝2，那么以下结论正确的选项是( )A ．sinA ＝32B ．tanA ＝12 C.cosA ＝32D ．以上都不对 4. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，AC ＝5，那么sinA 的值为( ) A.513 B ．1213 C.512 D ．1255. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，BC ＝3，那么tanA 的值是( ) A.34 B ．43 C.35 D ．456. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，假定sinA ＝513，那么cosA 的值为( ) A.512 B ．813 C.23 D ．12137. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝4，AC ＝1，那么cosB 的值为( ) A.154 B ．14 C.1515 D ．417178. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，假定AC ＝2，BC ＝1，那么sin ∠ACD 的值为( )A.53 B ．23 C.255 D ．559．△ABC 中， ∠C ＝90°，AB ＝8，cosA ＝34，那么BC 的长______. 10. 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°.那么sinA ＝______，cosA ＝_______，tanA ＝_______.11. 假定0＜∠A ＜90°，那么0____sinA_____1,0_____cosA_____1.12. 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3cm ，AB ＝5cm ，那么，cosB ＝________.13. sin 2α＋cos 2α＝_____；tanα＝____________.14. 如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝15，tanA ＝158，那么AB ＝______. 15．假定α为锐角，且cosα＝1－3m 2，那么m 的取值范围是_______________. 16. 在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相反的正方形，ABCD 都在格点处，AB 与CD 相交于点O ，那么tan ∠BOD 的值等于____.17. α是锐角，化简：cos 2α－4cosα＋4－|1－cosα|.18. ：sinα＋cosα＝m ，sinα·cosα＝n.试确定m 、n 之间的关系．19. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A(2,1)和点B(3,0)．求sin ∠AOB ，cos ∠ABO 的值．20. 如下图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 是BC 边上的一点，AC ＝2，CD ＝1，记∠CAD ＝α.(1)试写出α的三个三角函数值；(2)假定∠B ＝α，求BD 的长．21. 小明在某次作业中失掉如下结果：sin 27°＋sin 283°≈0.122＋0.992＝0.9945，sin 222°＋sin 268°≈0.372＋0.932＝1.0018，sin 229°＋sin 261°≈0.482＋0.872＝0.9873，sin 237°＋sin 253°≈0.602＋0.802＝1.0000，sin 245°＋sin 245°≈(22)2＋(22)2＝1. 据此，小明猜想：关于恣意锐角α，均有sin 2α＋sin 2(90°－α)＝1.(1)当α＝30°时，验证：sin 2α＋sin 2(90°－α)＝1能否成立？(2)小明的猜想能否成立？假定成立，请给予证明；假定不成立，请举一个反例． 参考答案;1---8 BDCBB DBC9. 2710. BC AB BC AC BC AC11. ＜ ＜ ＜ ＜12. 3513. 1 sinαcosα14. 1715. －13＜m ＜1316. 317. 解：原式＝cosα－22－|1－cosα|＝|cosα－2|－|1－cosα|＝－cosα＋2－1＋cosα＝1.18. 解：∵sin 2α＋cos 2α＝1，∴(sinα＋cosα)2－2sinα·cosα＝1.∵sinα＋cosα＝m ，sinα·cosα＝n ，∴m 2－2n ＝1.19. 解：过点A 作AC ⊥x 轴于C ，∵点A 的坐标为(2,1)，点B 的坐标为(3,0)，∴OC ＝2，AC ＝1，BC ＝1.∴OA ＝OC 2＋AC 2＝5，AB ＝AC 2＋BC 2＝ 2.∴sin ∠AOB ＝AC OA ＝15＝55，∴cos ∠ABO ＝BC AB ＝12＝22.20. 解：(1)sinα＝55，cosα＝255，tanα＝12； (2)BC ＝AC tanα＝212＝4，∴BD ＝BC －CD ＝4－1＝3. 21. 解：(1)当α＝30°时，sin 2α＋sin 2(90°－α)＝sin 230°＋sin 260°＝(12)2＋(32)2＝14＋34＝1； (2)小明的猜想成立，证明如下：如图在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，设∠A ＝α，那么∠B ＝90°－α，∴sin 2α＋sin 2(90°－α)＝(BC AB )2＋(AC AB )2＝BC 2＋AC 2AB 2＝AB 2AB 2＝1.。

第二十八章 锐角三角函数28.2 解直角三角形及其应用（1）教学目标：理解直角三角形中边与边之间的关系、角与角之间的关系、边与角之间的关系； 能运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余以及锐角三角函数解直角三角形； 能用解直角三角形等有关知识解决简单的实际问题，体会数学在解决实际问题中的作用.（2）教学建议：结合教材中的“探究”活动，让学生全面梳理直角三角形中元素之间的关系. 教学时应引导学生分别从边与边之间的关系、角与角之间的关系、角与边之间的关系等方面进行总结.对于解直角三角形条件的探究，本质是探究确定直角三角形的条件，可以从直角三角形全等的判定定理入手. 这个探究可以根据学生的基础和认知能力灵活安排，可以安排在本节教学中，也可以安排在章、节小结中进行.解直角三角形在实际中有着非常广泛的应用. 在解决实际问题时，关键是借助图形，将实际问题转化为解直角三角形的问题，并分析问题中的数量关系，将其归结为直角三角形中元素之间的关系. 因此在教学中，要注意引导学生画出示意图，将实际问题中的数量关系在图形中反应出来，把数和形结合起来，提高学生分析问题和解决问题的能力.在解决实际问题时，本节的例题涉及到仰角、俯角、方位角、坡度、坡角等概念，也涉及到圆的切线的性质、弧长的计算公式等知识，教学中要注意复习相关内容.在“应用举例”一节中，可以整合本章数学活动2的内容，培养学生的综合能力. （3）知识点和例题：① 解直角三角形（课时1）直角三角形的性质：如图，在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，AC =b ，BC =a ，AB =c .(i)边的关系：a 2+b 2=c 2； (ii)角的关系：∠A +∠B =90°； (iii)边角关系：c a B A ==cos sin ；cbB A ==sin cos ； b a B A ==tan 1tan ；a b A B ==tan 1tan ； (iv)面积关系：ch ab S ABC 2121==∆ 解直角三角形：一般地，直角三角形中,除直角外，共有5个元素，即3条边和2个锐角，由直角三角a AB形中除直角外的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形．例题：解直角三角形（课时1）类型一：解直角三角形例1.（教材例题）如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =2， BC =6，解这个直角三角形.例2. 已知，如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于D .(i)若AD =3，BD =1，求解△ABC ； (ii)若AD =h ，∠ACD =β，求解△ABC ； (iii)若AD :BD =3:1，求∠A ； (iv)sin ∠BCD =32，CB =4，求AC 的长. 类型二：利用直角三角形解斜三角形例1. 在△ABC 中，AB =5，∠B =60°. 分别在下列条件下，求BC 的长. (i)AC =7；(ii)AC =29； (iii)AC =4； (iv)AC =8.例2. 已知：如图，在△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，sin ∠CAD =54，AB =13，CD =12，求AD 的长和tan ∠CBD 的值.例3.已知：如图，△ABD 中，AC ⊥BD 于C ，23=CD BC ，E 是AB 的中点，tan D =2，CE =1，求sin ∠ECB 和AD 的长．类型三：利用圆的性质和相似求解.例1. 如图，C 、D 是半圆O 上两点，BD =8，115=AB CD ，求cos ∠CEB 和tan ∠CEB 的值.例2. 如图，已知A 、B 两点的坐标分别为)0,32(，(0,2)， P 是△AOB 外接圆上的一点，且∠AOP =45°，则点P 的 坐标为______________.实际应用（2-3课时）仰角和俯角方位角坡角和坡度铅直线 水平线CDExy PABOE A类型一：熟悉概念，体会从实际问题中抽象出数学模型的过程.例1. 如图，山顶上有一座电视塔，在塔顶B处测得地面上一点A的俯角α=60°，在塔底C处测得A的俯角β=45°，已知塔高BC=60米，求山高.例2. 在某一时刻，测得身高为1.8m的小明的影长为3m，同时测得一建筑物的影长为10m，那么这个建筑物的高度为m．类型二：更真实的背景，根据题意画图并求解（需要借助计算器）.例1.（教材习题28.2第10题）海中有一个小岛P，在以P为圆心、半径为216n mile 的圆形海域内有暗礁. 一轮船自西向东航行，它在A处时测得小岛P位于北偏东60°方向上，且A、P之间的距离为32n mile. 若轮船继续向正东方向航行，轮船有无触礁危险？请通过计算加以说明. 如果有危险，轮船自A处开始沿南偏东多少度的方向航行，能安全通过这一海域？例2. 由于2013年第30号强台风“海燕”的侵袭，致使多个城市受到影响. 如图所示，A 市位于台风中心M北偏东15°的方向上，距离612千米，B市位于台风中心M正东方向603千米处. 台风中心以每小时30千米的速度沿MF向北偏东60°的方向移动（假设台风在移动的过程中的风速保持不变），距离台风中心60千米的圆形区域内均会受到此次强烈台风的影响.（i）A市、B市是否会受到此次台风的影响？说明理由；（ii）如果受到此次台风影响,该城市受到台风影响的持续时间为多少小时?ME北AB ME北AB类型三：实践活动.教材中数学活动2，内容略.。

∵DH＝49.6 cm， ∴DF＝DH－FH≈49.6－34.6＝15(cm)． 在 Rt△CDF 中，sin∠DCF＝DCDF≈1350＝12， ∴∠DCF＝30°. ∴此时台灯光线为最佳．
13．图①是一台实物投影仪，图②是它的示意图，折线 B－ A－O 表示固定支架，AO 垂直水平桌面 OE 于点 O，点 B 为旋 转点，BC 可转动，当 BC 绕点 B 顺时针旋转时，投影探头 CD 始终垂直于水平桌面 OE，经测量：AO＝6.8 cm，CD＝8 cm， AB＝30 cm， BC＝35 cm.
又∵sin∠DCB＝sin37°＝DCDE， ∴CD＝sinD3E7°≈20.6.61≈4.4(m)． 答：此时 CD 的长度约为 4.4 m.
12．图①是放置在水平面上的台灯，图②是其侧面示意图(台 灯底座高度忽略不计)，其中灯臂 AC＝40 cm，灯罩 CD＝30 cm， 灯臂与底座构成的∠CAB ＝60°.CD 可以绕点 C 上下调节一定 的角度．使用发现：当 CD 与水平线所成的角为 30°时，台灯 光线最佳．现测得点 D 到桌面的 距离为 49.6 cm.请通过计算说明 此时台灯光线是否为最佳(参考 数据： 3≈1.73)．
cm，参考数据：sin67°≈0.92， cos67°≈0.39，tan67°≈2.36)．
8．(2020·宁波中考)图①是一种三角车位锁，其主体部分是 由两条长度相等的钢条组成．当位于顶端的小挂锁打开时，钢 条可放入底盒中(底盒固定在地面下)，此时汽车可以进入车位； 当车位锁上锁后，钢条按图①的方式立在地面上，以阻止底盘 高度低于车位锁高度的汽车进入车位．图②是其示意图，经测 量，钢条 AB＝AC＝50 cm，∠ABC＝47°(参考数据：sin47° ≈0.73，cos47°≈0.68，tan47°≈1.07)．

九年级数学下册第二十八章锐角三角函数28.2 解直角三角形及其应用28.2.2 应用举例第2课时坡度、方向角与解直角三角形课时训练（新版）新人教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（九年级数学下册第二十八章锐角三角函数28.2 解直角三角形及其应用28.2.2 应用举例第2课时坡度、方向角与解直角三角形课时训练（新版）新人教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为九年级数学下册第二十八章锐角三角函数28.2 解直角三角形及其应用28.2.2 应用举例第2课时坡度、方向角与解直角三角形课时训练（新版）新人教版的全部内容。

第2课时坡度、方向角与解直角三角形关键问答①将方向角转化成三角形内角的方法有哪些？②坡角和坡度的关系是什么?1．①如图28－2－30，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时海轮所在的B处与灯塔P的距离为（）图28－2－30A．40 错误!海里 B．40 错误!海里C．80海里 D．40 错误!海里2．②如图28－2－31是某拦水坝的横断面示意图,斜坡AB的水平宽度AC的长为12米，斜面坡度为1∶2，则斜坡AB的长为( ）图28－2－31A．4 3米 B．6 错误!米C．12 5米 D．24米命题点 1 方向角在海面上的应用［热度：93%]3.③如图28－2－32,一渔船在海岛A南偏东20°方向的B处遇险，测得海岛A与B的距离为20海里，渔船将险情报告给位于A处的救援船后，沿北偏西80°方向向海岛C靠近，同时，从A处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行，20分钟后，救援船在海岛C处恰好遇上渔船，那么救援船航行的速度为（)图28－2－32A．10 3海里/时 B．30海里/时C．20 错误!海里/时 D．30 错误!海里/时解题突破③由两个方向角的和及平行线的性质定理可得△ABC各内角的度数，进而求解即可。