函数的概念和分段函数

分段函数知识点总结一、分段函数的定义分段函数是指在定义域上将函数分成若干段，每一段上使用不同的函数表达式来描述函数的行为。

它可以是由有限个函数组成的，也可以是由无限个函数组成的。

一般来说，分段函数的定义域可以被划分成有限个不相交的区域，每个区域内使用不同的函数表达式描述函数的行为。

例如，一个简单的分段函数可以是这样的：\[f(x) = \begin{cases}2x, & \text{ if } x < 0 \\x^2, & \text{ if } x \geq 0\end{cases}\]在这个例子中，定义域被分成两段：$x < 0$和$x \geq 0$，分别在这两个区域内使用不同的函数表达式来描述函数的行为。

二、分段函数的图像分段函数的图像通常是由多个部分组成的，每个部分对应于函数定义域中的一个区域。

因此，对于一个有限段的分段函数，其图像是由一些部分图像组成的；对于一个无限段的分段函数，则可能包含无限个部分图像。

以前面的例子$f(x) = \begin{cases}2x, & \text{ if } x < 0 \\x^2, & \text{ if } x \geq 0\end{cases}$为例，其图像可以通过分别画出$y = 2x$和$y = x^2$的图像来得到。

当然，我们也可以直接画出$f(x)$的图像，只需在$x = 0$处将两个部分对接起来即可。

对于无限段的分段函数，我们可能无法通过直接画出所有部分图像来得到完整的图像，但是我们可以通过分析函数表达式的性质来对函数的整体行为有所了解。

三、分段函数的性质分段函数可以具有各种不同的性质，这取决于定义域内不同区域上使用的函数表达式。

首先，在定义域的各个区域内，分段函数可以具有不同的函数性质。

在一个区域上，它可能是线性的；在另一个区域上，它可能是二次的，甚至是高次的多项式函数；在另一个区域上，它可能是指数函数、对数函数或者三角函数等。

分段函数(整理)什么是分段函数？分段函数是指一个函数在定义域的不同区间上有不同的表达式或定义方式。

通常，分段函数在定义域内被分成了多个不相交的区间，每个区间上有自己的表达式。

分段函数的定义形式一般而言，分段函数可以用以下形式来表示：\[ f(x) = \left\{ \begin{array}{ll}f_1(x), & if\ x \in D_1 \\f_2(x), & if\ x \in D_2 \\... \\f_n(x), & if\ x \in D_n \\\end{array}\right. \]其中，\(f_1(x), f_2(x), ..., f_n(x)\) 是每个区间上的函数表达式，而 \(D_1, D_2, ..., D_n\) 则是定义域的不相交区间。

分段函数的图像由于分段函数在不同区间上拥有不同的表达式，因此其图像通常表现为多个不相交的线段、曲线或点的集合。

分段函数的应用分段函数广泛应用于各个领域，例如经济学、数学、物理学等。

它可以模拟和描述各种现实情况和实验结果。

在经济学中，分段函数可以用于描述不同经济阶层的收入分配情况；在物理学中，分段函数可以用于描述物体在不同时期的运动状态。

分段函数的性质分段函数具有以下性质：1. 分段函数的图像是不连续的，因为不同区间上的表达式存在不连续点。

2. 分段函数在定义域的各个区间上具有不同的特性和性质，需要根据具体情况进行分析和讨论。

3. 分段函数的导数在不同区间上可能存在不连续点。

总结分段函数是一种以不同表达式定义的函数，它在定义域内的不同区间上具有不同的特性和性质。

分段函数在模拟和描述各种现实情况中起着重要的作用，并且在数学和其他学科中都有广泛的应用。

高三分段函数知识点总结在高中数学中，分段函数是一个非常重要的知识点。

它不仅在数学课堂上出现频率较高，而且在现实生活中也有很多实际应用。

掌握分段函数的相关知识，对于提高数学水平和解决实际问题都有着重要的意义。

一、分段函数的概念和定义所谓分段函数，就是将一个定义域分为若干子区间，并且每个子区间上都有一个特定的函数表达式。

在每个子区间上，函数的表达式都是简单的一次或多次函数。

具体来说，一个分段函数可以写成以下形式：\[ f(x) = \begin{cases}f_1(x), & a \leq x < b \\f_2(x), & b \leq x < c \\\cdots \\f_n(x), & y_m \leq x < y_{m+1} \\\end{cases} \]其中，f1(x), f2(x), ..., fn(x)是定义在子区间[a, b), [b, c), ..., [ym, ym+1)上的函数。

每个子区间的两个端点都是开区间，即不包含边界。

二、分段函数的图像特点绘制分段函数的图像是理解和运用分段函数的重要手段。

根据分段函数的定义，我们可以得出以下图像特点：1. 在子区间[a, b)上，函数的图像是一条直线或曲线；2. 在子区间[b, c)上，函数的图像是另一条直线或曲线；3. 不同子区间之间的连接点通常是开口；通过观察一个分段函数的图像，我们可以分别对每个子区间上的函数进行分析，从而确定函数的性质和变化趋势。

三、分段函数的应用举例分段函数的应用非常广泛，几乎涉及到了数学的各个领域。

以下是一些具体的应用示例：1. 路程和时间的关系。

设一辆汽车以常速行驶，行驶时间t与行驶路程d之间的关系可以用分段函数表示。

在不同的行驶时间段内，汽车的行驶速度可能不同，因此在不同的时间段内可能存在多个定义子区间和函数表达式。

2. 升学率与学生积极性的关系。

假设一个学校的升学率与学生积极性之间存在一定的关系，可以用一个分段函数进行表示。

专题05 函数的概念及其表示、分段函数一、知识结构思维导图二、学法指导与考点梳理【基础知识梳理】一、函数的概念1．函数与映射的相关概念(1)函数与映射的概念注意：判断一个对应关系是否是函数关系，就看这个对应关系是否满足函数定义中“定义域内的任意一个自变量的值都有唯一确定的函数值”这个核心点．(2)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．(3)构成函数的三要素函数的三要素为定义域、值域、对应关系.(4)函数的表示方法函数的表示方法有三种：解析法、列表法、图象法.解析法：一般情况下，必须注明函数的定义域；列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；图象法：注意定义域对图象的影响.二、函数的三要素1．函数的定义域函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，常见基本初等函数定义域的要求为：(1)分式函数中分母不等于零.(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.(4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}.2．函数的解析式(1)函数的解析式是表示函数的一种方式，对于不是y＝f(x)的形式，可根据题目的条件转化为该形式.(2)求函数的解析式时，一定要注意函数定义域的变化，特别是利用换元法(或配凑法)求出的解析式，不注明定义域往往导致错误.3．函数的值域函数的值域就是函数值构成的集合，熟练掌握以下四种常见初等函数的值域：(1)一次函数y＝kx＋b(k为常数且k≠0)的值域为R.(2)反比例函数kyx=(k为常数且k≠0)的值域为(−∞，0)∪(0，＋∞)．(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数且a≠0)，当a>0时，二次函数的值域为24[,)4ac ba-+∞；当a<0时，二次函数的值域为24(,]4ac ba--∞.求二次函数的值域时，应掌握配方法：2 224()24b ac b y ax bx c a xa a-=++=++.三、分段函数分段函数的概念若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，则这种函数称为分段函数．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．【知识拓展】1．(1)相等函数—如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数相等．①两个函数是否是相等函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时，才表示相等函数．②函数的自变量习惯上用x表示，但也可用其他字母表示，如：f(x)＝2x−1，g(t)＝2t−1，h(m)＝2m−1均表示相等函数.(2)映射的个数若集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则从集合A到集合B的映射共有mn个．2．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集．三、重难点题型突破(一)、判断对应关系（图像）是否为函数. 1．判断对应关系是否为函数的2个条件 (1)A ，B 必须是非空实数集．(2)A 中任意一元素在B 中有且只有一个元素与之对应．对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系．例1．（2020·全国高一课时练习）下列对应或关系式中是A 到B 的函数的序号为________. ①，∈∈A R B R ，221x y +=；②A ＝{1，2，3，4}，B ＝{0，1}，对应关系如图：③，==A R B R ，1:2→=-f x y x ；④，==A Z B Z ，:→=f x y .【变式训练1】（2019·广东禅城 佛山一中高一月考）（多选题）下列四个图形中可能是函数y ＝f （x ）图象的是（ ）A ．B ．C ．D ．【变式训练2】下列四个图象中，是函数图象的是( )① ① ① ① A ．①B ．①①①C ．①①①D ．①①【变式训练3】．（2012·全国高一课时练习）设集合{|02}M x x =≤≤，{|02}N y y =≤≤，那么下面的4个图形中，能表示集合M 到集合N 的函数关系的有（ ）A ．①②③④B ．①②③C ．②③D ．②(二)、求函数的定义域.1．求函数定义域的三种常考类型及求解策略(1)已知函数的解析式：构建使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)抽象函数：①若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由a ≤g (x )≤b 求出． ②若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域． (3)实际问题：既要使构建的函数解析式有意义，又要考虑实际问题的要求． 2．求函数定义域的注意点(1)不要对解析式进行化简变形，以免定义域变化．(2)当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时，定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集．(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接.例2．（1）（2019·浙江南湖 嘉兴一中高一月考）下列函数中，与函数y=有相同定义域的是（ ）A ．()f xx=B ．1()f x x=C ．()||f x x =D ．()f x =（2）（2019秋•金山区校级期末）下列各组函数中表示同一函数的是（ ） A ．y ＝20与yB ．y ＝±1与yC ．y 与yD ．y ＝x +1与y【变式训练1】求下列函数的定义域．（1）()34f x x =-； （2）2()347f x x x =+-；（3）5()32xf x x =-； （4）()1f x ；（5）()f x =例3．（2019·哈尔滨市第一中学校高三开学考试（文））已知()f x 的定义域为(1,0)-，则函数(21)f x +的定义域为 （ ） A ．(1,1)-B ．1(1,)2--C ．(1,0)-D ．1(,1)2【变式训练1】（1）已知()f x 的定义域为[2-，1]，求函数(31)f x -的定义域； （2）已知(25)f x +的定义域为[1-，4]，求函数()f x 的定义域．（3）已知函数()y f x =的定义域为[1-，2]，求函数2(1)y f x =-的定义域． （4）已知函数(23)y f x =-的定义域为(2-，1]，求函数()y f x =的定义域．(三)、判断函数为同一（相等）函数 判断函数相等的方法(1)先看定义域，若定义域不同，则不相等；(2)若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同．例4．（2020·江苏省响水中学高一月考）下列选项中，表示的是同一函数的是（ ）A ．()()2f xg x ==B ．()()()22,2f x x g x x ==-C ．()(),0,,0x x f x g t t x x ≥⎧==⎨-<⎩D ．()()f x g x =【变式训练1】.（2019·江苏姑苏 苏州中学高一期中）（多选题）下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（ ）A ．()||f x x =与()g xB ．()1f x x =+与21()1x g x x -=-C ．||()x f x x =与1,0()1,0x g x x >⎧=⎨-<⎩ D ．()f x =()g x =(四)、求函数的解析式 求函数解析式常用的方法 1．换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围； 2．配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的表达式； 3．待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法； 4．方程组法：已知关于f (x )与1()f x或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程求出f (x ).例5．（2020·全国高一）设函数()(0)f x kx b k =+>，满足(())165f f x x =+，则()f x =（ ）A ．543x --B ．543x -C ．41xD ．41x +【变式训练1】.（2020·河北衡水中学调研）已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )的解析式．例6．（2017·全国高一课时练习）已知111f x x ⎛⎫= ⎪+⎝⎭，则()f x 的解析式为（ ） A ．()11f x x =+ B ．()1xf x x+=C ．()1f x x x=+ D ．()1f x x =+【变式训练1】．已知函数()f x 是一次函数，且()23f f x x ⎡⎤⎣⎦-=恒成立，则()3f =( ) A ．1 B ．3 C ．5D ．7例7．（2020·全国高一）若函数()f x 满足1()23f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则(2)f =___________．【变式训练1】．（2020·全国高一）对的所有实数，函数满足，求的解析式．【变式训练2】.（2019秋•武汉期末）（1）已知，求；（2）已知，求f （x ）的解析式．1x ≠±x ()f x 122111x x f f x x x +⎛⎫⎛⎫-=⎪ ⎪++-⎝⎭⎝⎭()f x(五)、求函数值域 求函数值域的基本方法 1．观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域． 2．利用常见函数的值域：一次函数的值域为R ；反比例函数的值域为{|0}y y ≠；指数函数的值域为(0,)+∞；对数函数的值域为R ；正、余弦函数的值域为[1,1]-；正切函数的值域为R . 3．分离常数法：将形如cx dy ax b +=+(a ≠0)的函数分离常数，变形过程为： ()c bc bc ax b d d cx d c a a a ax b ax b a ax b ++--+==++++，再结合x 的取值范围确定bc d a ax b-+的取值范围，从而确定函数的值域. 4．换元法：对某些无理函数或其他函数，通过适当的换元，把它们化为我们熟悉的函数，再用有关方法求值域．如：函数()0)f x ax b ac =++≠，可以令0)t t =≥，得到2t d x c -=，函数()f x ax=0)b ac ++≠可以化为2()a t d y tb c-=++(t ≥0)，接下来求解关于t 的二次函数的值域问题，求解过程中要注意t 的取值范围的限制． 5．配方法：对二次函数型的解析式可以先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域的方法求函数的值域． 6．数形结合法：作出函数图象，找出自变量对应的范围或分析条件的几何意义，在图上找出值域． 7．单调性法：函数单调性的变化是求最值和值域的依据，根据函数的单调区间判断其单调性，进而求函数的最值和值域． 8．判别式法：将函数转化为二次方程：若函数y ＝f (x )可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程a (y )x 2＋b (y )x ＋c (y )＝0，则在a (y )≠0时，由于x ，y 为实数，故必须有Δ＝b 2(y )－4a (y )·c (y )≥0，由此确定函数的值域．利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数、“无理”函数等，使用此法要特别注意自变量的取值范围.例8．（2019·东台创新高级中学高三月考）函数y =的值域是 _____.例9．求下列函数的值域：（1）243,[1,1]y x x x =-+∈-； （2）y x =- （3）2(1)1x y x x =>-.【变式训练1】．求下列函数的值域（1）2()41f x x x =-+，(2x ∈-，3]； （2）()1)f x x x =-．（3）232y x x =-+，[1x ∈，3]； （4）y x =+（5）y =（6）y x =-（7）2223x y x -=+．【变式训练2】．（2020·全国高一课时练习）（多选题）已知函数()22,1,12x x f x x x +≤-⎧=⎨-<<⎩，关于函数()f x 的结论正确的是（ ）A ．()f x 的定义域为RB ．()f x 的值域为(),4-∞C ．()13f =D ．若()3f x =，则xE.()1f x <的解集为()1,1-(六)、分段函数求值分段函数是一类重要的函数，常作为考查函数知识的最佳载体，以其考查函数知识容量大而成为高考的命题热点，多以选择题或填空题的形式呈现，重点考查求值、解方程、零点、解不等式、函数图象及性质等问题，难度一般不大，多为容易题或中档题. 分段函数问题的常见类型及解题策略： 1．求函数值：弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套”的函数值，要从最内层逐层往外计算． 2．求函数最值：分别求出每个区间上的最值，然后比较大小． 3．求参数：“分段处理”，采用代入法列出各区间上的方程或不等式． 4．解不等式：根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值范围的大前提．例10．（2019·浙江南湖 嘉兴一中高一月考）已知()()()21020x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩，若()()10f f a =，则a =______________.例11．（2020·全国高一课时练习）已知()1,00,0x f x x ≥⎧=⎨<⎩则不等式()2xf x x +≤的解集是________.【变式训练1】．（1）已知函数21,02,0x x y x x ⎧+≤=⎨->⎩，若()10f x =，则x=___________（2）．（2020·四川省成都市郫都区第四中学高一期末）设函数221,1()22,1x x f x x x x +≥⎧=⎨--<⎩，若f （x 0）＞1，则x 0的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B ．（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞）C ．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）D ．（﹣∞，﹣3）∪[1，+∞）四、定时训练【基础巩固】1．（2012·全国高一课时练习）设集合{|02}M x x =≤≤，{|02}N y y =≤≤，那么下面的4个图形中，能表示集合M 到集合N 的函数关系的有（ ）A ．①②③④B ．①②③C ．②③D ．②2．（2020·安徽省高三其他（文））已知函数y =A ，则A R（ ）A ．{0}{1}xx x x ≤⋃≥∣∣ B ．{0}{1}xx x x <⋃>∣∣ C ．{01}xx ≤≤∣ D ．{01}xx <<∣ 3.若函数()y f x =的定义域是[0，4]，则函数(2)()1f xg x x =-的定义域是（ ） A ．[]0,8 B ．[]0,1)(1,8⋃C ．[]0,1)(1,2⋃D ．[]0,24．函数()()1ln 2f x x =+ ）A ．[)(]3113---，,B ．[)(]2113---，，C ．()(]2113---，，D ．(]23-，5．（2020春•历下区校级期中）（多选题）数学的对称美在中国传统文化中多有体现，譬如如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化、对称统一的和谐美．如果能够将圆的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”，下列说法正确的是（ ）A ．对于任意一个圆，其“优美函数”有无数个B ．f （x ）＝x 3可以是某个圆的“优美函数”C ．正弦函数y ＝sin x 可以同时是无数个圆的“优美函数”D ．函数y ＝f （x ）是“优美函数”的充要条件为函数y ＝f （x ）的图象是中心对称图形 6．函数22y x x =-的定义域为{}0,1,2,3，那么其值域为（ ） A.{}1,0,3-B.{}1,0,2,3-C.[]1,3-D.[]2,3-7．（2020·全国高一）已知函数(21)43(R)f x x x -=+∈，若()15f a =，则实数a 之值为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．58．（2020·山东潍坊一中高二月考）（多选题）对于定义域为D 的函数f （x ），若存在区间[m ，n ]⊆D ，同时满足下列条件：①f （x ）在[m ，n ]上是单调的；②当定义域是[m ，n ]时，f （x ）的值域也是[m ，n ]，则称[m ，n ]为该函数的“和谐区间”.下列函数存在“和谐区间”的有（ ）A ．()321f x x =+B ．()2f x x=C ．()-2xf x e =D ．()ln 1f x x =+9．（2020·全国高三专题练习（理））已知函数()221,1,1x x f x x x +<⎧=⎨≥⎩，则12f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______；若()1f a =，则a =______.10．（2017·全国高一课时练习）已知函数f(x)＝61x - (1)求函数f(x)的定义域； (2)求f(－1), f(12)的值．【能力提升】11．（2020·全国高一）函数2232y x x =--的定义域为( )A ．(],1-∞-B ．[]1,1-C ．[)()1,22,⋃+∞D ．111,,122⎡⎫⎛⎤---⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦12．（2020·全国高一）函数y x =+ ） A ．(－∞，1]B ．(－∞，－1]C ．RD ．［1，+∞13．（多选题）某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km 按起步价付费)；超过3 km 但不超过8 km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km 时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．下列结论正确的是( ) A ．出租车行驶4 km ，乘客需付费9.6元 B ．出租车行驶10 km ，乘客需付费25.45元C ．某人乘出租车行驶5 km 两次的费用超过他乘出租车行驶10 km 一次的费用D ．某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了9 km14.设函数，，为常数。

分段函数知识点总结整理分段函数是一种函数表达式，其定义域被分为几个部分，在每个部分，函数的表达式都是不同的。

分段函数在实际问题中有着广泛的应用，而对于学习者而言，掌握分段函数的知识是非常重要的。

本文将通过总结和整理分段函数的知识点，帮助读者更好地理解和掌握这一部分的数学知识。

1.分段函数的基本概念分段函数是由若干个部分组成的函数，每个部分都有自己的定义域和函数表达式。

通常来说，一般形式的分段函数可以表示为：\[ f(x) = \begin{cases} f_1(x), & a_1 \leq x < b_1 \\ f_2(x), & a_2 \leq x < b_2 \\ \vdots \\f_n(x), & a_n \leq x < b_n \\ \end{cases} \]其中，\[ f_1(x), f_2(x), \cdots, f_n(x) \] 分别为不同的函数表达式，\[ a_1, b_1, a_2, b_2,\cdots, a_n, b_n \] 分别为定义域的分割点。

在每个分段区间，函数的表达式可能不同，也可能相同。

2. 分段函数的图像分段函数的图像通常是由若干个部分的图像组成的。

在每个分段区间内，函数的图像可能是一条直线、一个曲线或者其他形式。

需要注意的是，不同分段区间之间可能存在间断点，这些间断点通常需要特别关注。

3. 分段函数的定义域和值域在讨论分段函数的定义域和值域时，需要分别对每个函数表达式的定义域和值域进行分析。

需要注意的是，整个分段函数的定义域和值域需要考虑到每个部分的定义域和值域的并集或交集。

4. 分段函数的性质分段函数的性质通常是由其各个部分的函数表达式决定的。

当各个函数表达式的性质不同的时候，在整体上，分段函数可能具有一些特殊的性质。

例如，分段函数可能是一个单调递增的函数、单调递减的函数或者是非单调的函数。

5. 分段函数的应用分段函数在实际问题中有着广泛的应用。

高考分段函数知识点高考是每个学生都将经历的一次重要考试，它对于一个人的人生道路具有至关重要的影响。

其中，数学科目一直被认为是让人头疼的科目之一。

而在数学中，分段函数是一个重要的知识点。

本文将向大家介绍高考分段函数的相关知识点。

一、分段函数的定义分段函数是指由两个或多个函数组成的函数，其定义域上按照不同的条件来确定函数表达式。

通常情况下，每个函数表达式只在特定的子区间上有效。

二、分段函数的表示方式在数学中，对于分段函数的表示方式有两种常见的形式，分别是符号函数和条件函数。

1. 符号函数：符号函数是一种用数系的符号表示函数。

一般来说，符号函数的定义可以写成 f(x) = {±1, x＞0或x＜0}，表示在不同的区间上函数取不同的值。

2. 条件函数：条件函数是一种用条件表达式表示函数的形式。

它的定义可以写成 f(x) = {f₁(x), x ∈ D₁；f₂(x), x ∈ D₂；f₃(x), x ∈D₃……}，其中D₁、D₂、D₃……表示不同的区间，f₁(x)、f₂(x)、f₃(x)……表示不同的函数表达式。

三、分段函数的性质1. 连续性：一段函数在其定义域上是否连续是其性质之一。

对于分段函数而言，每个子区间内的函数表达式都是连续的，即在各个子区间的边界处函数值存在且相等。

2. 求导性质：在求导过程中，需要根据不同的子区间分别对函数进行求导。

首先，找到函数在定义域内的各个子区间，然后对每个子区间内的函数进行求导，最后将求导结果合并。

3. 极值问题：对于分段函数来说，极值问题也是一个值得关注的问题。

因为分段函数在定义域的不同子区间内可能存在多个极值点，所以需要根据实际题目的条件来确定具体的极值点。

四、解题技巧1. 确定分段函数的子区间：在解答分段函数的题目时，首先需要确定函数的定义域和区间。

这一步是解题的基础，也是问题的关键。

2. 绘制函数图像：根据所给的函数表达式和子区间，可以尝试绘制出函数的图像。

高一第11讲函数的概念、表示法及分段函数【知识梳理】1．函数的概念定义一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数三要素对应关系y＝f(x)，x∈A定义域自变量x的取值范围值域与x的值相对应的y的函数值的集合{f(x)|x∈A}2．区间及有关概念(1)一般区间的表示设a，b∈R，且a<b，规定如下：定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间[a，b]{x|a<x<b}开区间(a，b){x|a≤x<b}半开半闭区间[a，b){x|a<x≤b}半开半闭区间(a，b](2)特殊区间的表示定义R{x|x≥a}{x|x＞a}{x|x≤a}{x|x＜a}符号(－∞，＋∞) [a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，a](－∞，a) 3．函数的表示法4．分段函数如果函数y＝f(x)，x∈A，根据自变量x在A中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数．【典型例题】题型一：函数的概念1.下列各组函数是同一函数的是()①f(x)＝－2x3与g(x)＝x－2x；②f(x)＝x与g(x)＝x2；③f(x)＝x0与g(x)＝1x0；④f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1.A．①②B．①③C．③④D．①④2.判断下列对应是不是从集合A到集合B的函数．①A＝N，B＝N*，对应法则f：对集合A中的元素取绝对值与B中元素对应；②A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,4}，对应法则f：x→y＝x2，x∈A，y∈B；③A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,2,4}，对应法则f：x→y＝x2，x∈A，y∈B；④A＝{三角形}，B＝{x|x>0}，对应法则f：对A中元素求面积与B中元素对应．3.下列四个图象中，不是函数图象的是()A B C D题型二：求函数值4.设f(x)＝2x2＋2，g(x)＝1x＋2，(1)求f(2)，f(a＋3)，g(a)＋g(0)(a≠－2)，g(f(2))．(2)求g(f(x))．题型三：求函数的定义域 5. 求下列函数的定义域：(1)f (x )＝2＋3x －2； (2)f (x )＝(x －1)0＋2x ＋1； (3)f (x )＝3－x ·x －1； (4)f (x )＝(x ＋1)2x ＋1－1－x .6. (1)已知函数f (x )的定义域为[－1,5]，求函数f (x －5)的定义域；(2)已知函数f (x －1)的定义域是[0,3]，求函数f (x )的定义域．规律小结：求函数定义域的常用方法(1)若f (x )是分式，则应考虑使分母不为零. (2)若f (x )是偶次根式，则被开方数大于或等于零.(3)若f (x )是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合. (4)若f (x )是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集. (5)若f (x )是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义. 题型四：函数的三种表示方法7. 某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程．下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是( )A B C D8. 由下表给出函数y ＝f (x )，则f (f (1))等于( )x 1 2 3 4 5 y453219. 作出下列函数的图象并求出其值域．(1)y ＝－x ，x ∈{0,1，－2,3}； (2)y ＝2x，x ∈[2，＋∞)； (3)y ＝x 2＋2x ，x ∈[－2,2)．题型六：函数解析式的求法10. (1)已知f (x ＋1)＝x －2x ，则f (x )＝________；(2)已知函数f (x )是一次函数，若f (f (x ))＝4x ＋8，则f (x )＝________；(3)已知函数f (x )对于任意的x 都有f (x )－2f (－x )＝1＋2x ，则f (x )＝________.题型七：分段函数的求值问题11. 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －3，x ≥10，f (f (x ＋5))，x <10，则f (7)＝________.12. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤－2，x 2＋2x ，－2<x <2，2x －1，x ≥2.(1)求f (－5)，f (－3)，))25((-f f 的值；(2)若f (a )＝3，求实数a 的值．题型八：分段函数的图象及应用 13. 已知函数f (x )＝1＋|x |－x2(－2<x ≤2)．(1)用分段函数的形式表示f (x )；(2)画出f (x )的图象；(3)写出函数f (x )的值域．【课堂训练】1. 下列函数中，与函数y ＝x 相等的是( )A ．y ＝(x )2B ．y ＝x 2C ．y ＝|x |D ．y ＝3x 32. 若集合A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |0≤y ≤3}，则下列图形给出的对应中能构成从A 到B 的函数f ：A →B 的是( )A B C D3. 函数y ＝x ＋1x －1的定义域是( ) A ．(－1，＋∞) B ．[－1，＋∞) C ．(－1,1)∪(1，＋∞)D ．[－1,1)∪(1，＋∞)4. 小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是( )5. 如果)1(xf ＝x1－x ，则当x ≠0,1时，f (x )等于( )A.1B.1C.1 116. 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，x ≤0x 2，x ＞0，若f (a )＝4，则实数a ＝( )A ．－4或－2B ．－4或2C ．－2或4D ．－2或27. 函数f (x )＝x ＋|x |x的图象是( )A B C D8. 一等腰三角形的周长是20，底边长y 是关于腰长x 的函数，则它的解析式为( )A ．y ＝20－2xB ．y ＝20－2x (0<x <10)C ．y ＝20－2x (5≤x ≤10)D ．y ＝20－2x (5<x <10)9. 已知函数f (x )＝11＋x，又知f (t )＝6，则t ＝________.10. 已知函数f (x )的定义域为(－1,1)，则函数g (x )＝)2(x f ＋f (x －1)的定义域是________．11. 在平面直角坐标系xOy 中，若直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a |－1的图象只有一个交点，则a 的值为________．12. 已知f (x )是一次函数，且满足2f (x ＋3)－f (x －2)＝2x ＋21，求f (x )的解析式；13. 已知f (x )为二次函数，且满足f (0)＝1，f (x －1)－f (x )＝4x ，求f (x )的解析式；14. 已知)(xx f ＝x 2＋1x 2＋1，求f (x )的解析式．15. 《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过5 000元的部分不必纳税，超过5 000元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累计计算：(1)请写出y 关于x 的函数关系式；(2)有一职工八月份交纳了54元的税款，请问该职工八月份的工资是多少？。

函数中的分段与分段函数的应用函数是数学中的重要概念，它描述了变量之间的关系。

在实际问题中，有些情况下函数的定义可能会根据不同的输入值而发生变化，这就涉及到了函数中的分段。

分段函数是指在定义域的不同区间上，函数的定义方式不同。

本文将探讨函数中的分段以及分段函数的应用。

一、函数中的分段在函数中，分段是指函数的定义在不同的区间上有所不同。

这种情况下，我们可以使用不同的公式或表达式来描述函数在不同区间上的行为。

常见的分段函数有三种形式：分段常数函数、分段线性函数和分段定义函数。

1. 分段常数函数分段常数函数是指在不同的区间上，函数的取值为常数。

例如，考虑函数f(x)，当x小于0时，f(x)等于-1；当x大于等于0时，f(x)等于1。

此时，函数f(x)可以表示为：f(x) =-1, x < 01, x ≥ 02. 分段线性函数分段线性函数是指在不同的区间上，函数的定义为线性函数。

例如，考虑函数g(x)，当x小于0时，g(x)等于x；当x大于等于0时，g(x)等于2x。

此时，函数g(x)可以表示为：g(x) =x, x < 02x, x ≥ 03. 分段定义函数分段定义函数是指在不同的区间上，函数的定义方式不同。

例如，考虑函数h(x)，当x小于0时，h(x)等于x^2；当x大于等于0且小于1时，h(x)等于x；当x 大于等于1时，h(x)等于1。

此时，函数h(x)可以表示为：h(x) =x^2, x < 0x, 0 ≤ x < 11, x ≥ 1二、分段函数的应用分段函数在实际问题中有广泛的应用。

以下是几个常见的例子：1. 温度转换在温度转换中，摄氏度和华氏度之间的关系可以使用分段函数来表示。

当给定摄氏度时，可以使用以下分段函数将其转换为华氏度：F(x) =1.8x + 32, x ≥ -273.15无定义, x < -273.15其中，-273.15是绝对零度，低于此温度时无法进行温度转换。

分段函数求导知识点总结一、分段函数的概念分段函数是指一个定义域上的函数，其值随自变量的取值分段而变化。

分段函数通常由几个不同的函数组成，每个函数在定义域上的一个子集上定义。

分段函数在数学建模、物理、工程等领域有重要的应用。

二、分段函数的图像特点1. 分段函数的图像通常由几个部分组成，每个部分对应着定义域上的一个子集。

2. 分段函数的图像可能包含了不连续点，即在某些点上可能存在间断。

3. 分段函数的图像可能具有不同的斜率和凹凸性。

三、分段函数的导数定义1. 分段函数的导数是分段函数在定义域上的每个子集上的导数的集合。

2. 对于分段函数y=f(x)，根据导数的定义，可以得到在每个子集上的导数f’(x)。

四、分段函数的求导方法1. 分段函数的求导方法和普通函数的求导方法类似。

对于不同的子集，分别使用求导规则进行求导。

2. 对于可能存在间断点的分段函数，需要对每个子集上的导数进行单独的讨论。

五、常见的分段函数求导方法1. 绝对值函数的求导绝对值函数|x|是分段函数，在x>0和x<0时，分别定义为x和-x。

对应的导数分别为1和-1。

2. 分段常数函数的求导对于区间[a,b]上的常数函数，其导数为0。

在不同的区间上，函数的导数不同，需要进行分段讨论。

3. 分段线性函数的求导分段线性函数是由若干条线段组成的函数。

求导时需要对每个线段进行求导，然后将导数组合起来。

4. 其他类型的分段函数求导除了上述示例外，还有其它常见的分段函数，如分段多项式函数、分段指数函数等，它们的求导方法也可以根据具体的函数形式进行求导。

六、分段函数的求导应用1. 优化问题在工程、经济学等领域，常常需要对分段函数进行求导来进行最优化问题的求解。

例如，在生产成本最小化问题中，需要对生产函数进行求导确定边际成本。

2. 物理问题在物理学中，分段函数的求导可以用于描述变化的速率、加速度等物理量。

例如，对于匀速直线运动时的位置函数，可以通过求导得到速度函数。

分段函数面积公式摘要：1.分段函数的概念及意义2.分段函数面积公式的推导3.分段函数面积计算实例4.应用分段函数面积公式解决实际问题5.总结与拓展正文：一、分段函数的概念及意义分段函数是指在一个定义域内，根据自变量的取值范围，将函数分为若干个部分，每个部分有一个对应的解析式。

分段函数能够更好地描述实际问题中复杂的函数关系，具有较强的可读性和实用性。

二、分段函数面积公式的推导分段函数的面积可以看作是由若干个简单函数的面积之和。

对于一个分段函数f(x)，在区间[a, b]上的面积可以表示为：S = ∫[a, b] f(x) dx当f(x)在[a, b]上连续时，上式成立。

在不连续点，我们需要根据f(x)的左右极限进行拆分，并在每个区间上求面积。

三、分段函数面积计算实例假设有一个分段函数f(x) = {x^2，x∈[0，1]；2x+1，x∈[1，2]。

我们可以通过以下步骤计算该函数在区间[0, 2]上的面积：1.计算在区间[0, 1]上的面积：S1 = ∫[0, 1] x^2 dx = 1/32.计算在区间[1, 2]上的面积：S2 = ∫[1, 2] (2x+1) dx = 33.将两个面积相加，得到分段函数在区间[0, 2]上的总面积：S = S1 + S2 = 1/3 + 3 = 10/3四、应用分段函数面积公式解决实际问题分段函数面积公式可以帮助我们解决一些实际问题，例如计算曲线与坐标轴所围成的面积、计算工业生产过程中的产量等。

通过求解分段函数的面积，我们可以更好地了解实际问题的变化规律，为决策提供依据。

五、总结与拓展分段函数面积公式是高等数学中一个重要的应用，掌握其计算方法能够帮助我们解决实际问题。

在学习过程中，要注意理解分段函数的概念，熟练掌握分段函数面积公式的推导和计算方法，并学会将理论知识应用于实际问题。