(2+1)维Boiti-Leon-Pemponelli方程的多线性分离变量法

第26卷第5期Vol.26　No.5丽水学院学报JOURNAL OF L ISHUI UNIVERSIT Y2004年10月Oct.2004(2+1)维Boiti-Leon-Manna-Pempinelli方程的分离变量解Ξ马正义(丽水学院数学系,浙江丽水　323000) 摘要:对于非线性演化方程,欲获其解并非易事。

试图用设定的变量分离法来得到方程的解。

同时,以(2+1)维Boiti-Leon-Manna-Pempinelli方程为例来说明之。

关键词:非线性演化方程;变量分离法;(2+1)维中图分类号:O175.2 文献标识码:A 文章编号:1008-6749(2004)05-0037-031　引言在漫长的线性科学发展历史中,科学家们建立了许多行之有效的研究方法,如行波法、分离变量法和傅里叶变换法。

然而,对于非线性物理问题的研究,这些方法一般需要作相当大的甚至是根本性的变化才有可能得到推广应用。

对于行波法,在非线性物理中只要作行波约化就可以。

反散射方法可以看成是傅里叶变换法在非线性物理中的推广。

然而,分离变量法的推广迟迟得不到本质的进展。

最近我国科学家对这一问题作出了一些重要贡献。

由楼森岳教授等建立的多线性分离变量法,目前已经成功地应用到了许多(2 +1)维非线性物理模型,并由此发现了高维非线性物理模型中非常丰富的非线性激发模式。

本文试图在许多人工作[1～5]的基础上,给出一个解题步骤较为具体的分离变量法,并以(2+1)维Boiti-Leon-Manna-Pempinelli(BLMP)方程为例来说明所给方法的可行性。

2　(2+1)维BLMP方程的分离变量解对于BLMP方程 u yt+u x x xy-3u x x u y-3u x u xy=0,(1)为了采用变量分离方法,引入B cklund变换 u=-2(ln f)x+u0,(2)式中u=u(x,y,t),f=f(x,y,t),u0=u0(x,y,t)是BLMP方程的一个任意已知的种子解。

(2+1)维Boiti-Leon-Pempinelli方程的精确解赵艳丽【摘要】介绍了求解非线性偏微分方程的方法一(G'/G)-展开法.通过使用该方法,并借助Maple得到了(2+1)维Boiti-Leon-Pempinelli(简称BLP)方程的多种新精确解,其中包括双曲函数解、三角函数解和有理函数解等.【期刊名称】《江汉大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2013(041)001【总页数】4页(P19-22)【关键词】(2+1)维BLP方程;(G'/G)-展开法;扭结孤子解;符号计算【作者】赵艳丽【作者单位】成都理工大学工程技术学院基础部,四川乐山 614000【正文语种】中文【中图分类】O175.23寻找非线性偏微分方程的精确解是研究非线性偏微分方程的非常重要的问题，因为物理领域中的许多现象都可以用非线性偏微分方程来描述。

近年来，人们一直在想办法通过直接探讨非线性偏微分方程的准确解的结构来得到它的精确解，已获得了许多求解非线性方程的准确解的方法，例如：双曲正切函数展开法［1-3］、正弦-余弦法［2-3］、指数函数法［3-4］、Hirota's双线性法［5］、Jaco⁃bi椭圆函数展开法［6］、修改的tanh展开法［7］、辅助微分方程［8-10］等，文献［11］提出了(G′/G)-展开法，本文将利用这一方法构造BLP方程的精确解。

首先，利用一个行波变换ξ=α(x+y+ct)将非线性偏微分方程变成常微分方程下一步，把未知量U展开为含有(G′/G)的幂级数其中αi(i=0，1，2，…，l)是待定常数，正整数l由平衡方程（2）的最高阶导数项和最高阶非线性项来决定，G满足由方程（4）的解，我们可以得到关于(G′/G)的下列结果：其中 A1，A2为任意实数。

把方程（3）、（4）代入方程（2），可以得到一组关于(G′/G)的代数方程。

合并(G′/G)的同幂次项，令同幂次项的系数为零，可以得到一组关于αi(i=0，1，2，…，l)，α，c的代数方程。

数学物理方程的分离变量法及其应用数学物理方程是研究自然现象的基础，其中热传导方程、波动方程和电动力学方程是最为常见的。

为了解决这些方程的求解问题，数学家们提出了许多方法，其中分离变量法是一种常用的解法之一。

分离变量法是指将多元函数的变量分离，使得原方程可以化为若干个单元函数的乘积形式，从而可以通过对单元函数的研究来获得原方程的解。

这种方法适用于线性方程，而且只能用于满足一定边界条件的特定问题。

下面通过几个实例来进一步探讨分离变量法的应用。

1. 热传导方程热传导方程描述了物体内部温度的传导过程。

对于一个平板，其温度分布可以用以下偏微分方程描述：$\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \left(\frac{\partial^2u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\right)$其中，$u(x,y,t)$表示平板上某一点的温度，$\alpha$为热传导系数。

为了求解这个方程，我们可以假设温度分布可以表示为两个函数 $X(x)$ 和 $Y(y)$ 的乘积形式：$u(x,y,t) = X(x)Y(y)T(t)$因此，原方程可以改写为$X(x)Y(y)\frac{dT}{dt} = \alpha T(t)\left(\frac{d^2X}{dx^2}Y(y) + X(x)\frac{d^2Y}{dy^2}\right)$将式子移项，可以得到$\frac{1}{\alpha T}\frac{dT}{dt} = \frac{1}{X}\frac{d^2X}{dx^2} + \frac{1}{Y}\frac{d^2Y}{dy^2}$由于左侧只和 $t$ 有关，而右侧只和 $x$ 和 $y$ 有关，因此等式两侧必须都等于一个常数，假设这个常数为 $-k^2$，可以得到以下三个常微分方程：$\frac{dT}{dt} = -\alpha k^2 T(t)$$\frac{d^2X}{dx^2} + k^2X(x) = 0$$\frac{d^2Y}{dy^2} + k^2Y(y) = 0$分别求解这三个方程，得到$T(t) = e^{-\alpha k^2 t}$$X(x) = A\sin(kx) + B\cos(kx)$$Y(y) = C\sin(ky) + D\cos(ky)$将这些解组合起来，即可得到原方程的通解：$u(x,y,t) = \sum_{n=1}^\infty (a_n\sin(k_n x) + b_n\cos(k_n x))(c_n\sin(k_n y) + d_n\cos(k_n y)) e^{-\alpha k_n^2 t}$其中，$a_n, b_n, c_n, d_n$ 是常数，$k_n = \frac{n\pi}{L}$，$L$ 是平板长度。

数学物理方法分离变量法分离变量法是数学物理中常用的一种解微分方程的方法，它适用于一些特定形式的偏微分方程，能够将原方程分解成一系列简单的常微分方程，从而求得方程的解。

在物理学中，分离变量法常常用于描述热传导、波动、量子力学等问题的求解。

本文将介绍分离变量法的基本思想和应用，以及一些实际问题中的案例分析。

首先，我们来看一般形式的偏微分方程：\[F(x,y,u,\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y},\frac{\partial^2u}{\partial x^2},\frac{\partial^2 u}{\partial y^2},...) = 0\]其中，\(u = u(x,y)\) 是未知函数，\(F\) 是关于 \(x,y,u,\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y},\frac{\partial^2 u}{\partial x^2},\frac{\partial^2u}{\partial y^2},...\) 的已知函数。

我们的目标是求解这个偏微分方程，找到满足条件的 \(u\) 函数。

分离变量法的基本思想是假设未知函数 \(u(x,y)\) 可以表示为两个独立变量 \(x\) 和 \(y\) 的乘积形式，即 \(u(x,y) = X(x)Y(y)\)。

将这个形式代入原方程中，然后通过变量分离的方法，将方程化为两个关于 \(x\) 和 \(y\) 的常微分方程。

最后再对这两个方程分别进行积分，得到原偏微分方程的解。

下面我们通过一个具体的例子来说明分离变量法的应用。

考虑二维热传导方程：\[\frac{\partial u}{\partial t} = k\left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} +\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\right)\]其中，\(u(x,y,t)\) 表示温度分布，\(k\) 是热传导系数。