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高中数学《算法初步复习课》教案新人教版必修一、教学目标1. 理解算法的基本概念，掌握算法的特点和描述方法。
2. 复习常见算法，如排序、查找、函数复合、递归等，并能够应用到实际问题中。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二、教学内容1. 算法的概念和特点2. 算法的描述方法：流程图、伪代码3. 常见算法的复习：排序、查找、函数复合、递归4. 算法应用实例分析三、教学重点与难点1. 教学重点：算法的概念和特点算法的描述方法：流程图、伪代码常见算法的复习：排序、查找、函数复合、递归2. 教学难点：算法的描述方法：流程图、伪代码递归算法的理解和应用四、教学方法与手段1. 教学方法：讲授法：讲解算法的概念、特点和描述方法案例分析法：分析实际问题，引导学生运用算法解决问题小组讨论法：分组讨论，共同探索算法的应用和优化2. 教学手段：投影仪：展示算法流程图、伪代码和实例分析计算机软件：利用编程软件或在线工具，进行算法实现和验证五、教学过程1. 导入：利用生活中的实例，引导学生思考算法的作用和意义。
简要回顾上节课的内容，为新课的学习做好铺垫。
2. 讲解算法概念和特点：介绍算法的定义和特点，如输入、输出、有穷性、确定性等。
通过举例，让学生理解算法与程序的区别。
3. 讲解算法描述方法：介绍流程图和伪代码的表示方法，以及它们的优缺点。
结合实例，讲解如何用流程图和伪代码表示算法。
4. 复习常见算法：复习排序、查找、函数复合、递归等常见算法。
通过例题，讲解这些算法的应用和实现。
5. 算法应用实例分析：给出实际问题，引导学生运用所学算法解决问题。
分析算法的时间复杂度和空间复杂度，探讨算法的优化。
6. 课堂练习：布置练习题，让学生巩固所学算法。
引导学生互相讨论，共同解决问题。
7. 总结与反思：回顾本节课所学内容，总结算法的概念、特点和描述方法。
反思自己在解决问题时，如何运用算法和程序设计。
8. 作业布置：布置课后作业，巩固算法初步知识。
第一节算法初步1．算法与流程图(1)算法通常是指对一类问题的机械的、统一的求解方法．(2)流程图是由一些图框和流程线组成的，其中图框表示各种操作的类型，图框中的文字和符号表示操作的内容，流程线表示操作的先后次序．2．三种基本逻辑结构(1)顺序结构是由若干个依次执行的步骤组成的，这是任何一个算法都离不开的基本结构．其结构形式为(2)选择结构是先根据条件作出判断，再决定执行哪一种操作的结构．其结构形式为(3)循环结构是指从某处开始，按照一定条件反复执行某些步骤的情况．反复执行的处理步骤称为循环体．循环结构又分为当型和直到型．其结构形式为3．基本算法语句(1)赋值语句、输入语句、输出语句赋值语句用符号“←”表示，其一般格式是变量←表达式(或变量)，其作用是对程序中的变量赋值；输入语句“Read a，b”表示输入的数据依次送给a，b，输出语句“Print x”表示输出的运算结果x.(2)算法的选择结构由条件语句来表达，条件语句有两种，一种是If—Then—Else语句，其格式是If A Then BElseCEnd If.(3)算法中的循环结构，可以运用循环语句来实现．①当循环的次数已经确定，可用“For”语句表示．“For”语句的一般形式为For I From“初值”To“终值”Step“步长”循环体End For[提醒] 上面“For”和“End For”之间缩进的步骤称为循环体，如果省略“Step步长”，那么重复循环时，I每次增加1.②不论循环次数是否确定都可以用下面循环语句来实现循环结构当型和直到型两种语句结构．当型语句的一般格式是While p循环体End While，直到型语句的一般格式是Do循环体Until p End Do.[小题体验]1．For语句的一般格式为：For I From a To b Step c，其中a的意义是________．解析：根据“For”语句的意义可知，I为循环变量，a为I的初始值，b为I的终值．答案：循环变量初始值2．如图是一个算法流程图，则输出的S的值为________．解析：经过第一次循环后得S＝11，n＝3，此时S＞n；进行第二次循环后得S＝8，n＝5，此时S＞n；进行第三次循环后得S＝3，n＝7，此时S＜n，退出循环，故S＝3.答案：31．易混淆处理框与输入框，处理框主要是赋值、计算，而输入框只是表示一个算法输入的信息．2．易忽视循环结构中必有选择结构，其作用是控制循环进程，避免进入“死循环”，是循环结构必不可少的一部分．3．易混淆当型循环与直到型循环．直到型循环是“先循环，后判断，条件满足时终止循环”；而当型循环则是“先判断，后循环，条件满足时执行循环”；两者的判断框内的条件表述在解决同一问题时是不同的，它们恰好相反．[小题纠偏]1．执行如图所示的算法流程图，则输出S的值是________．解析：初始值S＝2，n＝1，不满足条件n＞8，第一次循环：S＝12，n＝2；第二次循环：S＝－1，n＝3；第三次循环：S＝2，n＝4；第四次循环：S ＝12，n ＝5，故此循环的S 值呈周期性出现，且周期为3，若n ＞8，则需n ＝9，应循环8次，故结束循环时应输出S 的值为－1.答案：－12．(2018·常州期末)执行如图所示的流程图，若输入a ＝27，则输出b 的值为________．解析：将a ，b ，|b －a |值列表：第一次 第二次 第三次 第四次 a27 9 3 1 b9 3 1 13 |a －b |18＞1 6＞1 2＞1 23＜1 判断 进入循环 进入循环 进入循环退出循环 所以输出b 的值为13. 答案：13考点一 算法流程图 基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．如图所示的流程图中输出S 的值为________．解析：该流程图的功能是求半径为r 的圆的面积．由r ＝5得S ＝25π.答案：25π2．(2018·南京学情调研)运行如图所示的算法流程图，若输出y 的值为12，则输入x 的值为________． 解析：此算法程序表示一个分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ，x ≥0，log 2－x ，x ＜0，由f (x )＝12，得x ＝－ 2. 答案：－23．(2019·盐城模拟)运行如图所示的算法流程图，则输出S 的值为________．解析：运行算法流程图，S ＝1，k ＝2；S ＝5，k ＝4；S ＝21，k ＝6，不满足S ＜20，退出循环．故输出S 的值为21.答案：21[谨记通法]流程图的3个常用变量(1)计数变量：用来记录某个事件发生的次数，如i ←i ＋1.(2)累加变量：用来计算数据之和，如S ←S ＋i .(3)累乘变量：用来计算数据之积，如p ←p ×i .[提醒] 处理循环结构的框图问题，关键是理解并认清终止循环结构的条件及循环次数．考点二 算法的交汇性问题题点多变型考点——多角探明[锁定考向]算法是高考热点内容，算法的交汇性问题是高考的一大亮点． 常见的命题角度有：(1)与三角函数的交汇问题；(2)与数列的交汇问题；(3)与函数或不等式的交汇问题．[题点全练]角度一：与三角函数的交汇问题1．(2019·镇江调研)给出一个算法的流程图，若a ＝sin θ，b ＝cos θ，c ＝tan θ，其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，则输出的结果是________．解析：∵ θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2， ∴a ＝sin θ，b ＝cos θ，c ＝tan θ的大小关系是：c ＞a ＞b ，∴执行第一个选择结构后，由于sin θ＞cos θ，∴a ＝b ，此时a ＝cos θ，∴执行第二个选择结构后，由于tan θ＞cos θ，则输出a ＝cos θ.答案：cos θ角度二：与数列的交汇问题2.执行如图所示的流程图，如果输入n ＝3，则输出的S ＝________.解析：第一次循环：S ＝11×3，i ＝2；第二次循环：S ＝11×3＋13×5，i ＝3； 第三次循环：S ＝11×3＋13×5＋15×7，i ＝4， 满足循环条件，结束循环．故输出S ＝11×3＋13×5＋15×7＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋15－17＝37. 答案：37角度三：与函数或不等式的交汇问题3．如图所示的流程图中，若f (x )＝x 2－x ＋1，g (x )＝x ＋4，且h (x )≥m 恒成立，则m 的最大值是________．解析：h (x )≥m 恒成立，只需m ≤h (x )min ，由流程图可知，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ f x ，f x ＞g x g x ，f x ≤g x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＋1，x ＜－1或x ＞3，x ＋4，－1≤x ≤3，而h (x )的值域为[3，＋∞)，所以m ≤3，即m 的最大值是3.答案：3[通法在握]解决算法交汇问题的关键点(1)读懂流程图，明确交汇知识；(2)根据给出问题与流程图处理问题；(3)注意框图中结构的判断．[演练冲关]1．阅读下边的流程图，如果输出的函数值在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12内，那么输入实数x 的取值范围为________．解析：由流程图可得分段函数：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ，－2≤x ≤2，2，x ＜－2或x ＞2，所以令2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12，则x ∈[－2，－1]．答案：[－2，－1]2．阅读如图所示的算法流程图，若输入的n是30，则输出的变量S 的值是________．解析：根据算法流程图知，当n ＝30时，n＞2，S ＝30，n ＝28；当n ＝28时，n ＞2，S ＝58，n ＝26；……；当n ＝2时，S ＝30＋28＋26＋…＋2＝1530＋22＝240，n ＝0.当n ＝0时，n ＜2，输出S ＝240. 答案：240考点三 基本算法语句 重点保分型考点——师生共研[典例引领]1．(2018·苏锡常镇调研)如图是给出的一种算法，则该算法输出的结果是________．T←1I←2While I≤4T←T×II←I＋1End WhilePrint T解析：该程序的作用是累乘并输出满足条件T＝1×2×3×4＝24.答案：242．(2019·南京四校联考)阅读下列两个程序：则输出结果较大的是________．(填甲或乙)解析：对于甲，S＝0＋1＋2＋…＋500＝125 250；对于乙，S ＝0＋600＋599＋…＋300＝135 450，故输出结果较大的是乙．答案：乙3．运行如图所示的伪代码，则输出K的值是________．X←3K←0DoX←2X＋1K←K＋1Until X＞16End DoPrint K解析：第一次循环，X＝7，K＝1；第二次循环，X＝15，K＝2；第三次循环，X＝31，K＝3；终止循环，输出K的值是3.答案：3[由题悟法]算法语句应用的4个关注点(1)输入语句可以同时给多个变量赋值，在给多个变量赋值时，变量之间要用“逗号”隔开，如“Read x，y，z”．(2)输出语句可以输出常量、变量或表达式的值，也可以输出多个结果，如“Print x，y”表示依次输出结果x，y.(3)条件语句必须以If语句开始，以End If语句结束，一个If语句必须和一个End If语句对应.(4)“For”语句的一般形式中Step“步长”为1时“Step 1”可省略，否则不能省略．[即时应用]1．根据如图所示的伪代码，最后输出S的值为________．S←0For I From 1 To 10S←S＋IEnd ForPrint S解析：该伪代码是1＋2＋3＋…＋10的求和，所以输出S的值为55.答案：552．根据如图所示的伪代码，可以输出的结果S为________．I ←1DoI ←I ＋2S ←2I ＋3Until I ≥8End DoPrint S解析：I ＝1，第一次循环I ＝3，S ＝9；第二次循环I ＝5，S ＝13；第三次循环I ＝7，S ＝17；第四次循环I ＝9，S ＝21；退出循环，故输出的结果为21.答案：21一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·金陵中学月考)如图所示的伪代码中，若输入x 的值为－4，则输出y 的值为________．Read x If x ＞3 Theny ←|x －3|Elsey ←2xEnd IfPrint y解析：由框图知：算法的功能是求y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ |x －3|， x ＞3，2x ， x ≤3的值，当输入x ＝－4时，执行y ＝2－4＝116. 答案：1162．(2018·南京三模)执行如图所示的伪代码，输出的结果是________．解析：S＝1×3×5×…×I＞200的I＋2的值，∵S＝1×3×5×7＝105＜200，S＝1×3×5×7×9＝945＞200，∴输出的I＝9＋2＝11.答案：113．运行如图所示的伪代码，则输出的结果为________．i←0S←0Doi←i＋2S←S＋i2Until i≥6End DoPrint S解析：i＝2时，S＝4；i＝4时，S＝20；i＝6时，S＝56，这时退出循环体，输出S＝56.答案：564．(2019·苏州高三调研)秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的流程图是秦九韶算法的一个实例．若输入n ，x 的值分别为3,3，则输出的v 的值为________．解析：运行该流程图，n ＝3，x ＝3，v ＝1，i ＝2；v ＝5，i ＝1；v ＝16，i ＝0；v ＝48，i ＝－1，循环结束．故输出的v 的值为48.答案：485．(2019·海安中学测试)运行如图所示的流程图，则输出的结果S 为________．解析：运行该流程图，i ＝1时，S ＝1－12＝ 12； i ＝2时，S ＝1－2＝－1；i ＝3时，S ＝1－(－1)＝2；i ＝4时，S ＝1－12＝12； …∴变量S 的值是以3为周期在变化，当i ＝2 017时，S ＝12， i ＝2 018时退出循环，故输出S ＝12. 答案：126．(2018·镇江调研)如图伪代码中，输入15,18，则伪代码执行的结果是________．Read a，bIf a＜b Thent←aa←bb←tEnd IfPrint a，b解析：a＝15，b＝18，因为15＜18，所以t＝15，a＝18，b ＝15；因为18＜15不成立，所以输出18,15.答案：18,15二保高考，全练题型做到高考达标1．(2019·徐州调研)运行如图所示的流程图，则输出的n的值是________．解析：模拟该算法流程图运行过程，如下：n＝0时，A＝30－20＝0；n＝2时，A＝32－22＝5；n＝4时，A＝34－24＝65；n＝6时，A＝36－26＝665；n＝8时，A＝38－28＝6 305＞1 000，终止循环，输出n＝8.答案：82．执行如图所示的流程图，输出的x值为________．解析：首先a ＝2是固定的值．列表如下：答案：63．(2019·南京模拟)根据如图所示的伪代码，可知输出的S 的值为________．解析：运行该算法，S 5；S ＝5，I ＝2；S ＝7，I ＝－1，终止循环．故输出的S 的值为7.答案：74．(2018·扬州期末)执行如图所示的程序框图，输出的s 值为________．解析：模拟执行如图所示的程序框图，如下：n ＝0，s ＝1；n＝1，s ＝3；n ＝2，s ＝53；n ＝3，s ＝115，此时终止循环，输出s ＝115.答案：1155．如果执行如图所示的流程图，那么输出的S ＝________. 解析：这个程序是计算－2＋0＋2＋4＋…＋100的算法，由等差数列求和公式可知：结果为－2＋100×522＝2 548.答案：2 5486．(2019·苏北四市质检)如图是一个算法的伪代码，运行后输出的b 的值为________． a ←0b ←1I ←2While I ≤6 a ←a ＋bb ←a ＋bI ←I ＋2End WhilePrint b解析：a ＝1，b ＝2，I 6；a ＝8，b ＝13，I ＝8，结束运行．故输出的b 的值为13.答案：137．(2019·宿迁中学调研)根据如图所示的算法流程图，可知输出的结果S 为________．解析：根据如图所示的算法流程图，可知该程序的功能是：计算并输出S ＝11×2＋12×3＋13×4的值，所以S ＝⎝⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＝34. 答案：348．如图是一个算法流程图，则输出的S 的值是________．解析：该流程图运行2 019次，所以输出的S ＝cos π3＋cos 2π3＋cos π＋…＋cos 2 017π3＋cos 2 018π3＋cos 2 019π3＝336⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3＋cos 2π3＋cos π＋…＋cos 6π3＋cos π3＋cos 2π3＋cos π＝－1.答案：－19．执行如图所示的流程图，则输出的S 值为________([x ]表示不超过x 的最大整数)．解析：n ＝1，S ＝1，n ＝1不满足判断框中的条件；n ＝2，S ＝2，n ＝2不满足判断框中的条件；n ＝3，S ＝3，n ＝3不满足判断框中的条件；n ＝4，S ＝5，n ＝4不满足判断框中的条件；n ＝5，S ＝7，n ＝5满足判断框中的条件，所以输出的结果为7.答案：710．(2019·泰州学情调研)如图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是________．解析：第一次执行循环体后，S ＝12，n ＝2，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体后，S ＝1＋32，n ＝3，不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后，S ＝1＋32＋1，n ＝4，满足退出循环的条件，故输出n 的值是4.答案：4。
第10章算法初步、推理与证明10.1 算法的含义与流程图考纲要求1．了解算法的含义和算法的基本思想．2．了解流程图中的三种基本的算法结构：顺序结构、选择结构和循环结构，并能解决相关的简单问题．1．算法(1)定义：一般而言，对一类问题的________、________求解方法称为算法．(2)找到了某种算法是指使用一系列运算规则能在______求解某类问题，其中的每条规则必须是__________、________.(3)算法从初始步骤开始，每一个步骤只能有________的后继步骤，从而组成一个步骤序列，序列的终止表示问题得到________或指出问题____________．2．流程图定义：流程图是由一些________和流程线组成的，其中图框表示各种__________，图框中的文字和符号表示__________，流程线表示__________．3．三种基本逻辑结构(1)顺序结构是由__________________组成的，这是任何一个算法都离不开的基本结构．其结构形式为(2)选择结构是指算法的流程根据给定的条件是否成立而选择执行不同的流向的结构形式，也称为分支结构．其结构形式为(3)循环结构是指在算法中，需要________________的结构．反复执行的处理步骤称为________．循环结构又分为__________和__________．其结构形式为1．已知一个学生的语文成绩为89，数学成绩为96，外语成绩为99，求他的总分和平均成绩的一个算法为：S1令A←89，B←96，C←99；S2____________________；S3____________________；S4输出计算的结果．2．如图所表示的算法功能是________，输出结果为i＝________，i＋2＝________.(第2题图) (第3题图)3．某算法的流程图如图所示，则输出量y与输入量x满足的关系式是__________．4．如图是求函数值的流程图，当输出y的值为1时，则输入的x的值为__________．(第4题图) (第5题图)5．在如图所示的流程图中，输出的结果是__________．1．如何正确画出流程图？提示：在画流程图时首先要进行结构的选择．若所要解决的问题不需要分情况讨论，只用顺序结构就能解决；若所要解决的问题要分若干种情况讨论时，就必须引入选择结构；若所要解决的问题要进行许多重复的步骤，且这些步骤之间又有相同的规律时，就必须引入变量，应用循环结构．2．选择结构的主要作用是什么？提示：分类是算法中经常发生的事情，选择结构的主要作用就是表示分类．在分类不止两类的情况下通常用在选择结构中“嵌套”选择结构的方法去实现．一、算法的设计【例1】已知点P(x0，y0)和直线l：Ax＋By＋C＝0，求点P(x0，y0)到直线l的距离d，写出其算法并画出流程图．方法提炼设计算法应注意：(1)认真分析问题，联系解决此问题的一般数学方法；(2)综合考虑此类问题中可能涉及的各种情况；(3)将解决问题的过程划分为若干个步骤；(4)用简练的语言将各个步骤表示出来．请做针对训练3二、算法的选择结构【例2】如图是一个算法的流程图，当输入的值为3时，输出的结果为__________．方法提炼利用选择结构解决算法问题时，要引入判断框，要根据题目的要求引入一个或多个判断框．而判断框内的条件不同，对应的下一图框中的内容和操作要相应地进行变化，故要逐个分析判断框内的条件．请做针对训练2三、算法的循环结构【例3】(2012江苏南京高三模拟)在如图所示的流程图中，若输入n 的值为11，则输出A 的值为__________．方法提炼利用循环结构表示算法，第一要确定是利用当型循环结构，还是直到型循环结构；第二要选择准确的表示累加的变量；第三要注意在哪一步开始循环．请做针对训练1对流程图的考查有两种常见题型：一是补齐流程图的条件；二是理解流程图的功能，得到输出结果．因此，读懂流程图是解答本节内容的关键．分析江苏近三年的试卷，每年都有一道算法的填空题．要求理解流程图的功能，得到输出结果，难度不大．1．流程图如图所示，如果输入x ＝5，则输出的结果为________．2．已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －1，x >0，0，x ＝0，1，x <0.写出求该函数的函数值的算法及流程图．3．计算下面梯形的面积：上底为3，下底为7，高为6，试设计该问题的算法，并画出流程图．参考答案基础梳理自测知识梳理1．(1)机械的 统一的(2)有限步骤内 明确定义的 可行的(3)一个确定 解答 没有解答2．图框 操作的类型 操作的内容 操作的先后次序3．(1)若干个依次执行的处理步骤(3)重复执行同一操作 循环体 当型循环 直到型循环 基础自测1．计算总分D ←A ＋B ＋C 计算平均成绩E ←D 32．求积是624的相邻两个偶数 24 263．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x －2，x >1，2x ，x ≤14．1 解析：若x ＜0，得x ＝2，不成立．若x ≥0，得x ＝1，所以x ＝1.5．20考点探究突破【例1】 解：算法如下：第一步 输入x 0，y 0及直线方程的系数A ，B ，C ；第二步 计算Z 1＝Ax 0＋By 0＋C ；第三步 计算Z 2＝A 2＋B 2；第四步 计算d ＝|Z 1|Z 2； 第五步 输出d .流程图如图所示．【例2】10 解析：∵3＜5，∴执行流程图中的“Y”，即y ＝32＋1＝10.【例3】13 解析：经计算A 值是以－3，－12，13，2为一个周期循环的，当i ＝10时，A ＝－12，10＜11；i ＝11，A ＝13，退出循环，输出A ＝13. 演练巩固提升针对训练1．325 解析：第1次运行后，x ＝5×3－2＝13＜200；第2次运行后，x ＝13×3－2＝37＜200；第3次运行后，x ＝37×3－2＝109＜200；第4次运行后，x ＝109×3－2＝325＞200，故输出的结果为325.2．解：算法如下：S1 输入x ；S2 如果x ＞0，则y ←－1，如果x ＝0，则y ←0，如果x ＜0，则y ←1；S3 输出函数值y .流程图如下图所示．3．解：算法如下：S1 输入a ，b ，h ；S2 S ＝12(a ＋b )·h ；S3 输出S .流程图为：。
2013年高考数学一轮复习精品教学案13.1 算法与程序框图（新课标人教版，教师版）【考纲解读】1．算法的含义、程序框图（1）了解算法的含义，了解算法的思想．（2）理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环．2．基本算法语句理解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义．【考点预测】高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为:1.算法与程序框图是历年来高考重点内容之一,经常以选择题或填空题的形式考查,难度不大，经常与数列、函数等知识结合在一起考查，在考查算法与程序框图的同时，又考查转化与化归思想等数学思想，以及识图能力、分析问题与解决问题的能力.2.2013年的高考将会继续保持稳定,坚持考查算法与程序框图,命题形式会更加灵活.【要点梳理】1.算法通常是指可以用计算机来解决的某一类问题的程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成．2．程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形．通常程序框图由程序框和流程线组成，一个或几个程序框的组合表示算法中的一个步骤，流程线带方向箭头，按照算法进行的顺序将程序框连接起来．3．三种基本逻辑结构(1)顺序结构是由若干个依次执行的处理步骤组成的，这是任何一个算法都离不开的基本结构．其结构形式为(2)条件结构是指算法的流程根据给定的条件是否成立而选择执行不同的流向的结构形式．其结构形式为(3)循环结构是指从某处开始，按照一定条件反复执行处理某一步骤的情况．反复执行的处理步骤称为循环体．循环结构又分为当型(WHILE型)和直到型(UNTIL型)．其结构形式为4．输入语句、输出语句、赋值语句的格式与功能语句一般格式功能输入语句INPUT“提示内容”；变量输入信息输出语句PRINT“提示内容”；表达式输出常量、变量的值和系统信息赋值语句变量＝表达式将表达式代表的值赋给变量5.条件语句(1)程序框图中的条件结构与条件语句相对应．(2)条件语句的格式及框图①IF－THEN格式②IF－THEN－ELSE格式6．循环语句(1)程序框图中的循环结构与循环语句相对应．(2)循环语句的格式及框图．①UNTIL语句②WHILE语句【例题精析】考点一程序框图例1.(2012年高考广东卷文科9)执行如图2所示的程序框图，若输入n的值为6，则输出s的值为（）A.105B.16C.15D.1【变式训练】1.(2012年高考山东卷文科7)执行右面的程序框图，如果输入a ＝4，那么输出的n 的值为（ ）(A)2 (B)3 (C)4 (D)5 【答案】B【解析】当4=a 时，第一次1,3,140====n Q P ，第二次2,7,441====n Q P ，第三次3,15,1642====n Q P ，此时QP <不满足，输出3=n ，选B.考点二 算法语句例2.(2011年高考福建卷理科11)运行如图所示的程序，输出的结果是_______.【答案】3【解析】a ＝1，b ＝2，把1与2的和赋给a ，即a ＝3，输出的结果是3.【名师点睛】本小题主要考查算法语句, 解决算法语句有三个步骤，首先通读全部语句，把它翻译成数学问题；其次领悟该语句的功能；最后根据语句的功能运行程序.【变式训练】2.(2011年高考安徽卷江苏4)根据如图所示的伪代码，当输入ba,分别为2，3时，最后输出的m的值是________Read a，bIf a>b Thenm←aElsem←bEnd IfPrint m【答案】3【解析】因为输入ba,分别为2，3,所以a<b,故m=3.【易错专区】问题：算到哪一步例.（2012年高考辽宁卷10）执行如图所示的程序框图，则输出的S的值是( )(A) 4 (B) 3 2(C) 23(D) -1【答案】D【解析】根据程序框图可计算得24,1;1,2;,3;3s i s i s i===-===3,4;4,5;1,6,2s i s i s i =====-=，故选D.【名师点睛】本小题主要考查了程序框图中的循环结构、以及运算求解能力，属于中档题.此类题目如果数值较少也可直接算出结果，如果数值很多需要通过计算确定出周期再根据周期确定最后的结果。
高中数学《算法初步复习课》教案新人教版必修一、教学目标1. 理解算法的基本概念和性质。
2. 掌握算法的步骤和算法的表示方法。
3. 能够分析算法的效率和应用。
4. 培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。
二、教学内容1. 算法的基本概念：算法、输入、输出、有穷性、确定性。
2. 算法的步骤：顺序结构、选择结构、循环结构。
3. 算法的表示方法：流程图、伪代码。
4. 算法的效率：时间复杂度、空间复杂度。
5. 算法的应用：排序算法、查找算法。
三、教学重点与难点1. 教学重点：算法的基本概念、算法的步骤、算法的表示方法、算法的效率。
2. 教学难点：算法的效率分析、排序算法和查找算法的应用。
四、教学方法1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生通过问题解决来学习算法。
2. 使用案例分析和实例演示，帮助学生理解算法的概念和应用。
3. 利用流程图和伪代码，培养学生表达和设计算法的能力。
4. 组织学生进行小组讨论和合作学习，促进学生之间的交流和思考。
五、教学过程1. 导入：通过引入生活中的算法问题，激发学生的兴趣和思考。
2. 讲解算法的基本概念，引导学生理解算法的定义和性质。
3. 演示算法的步骤，通过实例讲解顺序结构、选择结构和循环结构的应用。
4. 介绍算法的表示方法，讲解流程图和伪代码的绘制和理解。
5. 分析算法的效率，讲解时间复杂度和空间复杂度的概念和计算方法。
6. 应用实例：讲解排序算法和查找算法的原理和实现。
7. 练习与讨论：学生独立完成练习题，并进行小组讨论和解答。
8. 总结与评价：总结本节课的重点内容，进行课堂评价和反馈。
9. 作业布置：布置相关的练习题，巩固所学内容。
10. 课后反思：教师进行课后反思，总结教学效果和学生的学习情况，为下一步的教学做好准备。
六、教学评估1. 课堂讲解评估：观察学生对算法概念的理解程度，以及对算法步骤和表示方法的掌握情况。
2. 练习题评估：通过学生完成的练习题，评估学生对算法效率和应用的理解和应用能力。
高考数学《算法初步》专题程序框图学案（1）程序构图的概念：程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形。
一个程序框图包括以下几部分：表示相应操作的程序框；带箭头的流程线；程序框外必要文（2）构成程序框的图形符号及其作用程序框名称功能起止框表示一个算法的起始和结束，是任何流程图不可少的。
输入、输出框表示一个算法输入和输出的信息，可用在算法中任何需要输入、输出的位置。
处理框赋值、计算，算法中处理数据需要的算式、公式等分别写在不同的用以处理数据的处理框内。
判断框判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明“是”或“Y”；不成立时标明“否”或“N”。
学习这部分知识的时候，要掌握各个图形的形状、作用及使用规则，画程序框图的规则如下：1、使用标准的图形符号。
2、框图一般按从上到下、从左到右的方向画。
3、除判断框外，大多数流程图符号只有一个进入点和一个退出点。
判断框具有超过一个退出点的唯一符号。
4、判断框分两大类，一类判断框“是”与“否”两分支的判断，而且有且仅有两个结果；另一类是多分支判断，有几种不同的结果。
5、在图形符号内描述的语言要非常简练清楚。
（3）、算法的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构顺序结构：顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间是按从上到下的顺序进行的，它是由若干个依次执行的处理步骤组成的，它是任何一个算法都离不开的一种基本算法结构。
顺序结构在程序框图中的体现就是用流程线将程序框自上而下地连接起来，按顺序执行算法步骤。
如在示意图中，A框和B 框是依次执行的，只有在执行完A框指定的操作后，才能接着执行B框所指定的操作.典型例题A B基础过关例1. 如果学生的成绩大于或等于60分，则输出“及格”，否则输出“不及格”.用程序框图表示这一算法过程.解:变式训练1：画出解不等式ax+b>0（b≠0）的程序框图.解：例2. 设计一个计算1+2+3+…+100的值的算法,并画出相应的程序框图.(要求用循环结构)解：第一步:设i的值为1;第二步:设sum的值为0;第三步:如果i≤100执行第四步,否则转去执行第七步;第四步:计算sum＋i并将结果代替sum;例2.变式训练1开始输入a，b，ca>bmax:=b max:=ac>maxmax:=c输出max是否否是第五步:计算i＋1并将结果代替i;第六步:转去执行第三步;第七步:输出sum的值并结束算法.变式训练2：阅读右面的流程图，输出max的含义是___________________________。
13.4 算法与程序框图1．算法与流程图(1)算法的定义：一般而言，对一类问题的机械的、统一的求解方法称为算法．(2)流程图①流程图是由一些图框和流程线组成的，其中图框表示各种操作的类型，图框中的文字和符号表示操作内容，流程线表示操作的先后次序．②基本的图框有起止框、输入、输出框、处理框、判断框．(3)三种基本逻辑结构：名称内容顺序结构条件结构循环结构定义由若干个依次执行的步骤组成的，这是任何一个算法都离不开的基本结构算法的流程根据条件是否成立有不同的流向，条件结构就是处理这种过程的结构从某处开始，按照一定的条件反复执行某些步骤的情况，反复执行的步骤称为循环体流程图2．基本算法语句(1)输入、输出、赋值语句的格式与功能：语句一般格式功能输入INPUT“提示内输入信息语句容”；变量输出语句PRINT“提示内容”；表达式输出常量、变量的值和系统信息赋值语句变量＝表达式将表达式所代表的值赋给变量(2)条件语句的格式及框图：①IF－THEN格式：②IF－THEN－ELSE格式：(3)循环语句的格式及框图：①UNTIL语句：②WHILE语句：1．易混淆处理框与输入框，处理框主要是赋值、计算，而输入框只是表示一个算法输入的信息．2．易忽视循环结构中必有条件结构，其作用是控制循环进程，避免进入“死循环”，是循环结构必不可少的一部分．3．易混淆当型循环与直到型循环．直到型循环是“先循环，后判断，条件满足时终止循环”；而当型循环则是“先判断，后循环，条件满足时执行循环”；两者的判断框内的条件表述在解决同一问题时是不同的，它们恰好相反．『试一试』1．执行如图所示的算法流程图，若输入x＝2，则输出y的值为________．『解析』第一次循环后：x＝5，y＝14；第二次循环后：x＝14，y＝41，此时|x－y|>9，终止循环，故输出y的值为41.『答案』412．如图是一个算法流程图，则输出的k的值是________．『解析』法一：根据流程图可知，k＝1时，12－1×6＋5≤0；k＝2时，22－2×6＋5≤0；k ＝3时，32－3×6＋5≤0；k＝4时，42－4×6＋5≤0；k＝5时，52－5×6＋5≤0；k＝6时，62－6×6＋5>0，故输出的k的值是6.法二：只需求出不满足k2－6k＋5≤0的最小正整数k就行，显然是6.『答案』6识别算法流程图运行和完善流程图的步骤识别运行算法流程图和完善流程图是高考的热点．解答这一类问题，第一，要明确流程图的顺序结构、条件结构和循环结构；第二，要识别运行流程图，理解框图所解决的实际问题；第三，按照题目的要求完成解答．对流程图的考查常与数列和函数等知识相结合，进一步强化框图问题的实际背景．『练一练』1．(2014·深圳调研)若执行图中的框图，输入N＝13，则输出的数等于________．『解析』由题意知，输出的S ＝11×2＋12×3＋…＋112×13＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(112－113)＝1－113＝1213.『答案』12132．运行如图所示的流程图，若输出的结果是62，则判断框中整数M 的值是________．『解析』因为0＋21＋22＋23＋24＋25＝2－261－2＝62，结合题所给的框图可知，M ＝5. 『答案』5考点一算法的基本结构1．(2012·江苏高考)下图是一个算法流程图，则输出的k 的值是________．『解析』由k 2－5k ＋4＞0得k ＞4或k ＜1，从而k ＝5.『答案』52．(2013·安徽高考改编)如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果为________．『解析』第一次循环后：s ＝0＋12，n ＝4；第二次循环后：s ＝0＋12＋14，n ＝6；第三次循环后：s ＝0＋12＋14＋16，n ＝8，跳出循环，输出s ＝0＋12＋14＋16＝1112.『答案』11123．(2014·南昌模拟)若如下框图所给的程序运行结果为S ＝20，那么判断框中应填入的关于k 的条件是________．『解析』据流程框图可得当k ＝9时，S ＝11；k ＝8时，S ＝11＋9＝20. ∴应填入“k >8”． 『答案』k >8『备课札记』 『类题通法』1．解决流程框图问题要注意几个常用变量：(1)计数变量：用来记录某个事件发生的次数，如i ＝i ＋1. (2)累加变量：用来计算数据之和，如S ＝S ＋i . (3)累乘变量：用来计算数据之积，如p ＝p ×i .2．处理循环结构的框图问题，关键是理解并认清终止循环结构的条件及循环次数．考点二算法的交汇性问题算法是高考热点内容之一，算法的交汇性问题是新课标高考的一大亮点，归纳起来常见的命题角度有： 1与统计的交汇问题； 2与函数的交汇问题；3与概率的交汇问题.角度一 与统计的交汇问题1．(2014·荆州模拟)图(1)是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到第14次的考试成绩依次记为A 1，A 2，…，A 14.图(2)是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图．那么算法流程图输出的结果是________．『解析』从算法流程图可知，该图是统计成绩大于或等于90分的考试次数．从茎叶图可知输出的结果为10.『答案』10角度二 与函数的交汇问题2．(2014·北京海淀模拟)执行如图所示的算法流程图，输出的k 值是________．『解析』开始将n ＝5代进框图，5为奇数，∴n ＝3×5＋1＝16，此时k ＝1.此后n 为偶数，则代入n ＝n2中，因此，当k ＝1时，n ＝16；当k ＝2时，n ＝8；当k ＝3时，n ＝4；当k＝4时，n ＝2；当k ＝5时，n ＝1，输出k ＝5.『答案』5角度三 与概率的交汇问题3．如图是用模拟方法估计圆周率π值的流程图，P 表示估计结果，则图中空白框内应填入________．『解析』通过阅读题目和所给数据可知试验了1 000次．M 代表落在圆内的点的个数，根据几何概型，π4＝M 1 000，对应的圆周率π为P ＝4M1 000.『答案』P ＝4M1 000『备课札记』 『类题通法』解决算法的交汇性问题的方法 (1)读懂流程图、明确交汇知识； (2)根据给出问题与流程图处理问题； (3)注意框图中结构的判断．考点三基本算法语句『典例』 (2013·南京、盐城一模)如图是一算法的伪代码，执行此算法，最后输出的n 的值为________．n ←6s ←0While s <15 s ←s ＋n n ←n －1End While Print n『解析』由题知伪代码的运行情况如下：s＝0，n＝6；s＝6，n＝5；s＝11，n＝4；s ＝15，n＝3，此时退出循环，故最后输出的n＝3.『答案』3『备课札记』『类题通法』1．输入语句、输出语句和赋值语句基本对应于算法的顺序结构．2．在循环语句中也可以嵌套条件语句，甚至是循环语句，此时需要注意嵌套格式，这些语句需要保证算法的完整性，否则就会造成程序无法执行．『针对训练』运行下面的程序时，WHILE循环语句的执行次数是________．N←0WHILE N<20N←N＋1N←N*NWENDPRINT NEND『解析』0<20,1<20,2×2<20,5×5>20，程序结束，故WHILE循环语句共执行了3次．『答案』3『课堂练通考点』1．(2013·济南模拟)阅读算法流程图，运行相应的程序，输出的结果为________．『解析』逐次运行的结果是x＝1，y＝1，z＝2；x＝1，y＝2，z＝3；x＝2，y＝3，z＝5；x ＝3，y＝5，z＝8；x＝5，y＝8，z＝13；x＝8，y＝13，z＝21，此时输出的结果yx＝138.『答案』1382．(2014·福州模拟)执行如图所示的流程图，若输入的x 值为2，则输出的x 值为________．『解析』若输入的x ＝2，则x ＝22－1＝3，而3<126，故x ＝23－1＝7，而7<126，故x ＝27－1＝127.因为127>126，所以输出的x 值为127. 『答案』1273．(2013·广东高考改编)执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为4，则输出s 的值为________．『解析』第1次循环：s ＝1＋(1－1)＝1，i ＝1＋1＝2；第2次循环：s ＝1＋(2－1)＝2，i ＝2＋1＝3；第3次循环：s ＝2＋(3－1)＝4，i ＝3＋1＝4；第4次循环：s ＝4＋(4－1)＝7，i ＝4＋1＝5.循环终止，输出s 的值为7. 『答案』74．(2013·惠州模拟)如图所示是一个算法的流程图，则输出S 的值是________．『解析』由题意a 1＝1×cos π2＋1＝1，a 2＝2×cos 2π2＋1＝－1，a 3＝3×cos 3π2＋1＝1，a 4＝4×cos4π2＋1＝5，a5＝5×cos 5π2＋1＝1，a6＝6×cos6π2＋1＝－5，a7＝7×cos7π2＋1＝1，a8＝8×cos8π2＋1＝9，…，a2 009＝1，a2 010＝－2 009，a2 011＝1，a2 012＝2 013.故输出的S＝a1＋a2＋…＋a2 012＝503－(1＋5＋9＋…＋2 009)＋503＋(5＋9＋13＋…＋2 013)＝503－1＋503＋2 013＝3 018.『答案』3 018。
第十章 算法初步命题探究考纲解读考点内容解读 要求 五年高考统计 常考题型 预测热度 2013 2014 2015 2016 2017 算法初步 1.输入、输出值的求解2.循环条件的判断 A3题 5分 4题 5分 4题 5分 填空题 ★★★分析解读 算法是江苏高考的必考内容,以流程图为背景考查输入、输出值的求解,偶考伪代码为背景的输入、输出值的求解.五年高考考点 算法初步1.(2017课标全国Ⅱ文改编,10,5分)执行下面的程序框图,如果输入的a=-1,则输出的S= .答案 32.(2017课标全国Ⅰ理改编,8,5分)下面程序框图是为了求出满足3n -2n >1 000的最小偶数n,那么在和两个空白框中,可以分别填入 .答案A≤1 000和n=n+23.(2017北京文改编,3,5分)执行如图所示的程序框图,输出的s值为.答案4.(2017山东理改编,6,5分)执行两次下图所示的程序框图,若第一次输入的x的值为7,第二次输入的x的值为9,则第一次、第二次输出的a的值分别为.答案1,05.(2017天津理改编,3,5分)阅读下面的程序框图,运行相应的程序,若输入N的值为24,则输出N的值为.答案 26.(2016山东,11,5分)执行下边的程序框图,若输入n的值为3,则输出的S的值为.答案 17.(2016课标全国Ⅲ理改编,7,5分)执行下面的程序框图,如果输入的a=4,b=6,那么输出的n= .答案 48.(2016四川改编,8,5分)秦九韶是我国南宋时期的数学家,普州(现四川省安岳县)人,他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例,若输入n,x的值分别为3,2,则输出v的值为.答案189.(2016课标全国Ⅰ改编,10,5分)执行下面的程序框图,如果输入的x=0,y=1,n=1,则输出x,y的值分别为, .答案;611.(2014江苏,3,5分)如图是一个算法流程图,则输出的n的值是.答案 512.(2014课标Ⅰ改编,7,5分)执行下面的程序框图,若输入的a,b,k分别为1,2,3,则输出的M= .答案教师用书专用(13—23)13.(2016课标全国Ⅱ改编,9,5分)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法,下图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图,若输入的x=2,n=2,依次输入的a为2,2,5,则输出的s= .答案1714.(2015北京改编,3,5分)执行如图所示的程序框图,输出的结果为.答案(-4,0)15.(2015湖南改编,3,5分)执行如图所示的程序框图.如果输入n=3,则输出的S= .答案16.(2015陕西改编,8,5分)根据下边框图,当输入x为2 006时,输出的y= .答案1017.(2015课标Ⅱ改编,8,5分)下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图,若输入的a,b分别为14,18,则输出的a= .答案 218.(2014湖南改编,6,5分)执行如图所示的程序框图,如果输入的t∈[-2,2],则输出的S属于.答案[-3,6]19.(2013辽宁理改编,8,5分)执行如图所示的程序框图,若输入n=10,则输出S= .答案20.(2013浙江理改编,5,5分)某程序框图如图所示,若该程序运行后输出的值是,则a的取值范围为.答案4≤a<521.(2013安徽理改编,2,5分)如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是.答案23.(2013湖北理,12,5分)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果i= .答案 5三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点算法初步1.(2018江苏淮安宿迁高三期中)如图是一个算法流程图,则输出的i的值为.答案 3While S≤23.(2017江苏南京高淳质检,5)下图是一个算法的流程图,最后输出的k= .答案114.(2017江苏苏州暑期调研,6)下图是一个输出一列数的算法流程图,则这列数的第三项是.答案305.(2016江苏扬州期末,4)如图,若输入的x值为,则相应输出的值为.答案B组2016—2018年模拟·提升题组(满分:20分时间:10分钟)填空题(每小题5分,共20分)江苏海安中学测试)2.(2017江苏南京师范大学附中期中,6)下图是一个算法流程图,则输出k的值是.答案 63.(2017南京、盐城高三第一次模拟)如图是一个算法流程图,则输出的x的值是.答案91I+1C组2016—2018年模拟·方法题组方法1 流程图的求解技巧与方法1.执行如图所示的流程图,如果输出的a值大于2 014,当a取得最小值时,横线处应填入的是.答案 5方法2 破解算法语句问题的技巧与方法（江苏专）高考数学一轮复习第十章算法初步讲义11 / 11。
2013高考数学教案和学案(有答案)--第10章--学案54学案54几何概型导学目标：了解几何概型的意义．自主梳理1．几何概型设D是一个可度量的区域，每个基本事件可以视为从区域D内随机地取一点，区域D内的每一点被取到的机会都一样；随机事件A的发生可以视为恰好取到区域D内的某个指定区域d中的点．这时，事件A发生的概率与d的测度(长度、面积、体积等)成正比，与d的形状和位置无关，则称这样的概率模型为几何概型．2．几何概型中，事件A的概率计算公式：P(A)＝d的测度D的测度.3．古典概型与几何概型的区别(1)相同点：基本事件发生的可能性都是________；(2)不同点：古典概型的基本事件是有限个，是可数的；几何概型的基本事件是________，是不可数的．自我检测1．在长为12 cm的线段AB上任取一点M，并且以线段AM为边作正方形，则这个正方形的人员擦掉了，该工作人员声称他完全是无意中按错了键，使从此处起往后的所有内容都被擦掉了．那么由于按错了键使含有犯罪的内容的谈话被部分或全部擦掉的概率有多大？变式迁移1在半径为1的圆的一条直径上任取一点，过这个点作垂直于直径的弦，则弦长超过圆内接等边三角形边长的概率为________．探究点二与角度有关的几何概型例2如图所示，在等腰Rt△ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部作一条射线CM，与线段AB交于点M，求AM<AC的概率．变式迁移2若将例2题目改为：“在等腰Rt△ACB中，在斜边AB上任取一点M，求AM 的长小于AC的长的概率”，答案还一样吗？探究点三与面积有关的几何概型例3两人约定在20∶00到21∶00之间相见，并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的，在20∶00至21∶00各时刻相见的可能性是相等的，求两人在约定时间内相见的概率．变式迁移3甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的．如果甲船和乙船的停泊时间都是4小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率．分类讨论与数形结合思想例(14分)已知函数f(x)＝x2－2ax＋b2，a，b∈R.(1)若a从集合{0,1,2,3}中任取一个元素，b 从集合{0,1,2}中任取一个元素，求方程f(x)＝0有两个不相等实根的概率；(2)若a从区间[0,2]中任取一个数，b从区间[0,3]中任取一个数，求方程f(x)＝0没有实根的概率．【答题模板】解(1)∵a取集合{0,1,2,3}中任一个元素，b 取集合{0,1,2}中任一个元素，∴a，b的取值的情况有(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值，即基本事件总数为12.[3分]设“方程f(x)＝0有两个不相等的实根”为事件A，当a≥0，b≥0时，方程f(x)＝0有两个不相等实根的充要条件为a>b.当a>b时，a，b取值的情况有(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，即A包含的基本事件数为6，∴方程f(x)＝0有两个不相等实根的概率为P(A)＝612＝12.[7分](2)∵a从区间[0,2]中任取一个数，b从区间[0,3]中任取一个数，则试验的全部结果构成区域Ω＝{(a，b)|0≤a≤2,0≤b≤3}，这是一个矩形区域，其面积SΩ＝2×3＝6.[9分]设“方程f(x)＝0没有实根”为事件B，则事件B 所构成的区域为M ＝{(a ，b )|0≤a ≤2,0≤b ≤3，a <b }，即图中阴影部分的梯形，其面积S M ＝6－12×2×2＝4.[12分] 由几何概型的概率计算公式可得方程f (x )＝0没有实根的概率为P (B )＝S M S Ω＝46＝23.[14分] 【突破思维障碍】古典概型和几何概型的区别在于试验的全部结果是否有限，因此到底选用哪一种模型，关键是对试验的确认和分析．第(1)问关键是列举不重不漏隐含了分类讨论思想．第(2)问是几何概型问题，解决此问题的关键是将已知的两个条件转化为线性约束条件，从而转化成平面区域中的面积型几何概型问题，隐含了数形结合思想．【易错点剖析】1．计算古典概型的概率时，列举基本事件应不重不漏．2．计算几何概型的概率时，区域的几何度量要准确无误．1．几何概型：若一个试验具有两个特征：①每次试验的结果是无限多个，且全体结果可用一个有度量的几何区域来表示；②每次试验的各种结果是等可能的．那么这样的试验称为几何概型．2．由概率的几何定义可知，在几何概型中，“等可能”一词应理解为对应于每个试验结果的点落入某区域内的可能性大小仅与该区域的几何度量成正比，而与该区域的位置与形状无关．3．几何概型的概率公式：设几何概型的基本事件空间可表示成可度量的区域Ω，事件A所对应的区域用A表示(A⊆Ω)，则P(A)＝A的度量Ω的度量.(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．(2009·辽宁)ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为________．2．(2010·天津和平区一模)在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于S4的概率是__________________________________________ ________________________．3．(2010·山东临沂一中期末)已知正三棱锥S —ABC 的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P ，使得V P —ABC <12V S —ABC 的概率为________．4．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1内有一个内切球O ，则在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1内任取点M ，点M 在球O 内的概率是________．5．已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c ，其中0≤b ≤4,0≤c ≤4.记函数f (x )满足⎩⎨⎧f (2)≤12f (－1)≤3的事件为A ，则事件A 的概率为________．6．(2010·青岛一模)从集合{(x ，y )|x 2＋y 2≤4，x ∈R ，y ∈R}内任选一个元素(x ，y )，则x ，y 满足x ＋y ≥2的概率为________．7. 如图所示，半径为10 cm 的圆形纸板内有一个相同圆心的半径为1 cm 的小圆．现将半径为1 cm 的一枚硬币抛到此纸板上，使硬币整体随机落在纸板内，则硬币落下后与小圆无公共点的概率为________．8．(2010·济南模拟)在可行域内任取一点，规则如流程图所示，则能输出数对(x ，y )的概率是________．二、解答题(共42分)9．(14分) 已知等腰Rt△ABC中，∠C＝90°.(1)在线段BC上任取一点M，求使∠CAM<30°的概率；(2)在∠CAB内任作射线AM，求使∠CAM<30°的概率．10．(14分)甲、乙两艘轮船都要停靠在同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达．设甲乙两艘轮船停靠泊位的时间分别是4小时和6小时，求有一艘轮船停靠泊位时必须等待一段时间的概率．11．(14分)已知函数f(x)＝－x2＋ax－b.(1)若a，b都是从0,1,2,3,4五个数中任取的一个数，求上述函数有零点的概率；(2)若a，b都是从区间[0,4]任取的一个数，求f(1)>0成立时的概率．学案54 几何概型答案自主梳理3．(1)相等的 (2)无限个 自我检测1．14解析 ∵AM 2∈[36,81]，∴AM ∈[6,9]，∴P ＝9－612＝312＝14.2．13解析 在区间[－π2，π2]内，0<cos x <12⇔x ∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫－π2，－π3∪⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3，π2，其区间长度为π3，又已知区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π2，π2的长度为π.由几何概型知P ＝π3π＝13.3．13解析 当∠A ′OA ＝π3时，AA ′＝OA ，∴P ＝23π2π＝13.4．23解析 由|x |≤1，得－1≤x ≤1.由几何概型的概率求法知，所求的概率P ＝区间[－1，1]的长度区间[－1，2]的长度＝23.5．23解析 圆周上使弧AM 的长度为1的点M 有两个，设为M 1，M 2，则过A 的圆弧M 1M 2的长度为2，B 点落在优弧M 1M 2上就能使劣弧AB 的长度小于1，所以劣弧AB 的长度小于1的概率为23. 课堂活动区例1 解题导引 解决概率问题先判断概型，本题属于几何概型，满足两个条件：基本事件的无限性和每个基本事件发生的等可能性，需要抓住它的本质特征，即与长度有关．解 包含两个间谍谈话录音的部分在30 s 和40 s 之间，当按错键的时刻在这段时间之内时，部分被擦掉，当按错键的时刻在0到30 s 之间时全部被擦掉，即在0到40 s 之间，即0到23min之间的时间段内按错键时含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉，而0到30 min之间的时间段内任一时刻按错键的可能性是相等的，所以按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率只与从开始到谈话内容结束的时间段长度有关，符合几何概型的条件．记A＝{按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉}，A的发生就是在0到2 3min时间段内按错键．P(A)＝2330＝145.变式迁移112解析记“弦长超过圆内接等边三角形的边长”为事件A，如图所示，不妨在过等边三角形BCD 的顶点B的直径BE上任取一点F作垂直于直径的弦，当弦为CD时，就是等边三角形的边长，弦长大于CD的充要条件是圆心O到弦的距离小于OF，由几何概型的概率公式得P(A)＝12×22＝12.例2解题导引如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用角度来表示，则其概率公式为P(A)＝构成事件A的角度试验的全部结果所构成区域的角度.解在AB上取AC′＝AC，连结CC′，则∠ACC′＝180°－45°2＝67.5°.设A＝{在∠ACB内部作出一条射线CM，与线段AB交于点M，AM<AC}，则μΩ＝90°，μA＝67.5°，P(A)＝μAμΩ＝67.5°90°＝34.变式迁移2解不一样，这时M点可取遍AC′(长度与AC相等)上的点，故此事件的概率应为AC′长度AB长度＝22.例3解题导引解决此题的关键是将已知的两个条件转化为线性约束条件，从而转化成平面区域中与面积有关的几何概型问题．对于几何概型的应用题，关键是构造出随机事件A对应的几何图形，利用几何图形的度量来求随机事件的概率，根据实际问题的具体情况，合理设置参数，建立适当的坐标系，在此基础上将试验的每一个结果一一对应于该坐标系的一点，便可构造出度量区域．解 设两人分别于x 时和y 时到达约见地点，要使两人能在约定的时间范围内相见．当且仅当|x －y |≤23.两人在约定时间内到达约见地点的所有可能结果可用图中的单位正方形内(包括边界)的点来表示，两人在约定时间内相见的所有可能结果可用图中的阴影部分(包括边界)的点来表示．因此阴影部分与单位正方形的面积比就反映了两人在约定时间范围内相遇的可能性的大小，也就是所求的概率，即P ＝S 阴影部分S 单位正方形＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13212＝89.变式迁移3 解 设甲、乙两船到达时间分别为x 、y ，则0≤x ≤24,0≤y ≤24且y －x ≥4或y －x ≤－4.作出区域⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤24，0≤y ≤24，y －x ≥4或y －x ≤－4.设“两船无需等待码头空出”为事件A ，则P (A )＝S 阴影部分S 正方形＝2×12×20×2024×24＝2536.课后练习区1．1－π4解析 当以O 为圆心，1为半径作圆，则圆与长方形的公共区域内的点满足到点O 的距离小于或等于1，故所求事件的概率为P (A )＝μAμΩ＝S 长方形－S 半圆S 长方形＝1－π4.2．34解析 由于△ABC 、△PBC 有公共底边BC ，所以只需P 位于线段BA 靠近B 的四分之一分点E 与A 之间，即构成一个几何概型，∴所求的概率为|AE ||AB |＝34.3．78解析 当P 在三棱锥的中截面及下底面构成的正三棱台内时符合要求，由几何概型知，P ＝1－18＝78.4．π6解析 设正方体棱长为a ，则正方体的体积为a 3，内切球的体积为43π⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 23＝16πa 3，故M 在球O 内的概率为16πa 3a 3＝π6.5．58 解析满足0≤b ≤4,0≤c ≤4的区域的面积为4×4＝16，由⎩⎨⎧ f (2)≤12f (－1)≤3， 得⎩⎨⎧2b ＋c ≤8－b ＋c ≤2，其表示的区域如图中阴影部分所示，其面积为12×(2＋4)×2＋12×2×4＝10，故事件A 的概率为1016＝58.6．π－24π解析 即图中弓形面积占圆面积的比例，属面积型几何概型：π－24π.7．7781解析 由题意知，硬币的中心应落在距圆心2～9 cm 的圆环上，圆环的面积为π×92－π×22＝77π，故所求概率为77π81π＝7781.8．π4解析 根据题意易知输出数对(x ，y )的概率即为满足x 2＋y 2≤12的平面区域与不等式组⎩⎨⎧－1≤x ＋y ≤1，－1≤x －y ≤1所表示的平面区域面积的比，即P (A )＝π×122＝π4.9．解(1)设CM＝x，则0<x<a(不妨设BC ＝a)．若∠CAM<30°，则0<x<33a，故∠CAM<30°的概率为P(A)＝区间⎝⎛⎭⎪⎫0，33a的角度区间(0，a)的角度＝33.(7分)(2)设∠CAM＝θ，则0°<θ<45°.若∠CAM<30°，则0°<θ<30°，故∠CAM<30°的概率为P(B)＝区间(0°，30°)的长度区间(0°，45°)的长度＝23.(14分)10．解设事件A＝{有一艘轮船停靠泊位时必须等待一段时间}，以x轴和y轴分别表示甲、乙两船到达泊位的时间，则点(x，y)的所有可能结果是边长为24的正方形区域，如右图所示，由已知得事件A发生的条件是⎩⎪⎨⎪⎧x＋4≥y，y＋6≥x，0≤x≤24，0≤y≤24.(7分)作出这个二元一次不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分．∵S 正方形＝242＝576，S 阴影＝242－12×202－12×182＝214，(12分) ∴P (A )＝S 阴影S 正方形＝214576＝107288. 所以，甲、乙两船有一艘停靠泊位时必须等待一段时间的概率为107288.(14分) 11．解 (1)a ，b 都是从0,1,2,3,4五个数中任取的一个数的基本事件总数为N ＝5×5＝25(个)．(2分)函数有零点的条件为Δ＝a 2－4b ≥0，即a 2≥4b .因为事件“a 2≥4b ”包含(0,0)，(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，(4,0)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共12个．所以事件“a 2≥4b ”的概率为P ＝1225.(7分) (2)∵a ，b 都是从区间[0,4]上任取的一个数，f (1)＝－1＋a －b >0，∴a －b >1，此为几何概型，所以事件“f (1)>0”的概率为P ＝12×3×34×4＝9.(14分) 32。
