10.24---根习题自编

数轴穿根法一、概念简介1.“数轴标根法”又称“数轴穿根法”或“穿针引线法”2.准确的说，应该叫做“序轴标根法”。

序轴：省去原点和单位，只表示数的大小的数轴。

序轴上标出的两点中，左边的点表示的数比右边的点表示的数小。

3.是高次不等式的简单解法4.为了形象地体现正负值的变化规律，可以画一条浪线从右上方依次穿过每一根所对应的点，穿过最后一个点后就不再变方向，这种画法俗称“穿针引线法”二、方法步骤第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0。

（注意：一定要保证x前的系数为正数）例如：将x^3-2x^2-x+2>0化为(x-2)(x-1)(x+1)>0第二步：将不等号换成等号解出所有根。

例如：(x-2)(x-1)(x+1)=0的根为：x1=2，x2=1，x3=-1第三步：在数轴上从左到右依次标出各根。

例如：-1 1 2第四步：画穿根线：以数轴为标准，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过“次右根”上去，一上一下依次穿过各根。

第五步：观察不等号，如果不等号为“>”，则取数轴上方，穿根线以内的范围；如果不等号为“<”则取数轴下方，穿根线以内的范围。

x的次数若为偶数则不穿过，即奇过偶不过。

例如：若求(x-2)(x-1)(x+1)>0的根。

在数轴上标根得：-1 1 2画穿根线：由右上方开始穿根。

因为不等号为“>”则取数轴上方，穿跟线以内的范围。

即：-1<x<1或x>2。

（如下图所示）三、奇过偶不过就是当不等式中含有单独的x偶数幂项时，如(x^2)或(x^4)时，穿根线是不穿过0点的。

但是对于X奇数幂项，就要穿过0点了。

还有一种情况就是例如：（X-1)^2.当不等式里出现这种部分时，线是不穿过1点的。

但是对于如（X-1)^3的式子，穿根线要过1点。

也是奇过偶不过。

可以简单记为“奇穿过，偶弹回”，一称“奇穿偶切”。

（如图三，为（X-1)^2）四、注意事项运用序轴标根法解不等式时，常犯以下的错误：1．出现形如（a－x）的一次因式时，匆忙地“穿针引线”。

2018年秋九年级数学上册第24章一元二次方程24.3 一元二次方程根与系数的关系练习（新版）冀教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018年秋九年级数学上册第24章一元二次方程24.3 一元二次方程根与系数的关系练习（新版）冀教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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24．3 一元二次方程根与系数的关系＊知｜识｜目｜标1．经过探究,发现一元二次方程的两根之和以及两根之积与系数的关系．2．通过对一元二次方程根与系数之间的关系的理解，能够利用一元二次方程根与系数的关系解决简单的问题．目标一掌握一元二次方程根与系数的关系例1 教材补充例题若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0）的根，请你求出x1＋x2和x1·x2的值(用含a，b，c的代数式表示）．例2 教材例题针对训练根据一元二次方程根与系数的关系,求下列一元二次方程两根的和与积．(1)x2＋6x－5＝0；(2)2x2－12x＋1＝0;（3)3x2＋3＝6x.【归纳总结】利用一元二次方程根与系数的关系求两根的和与积的一般步骤（1)化方程为一般形式；(2)确定a，b，c的值及b2－4ac的符号；(3）当b2－4ac≥0时,利用根与系数的关系直接写出两根的和与积．目标二利用一元二次方程根与系数的关系求与两根有关的代数式的值例3 教材补充例题已知：x1，x2是方程2x2＋3x－1＝0的两个根，求下列代数式的值:(1）错误!＋错误!；(2)x12＋x22.【归纳总结】与一元二次方程的根有关的代数式的变形(1）x12＋x22＝（x1＋x2)2－2x1x2.(2）(x1－x2）2＝（x1＋x2）2－4x1x2.（3）（x1＋1)(x2＋1)＝x1x2＋（x1＋x2)＋1。

2014级九年级数学上二次根式的计算专题练习（国庆作业）届+辰冒届+阿.-应吨?（-""（2「品 2012?（皿2013-十爭，（皿0 -班级 学号家长 2辰X 普丰 1、姓名 成绩(価)2、(273+75)（时5-真）肯•岳”^9思唧8?萇孔_^-Vp io. (- 2)妝屆—必(4-V^)+2-忑-普（厶伍、Vo75-h/T2 -13、「■呵（-2） 2十（—1）「315、阅读下列材料，然后回答问题.在二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如3 [2^ 2_ 一样的式子，我们还可以将其进一步化简:Vs Vs Vs+i西出（ 3X3- 32（73-1） L .以上这种化简的步骤叫做分母有理化.还可以用以下方法化简：（2）化简：朮1烏府衍爲寸如1+烏-「12、余-（屈沁兀+仞「后+IQ 儿2=3-1 （Q 2 - 12 V3+1 Vs+i Vs+i Vs+i门）请用不同的方法化简：孑悬• （卯）W Q ]（四）14、（2V B +V6）（砸-屈 +丘（[-仞；（一）但=jV5 辰乂晶 5V3 V 2 _ 2X （伍-1]=_ 7^" （Q ）（V5-1）亠2014级九年级上解一元二次方程专题练习（国庆作业）班级学号家长姓名成绩、解方程:2 C CC (X—3) —9=02、2 2—10x+9=0 3、(2x - 1) =x (3x+2) - 72X +4x—2=05、2 (X—3) =3x (x —3) 6、x (2x+1 ) =8x—32 2(2X+3) —25=0 8、3x —5x+5=79、x (x+8) =1610、 2 2 2(X —3) +2x (X —3) =011、X —6x+9= (5 —2x) 12、(用配方法解)6x2- X- 12=04 213、阅读题：我们可以用换元法解简单的高次方程，入解方程X —3x +2=0可设解之得y1=2y2=1，当y1=2 时，即x2=2 则x1=J^、x2=—当y2=1时，即的解为x"、X2=—五, X3=1x4= —1，仿照上面完成下面解答：（1）已知方程（2x2+1）2—2x2—3=0，设y=2x2+1 ,则原方程可化为_2 2 22 2y=x，则原方程可化为y - 3y+2=0,2X =1，则X3=1、X4=- 1 ,故原方程14、注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路，填写表格，并完成本题解答的全过程；如果你选用其它的解题方案，此时，不必填写表格，只需按照解答题的一般要求，进行解答 15千米到李庄，甲比乙每小时多走 1千米，结果比乙早到半小时，问两人每小时各走几千米?(-2)X 5-4X 3=— 22.(1 )当m 在什么范围取值时，方程有两个实数根?(2)设方程有两个实数根 X 1, X 2,问m 为何值时,(3)若方程有两个实数根X 1 , X 2,问X 1和X 2能否同号？若能同号，请求出相应请说明理由.即可.甲、乙两人同时从张庄出发，步行 (1)设乙每小时走 x 千米，根据题意,利用速度、时间、 路程之间的关系填写表格;(2 )列出方程(组)，并求出问题的解.15、阅读材料：对于任何实数, 我们规定符号自的意义是C d自》=ad - be .例如:=1X 4 - 2X 3=- 2,-24 3 5(1)按照这个规定，请你计算 的值;(2)按照这个规定，请你计算:2x - 4x+4=0 时,K +1 2XK — 12K的值.216、关于X 的一元二次方程4x +4 2(m - 1) X+m =0 m 的取值范围；若不能同号,。

专题16.3二次根式的加减【十大题型】【人教版】【题型1判断同类二次根式】 (1)【题型2根据同类二次根式的概念求字母的取值】 (3)【题型3运用乘法公式和运算律简化二次根式的混合运算】 (5)【题型4比较二次根式的大小】 (8)【题型5已知字母的取值化简求值】 (10)【题型6已知条件式化简求值】 (12)【题型7与二次根式有关的整体代入求值问题】 (14)【题型8二次根式混合运算的实际应用】 (16)【题型9二次根式的新定义类问题】 (19)【题型10二次根式的阅读理解类问题】 (24)【知识点1同类二次根式】把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．①同类二次根式类似于整式中的同类项；②几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同；③判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同．【题型1判断同类二次根式】【例1】（2023·上海·八年级假期作业）判断下列各组的二次根式是否为同类二次根式？(1)24，48，(2)4，33o<0)，−2B3(<0)．【答案】(1)不是(2)不是【分析】根据二次根式性质化简后，结合同类二次根式定义判断即可得到答案．【详解】（1）解：∵24=26；48=43；12=6∴24，48，12（2）解：4J2；33=−3B(<0)；−2B3=2B(<0)；∴4，33，−2B3不是同类二次根式．【点睛】本题主要考查二次根属性及同类二次根式的概念，熟记二次根式性质先化简再判断是解决问题的关键．【变式1-1】（2023春·四川宜宾·）A．216B．125C．48D．32【答案】C【分析】先利用二次根式的性质化简，再根据同类二次根式的定义判断．=，216=66，125=55，48=43，32=42，是同类二次根式的是48，故选：C．【点睛】本题考查了二次根式的化简，同类二次根式的定义，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．【变式1-2】（2023春·上海·八年级期末）下列各式中，属于同类二次根式的是（）A．B与B2B．2与2C．3与D．与3【答案】C【分析】化简各选项后根据同类二次根式的定义判断．【详解】A、B与B2=的被开方数不同，所以它们不是同类二次根式；故本选项错误；B、2与2的被开方数不同，所以它们不是同类二次根式；故本选项错误；C、3与D、3是三次根式；故本选项错误．故选：C．【点睛】本题考查了同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．【变式1-3】（2023春·河南洛阳·八年级统考阶段练习）下列各式经过化简后与−−273不是同类二次根式的是（）A．273B C．D【答案】A【分析】同类二次根式是指化为最简二次根式后，被开方式相同的二次根式.【详解】解：−−273=-−3x⋅(3p2=-3x−3选项A：273=3δ(3x)2=3x3；选项B选项C：选项D−3.B、C、D中都含有−3，是同类二次根式，A不是，故选A.【点睛】本题考查了同类二次根式的概念.【题型2根据同类二次根式的概念求字母的取值】【例2】（2023·上海·八年级假期作业）若5+8与7是同类二次根式，求的最小正整数？【答案】=4【分析】5+8不一定是最简二次根式，从而由同类二次根式定义列出方程求解即可得到答案．【详解】解：由题意得：5+8=2×7（为正整数），∵2>0，则5+8>0，∴当=1时，5+8=7，解得=−0.2，不是正整数，舍去；当=2时，5+8=28，解得=4，符合题意，即的最小正整数为4．【点睛】本题主要考查同类二次根式的概念，此题中要注意前面一个二次根式并不是最简的，根据题意列出方程求解是解决问题的关键．【变式2-1】分别求出满足下列条件的字母a的取值：(1)若最简二次根式3与﹣8是同类二次根式；(2)若二次根式3与﹣8是同类二次根式．【答案】(1)=23(2)=223【分析】（1）根据同类二次根式的被开方数相同列出方程，通过解方程求得答案；（2）根据同类二次根式的被开方数相同列出方程，通过解方程求得答案．【详解】（1）∵﹣8＝﹣22，最简二次根式3与﹣8是同类二次根式，∴3a＝2，解得=23．（2）∵二次根式3与﹣8是同类二次根式，∴3a＝2n2，解得a＝223．【点睛】考查了同类二次根式和最简二次根式．同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．【变式2-2】（2023春·重庆綦江·八年级校考期中）最简二次根式2+1与r47+可以合并成一个二次根式，则−=．【答案】−8【分析】最简二次根式2+1与r47+能合并成一个二次根式，则两个二次根式的被开方数相等，即可求得a，b值，代入即可求解．【详解】解：根据题意得：2+1=7+s+4=2，则=−2，=6，所以−=−2−6=−8，故答案是：−8．【点睛】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．【变式2-3】（2023春·河南信阳·八年级统考期末）先阅读解题过程，再回答后面的问题．如果、是正整数，且162+和KK1+7在二次根式的加减法中可以合并成一项，求、的值．解：∵162+和KK1+7可以合并，∴−−1=2162+=+7，即−=331+16=7，解得=5547=8647．∵、是正整数，∴此题无解．问：（1）以上解法是否正确？如果不正确，错在哪里？（2）给出正确的解答过程．【答案】（1）不正确，原因是没有把162+转化为最简二次根式；（2）见解析【分析】（1）要知道，同类二次根式是化简后被开方数相同．（2）先把162+转化为最简二次根式，然后再根据两个二根式能合并列出相应方程组进行求解即可．【详解】解：（1）不正确，原因是没有把162+转化为最简二次根式；（2）正确解答过程如下：∵162+=42+，162+和KK1+7可以合并，∴−−1=22+=+7，解得：=5=2，经检验=5，=2符合题意，∴=5，=2．【点睛】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．【知识点2二次根式的加减法则】二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．【题型3运用乘法公式和运算律简化二次根式的混合运算】【例3】（2023春·黑龙江牡丹江·八年级统考期末）计算(1)412−+48÷23(2)26+3×26−3−(33−2)2+【答案】(1)143(2)−8+76+2【分析】（1）先计算括号里，再计算除法；（2）先运用平方差公式和完全平方公式、分母有理化进行计算，再相加减即可【详解】（1）原式=83−+43÷23=3÷23=143=143（2）原式=24−3−27−66+2+=21−29+66+6+2=−8+76+2【点睛】本题考查二次根式的混合运算、平方差公式、完全平方公式，分母有理化，掌握二次根式混合运算的计算方法是解题的关键．【变式3-1】（2023春·广东江门·八年级统考期末）计算：27+6+36−3−42−36÷22+1【分析】先化简二次根式，同步计算二次根式的乘法与除法运算，再合并即可．【详解】解：27+6+36−3−42−36÷22=33+6−3−2+=+1．【点睛】本题考查的是二次根式的混合运算，熟记二次根式的混合运算的运算顺序是解本题的关键．【变式3-2】（2023春·北京·八年级校考阶段练习）计算：(1)48÷3+×12−24(2)(7+43)(7−43)−(35−1)2【答案】(1)4−6(2)65−45【分析】（1）利用二次根式的乘除法则运算即可得；（2）利用完全平方公式和平方差公式进行计算即可得．【详解】（1）解：原式=48÷3+−26=16+6−26=4−6（2）解：原式=49−48−(45−65+1)=1−46+65=65−45【点睛】本题考查了二次根式的计算，完全平方公式和平方差公式，解题的关键是掌握这些知识点．【变式3-3】（2023春·湖北黄冈·八年级校联考阶段练习）计算：(1)3×−÷2(2)212−+348；(3)2+32−5+25−2；(4)2−32022×2+32023−2−−−20．【答案】(1)−154(2)143(3)4+26(4)1【分析】（1）根据二次根式的乘法和除法法则运算；（2）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（3）利用完全平方公式和平方差公式计算；（4）先根据积的乘方、绝对值和零指数幂的意义计算，然后利用平方差公式计算后合并即可．【详解】（1）解：原式=3×−×2×=3×−×2×5=−154；（2）原式=43−23+123=143；（3）原式=2+26+3−5−4=2+26+3−1=4+26；（4）原式=2−32+32022×2+3−3−1=12022×2+3−3−1=1×2+3−3−1=2+3−3−1=1．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则、零指数幂是解决问题的关键．【题型4比较二次根式的大小】【例4】（2023春·八年级课时练习）比较大小错误的是（）A．5＜7B．35＋2＜82﹣1C6D．|1－3|＞3－1【答案】D【分析】利用比较实数大小的方法逐项判断正误即可．【详解】A、由于5<7，则5＜7，故正确；B、由于35＋2<6+2=8，而8=9-1<82－1，则35＋2＜82﹣1，故正确；C、由于−23>−5>−7−5=−6，故正确；D、由于1−=3−1，故1>3−1错误．故选：D【点睛】本题考查了实数大小的比较，涉及二次根式的比较，不等式的性质等知识，其中掌握二次根式大小的比较是关键．【变式4-1】（2023春·江苏·从小到大排列．<<【分析】先求出三个数的平方，再比较大小即可．【详解】2=15，2=16，2=17，∵1117，<<<【点睛】本题考查了比较二次根式的大小，熟知正数比较大小的法则是解答此题的关键．平方法是比较二次根式的大小常用的方法．【变式4-2】（2023春·河南新乡·八年级校考阶段练习）阅读下列化简过程：=2−1，==3−2，==4−3，…从中找出化简的方法与规律，然后解答下列问题：…·2021+1；(2)设===，，的大小关系．【答案】(1)2020(2)>>【分析】（1）根据题意将式子先化简，再运用平方差公式求解即可；（2）根据题意将a，b，c求出来，再进行二次根式的大小比较即可．【详解】（1）根据题意可得，原式=2−1+3−2+…+2021−2020·2021+1=2021−1·2021+1=2021−1=2020；（2）根据题意可得，==3+2，==2+3，==5+2，∵2<2，∴3+2<2+3，即<，∵5>3，∴2+3<2+5，即<，∴>>．【点睛】本题考查了二次根式的加减运算和平方差公式，正确的理解题意是解决本题的关键．<<m的个数是．【变式4-3】（2023春·【答案】7【分析】先将前后二次根式化为最简二次根式，再进行估值，根据估值确定m的个数．【详解】解：∵2≈1.414，5≈2.236，=（2-1（2-1）≈3.312=3+5）8×（3+5）4=2（3+5）≈10.472，m∴3.312<m<10.472，∵3.3121与10.472之间的整数有4、5、6、7、8、9、10，共7个，∴整数m的个数是7，故答案为：7．【点睛】本题考查了二次根式的化简以及二次根式的估值，解题的关键是熟练化简二次根式．【题型5已知字母的取值化简求值】【例5】（2023春·云南昭通·八年级统考期末）若x＝3＋22，y＝3－22，求−【答案】0【分析】先运用平方差及完全平方公式进行因式分解，再约分，将分式化到最简即可．−r−K=−−+=0．故当x＝3+22，y＝3−22时，原式=0．【点睛】本题考查了二次根式的化简求值．运用公式将分子因式分解可使运算简便．由于所求代数式化简之后是一个常数0，与字母取值无关．因而无论x、y取何值，原式都等于0．【变式5-1】（2023春·四川自贡·八年级统考期末）已知=2+1，求代数式3−222+2−1−2的值.【答案】0【分析】把x值带入后，利用完全平方公式和平方差公式计算即可.【详解】当x=2+1时，原式=3−222+12+2−12+1−2=3−223+22+2−12+1−2=32−(22)2+22−1−2=9-8+2-1-2=0【点睛】本题考查了整式的混合运算−化简求值，解题的关键是把x代入求值时利用公式，比较简单．【变式5-2】（2023春·山东临沂·八年级校考期末）已知=2+1，求2K1−−1的值.【分析】根据分式的运算法则将2K1−−1化简，然后将=2+1代入计算即可求出答案．【详解】解：2K1−−1=2−1−(+1)=2−(2−1)−1=1−1当=2+1时，==原式=【点睛】本题考查分式的运算，熟练运用分式的运算法则是解题的关键．⋅B，再求当==.【变式5-3】（2023春·上海·【答案】xy；1【分析】分子中先提出公因式B进行因式分解，分子分母约去公因式后再利用二次根式乘法进行化简，然后代入数值进行求解即可.⋅Br B=B⋅B=B，=当=【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，正确确定运算顺序以及运算方法是解题的关键.【题型6已知条件式化简求值】【例6】（2023春·贵州毕节·八年级校考期末）若，为实数，且=1−4+4−1+12．【答案】22【分析】先根据二次根式有意义的条件求出x的值，进而求出y的值，然后代值计算即可．【详解】解：∵=1−4+4−1+12要有意义，∴1−4≥04−1≥0，∴14≤≤14即=14，∴=1−4+4−1+12=12，∴1，=2++=22．【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式的求值，正确求出x、y的值是解题的关键．【变式6-1】（2023春·四川乐山·八年级统考期末）已知a、b满足4−+1+−12−9=0，求代数式⋅+−÷−−的值．【答案】3+1【分析】先根据非负数的性质求出a、b的值，然后代值计算即可．【详解】解：∵4−+1+−12−9=0，4−+1≥0，−12−9≥0，∴4−+1=0，−12−9=0∴4−+1=0−12−9=0．解得=−1=−3．⋅÷−−=−3−1×−3−1−−3÷−−1−−3=3×33+−1+3÷1+3=3+2÷2=3+1．【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，非负数的性质，解二元一次方程组，灵活运用所学知识是解题的关键．【变式6-2】（2023春•肥城市期中）已知=为奇数，求(+【答案】43【分析】由二次根式的非负性可确定的取值范围，再根据为奇数可确定的值，然后对原式先化简再代入求值．【详解】解：由分式和二次根式有意义的条件，可得−6≥09−>0，解得6≤<9，且为奇数，∴=7，∴原式=(+=(+1)+1=(+1)(−1)=(7+1)×(7−1)=43．【点睛】本题主要考查了分式和二次根式有意义的条件、二次根式的化简求值等知识，解答本题的关键是根据x的取值范围，确定x的值，然后代入求解．【变式6-3】（2023·八年级单元测试）若=2+4++1的值.【答案】2.【分析】已知条件比较复杂，将已知条件变形得出所求式子的结构求值即可.【详解】∵+=，∴2+=∴2=−∴4++1=−2++1=∵>0，∴2+4++1=−++3=2．【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，式子较复杂需要先化简条件.【题型7与二次根式有关的整体代入求值问题】【例7】（2023春·广东广州·八年级华南师大附中校考阶段练习）若=5+1，=5−1，求下列代数式的值．(1)2+B(2)2−2【答案】(1)85(2)45【分析】（1）先求解+=25，B=5+15−1=5−1=4，再结合因式分解求解代数式的值即可；（2）先求解+=25，−=2，再结合平方差公式进行计算即可．【详解】（1）解：∵=5+1，=5−1，∴+=25，B=5+15−1=5−1=4，∴2+B=B+=4×25=85；（2）∵=5+1，=5−1，∴+=25，−=2，∴2−2=+−=25×2=45．【点睛】本题考查的是求解代数式的值，二次根式的加减运算，二次根式的混合运算，熟记运算法则是解本题的关键．【变式7-1】（2023春·陕西安康·八年级统考期末）已知=3−7，=3+7，求−的值．【答案】−67【分析】先计算出+s−与B的值，再把−变形为【详解】解：∵=3−7，=3+7，∴+=6,−=−27,B=2,∴−=2−2B===−67．【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，正确进行变形能简化计算．【变式7-2】（2023春·八年级单元测试）已知a＝2＋1，求a3－a2－3a＋2016的值．【答案】2017【分析】先根据a＝2＋1,可得:a－1＝2,然后利用完全平方公式两边平方可得:(a－1)2＝2,继而可得:a2－2a ＝1,然后整体代入a3－a2－3a＋2016=a(a2－2a)＋(a2－2a)－a＋2016,即可求解.【详解】解:∵a＝2＋1,∴a－1＝2,∴(a－1)2＝2,即a2－2a＝1,∴原式＝a(a2－2a)＋(a2－2a)－a＋2016＝a＋1－a＋2016＝2017.【点睛】本题主要考查代数式化简求值,解决本题的关键是要利用完全平方公式巧变形,再整体代入思想求解.【变式7-3】（2023春·广东珠海·八年级统考期末）已知+1=7，求下列各式的值；(1)2+12；(2)2−12．【答案】(1)5(2)±21【分析】（1）利用完全平方公式可得2+12=(+1)2−2，即可求解；（2）根据完全平方公式可得(−1)2=(+1)2−4，求得−1=3，然后利用平方差公式计算2−12的值．【详解】（1）解：∵+1=7，∴+=2+2+12=7，∴2+12=5；（2）解：由（1）得2+12=5，∴−=2−2+12=5−2=3，∴−1=±3，又∵2−12=+−∴当−1=3时，2−12=7×3=21，当−1=−3时，2−12=7×(−3)=−21．【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值及完全平方公式、平方差公式，熟练掌握乘法公式是解题的关键．【题型8二次根式混合运算的实际应用】【例8】（2023春·北京海淀·八年级期末）快递公司为顾客交寄的快递提供纸箱包装服务．现有三款包装纸箱，底面规格如下表：型号长宽小号20cm18cm中号25cm20cm大号30cm25cm已知甲、乙两件礼品底面都是正方形，底面积分别为80cm2，180cm2，若要将它们合在一个包装箱中寄出，底面摆放方式如左上图，从节约枌料的角度考虑，应选择哪种底面型号的纸箱？请说明理由．【答案】应选择中底面型号的纸箱【分析】先求出甲、乙两件礼品的边长之和为105cm，进而估算出20<105<25<30，由此即可得到答案．【详解】解：应选择中型号的纸箱，理由如下：∵甲、乙两件礼品底面都是正方形，底面积分别为80cm2，180cm2，∴甲、乙两件礼品的边长分别为45cm，65cm，∴甲、乙两件礼品的边长之和为45cm+65cm=105cm，∵400<500<625<900，∴20<105<25<30，∴只有中型号和大型号两个型号可供选择，∵25×20<30×25，∴从节约枌料的角度考虑，应选择中底面型号的纸箱．【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，正确估算出甲、乙两件礼品的边长之和的范围是解题的关键．【变式8-1】（2023春·广东汕头·八年级校联考期末）甲容器中装有浓度为a的果汁40kg，乙容器中装有浓度为b的果汁90kg，两个容器都倒出m kg，把甲容器倒出的果汁混入乙容器，把乙容器倒出的果汁混入甲容器，混合后，两容器内的果汁浓度相同，则m的值为．【分析】分别求出甲，乙容器中原溶液中纯果汁的含量，再求出mkg溶液中纯果汁的含量，最后利用混合后=90m即可．【详解】解：根据题意，甲容器中纯果汁含量为40akg，乙容器中纯果汁含量为90bkg，甲容器倒出mkg果汁中含有纯果汁makg，乙容器倒出mkg果汁中含有纯果汁mbkg，40=整理得，610a-610b=5ma-5mb，∴610（a-b）=5m（a-b），∴m【点睛】本题考查二次根式的应用，能够正确理解题意，化简二次根式是解题的关键．【变式8-2】（2023春·山东滨州·八年级统考期中）（1）用“=”、“>”、“<”填空：4+324×3，1+165+525×5．（2）由（1）中各式猜想+与2B(≥0，≥0)的大小关系，并说明理由．（3）请利用上述结论解决下面问题：某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成矩形的花圃．如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为2002的花圃，所用的篱笆至少是多少米？【答案】（1）>，>，=；（2）+≥2B(≥0，≥0)；（3）40米【分析】（1）分别进行计算，比较大小即可；（2）根据第（1）问填大于号或等于号，所以猜想+≥2B；比较大小，可以作差，根据完全平方公式进行计算，问题得证；（3）设花圃的长为a米，宽为b米，需要篱笆的长度为（a＋2b）米，利用第（2）问的公式即可求得最小值．【详解】解：（1）∵4+3=7,24×3=43∴72=49,(43)2=48∵49>48∴4+3>24×3∵1+16=7=<1∴1+16>×6∵5+5=10,25×5=10,∴5+5=25×5故答案为：＞，＞，＝．（2）+≥2B理由如下：当m≥0，n≥0时，∵(−p2≥0∴(p2−2⋅+(p2≥0∴−2B+≥0∴+≥2B（3）设花圃的长为a米，宽为b米，则a＞0，b＞0，S＝ab＝200，根据（2）的结论可得：+2≥2⋅2=22B=22×200=40．∴篱笆至少需要40米．故答案为：40．【点睛】本题主要考查了二次根式的计算，体现了由特殊到一般的思想方法，解题的关键是联想到完全平方公式，利用平方的非负性求证．【变式8-3】（2023春·江苏·八年级专题练习）甲容器中装有浓度为a的果汁40kg，乙容器中装有浓度为b 的果汁90kg，两个容器都倒出m kg，把甲容器倒出的果汁混入乙容器，把乙容器倒出的果汁混入甲容器，混合后，两容器内的果汁浓度相同，则m的值为．【分析】分别求出甲，乙容器中原溶液中纯果汁的含量，再求出mkg溶液中纯果汁的含量，最后利用混合后=90m即可．【详解】解：根据题意，甲容器中纯果汁含量为40akg，乙容器中纯果汁含量为90bkg，甲容器倒出mkg果汁中含有纯果汁makg，乙容器倒出mkg果汁中含有纯果汁mbkg，40=整理得，610a-610b=5ma-5mb，∴610（a-b）=5m（a-b），∴m【点睛】本题考查二次根式的应用，能够正确理解题意，化简二次根式是解题的关键．【题型9二次根式的新定义类问题】【例9】（2023春·贵州黔西·八年级校考阶段练习）我们规定用，表示数对，给出如下定义：记==（0，>0，与，称为数对，的一对“对称数对”．例如：4，1的一对“对称数对”1与1(1)数对25，4的一对“对称数对”是______和______；(2)若数对3，的一对“对称数对”的两个数对相同，求的值；(3)若数对，2的一对“对称数对”的其中一个数对是2，1，求的值．【答案】(1)(15，2)和(2，15)(2)=13(3)=1=即可；【分析】（1）根据题意将a=25，b=4代入=（2）(3，y)）的一对“对称数对”（3）将数对，2的一对“对称数对”=1，解出x即可．=15，4=2，【详解】（1∴数对25，4的一对“对称数对”是(15，2)和(2，15)．故答案为：(15，2)和(2，15)；（2）∵数对3，的一对“对称数对”的两个数对相同，=，解得：=1；=（3∴数对，2的“对称数对”分别为，2)和(2，．∵数对，2的一对“对称数对”的其中一个数对是2，1，=1，解得：=1．【点睛】本题考查新定义题型，严格按照新定义要求，结合学过的相关知识根据题意列方程求解是解决问题的关键．【变式9-1】（2023春·全国·八年级专题练习）定义：若两个二次根式a，b满足⋅=，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式．(1)若a与2是关于4的共轭二次根式，求a的值；(2)若2+3与4+3是关于2的共轭二次根式，求m的值．【答案】(1)22(2)-2【分析】（1）根据共轭二次根式的定义建立等式，即可得到答案；（2）根据共轭二次根式的定义建立等式，即可得到答案．【详解】（1）∵a与2是关于4的共轭二次根式，∴2=4．=22．∴=（2）∵2+3与4+3是关于2的共轭二次根式，∴2+3⋅4+3=2．==4−23．∴4+3=∴=−2．【点睛】此题主要考查了新定义共轭二次根式的理解和应用，并会利用二次根式的性质进行计算．【变式9-2】（2023春·重庆涪陵·八年级统考期末）对于任意实数m，n，若定义新运算⊗=−≥,+<，给出三个说法：①18⊗2=22；②11⊗2+12⊗3+13⊗4+⋅⋅⋅+199⊗100=100⊗1；③⊗⋅⊗=−．以上说法中正确的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】D【分析】利用新定义进行计算逐一判断即可．【详解】解：∵18>2，∴18⊗2=18−2=32−2=22，所以①正确；11⊗212⊗313⊗4199⊗100=1+23+4+⋯+=2−1+3−2+⋯+100−99=100−1=100⊗1所以②正确；当≥时，⊗⋅⊗=−+=−=−，当<时，⊗⋅⊗=+−=−=−，所以③正确；故正确的为①②③，有3个，故选D．【点睛】本题考查新定义，二次根式的混合运算，掌握新定义的运算法则是解题的关键．【变式9-3】（2023春·北京·八年级校考阶段练习）材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如a2±2ab+b2＝（a±b）2，那么2±2B+2=|±U．如何将双重二次根式5±26化简？我们可以把5±26转化为(3)2±26+(2)2=(3±2)2完全平方的形式，因此双重二次根式5±26=(3±2)2=3±2得以化简．材料二：在直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y'）给出如下定义：若′={o>0)−o<0)，则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点（3，2）的“横负纵变点”为（3，2），点（﹣2，5）的“横负纵变点”为（﹣2，﹣5）．请选择合适的材料解决下面的问题：(1)点(2,−3)的“横负纵变点”为______，点(−33,−2)的“横负纵变点”为______；(2)化简：7+210；(3)已知a为常数（1≤a≤2），点M（−2，m）且=(+2−1+−2−1)，点′是点M的“横负纵变点”，求点′'的坐标．【答案】(1)（2，−3）；（−33，2）(2)5+2(3)（﹣2，﹣2）【分析】（1）根据“横负纵变点”的定义，′={o>0)−o<0)，即可；（2）根据材料一，双重二次根式的化简，将7+210化为(5)2+210+(2)2，再根据2±2B+2=(±p2，即可化简；（3）根据1≤≤2，得−1−1≤0；将=2(+2−1+−2−1)化简得=((−1+1)2+(−1−1)2；根据2±2B+2=|±U，得=(|−1+1|+|−1−1|，求出的值，求出的坐标，根据横负纵变点”的定义，′={o>0)−o<0)，即可求出′的坐标．【详解】（1）∵2>0∴点（2，−3）的“横负纵变点”为（2，−3）∵−33<0∴点（−33，−2）的“横负纵变点”为（−33，2）故答案为：（2，−3）；（−33，2）．（2）7+210=(5)2+210+(2)2=(5+2)2=5+2∴7+210化简得：5+2．（3）∵1≤≤2∴0≤−1≤2−1∴0≤−1≤1∴0≤−1≤1∴−1−1≤0∵=2(+2−1+−2−1)=((−1)2+2−1×1+12+(−1)2−2−1×1+12)((−1+1)2+(−1−1)2==(|−1+1|+|−1−1|)∴=∴=∴点（−2，2）∵−2<0∴′（−2，−2）故′的坐标为：（−2，−2）．【点睛】本题考查了二次根式的加减，新定义等知识，解题的关键是理解新定义公式，化简最简二次根式．【题型10二次根式的阅读理解类问题】【例10】（2023春·江苏·八年级期末）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+22=1+22．善于思考的小明进行了以下探索：设+2=+22（其中a、b、m、n均为整数），则有+2=2+22+2B2．∴=2+22，=2B．这样小明就找到了一种把类似+2的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：(1)当a、b、m、n均为正整数时，若+3=+32，用含m、n的式子分别表示a、b，得：=，=；(2)利用所探索的结论，请找一组正整数a、b、m、n填空：=+32；(3)若−65=−52且a、m、n均为正整数，求a的值．【答案】(1)2+32，2B(2)13，4，1，2(3)14或46【分析】（1）根据上面的例子，将+32，按完全平方展开，可得出答案；（2）由（1）可写出一组答案，不唯一；（3）将−52展开得出2−25B+52，由题意得B=3，2+52=，再由a、m、n均为正整数，可得出答案．【详解】（1）解：∵+3=+32，∴+3=2+32+2B3，∴=2+32，=2B；故答案为：2+32，2B．（2）由（1）可得=13，=4，=1，=2；故答案为：13，4，1，2．（3）∵−65=−52，∴+5=2+52+2B5，∴B=3，2+52=，∵a、m、n均为正整数，∴=3，=1，=14或=1，=3，=46；故答案为：14或46．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，分析所给的材料进行解答是解题的关键．==3−23−2=【变式10-1】（2023春·江西赣州·八年级统考期中）3−2，像上述解题过程中，3+2与3−2相乘的积不含二次根式，我们可以将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化．解答下面的问题：(1)=___________；若n=___________．(2)×2022+1；(3)3+15+3+⋅⋅⋅+2022×2024+1．【答案】(1)2−1；4−3（或2−3)；+1−(2)2021(3)2023【分析】（1）分子分母同时乘以有理化因式，再化简整理即可；（2）将括号内每一项都进行分母有理化，再相消，整理之后利用平方差公式求解即可；（3）先进行分母有理化，然后再进行计算即可解答．===2−1=2−1；【详解】（1=43（或2−3)；+1−；（22+1+3+2…+2022+20212022+1=2−1+3−2+…+2022−20212022+1=2022−12022+1=2022−1=202120241（3=331+35−3+⋅⋅⋅+2024×2024+1 =3−1+5−3+⋅⋅⋅+2024−20222024+1=2024−12024+1=2023．【点睛】本题主要考查分母有理化，二次根式混合运算，解题的关键是理解材料中分母有理化的方法并应用方法解决问题．【变式10-2】（2023春·八年级单元测试）阅读下述材料：我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式，比如：7−6==分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较7−6和6−5的大小．可以先将它们分子有理化如下：7−6=7+66−5=6+5因为7+6>6+5，所以7−6<6−5．再例如：求=+2−−2的最大值．做法如下：解：由+2≥0,−2≥0可知≥2，而=+2−−2=当=2时，分母+2+−2有最小值2，所以y的最大值是2．解决下述问题：（1）比较32−4和23−10的大小；（2）求=1−+1+−的最大值和最小值．【答案】（1）32−4<23−10；（2）的最大值为2，最小值为2−1．【分析】（1）利用分子有理化得到32−4=23−10=然后比较32+4和23+10的大小即可得到32−4与23−10的大小；（2）利用二次根式有意义的条件得到0⩽N1，而=1−=01+r1，1−有最大值1得到所以的最大值；利用当=1有最小值2−1，1−有最小值0得到的最小值．【详解】解：（1）32−4==23−10=3+10=而32>23，4>10，∴32+4>23+10，∴32−4<23−10；（2）由1−O0，1+O0，O0得0⩽N1，=1−+1+−J1−+∴当=0时，1++有最小值，则1，此时1−有最大值1，所以的最大值为2；当=1时，1++有最大值，有最小值2−1，此时1−有最小值0，所以的最小值为2−1．【点睛】本题考查了非常重要的一种数学思想：类比思想．解决本题关键是要读懂例题，然后根据例题提供的知识点和方法解决问题．同时要注意所解决的问题在方法上类似，但在细节上有所区别．【变式10-3】（2023春·广东惠州·八年级阶段练习）阅读材料：①我们知道：式子+1的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数−1的点之间的距离，且+1＝(+1)2；②把根式±2进行化简，若能找到两个数m、n，是2+2=且B=，则把x±2变成2+2±2B=±2开方，从而使得±2化简．如：3+22＝1+22+2＝12+2×1×2+22＝1+22＝1+=1+2；(1)化简：5+26．(2)5+26+7+212+9+45(3)直接写出代数式2+2+5+2−22+130的最小值为．【答案】(1)2+3(2)5−1(3)5【分析】（1）先将根号下的数变形为完全平方公式格式，再化简即可；（2）先将各个分母化为完全平方公式格式，再分母有理化，最后合并即可得出答案；（3）先根据完全平方公式化简，再根据非负数的性质得出+12+4≥4，−112+9≥9，即可求出最小值．【详解】（1）5+26=2+26+3=22+2×2×3+32=2+32=2+3=23（2===2+1=2−1+3−2+4−3+5−4 =5−1（3）2+2+5+2−22+130=2+2+1+4+2−22+121+9=+12+4+−112+9。

一元二次方程实根的分布习题选编顺德莘村中学陈万寿2018.11.221已知关于x 的二次方程(1)若方程有两根,其中一根在区间(－1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求m 的范围;(2)若方程两根均在区间(0,1)内,求m 的取值范围.3.已知是a 实数，函数，如果函数区间[]1,1-上有零点，求a 的取值范围．（2007年广东高考压轴题）解:若0a =，()23f x x =-，显然在上没有零点，所以0a ≠令()248382440a a a a ∆=++=++=得：32a -±=当372a --=时，()y f x =恰有一个零点在[]1,1-上；当()()()()11150f f a a -=--< 即15a <<时，()y f x =也恰有一个零点在[]1,1-上；当()y f x =在[]1,1-上有两个零点时，则()()208244011121010a a a a f f >⎧⎪∆=++>⎪⎪-<-<⎨⎪≥⎪⎪-≥⎩或()()208244011121010a a a a f f <⎧⎪∆=++>⎪⎪-<-<⎨⎪≤⎪⎪-≤⎩1222=+++m mx x 只有一个零点在区间函数]2,0[32)(.22+--=m x mx x g 的取值范围求实数m )(x f 2()223f x ax x a=+--解得5a ≥或37a -<因此a 的取值范围是1a >或32a -≤.4.（2016年全国课标乙卷第12题）若函数f (x )=x －sin 2x+a sin x 在(－∞，+∞)单调递增，则a 的取值范围是()解：由题意知x ∈R ，恒成立.令t=cos x ，t ∈[－1，1]，则∴4t 2－3at －5≤0恒成立，再令g (t )=4t 2－3at －5，t ∈[－1，1]，⎩⎨⎧≤+-≤--⎩⎨⎧≤-≤∴0310310)1(0)1(a a g g 得：点评：本题考查函数单调性、导数应用、二次函数零点的分布以及解不等式，考查综合应用知识的能力.]31,1.[-B ]31,31.[-C ]1,1.[--D ]1,1.[-A 0cos 2cos 321)(≥+-='x a x x f ,3534)12(321)(22++-=+-⨯-='at t at t x f ]31,31[-∴。

根数的典型题目例一.请在同一个数轴上用尺规作出 2-的对应的点并估算2-的值（误差小于0.1）。

（本题4分）2. 若规定误差小于1, 那么60的估算值为（ ）A 、3B 、7C 、8D 、7或83. ）。

Ａ．7.0～7.5之间 Ｂ．6.5～7.0之间Ｃ．7.5～8.0之间 Ｄ．8.0～8.5之间4. 满足53<<-x 的整数x 是（ ）A 、3,2,1,0,1,2--B 、2,1,0,1-C 、3,2,1,0,1,2--D 、3,2,1,0,1-例二. 比较大小:3 2; 310 5填“>”或“<”)例三、已知A 为150的整数部分, B 为200的小数部分，求A-B 的值例四、（已知a 、b 0b =，解关于x 的方程()122-=++a b x a 。

5、若0)13(12=-++-y x x ，求25y x +的值。

6、若13223+-+-=x x y ，求3x ＋y 的值。

7. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点就做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形；①， 使三角形的三边长分别为2，3，13（在图①中画出一个既可）；②， 使三角形为钝角三角形且面积为4（在图②中画出一个既可），并计算你所画三角形的三边的长。

① ②8．分析探索题：细心观察如图（1），认真分析各式，然后解答问题．（本题6分）12OA =21)1(2=+ S 1=1； 22OA =31)2(2=+ S 2=22；23OA =41)3(2=+ S 3=23…… （1）请用含有n （n 为正整数）的等式n s = ；（2）推算出OA 10= ．（3）求出210232221S S S S ++++ 的值．9已知0)2(12=-+-ab a ，求)2004)(2004(1)2)(2(1)1)(1(11++++++++++b a b a b a ab 的值；。

黔西北州欣宜市实验学校二零二一学年度初中数学题在课外，根在课内每年中考都会出现许多好题，其中有些题是“源于教材，高于教材〞令人称道。

也告诉同学们一个道理，有一些新题“根在课堂上〞。

平时要打好根底，掌握题目的一些变化方法，就能举一反三。

下面从一道试题入手，看其变化出的新题。

供读者参考。

原题：A 是圆O 直径上一点，OB 是和这条直径垂直的半径，BA 和圆O 相交于另一点C ，〔如图1〕过点C 的切线和OA 的延长线相交于点D 。

求证：DA=DC 。

图1简证：此题证法较多，连结OC 。

因为DC 为圆O 的切线，C 为切点，所以∠1+∠2=90°因为OB ⊥OA ，所以∠3+∠B=90°而∠B=∠1，∠3=∠4所以∠2=∠4，故DA=DC 。

演变一如图2，平移MN ，因为直径是弦的特例，不难发现点A 所在的弦是否是直径与此题的结论无关可得新命题。

求证：DN DM DA 2⋅=。

图2分析：如图2，连结OC ，仍有DA=DC 。

由切割线定理得DN DM DC2⋅=， 所以DN DM DA 2⋅=演变二将上题中OB ⊥NM 的条件改为B 为⋂MN 的中点可得新命题：：如图2，DC 切圆O 于C ，DNM 是圆O 的割线，B 为⋂MN 的中点，CB 交MN 于A 。

求证：DM DN DA 2⋅=。

分析：因为B 为⋂MN 的中点，O 为圆心。

由垂径定理的逆定理知OB ⊥NM ，又DA=DC ，故DM DN DC DA 22⋅==。

演变三如图3，：DC 、DE 是圆O 的切线，DNM 为割线，CB 平分∠MCN 交MN 于A 。

求证：DE=DA 。

图3分析：因为CB 平分∠NCM ，所以⋂⋂=MB NB ，即B 为⋂NM 的中点。

连OB ，那么OB ⊥NM ，故仍有DA=DC 。

由切线长定理知DE=DC ，故问题得证。

演变四如图4，强化A 点的位置〔A 为DM 的中点〕可得新命题：：DC 为圆O 的切线，C 为切点，DNM 是割线，A 是DM 的中点，CA 的延长线交圆O 于B ，且BC AB BN2⋅=。

24.3 一元二次方程根与系数的关系习题一、单项选择题：1．关于x 的方程0122=+-x ax 中，如果0<a ，那么根的情况是（ B ）（A ）有两个相等的实数根 （B ）有两个不相等的实数根（C ）没有实数根 （D ）不能确定a 4)2(2--=∆Θ解： 04>-∴a 实数根。

原方程有两个不相等的∴a 44-= 044>-∴a0<a Θ 0>∆即2．设21,x x 是方程03622=+-x x 的两根，则2221x x +的值是（ C ）（A ）15 （B ）12 （C ）6 （D ）321x x ，方程两根为解：Θ 2122122212)(x x x x x x -+=+∴2332121==+x x x x ， 623232=⨯-=3．下列方程中，有两个相等的实数根的是（ B ）（A ） 2y 2+5=6y （B ）x 2+5=2 5 x （C ） 3 x 2－ 2 x+2=0（D ）3x 2－2 6 x+1=0)0(”的方程即可本题为找出“=∆4．以方程x 2＋2x －3＝0的两个根的和与积为两根的一元二次方程是（ B ）（A ） y 2+5y －6=0 （B ）y 2+5y ＋6=0 （C ）y 2－5y ＋6=0 （D ）y 2－5y －6=0，则：，解：设方程两根为21x x 0)3)(2()]3()2[(2=--+-+--y y322121-=-=+x x x x ， 0652=++y y 即：：为根的一元二次方程为和以32--∴5．如果21x x ，是两个不相等实数，且满足12121=-x x ，12222=-x x ，那么21x x •等于（D ）（A ）2 （B ）－2 （C ） 1 （D ）－11212222121=-=-x x x x ，解：Θ 的两根12221=-∴x x x x 可看作是方程， 121-=∴x x二、填空题：1、如果一元二次方程0422=++k x x 有两个相等的实数根，那么k ＝2±。

数轴穿根法一、概念简介1.“数轴标根法”又称“数轴穿根法”或“穿针引线法”2.准确的说，应该叫做“序轴标根法”。

序轴：省去原点和单位，只表示数的大小的数轴。

序轴上标出的两点中，左边的点表示的数比右边的点表示的数小。

3.是高次不等式的简单解法4.为了形象地体现正负值的变化规律，可以画一条浪线从右上方依次穿过每一根所对应的点，穿过最后一个点后就不再变方向，这种画法俗称“穿针引线法”二、方法步骤第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0。

（注意：一定要保证x前的系数为正数）例如：将x^3-2x^2-x+2>0化为(x-2)(x-1)(x+1)>0第二步：将不等号换成等号解出所有根。

例如：(x-2)(x-1)(x+1)=0的根为：x1=2，x2=1，x3=-1第三步：在数轴上从左到右依次标出各根。

例如：-1 1 2第四步：画穿根线：以数轴为标准，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过“次右根”上去，一上一下依次穿过各根。

第五步：观察不等号，如果不等号为“>”，则取数轴上方，穿根线以内的范围；如果不等号为“<”则取数轴下方，穿根线以内的范围。

x的次数若为偶数则不穿过，即奇过偶不过。

例如：若求(x-2)(x-1)(x+1)>0的根。

在数轴上标根得：-1 1 2画穿根线：由右上方开始穿根。

因为不等号为“>”则取数轴上方，穿跟线以内的范围。

即：-1<x<1或x>2。

（如下图所示）三、奇过偶不过就是当不等式中含有单独的x偶数幂项时，如(x^2)或(x^4)时，穿根线是不穿过0点的。

但是对于X奇数幂项，就要穿过0点了。

还有一种情况就是例如：（X-1)^2.当不等式里出现这种部分时，线是不穿过1点的。

但是对于如（X-1)^3的式子，穿根线要过1点。

也是奇过偶不过。

可以简单记为“奇穿过，偶弹回”，一称“奇穿偶切”。

（如图三，为（X-1)^2）四、注意事项运用序轴标根法解不等式时，常犯以下的错误：1．出现形如（a－x）的一次因式时，匆忙地“穿针引线”。