《常微分方程》第二章 一阶微分方程的初等积分法

常微分方程课程总结

第一章 绪论

§1.2微分方程的基本概念

（1）常微分方程偏微分方程

微分方程：凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程。

常微分方程：未知函数为一元函数的微分方程。

,dyaxyadxdypxyQxdx为常数

偏微分方程：未知函数为多元函数，从而出现偏导数的微分方程。

22,22242uufxyxyuuyx

（2）线性与非线性

一般n阶线性微分方程具有形式：（等式左面全是一次有理整式）

()(1)11()()()().nnnnyaxyaxyaxyfx

（3）解和隐式解

微分方程的解：代入微分方程能使方程成为恒等式的函数.

隐式解：Φ（x,y）=0

（4）通解和特解

通解：微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数同.）

特解： 确定了通解中任意常数以后的解.

初始条件：用来确定任意常数的条件.

初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.

（5）积分曲线：微分方程任一特解的图形都是一条曲线,称为微分方程的积曲线。

第二章 一阶微分方程的初等解法

§2.1 变量分离方程与变量变换

2.1.1、变量分离方程

)()(yxfdxdy cdxxfydy)()(

2.1.2、可化为变量分离方程的类型

1.形如)(xygdxdy，称为齐次微分方程，令u＝xy,即y＝ux，于是dxdy＝xdxdu＋u，代入原方程，变形为xdxdu＋u＝g（u），整理得dxdu＝xuug)(

2.形如222111cxbxacxbxadxdy 的方程也可经变量变换化为变量分离方程 （1）常数）(212121kccbbaa，方程化为dxdy＝k，有通解ckxy

（2）kbbaa212121cc情形，令u＝ybxa21，这时有dxdu＝dxdyba22＝2122cuckuba是分离变量方程

58 第二章 基本定理

我们在第一章主要学习了初等积分法，掌握了几类常微分方程的解法.但是这些解法只适用于某些特殊的类型，很多其它的常微分方程不能用初等解法进行求解.1841年，法国数学家刘维尔（Liouville）证明了里卡蒂（Riccati）方程

)0)(()()()(2xpxryxqyxpdydx

除了某些特殊的类型外，一般不能用初等积分法求解.例如，很简单的里卡蒂方程22yxdxdy就不能用初等积分法求解.自然地，如果一个常微分方程不能用初等积分法求解，那么应该如何处理呢？是否存在解呢？如果存在解，它的解是否唯一呢？解的存在区间是什么呢？初值的微小误差对解有什么影响呢？这些问题在理论的研究和实际应用中，都有着重要的意义.本章将解决这些基本问题.

本章主要介绍解的存在唯一性定理、解的延展定理与比较定理、解对初值的连续依赖性定理以及解对初值的可微性定理，这些定理就回答了我们刚才的疑问，有效的处理解的存在性、唯一性、存在区间、初值对解的影响等问题，为我们使近似解法奠定理论基础，同时这些定理也是常微分方程理论的基础内容，对进一步的学习奠定基础.

2.1 解的存在唯一性定理

对于一般的常微分方程

),(yxfdxdy （2.1）

如果给出了初始条件00)(yxy，我们就得到了柯西初值问题

00)(),(yxyyxfdxdy （2.2）

这时，在什么样的条件下，柯西初值问题的解存在且唯一呢？解的存在区间是什么呢？我们有如下的解的存在唯一性定理.

2.1.1 存在唯一性定理的叙述 59 定理2.1（存在唯一性定理）如果方程（2.1）的右端函数),(yxf在闭矩形区域

byybyaxxaxR00002,:

上满足如下条件：

（1）在2R上连续；

（2）在2R上关于变量y满足李普希兹（Lipschitz）条件，即存在常数N，使对于2R上的任何一对点),(yx和),(yx有不等式：

《常微分方程》课程教学大纲

一、课程基本信息

开课单位 课程类别 学科基础

课程名称 常微分方程

（Ordinary Differential Equations） 课程编码

开课对象 信息与计算科学，基础数学，应用数学等数学系大二本科生 开课学期 第四学期

学时/学分 总学时54、理论课学时54、实验课学时0/3学分

先修课程 数学分析,解析几何,高等代数

课程简介：

常微分方程是数学学科各专业的一门基础课，是整个数学课程体系中一个重要组成部分。它是数学分析和高等代数的后续课程，起着承上启下的作用，同时也是常微分方程学科本身近代发展方向的重要基础。常微分方程课程内容包括微分方程的基本概念；一阶微分方程的初等积分法；一阶微分方程的解的存在定理；高阶微分方程；线性微分方程组。通过该课程的学习，培养和训练学生运算技能及解决问题的能力；要求学生具有熟练的计算推导能力、逻辑推理能力、空间想象能力及综合运用所学知识分析和解决问题的能力；并在学习的过程中逐步培养学生活学活用能力和创造发展的能力,同时为学习后继课程奠定必要的基础。

二、课程教学目标

常微分方程是信息与计算科学专业的基础课程之一。通过该课程的学习，使学生掌握建立常微分方程模型的基本过程和方法，正确理解常微分方程的基本概念，掌握基本理论和主要方法，获得比较熟练的基本运算技能，对常微分方程的定性理论有初步的理解，培养学生计算能力、逻辑推理能力、空间想象能力及理论联系实际去分析问题、解决问题的能力，为学生学习后继课程打下基础。

1．学好基础知识。理解和掌握课程中的基本概念和基本理论，知道它的思想方法、意义和用途，以及它与其它概念、规律之间的联系。

2．掌握基本技能。能够根据法则、公式正确地进行运算。能够根据问题的情景，寻求和设计合理简捷的运算途径。 3．培养思维能力。能够对研究的对象进行观察、比较、抽象和概括。能运用课程中的概念、定理及性质进行合乎逻辑的推理。能对计算结果进行合乎实际的分析、归纳和类比。

目录上页下页返回结束第三章一阶微分方程的解的存在定理•§3.1 解的存在唯一性•§3.2 解的延拓和解对初值的连续性和可微性•*§3.3 奇解•*§3.3 数值解

目录上页下页返回结束§3.1 解的存在唯一性•解存在但不唯一例•解20,0(01)(),1xcycxccxd2,(0)0dyyyx

目录上页下页返回结束利普希茨条件•微分方程称f (x,y) 在D上关于y 满足利普希茨条件，如存在常数L>0满足•L 称为利普希茨常数。•在D上,当f (x,y),存在且连续，则在D上关于y 满足利普希茨条件。00d(,),,dyfxyRxxayybx：121212(,)(,)(,)fxyfxyLyyyyDfy

目录上页下页返回结束存在唯一性定理定理如f (x,y)在矩形域R上在上连续且关于y 满足利普茨条件，则方程在区间上存在唯一解连续且这里00(,)min,,max(,),,.xyRbhaMfxyRxxayybM：d(,)dyfxyx0xxh()yx00()xy

目录上页下页返回结束存在唯一性定理证明方法方法1.微分方程等价于积分方程2.逐步迫近法证明函数序列满足积分方程且趋于唯一函数00(,)dxxyyfxyx()nx()x00d(,),()dyfxyyxyx00001(),()(,())dxnnxxyxyfxxx

目录上页下页返回结束命题1积分方程与微分方程等价•命题1设是微分方程定义于区间上满足初值条件的解，则是积分方程定义于区间上的连续解。反之亦然。•证对有取定积分反之，微分得且()yx()yx()yx00xxxh00()xy00xxxhd(,)dyfxyxd()(,())dxfxxx00()(,())dxxxyfxxx00()(,())dxxxyfxxx()yxd()(,())dxfxxx00()xy