一阶微分方程解法

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浅析一阶常微分方程的解法问题

作者：周恺

来源：《考试周刊》2013年第27期

摘 要： 一阶常微分方程的解法多种多样，本文通过三个例子说明这些解法在具体方程求解中的运用.

关键词： 一阶常微分方程 线性微分方程 分项组合法 积分因子

常微分方程是大学数学专业的一门重要基础课程.常微分方程课程的学习不仅可以巩固数学分析、高等代数课程的学习，而且为后续课程如泛函分析、偏微分方程和微分几何的学习打下基础.常微分方程还在工程技术领域发挥重要的作用，常微分方程理论可以解决和分析实际科学领域众多的数学模型.因此，学好常微分方程显得至关重要.

常微分方程理论包括求解理论、定性分析、稳定性分析、分支理论和混沌等，其中求解理论是大学常微分方程课程学习的一个重点内容，包括了一阶常微分方程、高阶线性常微分方程和一阶线性微分方程组的解法.特别地，一阶常微分方程的解法又是多种多样的，包含变量分离方法、变量变换法、线性微分方程的通解公式法、分项组合法和积分因子法等.本文就通过下面几个具体例子的分析求解，说明一阶常微分方程解法的多样性.

一阶常微分方程的解法是多种多样的，我们在具体问题的求解时要将所求方程与相应的方法对应起来，正确地解决问题.具体地说，在方程未知函数的导数已解出的情形下，常常是根据所给方程的特点，设法做适当变换，将其化为可分离变量的方程或其他易于求解的类型；在解以微分形式出现的一阶常微分方程时，应考虑用分项组合法和积分因子法求解.此外，对于同一个方程，可能有不同的解法，我们要注意比较哪种解法更简单，而这都需要仔细的观察及大量的练习，这对于学好常微分方程这门课程非常重要.

参考文献：

[1]王高雄，周之铭，朱思铭等.常微分方程（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2006.

[2]丁同仁，李承治.常微分方程教程（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2004.

一阶微分方程的解法

一、分离变量法：

分离变量法适用于可分离系数的方程，即可以将微分方程变换成关于未知函数的形式。

例如，考虑一阶微分方程dy/dx = f(x)g(y)，我们可以将方程变换为dy/g(y) = f(x)dx的形式，然后对方程两边同时积分，即可求解出未知函数y(x)的表达式。

二、齐次方程法：

齐次方程是指一阶微分方程可以表示为dy/dx = f(y/x)的形式。对于这种类型的方程，我们可以通过变量替换来将其转化为可分离变量的方程。

设y = vx，其中v是未知函数。将y = vx代入原方程，对方程进行求导得到dy/dx = v + x*dv/dx。将这两个式子代入原方程，得到v +

x*dv/dx = f(v)。将此方程化简为可分离变量的形式后，进行变量分离、积分的步骤，即可得到未知函数v(x)的表达式。进一步代回y = vx，即可求得原方程的解。

三、一阶线性方程法：

一阶线性方程是指可以表示为dy/dx + P(x)y = Q(x)的方程。对于这种类型的方程，我们可以利用积分因子法来求解。

设积分因子为μ(x) = exp[∫P(x)dx]，其中P(x)是已知的系数。对原方程两边同时乘以μ(x)，可以得到μ(x)*dy/dx + P(x)μ(x)y =

Q(x)μ(x)。左边这个式子是一个恰当方程的形式，我们可以将其写成d(μ(x)y)/dx = Q(x)μ(x)的形式。对上述方程进行积分后，再除以μ(x)，即可得到未知函数y(x)。

四、可化为可分离变量的方程：

有一些一阶微分方程虽然不能直接分离变量，但是可以通过一些代换或适当变量变换后化为可分离变量的方程。

例如，对于方程dy/dx = f(ax + by + c)，我们可以设u = ax + by

+ c，将其转化为关于u和x的方程。然后对方程两边进行求导，并代入y = (u - ax - c)/b，即可得到关于u和x的可分离变量方程。最后通过分离变量、积分等步骤，计算出未知函数y(x)的表达式。

一阶微分方程的初等解法

 一阶微分方程的初等解法

 一阶微分方程的初等解法：方程的通解能够用初等函数或初等函数的积分表示出来。

 一阶微分方程的一般形式y′

=f(

x,y)

也可写成对称形式（全微分形式）

P(

x,y)

dx+Q(

x,y)

dy=0

在对称形式方程中，变量x与y是对称的，它即可以看作是以x自变量，y为未知

函数的方程

dy

dx=−P(

x,y)

Q(

x,y

) Q(

x,y)

≠0

也可看作是x为自变量，y为未知函数的方程

dy

dx=−Q(

x,y)

P(

x,y) P(

x,y)

≠0

 一阶微分方程的常见形式：

1. 可分离变量的一阶微分方程和齐次方程

定义：如果一阶微分方程具有形式

dy

dx=f(

x)

g(

y)

则该方程称为可分离变量微分方程。

不妨设g(

y)

≠0,则可将方程化为

dy

g(

y)=f(

x)

dx

例 求微分方程 xdy+2ydx=0，满足初始条件y|

x=2=1 的特解。

解：由

∵ xdy+2ydx =0

分离变量

dy

y=−2dx

x

两边积分

lny=−2lnx+lnC ∴ y=Cx−2

是通解。

将初始条件代入 C=4，即 ∴ y=Cx−2

为方程的一个特解。

例 放射性元素铀由于不断地有原子放射出微粒子而变成其它元素，铀的含量就不

断减少，这种现象成为衰变。由于原子物理学告之，铀的衰变速度与当时未衰变的

原子的含量M成正比。已知t=0时铀的含量为M

0，求在衰变过程中含量M(

t)

随

时间变化的规律。

解：铀的衰变速度就是M(t)对时间t的导数 dM

dt

即

dM

dt=−λM λ(

>0)

是衰变常数。初始条件M|

t=0=M

0

分离变量

dM

M=−λdt

于是 M=Ce−λt

是方程的通解

代入初始条件 M=M

0e−λt

齐次方程：如果一阶微分方程

dy

dx=f(

x,y)

中的函数f(

x,y)

可变形为φ�y

x� 即

dy

dx=φ�y

x�

则称为齐次方程。

求解步骤:

变量代换法 设u=y

x，y=ux，得

第39卷 第2期 高 师 理 科 学 刊 Vol. 39 No.2

2019年 2月 Journal of Science of Teachers′College and University Feb. 2019

文章编号：1007-9831（2019）02-0030-03

一阶线性微分方程的解法研究

章慧芬

（揭阳职业技术学院 师范教育系，广东 揭阳 522000）

摘要：给出了一阶线性微分方程常数变易法的注释，根据特殊的变量代换法——常数变易法，得

到方程的一般变量代换法，并从微分的角度给出其积分因子的解法．

关键词：微分方程；线性；常数变易法

中图分类号：O171 文献标识码：A doi：10.3969/j.issn.1007-9831.2019.02.007

Research on the solutions mothed of first-order linear differential equation

ZHANG Hui-fen

（Department of Teacher Education，Jieyang Polytechnic，Jieyang 522000，China）

Abstract：Gives an explanation of the first-order linear differential equation on constant variation method．The general

variable substitution is obtained from method of constant variation，which is a special variable substitution．The

integral factor is obtained from the differential angle．

Key words：differential equation；linear；constant variation