一阶微分方程解法

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浅析一阶常微分方程的解法问题

作者：周恺

来源：《考试周刊》2013年第27期

摘 要： 一阶常微分方程的解法多种多样，本文通过三个例子说明这些解法在具体方程求解中的运用.

关键词： 一阶常微分方程 线性微分方程 分项组合法 积分因子

常微分方程是大学数学专业的一门重要基础课程.常微分方程课程的学习不仅可以巩固数学分析、高等代数课程的学习，而且为后续课程如泛函分析、偏微分方程和微分几何的学习打下基础.常微分方程还在工程技术领域发挥重要的作用，常微分方程理论可以解决和分析实际科学领域众多的数学模型.因此，学好常微分方程显得至关重要.

常微分方程理论包括求解理论、定性分析、稳定性分析、分支理论和混沌等，其中求解理论是大学常微分方程课程学习的一个重点内容，包括了一阶常微分方程、高阶线性常微分方程和一阶线性微分方程组的解法.特别地，一阶常微分方程的解法又是多种多样的，包含变量分离方法、变量变换法、线性微分方程的通解公式法、分项组合法和积分因子法等.本文就通过下面几个具体例子的分析求解，说明一阶常微分方程解法的多样性.

一阶常微分方程的解法是多种多样的，我们在具体问题的求解时要将所求方程与相应的方法对应起来，正确地解决问题.具体地说，在方程未知函数的导数已解出的情形下，常常是根据所给方程的特点，设法做适当变换，将其化为可分离变量的方程或其他易于求解的类型；在解以微分形式出现的一阶常微分方程时，应考虑用分项组合法和积分因子法求解.此外，对于同一个方程，可能有不同的解法，我们要注意比较哪种解法更简单，而这都需要仔细的观察及大量的练习，这对于学好常微分方程这门课程非常重要.

参考文献：

[1]王高雄，周之铭，朱思铭等.常微分方程（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2006.

[2]丁同仁，李承治.常微分方程教程（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2004.

一阶微分方程的初等解法

 一阶微分方程的初等解法

 一阶微分方程的初等解法：方程的通解能够用初等函数或初等函数的积分表示出来。

 一阶微分方程的一般形式y′

=f(

x,y)

也可写成对称形式（全微分形式）

P(

x,y)

dx+Q(

x,y)

dy=0

在对称形式方程中，变量x与y是对称的，它即可以看作是以x自变量，y为未知

函数的方程

dy

dx=−P(

x,y)

Q(

x,y

) Q(

x,y)

≠0

也可看作是x为自变量，y为未知函数的方程

dy

dx=−Q(

x,y)

P(

x,y) P(

x,y)

≠0

 一阶微分方程的常见形式：

1. 可分离变量的一阶微分方程和齐次方程

定义：如果一阶微分方程具有形式

dy

dx=f(

x)

g(

y)

则该方程称为可分离变量微分方程。

不妨设g(

y)

≠0,则可将方程化为

dy

g(

y)=f(

x)

dx

例 求微分方程 xdy+2ydx=0，满足初始条件y|

x=2=1 的特解。

解：由

∵ xdy+2ydx =0

分离变量

dy

y=−2dx

x

两边积分

lny=−2lnx+lnC ∴ y=Cx−2

是通解。

将初始条件代入 C=4，即 ∴ y=Cx−2

为方程的一个特解。

例 放射性元素铀由于不断地有原子放射出微粒子而变成其它元素，铀的含量就不

断减少，这种现象成为衰变。由于原子物理学告之，铀的衰变速度与当时未衰变的

原子的含量M成正比。已知t=0时铀的含量为M

0，求在衰变过程中含量M(

t)

随

时间变化的规律。

解：铀的衰变速度就是M(t)对时间t的导数 dM

dt

即

dM

dt=−λM λ(

>0)

是衰变常数。初始条件M|

t=0=M

0

分离变量

dM

M=−λdt

于是 M=Ce−λt

是方程的通解

代入初始条件 M=M

0e−λt

齐次方程：如果一阶微分方程

dy

dx=f(

x,y)

中的函数f(

x,y)

可变形为φ�y

x� 即

dy

dx=φ�y

x�

则称为齐次方程。

求解步骤:

变量代换法 设u=y

x，y=ux，得

第39卷 第2期 高 师 理 科 学 刊 Vol. 39 No.2

2019年 2月 Journal of Science of Teachers′College and University Feb. 2019

文章编号：1007-9831（2019）02-0030-03

一阶线性微分方程的解法研究

章慧芬

（揭阳职业技术学院 师范教育系，广东 揭阳 522000）

摘要：给出了一阶线性微分方程常数变易法的注释，根据特殊的变量代换法——常数变易法，得

到方程的一般变量代换法，并从微分的角度给出其积分因子的解法．

关键词：微分方程；线性；常数变易法

中图分类号：O171 文献标识码：A doi：10.3969/j.issn.1007-9831.2019.02.007

Research on the solutions mothed of first-order linear differential equation

ZHANG Hui-fen

（Department of Teacher Education，Jieyang Polytechnic，Jieyang 522000，China）

Abstract：Gives an explanation of the first-order linear differential equation on constant variation method．The general

variable substitution is obtained from method of constant variation，which is a special variable substitution．The

integral factor is obtained from the differential angle．

Key words：differential equation；linear；constant variation

●　。　。　・～　１．　●　解题技巧与方法　嘲貉薄　骑戮驽　鳓　◎徐守云（无锡市广播电视大学　２１４０１２）　【摘要】关于一阶微分方程的求解，大部分教材只讨论　可分离变量型、齐次型以及线性型．而一些高等数学的习　题集中往往会出现其他类型．本文针对这种情况，将一阶　微分方程的解法作了进一步扩充和归纳．希望对大家有所　帮助．　【关键词】一阶微分方程；变量可分离方程；齐次方程；　一阶线性方程：伯努利方程；全微分方程　含有未知函数的导数（或微分）的方程称为微分方程，　方程中未知函数导数的最高阶数称为该方程的阶．本文仅　讨论一阶微分方程的解法，具体归纳了六种形式：变量可　分离方程、齐次方程、可化为齐次方程的方程、一阶线性方　程、伯努利方程以及全微分方程．　一、变量可分离的方程　１．形如：　ｌ（　）Ｎ１（ｙ）ｄｘ＋　（　）　（ｙ）ｄｒ＝０．　解法：将方程两边同除以Ⅳ。（），）　（　），再积分之即得　通解　Ｊ　ｄｘ＋』　ｄｙ一　例１求方程　＋　＋ｓｉｎ（ｘ＋），）＝０的通解．　解令ｕ＝　＋ｙ，Ｙ＝　一　，则　ｄｘ　＝　一１，方程变为　ｆ　一１　１＋　＋ｓｉｎ　Ｍ：０．　即　＝一堕积分得至Ⅱｌｎ（ｃｓｃ　ｕ—ｃｏｔ　：一ｉｎ　—ｉｎ　ｃ．　故通解为ｃｘ［ｃｓｃ（ｘ＋Ｙ）一ｃｏｔ（ｘ＋Ｙ）］＝１．　注此例运用变量替换将问题转换成变量可分离的方程．　二、齐次方程　２．形女口．誓＝，（｝）．　解法：令１１，＝　化为可分离变量方程．　例２求方程　＝　的通解．　ｃｌｘ　一厂　解令“＝卫，ｙ＝　，则　＝　＋　，方程变形为　ｘ　ｎｘ　Ｂｘ　¨　詈：　，　即　磐ｃｌｘ＝　争，整理为　“＝譬，　ｌ一Ⅱ‘　【ｌ＋ｕ　）　再积分变形』（—｝一　）ｄ　＝』譬，得　Ｉｎｕ—ｌｎ（１＋１１，２　＂４－ｌｎｃ＝ｌｎｘ．　将Ｍ：卫代入并化简得：　＋　＝ｃｙ．　＝、口Ｊ化为开次万槿明７Ｙ崔　３．形女Ⅱ：　ｄｘ＝　嚣％）．　解　１）若　ｌ＿０，即　＝争　令ｕ：　＋　６ｙ，化为可分离变量方程．　例３求解方程　：量　＋一　．　戈一Ｖ—ｊ　解令ｕ　ｙ　则　１一等，　有１一丁ｄｕ：　，　Ｍ—ｊ　整理得：（３一ｕ）ｄｕ＝４ｄｘ，　再积分得３ｕ一等＝　＋ｃ，　将Ｍ＝　—Ｙ代入得到方程通解为：　３（　—ｙ）一　：乱＋ｃ．　（２）若ｌ　Ｉ≠。，令　＝　＋　，ｙ＝叼＋卢，其中　＝　，ｙ＝　卢为方程组｛　。的解，原微分方程可化为齐次　方程等＝－，（篆　）．　例４　求解方程　ｄｘ　＝　．　十１，一ｊ　解因为　一　ｌ＝２　解方程组｛　：　：　：得　＝　，ｙ：２．　于是令　＝　＋１，），＝　＋２，将方程化为　＝　等，　这是齐次方程，解之得：町　＋２　一　＝ｃ，代回原变量　，　，　得到原方程通解为：　一　一　＋２ｘ＋６ｙ＝ｃ．　四、一阶线性方程　４．形如：　ｄｘ＋尸（　）ｙ＝Ｑ（　）．　觎　从　．一　一Ｊ　‘　『　ｆ　Ｐ（　）＾　］　解法：代公式　ｅ　［Ｑ（　）　Ｊ　＋　Ｊ・　例５求方程（　ＣＯＸ　Ｙ＋ｓｉｎ２ｙ）），　＝ｌ，ＹＩ　＝０＝０的特解　解将方程改写为　ｃ。ｓｙ＋ｓｉｎ　，　ｄｘ—　ｃｏｘｙ　Ｖ　ｏＶ　ｓｉｎ２ｙ，这是对　来说（变量Ｙ为自变量）的一阶线性方程，其　通解为　．　］一　ｄｙ＋Ｃ　ｌ一　（下转８０页）　数掌学习与研究２００９．