27.1.2圆的对称性

27.1.2圆的对称性教学目标：使学生知道圆是中心对称图形和轴对称图形,并能运用其特有的性质推出在同一个圆中,圆心角、弧、弦之间的关系，能运用这些关系解决问题，培养学生善于从实验中获取知识的科学的方法．重点难点： 1.重点：由实验得到同一个圆中，圆心角、弧、弦三者之间的关系．2.难点：运用同一个圆中，圆心角、弧、弦三者之间的关系解决问题．教学过程：一、由问题引入新课：要同学们画两个等圆，并把其中一个圆剪下，让两个圆的圆心重合，使得其中一个圆绕着圆心旋转，可以发现，两个圆都是互相重合的．如果沿着任意一条直径所在的直线折叠，圆在这条直线两旁的部分会完全重合．由以上实验，同学们发现圆是中心对称图形吗？对称中心是哪一点？圆不仅是中心对称圆形，而且还是轴对称图形，过圆心的每一条直线都是圆的对称轴．二、新课1.同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等．垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．实验1.将图形28.1.3中的扇形AOB 绕点O 逆时针旋转某个角度，得到图28.1.4中的图形，同学们可以通过比较前后两个图形，发现AOB AOB ∠=∠，AB AB =，．AB=AB实质上，AOB ∠确定了扇形AOB 的大小，所以，在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它所对的弧相等，所对的弦相等．图23.1.3图23.1.4问题：在同一个圆中，如果弧相等，那么所对的圆心角，所对的弦是否相等呢？ 在同一个圆中，如果弦相等，那么所对的圆心角，所对的弧是否相等呢？实验2、如图28.1.7，如果在图形纸片上任意画一条垂直于直径CD 的弦AB ，垂足为P ，再将纸片沿着直径CD 对折，比较AP 与PB 、AC ︵与CB ︵，你能发现什么结论？ 显然，如果CD 是直径，AB 是⊙O 中垂直于直径的弦，那么AP BP =，AC=BC ，AD=BD ．请同学们用一句话加以概括． （ 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧） 2.同一个圆中，圆心角、弧、弦之间的关系的应用．（1）思考：如图，在一个半径为6米的圆形花坛里，准备种植六种不同颜色的花卉，要求每种花卉的种植面积相等，请你帮助设计图28.1.5，在⊙O 中，AC BC =，145∠=︒，求2∠种植方案．（2）如的度数．3、课堂练习：P38练习1、2、3 三、课堂小结本节课我们通过实验得到了圆不仅是中心对称图形，而且还是轴对称图形，而由圆的对称性又得出许多圆的许多性质，即（1）同一个圆中，相等的圆心角所对弧相等，所对的弦相等．（2）在同一个圆中，如果弧相等，那么所对的圆心角，所对的弦相等．（3）在同一个圆中，如果弦相等，那么所对的圆心角，所对的弧相等．（4）垂直于弦的直径平分弦，并图23.1.7图 23.1.5且平分弦所对的两条弧．四、作业Ｐ42 习题28.1 1、2、3、4、5。

《圆的对称性》圆日期:目录•圆的定义与基本性质•圆的对称性概述•圆的轴对称性•圆的中心对称性•圆的对称性在日常生活中的应用•总结与展望圆的定义与基本性质定义圆是平面上所有与给定点（称为圆心）距离相等的点的集合。

几何表示通常，我们用圆心O和半径r来表示一个圆，记为⊙O(r)。

圆的定义圆中心的点，记作O，是圆的对称中心。

圆心、半径与直径圆心从圆心到圆上任一点的线段，记作r，长度等于圆的半径。

半径通过圆心，且两个端点都在圆上的线段，记作d，长度等于半径的两倍，即d=2r。

直径圆的基本性质同心性：所有与给定圆同心的圆都共享同一个圆心。

等距性：圆上任意两点到圆心的距离相等。

这些基本性质不仅定义了圆，也为后续研究圆的性质和其在各种应用中的作用奠定了基础。

圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，等于圆心角的一半。

对称性：圆具有旋转对称性，任何经过圆心的角度旋转后，圆保持不变。

圆的对称性概述对称性，在几何学中，是指图形在某个变换下保持不变的性质。

例如，一个图形在旋转、翻折等操作后，如果与原图形重合，那么这个图形就具有对称性。

对称性定义几何变换包括旋转、翻折、平移等。

如果一个图形在这些变换下保持不变，我们说这个图形具有相应的对称性。

变换的种类对称性的定义实际应用圆的对称性在建筑设计、艺术设计、工程学等领域都有广泛应用，对这些应用的理解和分析需要深入研究圆的对称性。

几何基本图形圆是最基本的几何图形之一，对于理解更复杂的几何形状和结构至关重要。

数学理论圆的对称性研究也有助于推动数学理论的发展，如群论、拓扑学等。

为何研究圆的对称性圆的对称性的种类旋转对称性：圆具有旋转对称性，即无论沿着哪个方向旋转，只要旋转的角度相同，都能与原始图形重合。

平移对称性：由于圆是各向同性的，它在任何方向的平移都不会改变它的形状，这也是圆的一种对称性。

翻折对称性：圆也具有翻折对称性，即无论沿着哪条直径翻折，都能与原始图形重合。

总结起来，圆的对称性是其在各个方向上均匀性的体现，这也是它在几何学和应用领域中重要地位的原因之一。

第1页2圆的对第2课时圆的对称性教学目标一、基本目标1.理解并掌握圆的对称性，知道圆既是轴对称图形，乂是中心对称图形.2.理解同圆或等圆中，圆心角、弧、弦之间的关系.二、重难点目标【教学重点】圆的对称性、圆心角、弧、弦之间的关系.【教学难点】利用同圆或等圆中，圆心角、弧、弦之间的关系解决问题.教学过程环节1 口学提纲，生成问题[5 nrni阅读】阅读教材P37〜P39的内容，完成下面练习.[3 nmi反馈】1.圆是一个旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少度，它都能与自身重合，一对称中心即为其圆心 ___ .2.（1）在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦也相等. （2）在同圆或等圆中，如果两弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等一一一（3）在同圆或等圆中，如果弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等 ------------ .3,圆是轴对称图形，它的任意一条直径都是它的对称轴 ---------4.如图，在00 中，若ZA0B=ZC0D,则AB = CD, AB— =CD— : _若AB— =CD—,则ZA0B = ZC0D, AB = CD: -------------------若AB = CD, WlJZA0B = ZC0D, AB— =CD— , ADB— =CBD..环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论（师生互学）【例1】如图，AB、DE是（30的直径，c是Oo上的一点，H AD—=CE—.BE与CE 的第2页大小有什么关系？为什么？【互动探索】（引发学生思考）根据圆心角、弦、弧之间的关系可得AD-二BE-，再结合已知条件AD-二CE-即可通过等量代换及同圆中相等的弧所对的弦相等得出结论.【解答】BE二CE.理由：TZAOD — ZBOE , ••-AD-—二BE—** .―# ・*-BE CE.【互动总结】（学生总结，老师点评）解此类题时,应从同圆中圆心角、弦、弧之间的关系进行判断.【例2】如图，A、B、C是G>0上三点，ZAOB=120° , C是AB—的中点，试判断四边形OACB的形状，并说明理由.【互动探索】（引发学生思考）观察法：由ZAOB二120° ,（2是AB-的中点,可想到连结OC — OA = AC = OC = BC = OB —四边形OACB 是菱形.［解答］四边形OACB是菱形.理由如下：如图,连结OC. TZAOB二120° , C是的中点,/.ZAOC = ZBOC = 12ZAOB = 60°.又TCO = BO ,•••△OBC是等边三角形,/.OB = BC.同理可得，AOCA 是等边三角形，.•.OA 二AC.又TOA 二OB , .*.OA = AC = BC = BO , 四边形OACB是菱形.【互动总结】（学生总结，老师点评）解此类题时，由弧中点联想到弧、弦、圆心角的关系定理，作辅助线（连结弧中点和圆心）解决问题■活动2巩固练习（学生独学）第3页1.如图，在€>0中，己知AB— =CD—，则AC与BD的关系是（A）A. AC = BDB.AC<BDC. AC>BDD・不确定2.如图，AB 是00 的直径，BC、CD. DA 是G>0 的弦，XL BC = CD=DA,求ZBOD 的度数.解：连结OC.TBC、CD、DA 是O0 的弦，且BC 二CD 二DA ,・・・ZA0D 二ZD0C 二ZB0C.又IAB 是00 的直径「・ZB0D 二23X180° = 120°.3.如图，在G）O中，弦AB = CD,那么ZA0C和ZBOD相等吗？请说明理由.解:ZAOC = ZBOD.理由如下:•・•在O0 中，弦AB 二CD ,・・・ZA0B = ZCOD # /.ZA0B - Z COB = ZCOD - ZCOB # /.ZAOC = ZBOD.4.如图，AB、CD 为00 的直径，AC— =CE—.求证：BD = CE.证明:连结AC/.-AC— = CE— ,・・・AC = CE//ZAOC = ZBOD「•AC = BD f /.BD = CE•活动3拓展延伸（学生对学）【例3】如图，已知AB是<30的直径，M、N分别是AO、B0的中点，CM丄AB, DN丄AB.求证：AC— =BD—.【互动探索】求证AC-二BD-,由弧、弦、圆心角的关系定理，考虑作辅助线连结OC、0D ,从而通过证明ZC0M = ZD0N来得到AC—二BD—.【证明】如图，连结OC、0D.TAB是的直径，M、N分别是AO、B0的中点，/.OM 二ON.TCM 丄AB f DN 丄AB ,/.ZOMC = ZOND = 90°.在Rt^OMC 和R20ND 中，T????? OC = OD , OM = ON r/.Rt^OMC^Rt-OND（HL）,・・・ZC0M二ZDON「・・AC—二BD—・第4页【互动总结】（学生总结，老师点评）在同圆或等圆中，如果两条弧（一般同为优弧或劣弧）、两条弦、两个圆心角中有一组量相等，另吆它们所对应的其余各组量都分别相等• 环节3课堂小结，当堂达标（学生总结，老师点评）圆的对称性????？圆是旋转对称图形弧、眩、圆心角的关系圆是轴对称图形练习设计请完成本课时对应训练！第3课时*垂径定理教学目标一、基本目标1 •理解与掌握垂径定理及其推论.2.运用垂径定理及其推论解决一些有关证明、计算和作图问题.二、重难点目标【教学重点】垂径定理及其推论.【教学难点】利用垂径定理及其推论解决相关计算或证明问题.教学过程环节1 口学提纲，生成问题[5 mm阅读】阅读教材P39〜F40的内容，完成下而练习.[3 mm反馈】1. •垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且半分这条弦所对的两条弧.——----- 即一条直线如果满足：①直线经过圆心0且与圆交于C、D两点：②AB丄CD 交CD 于M.那么AM = BM=12AB, AC— =BC— , AD— =BD— .2.垂径定理的推论：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直丁这条弦- 并且半分这条弦所对的两条弧.（2）平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦. -------------环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论（师生互学）第5页【例1】一根横截面为圆形的下水管道的直径为1米，管内有少量的污水（如图1）,此时的水面宽AB为0.6米，求此时的水深（即阴影部分的弓形高）. 图1 图2【互动探索】（引发学生思考）要求此时的水深，即阴影部分的弓形高一结合垂径定理, 作辅助线（如图2）-构造直角三角形求出CD长即可.【解答】如图2 ,过点0作OD丄AB于点C ,交OO于点D ,连结OB.根据垂径定理,得C是AB的中点’D是AB—的中点，CD就是水深，贝9 BC = 1- 2AB = 0.3 米.又由题意可知，0D二0B二0.5米，所以在R2OBC中,由勾股定理,得OCV = OB2 - BC2二0.4米，所以CD = OD - OC = 0.1 米,即此时的水深为0」米.【互动总结】（学生总结，老师点评）在圆中求半径、弦等线段的长时，常常借助垂径定理构造直角三角形,再在直角三角形中运用勾股定理来解决•【例2】如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中CD-，点0是CD-所在圆的圆心），其中CD=600m, E为CD—上一点，且OE丄CD,垂足为F, EF = 90m,求这段弯路的半径.【互动探索】（引发学生思考）要求这段弯路的半径，可转化为求OC的长,结合已知条件,在R2OCF中利用勾股定理即可求得OC的长.【解答】连结OC-设弯路的半径为Rm，则OF二（R - 90）m. TOE丄CD ,.•.CF 二12CD 二1_ 2X600 = 300（m）.在Rt^OCF中,根据勾股定理，得0C2 = CF2 + 0F2 ,即R2 = 3002 + （R - 90）2.解得R = 545.第6页.••这段弯路的半径为545讥【互动总结】（学生总结，老师点评）常用辅助线：连结半径，由半径、半弦、弦心距构造直角三角形■活动2巩固练习（学生独学）1.如图，AB为O0的弦，O0的半径为5, OC丄AB于点D,交00 T点C, J1CD=1, 则弦AB的长是多少？解：弦AB的长是6.2. 一条排水管的截面如图所示.已知排水管的半径OB = 10cm,水面宽AB=16cm.求截面圆心0到水面的距离.解：截面圆心0到水面的距离为6 cm.3.如图，AB为半圆的直径，0为圆心，C为半圆上一点，E是——AC的中点，0E交弦AC于点D,若AC = 8 cm, DE=2 cm,求OD的长.解：OD 二 3 cm.4.有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图所示，正常水位下水面宽AB = 60m,水而到拱顶距离CD=18m,当洪水泛滥时，水面到拱顶距离为3.5 m时需要采取紧急措施，当水面宽MN = 32m时是否需要釆取紧急措施？请说明理由.解：不需要采取紧急措施•理由如下：如图，连结0M ,设OA = Rm.由题意知,在Rt △AOC 中，AC 二12AB 二30 m , CD 二18 m , .•.由勾股定理，得Rz = 30: + (R - 18)2 ,解得R =34.又在R2MOE 中，ME 二丄2MN = 16 m , .*.342 = I62 + (34 - DE)2 ,解得DE 二4 m 或64 m(不合题意，舍去),/.DE二4 m . T4 > 3.5 ,二不需要采取紧急措施.活动3拓展延伸(学生对学)【例3】已知O0的半径为13,弦AB = 24,弦CD=10, AB//CD,求这两条平行弦AB、CD之间的距离.【互动探索】画出几何示意图一要求两条平行弦AB、CD之间的距离一利用垂径定理求解一作辅助线，构造直角三角形【解答】分两种情况讨论:当弦AB和CD在圆心同侧时，如图1 ,过点O作OF丄CD于点F ,交AB于点E ,连结OC、OA.由题意可知,OA = OC=13.第7页TABIICD , OF丄CD r .\OE±AB.又TAB = 24 # CD= 10 r・•・由垂径定理，得AE二1_ 2AB = 12 f CF= 12CD = 5 #・・・由勾股定= OC2 - CFz= 12 f /.EF = OF - 0E = 7.当弦AB和CD在圆心异侧时#如图2 ,过点0作OF丄CD于点F ,反向延长OF交AB于点E ,连结OC、OA.同理可得,EO = 5 , OF = 12 , /.EF = OF + OE= 17.综上，两条平行弦AB与CD之间的距离为7或17.［互动总结］（学生总结,老师点评）解此类题时,要考虑两弦在圆心的同侧还是异侧, 再结合实际作出半径和弦心距,利用勾股定理和垂径定理求解即可•要注意分类讨论思根的应用，”心别漏解•环节3课堂小结，当堂达标（学生总结，老师点评）垂径定理及其逆定理，以及常用的辅助线（作垂径）和解题思路（构造由半径、半弦、眩心距组成的直角三角形）.练习设计请完成本课时对应训练！。